CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №8_
ФИЗИКА
УДК 538.955:530.146
Академик АН Республики Таджикистан Фарход Рахими, Х.О.Абдуллоев*, А.Т.Максудов**, Курбониён Мехрдод Субхони***
КВАДРУПОЛЬНАЯ И ОКТУПОЛЬНАЯ ДИНАМИКА МАГНЕТИКОВ СО СПИНОМ £=3/2 В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Президиум АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет, Худжандский государственный университет им. акад. Б.Гафурова, Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Работа посвящена наиболее общим вопросам в исследовании ферромагнетиков со спином 3=3/2. При полуклассическом подходе к системе полученные результаты дают полное описание магнетиков и вносят вклад в изучение динамических, кинетических и термодинамических свойств магнитных систем и получение их нелинейных локализованных решений.
Ключевые слова: квант - ферромагнетики - когерентные состояния.
Одним из хорошо развивающихся направлений в теории конденсированных сред являются исследования нелинейных возбуждений в магнитных средах [1]. Примером служат различные аспекты теории солитонов в многомерных магнетиках [1-3], где рассматриваются решения феноменологических уравнений динамики намагниченности в магнитоупорядоченных средах, зависимость их структуры от размерности пространства, вида магнетика, типа магнитной анизотропии и направления внешнего магнитного поля.
С другой стороны, неоднократно приходится обращаться к квантовому микроскопическому рассмотрению соответствующих магнетиков и трактовать некоторые результаты на квантовом и полуквантовом языке.
Поскольку решением квантовой задачи является решение векового операторного уравнения Н¥=Е¥, то есть диагонализации квантового гамильтониана и нахождение собственных функций и собственных значений, а решение классической задачи есть решение нелинейных уравнений, то есть некоторая функция, поэтому встает вопрос об адекватном переходе к классическому описанию квантовой задачи с сохранением её свойств, тем самым сталкиваемся с проблемой выявления, изучения точек соприкосновения классического и квантового подходов для описания нелинейных свойств магнетиков.
Обычно такой переход осуществляется формальной заменой спинового оператора § в узле кристаллической решетки классической величиной магнитного момента. Такая процедура справедлива для случая и приводит к уравнениям Ландау - Лифшица, 8т-Гордона и др.
Адрес для корреспонденции: Фарход Рахими. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 33, Президиум АН РТ. E-mail: frahimi2002@mail.ru; Курбониён Мехрдод Субхони. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: mehrdod-92@mail.ru
Наиболее обоснованным является использование метода пробных функций [4], причём многое зависит от того, насколько удачно выбран базис пробных функций.
Возможным типом процедуры сведения квантового к классическому подходу может быть усреднение гамильтониана по некоторым пробным функциям. Наиболее естественным оказывается выбор в качестве таких пробных функций когерентных состояний, поскольку такие состояния наиболее близки к классическим, то есть минимизируют соотношение неопределенностей.
Более обоснованным представляется использование когерентных состояний, построенных на операторах группы ЗЩ2), симметрия которых соответствует симметрии гамильтониана [3].
Показано, что в случае может происходить сокращение длины классического вектора спина - факт, который невозможно объяснить в рамках классического подхода, так же как и невозможно свести вклад различных взаимодействий в поведение эффектных полей функций одного лишь вектора намагниченности (спина).
Полученные результаты допускают две возможности для объяснения сокращений спина: первая - возбуждение квадрупольных, октупольных и выше степеней свободы спиновой динамики; вторая - развитие спинового хаоса вблизи 8Щ2) аттрактора.
Построим обобщённые когерентные состояния (ОКС) в группе 8и ((2S +1)) , действующей
в пространстве БР28. Для этого достаточно выбрать в качестве референтного вектора (вакуума) вектор наименьшего веса 10 в фундаментальном представлении группы (2Б +1) .
и найти его максимальную группу изотропии 8и(28+1). Легко проверить, что в терминах верхнетреугольных операторов это будет матрица вида
( 01 О
(1)
г
'2
п
ООО......00
поскольку Т+1= 0, а
Зануляя, в соответствии с вышеуказанным, коэффициентами а-, мы получим, что искомые
ОКС определяются оставшимися недиагональными генераторами с единицами в последнем столбце
для Т+ и в последней строке / .
Коэффициенты перед (2Б+1) диагональными операторами также можно положить равными нулю, поскольку они относятся к подгруппе изотропии SU(2S). Оставшийся диагональный генератор соответствует U(1) и также не даёт вклада при построении ОКС. Наконец, не давая подробности, имеем [5,6]:
IM = ехР \Ё (zr-tr)\0 = cos tt( 10 + *i|1> + ••• + Mj| 2j)), (4)
i=1
tt' = Z 161ttK- tan И, (5)
где
* л -tt
i=1
2' " tt
или, вводя обозначение
M2=Е I M I2, (6)
i=1
1
•in - 2
имеем cos = (l + M|2) и окончательно получаем когерентное состояние в виде [3]
+м2 р {| 0 . (7)
Здесь определяется из (1), а есть орт с единицей на (1+1)-й строке снизу.
Следует отметить, что система ОКС (4) была построена с помощью генераторов Т± фундаментального представления SU(2S+1) и является первой точкой в последовательности систем ОКС, определяемой более высокими представлениями.
В предыдущих работах авторов [5,6] особое внимание уделялось теоретическому исследованию магнитных систем со спином S=1. В таких системах ионы, расположенные в узлах кристаллической решетки, обладают тремя квантовыми состояниями. Переходы между (2S+1) квантовыми спиновыми состояниями ионов в каждом узле кристаллической решетки описываются поляризованными операторами группы SU(2S+1).
Следует отметить, что для систем с полуцелым спином S отсутствуют ограничения, которые в случае целых спинов допускают существование магнитоупорядоченного состояния только в определенном интервале параметров одноионной анизотропии. Наибольший интерес здесь вызывает исследование магнетиков, для которых одноионная анизотропия превышает обменную - ситуация, обратная той, которая позволяет описывать сильноанизотропные системы классическими методами [7]. Анализ задачи о поведении магнетиков со спином S=3/2 позволяет с одной стороны, исследовать
особенности, специфичные для магнетиков с полуцелым спином, а с другой, подчеркнуть механизмы и тенденции, общие для всех анизотропных систем.
Настоящая работа посвящена наиболее общим вопросам в исследовании магнетиков со спином 5=3/2. Квантовая система таких магнетиков живет в шестимерном пространстве состояний. Рассмотрим ферромагнетик со спином 5=3/2, который описывается гамильтонианом
(8)
по 8и(4) обобщенным когерентным состоянием (ОКС), как в комплексной, так и вещественной параметризации [8].
Квантомеханические спиновые операторы имеют вид:
' 0 л/з 0 0 ^ '0 0 0 0^ Гз 0 0
0 0 2 0 у/з 0 0 0 1 0 1 0 0
я ; ^7 = ; я* = —
ООО ' ] 0 2 0 0 ; 2 0 0 -1 0
ч 0 0 0 0 у ч 0 0 Тз 0у V 0 0 0 -3,
где они удовлетворяют коммутационным соотношениям
Для усреднения спиновых операторов используем когерентное состояние [6-8] в пространстве
Ш ( 28 +1)/8и (28 )• и (1)
в виде (4).
Что касается получения динамических уравнений в комплексных параметризациях [3], то имеется лагранжиан в более общем виде. Для произвольного значения лагранжиана имеем:
Ь = ¡к
2 8 / 5(
)
28
Н (V ; Ч , ) .
(9)
1+ЕЧ у
}=1
Проварьировав настоящий лагранжиан (9), можно получить следующие системы уравнений движения в пространстве Би(28+1)
№ =
1 1 кг
( 25
V М
(1+Ч г)%-Ч- ч у Ш- у
к ]=1
ж,
(10)
где а]к =
0, к = у
1, - * у .
Не вдаваясь в подробности, можно вычислить среднее значение спиновых операторов (6) по обобщённым когерентным состояниям (4). Получим
2
/РЛ-УзчуГз+зчуГг+УзУ!
V / Г^Пг ¡2 Г— |2
\ I
1 +
^ ' 1 + |Ч/1|2 + |Ч/2|2 + |Ч/з|2
I? I I? I I?
+ м -3 2 1+|ч/1|2 +М2|2+|Ч/3|2 '
(11)
Предложенная параметризация SU(4) когерентного состояния в комплексных переменных, хотя и достаточно удобна для исследования легкоосных магнетиков, однако для случая легкой плоскости, а также при учёте сильной нелинейности оказывается не совсем удачной.
Поэтому обобщённое когерентное состояние на операторах группы в SU(4), более удобной и физически осмысленной вещественной параметризации, а также соответствующие им гамильтоновы уравнения движения, позволяющие получить полуклассическое описание волн намагниченности в магнетиках S=2/3 с учётом октупольной и квадрупольной динамики спинового момента.
Построим обобщённое когерентное состояние на операторах группы SU(2S+1) в наглядной физической параметризации вещественных функций и учитывающие возбуждение с октупольных магнитных полей в магнетиках с произвольным значением спина.
Для этого выберем пробную функцию [11]
(12)
и усредним спиновые операторы по функции (11), где 0 - референтное состояние, где
и (в,<р,у) = ехр (-/ ср §х) ехр (-/ в §у ) ехр (-/ у )
(13)
- оператор Вигнера, характеризующий вращение спинового момента (9,ф) ( 0 0 10 ^
оху=— 21
0 0 0 1 -10 0 0 0 -1 00
квадрупольный момент,
У
рхуг _ ]_
( о о о О 0 0 0 0 0 0 0 0 -10 0 0
октупольный момент.
У
Отметим, что унитарный оператор (11) обеспечивает переход в собственную подвижную систему координат, где параметры 9 и ф характеризуют ориентационную динамику классического спина (12). Параметры у и в описывают вращение квадрупольного и октупольного моментов (13) вокруг
вектора спина, а g и к характеризуют изменение длины классического спина, квадрупольного и окту-польного моментов.
Не вдаваясь в подробности алгебраических вычислений, заметим, что обобщенное когерентное состояние (7) с точностью до определенной фазы сводится к ОКС в комплексной параметризации:
|Ч = Ч>|0) + ЧЛ + Ч2|2) + Чз|3) . (14)
Вводимые функции в соотношении (14) выражаются следующим образом:
3./ „ч ¡,„ „„ч „„ч 3
iip-y-/) -(3р+у-33) '-{Ъф-У+Ъ/З) -iip+y+p)
0 = лр2 - Ae + Be2 + B2e2 ,
1Т( . 3-У+З) . i+У-3/) „ -iР-У+3З) „ 3'р+3у+33)
^ = лъе2 - A4e2 + въе2 + BAe2 ,
>ti tv -(р+3у+33) -л, i(Р-У+3З) -i(Р+У-3З) --(р-3у-33)
W2 = Be2 - в2е2 + A2e 2 - Де 2
1т( -3'р+у+3) -ч+3р) -3'р-у-3) 1-'3р-у-3р)
= в[е 2 - в2е 2 + A2e 2 + Л2е2 ,
где введены следующие обозначения:
Л = a sin k, в = bcos k
A' = a cos k, в/ = ь sin k
• 3 $ /Т • $ 2 $ •
a = sin —cos g, a2 =y 3sin—cos —sin g
Г $ f
a3 = v 3sin2 —cos2 g, a4 = cos$l 1 - sin^ — I sin g,
7 /Т -2 $ 2 $ ■ 7 3 $
bx = v3sin —cos —sing, b2 = cos —cosg,
f 3 2$Л г $ 2$
¿3 = 2sin$l1 —sin — sin g, bA = v3sin —cos —cos g,
2 2 J 4 2 2
- вектор-столбец с единицей на i+1-й строке (см.(1)).
Усредняя спиновые операторы (6) по обобщённым когерентным состояниям (11), получим проекции вектора классического спина в действительной параметризации
о
(s+) = -е,ср (l - 4cos2 g)cos2£sin,9, (15а)
О
) = -е,ср (l - 4 cos2 g) cos 2к sin 3, (156)
О
^ = -(1-4со82#)СО8 2£СО8,9. (15В)
При сравнении соотношений (15) с аналогичными для SU(3) ОКС, полученными в работах [10,11], заметим, что сокращение спина за счёт октупольного взаимодействия в нашем случае носит такой же характер, как и сокращение спина за счёт квадрупольного поля в случае модели со спином S=1 и определяется фактором cos2k, а сокращение вектора классического спина за счёт возбуждения квадрупольного взаимодействия, определяемого фактором (1-cos22g), имеет характер, отличный от S=1.
Представление в виде континуального интеграла по траекториям для квантового гамильтониана Н позволило получить следующий лагранжиан полуклассической модели
Ь соъ2ксо52g(Зcos2g■ Д + со$,3-(р1 + у^-Н, (16)
н-(н)
где г1 = ул I - полуклассическии аналог соответствующего квантого гамильтониана.
Так как октупольное взаимодействие проявляет себя в магнетиках при более высокой температуре, чем квадрупольное, то для простоты представляется целесообразным и физически обоснованным исследовать магнетик со спином S=3/2 в пренебрежении октупольным моментом, то есть если положить в=k=0 в (11) и в (15), где они переходят соответственно в
о
(17а)
О
= ^(1-4со82#)8т,9, (176)
о
^=-(1-4СО82#)СО8,9. (17В)
Лагранжиан модели определяется как обычно из исходного лагранжиана (16):
3
Ь = -кс052 g((;osЗ■(pt+yt)-H. (18)
Этот выбранный нами лагранжиан (18) порождает следующие уравнения движения спиновой динамики
_1_ 5 Н
ео82 g 81П5 50
Р =-2-— • —, (19а)
« = ГГ"'-Г, (19б)
281П2g 5у
1 5 Н со8 0 5 Н
0=-----2---, (19в)
8lп2g 5р 81П0СО8 g 5у
Y =
1 5 H cos0 5H
sin2g 5g sinocos g 5g
(19г).
Усредняя исходный гамильтониан (8) с одноионной анизотропией и переходя к квазиклассическому описанию, получим:
h = J Í
«,0
J С I C(Q 2
(20)
2 9
где =-(l-cos2g) ,
(^z) = 3(3-2sin2 6>)
(sx I = 9 Д 4 sin2 3 - з) sin2 2g ■ g2x - sin2 3 cos2 2g ■ (p2x + cos2 3 cos2 2g - sin2 3 cos 4g ■ 3xgx
Использование явного вида гамильтониана (20) с учетом гамильтоновых уравнений движения (19) приводит к следующей системе уравнений
У = ■
1
-J
9 9 at / \
- cos2 2g sin 3 + 65 sin 23 - 9 а (4 sin 23 sin2 2g • g2 - (y2 - 3¡ )
,2 n„„„2,
cos2 g sin 3a0
x sin 23 cos2 2 g - 2 cos 23 • cos 4 g • 3xqx + cos2 3 cos2 2 g • g^ )J
9
3t =-J aosin3cos2g Ух ,
gt=0,
(21а)
(21б) (21в)
cos3
Yt=~
sin3cos 2 g
J
a
- cos2 2g sin 23 + 65 sin 23 - - a (4 sin 23 sin2 2g • g2 - 2 cos 23 : /Io /I o v ° °x
42
cos4g x 3xgx + cos2 3 cos2 2g • 3^ - (У - 32) sin2 23 cos2 2g))] - -(4 sin2 3 - з) x
v 7 ''л sin2g 4V 7
x (sin 4 g • gx2 + sin" g • gxx ) + - ^sin2 3 + 1 jsin 4 g
x cos 4g •ф2х - cos2 3 cos 4g • 32x + 45 sin 23 sin 4g • 3
9 ao 4 2
sin 2g L 4 4 7 (21г)
[(4 sin2 3 - З) sin 4g • ga - sin2 3 :
Полученная система уравнений (21) даёт полное определение полуклассического описания магнетика со спином 5=3/2 с одноионной анизотропией.
Как видно из третьего уравнения системы (21в), длина спина остаётся постоянной для настоящего вида анизотропии.
Аналогичным образом были изучены также и модели следующего вида:
x
" -/Z^ , - да;).
H = (22)
j
Для этих моделей получены уравнения движения, которые практически совпадают с системой (18), но с некоторыми незначительными отличиями: уравнения для 6t и gt остаются прежними, как в (18). Однако для первого уравнения системы (18) появляются добавочные члены следующего вида:
513 sin26 - для модели (19) и 273 sin26 cos2g - для модели (20).
А в четвёртом уравнении (18) появляется добавочный член вида 23sin29 cos4g для модели (11) и 273 sin26 cos2g+(3-2sin26) для модели (20).
Отметим, что в данном случае первые два уравнения системы (18) отличаются от уравнения Ландау-Лифшица, что является следствием квадрупольного взаимодействия.
В заключение следует отметить, что новизна подхода, развиваемого в данной статье, состоит в том, что исходной моделью являются обычная и привычная переменные, дающие адекватное классическое описание данной системы. При этом, с одной стороны, в классике динамика носит в основном спиновой характер и можно проследить, в какой мере она соотносится с описанием в рамках уравнения Ландау-Лифшица и как влияют на неё остальные поля (квадрупольное, октупольное и др.). С другой стороны, поскольку при таком подходе сохраняется полное необходимое число динамических переменных, спиновая динамика сопровождается интересной квадрупольной динамикой и сокращением спина. При таком подходе возможно проследить, как меняется спиновая динамика с ростом спина и как происходит переход к настоящему переделу - к бесконечному S спину. Можно также выяснить, что представляют собой все остальные мультипольные добавки, отличающие квантовую систему от её описания в рамках УЛЛ. Все вышеизложенное позволяет сделать вывод, что полученные в [11-13] системы уравнений описывают все возможные взаимодействия магнитных систем с различными типами анизотропии и значениями спина. Это касается в первую очередь изучении динамических, кинетических и термодинамических свойств магнитных систем и их нелинейных локализованных решений.
Поступило 10.07.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1983, 190 с.
2. Косевич А.М., Ковалев А.М. Нелинейная физическая механика. - Киев: Наукова думка, 1988, с.180.
3. Абдуллоев Х.О., Маханьков А.В., Хакимов А.В. Классические нелинейные модели в теории конденсированных сред. - Душанбе: Дониш, 1989, с.179.
4. Иванов Б.А., Оксюк Г.К., Слозунский А.Л. Современные проблемы теории магнетизма. - Киев: Наукова думка, 1986, 111 с.
5. Абдуллоев Х.О., Максудов А.Т., Маханьков А.В., Муминов Х.Х. Нелинейная динамика анизотропного легкоплоскостного магнетика со спином S=1. - Препринт ОИЯИ, Дубна, 1990, P-90, 258 р.
6. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.О. Описание магнетики Гейзенберга при пространственном повороте для спина S=1. - ДАН РТ, 1990, т.33, №9, с.593-595.
7. Островский В.С. О нелинейной динамике сильноанизотропных магнетиков со спином S=1. -ЖЭТФ, 1986, т.91, №.5, с.1690-1701.
8. Abdulloev Kh.O., Makhankov A.V., Agüero M. Quasiclassical description of easy-plane Heisenberg model and dynamics of wave packets. - W.W.Singapore, 1990, pp.387-397.
9. Fedyanin V.K., Makhankov V.G. - Physica Sсeripta, 1983, v.28, рр.221-228.
10. Абдуллоев Х.О., Максудов А.Т., Муминов Х.Х. Полуклассическое описание анизотропных магнетиков, находящихся под воздействием внешних магнитных полей. - ФТТ, 1994, т.34, п.1, с.150-154.
11. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х., Рахимов Ф.К.. Когерентные состояния группы SU(4) в действительной параметризации и гамильтоновы уравнения движения. - ДАН РТ, 1993, №8-9, с.20-24.
12. Абдуллоев Х.О., Максудов А.Т. Исследование магнетиков с обменной анизотропией в действительной параметризации. - Мат-лы конф. «Физика конденс. сред». - Душанбе, 2015, с.136-139.
Фарход Рахимй, ^.О.Абдуллоев*, А.Т.Максудов**, ^урбониён Мехрдод Субхрнй***
ДИНАМИКАИ КВАДРУПОЛЙ ВА ОКТУПОЛИИ МАГНЕТИЩОИ СПИНАШОН 5=3/2 ДАР ФАЗОИ МАГНИТЙ
Раёсати Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишго%и миллии Тоцикистон, **Донишго%и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Р.Раффуров, ***Институти физикаю техникаи ба номи С.Умарови Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Тадкикоти мазкур ба та^лили масоили умумии ферромагнетикх,ои спинашон S=3/2 бахшида шудааст. Дар чах,орчубаи тадкики нимклассикии система натичах,ои бадастовардашуда х,олати пурраи магнетикх,оро тавсиф дода, барои омузиши хосиятх,ои динамикй, кинетикй ва термодинамикии системах,ои магнитй ва бадастории х,алх,ои гайрихатии локалии онх,о мусоидат менамоянд.
Калима^ои калиди: квант - ферромагнетищо - уолатуои когерентй.
Farhod Rahimi, H.O.Abdulloev*, A.T.Maqsudov**, Qurbonien Mehrdod Subhoni***
QUADRUPOLE AND OCTUPOLE DYNAMICS OF MAGNETICSWITH SPIN
£=3/2 IN MAGNETIC SPACE
Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Tajik national University, B.Gafurov KhujandState University, S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan This work is devoted the most common problems in the study of ferromagnets with spin S = 3/2. In semiclassical approach to the system the obtained results give a complete description of magnetic materials and contribute to the study of the dynamic, kinetic and thermodynamic properties of magnetic systems and allow obtaining their nonlinear localized solutions. Key words: quantum - ferromagnets - coherent states.
