CC BY
65
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXV 1994 №1-2
УДК 533.6.011.32:629.7.025.1 629.735.33.015.3.025.1
РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСУЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК КРЫЛЬЕВ БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ
С. В. Ляпунов, О. Л. Щенникова
Рассмотрен метод расчета нелинейных несущих характеристик нестреловидных крыльев большого удлинения, основанный на модифицированной теории несущей линии Прандтля. В расчете используются профильные характеристики сечений и, таким образом, учитывается влияние вязкости, в том числе наличие отрывов потока. Модифицированная теория несущей нити использована для расчета нелинейной зависимости с^(а)
крыла, вплоть до закритических углов атаки. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Приведены результаты расчетных исследований по влиянию удлинения, сужения и крутки крыла на его несущие характеристики.
Для описания обтекания прямого крыла конечного размаха большого удлинения потоком идеальной несжимаемой жидкости широко используется теория несущей линии Прандтля. Эта теория позволяет получить аэродинамические характеристики крыла из решения интег-родифференциального уравнения, для чего разработаны эффективные расчетные методы. Отметим две существенные особенности теории Прандтля: 1) как показано в [1] (см. также [2]), для линейной зависимости су(а) сечений теория Прандтля дает правильный наклон
зависимости су(а) (величину с“) крыла с точностью до О (1/Х) включительно, где X = е2/я — удлинение крыла, £ — размах, — площадь крыла; 2) теория Прандтля позволяет использовать экспериментальные зависимости су(а) сечений крыла (профилей), что обеспечивает учет
вязкости.
Дальнейшие исследования показали, что неучет в теории несущей линии членов более высокого порядка дает завышенное значение с“.
Это завышение для плоского крыла эллиптической формы в плане при X = 5 составляет около 8,6%, а при Л = 10 около 3,4%. В связи с этим был выполнен ряд исследований, направленных на уточнение теории Прандтля путем учета членов более высокого порядка, чем 0( 1/Х).
Основополагающей здесь является работа [1], в которой методом сращиваемых асимптотических разложений получены следующие члены разложения для зависимости су(а) крыла. При этом наряду со слагаемыми с целыми отрицательными степенями к появляются слагаемые, пропорциональные 1п Я. Удобный метод учета членов более высокого порядка, чем в теории Прандтля, был предложен в работе [3], который заключается в модификации выражения для индуктивного скоса в сечениях крыла по сравнению с теорией несущей линии, и в дальнейшем применении теории несущей линии и гипотезы плоских сечений с использованием модифицированного скоса.
Такая методика, возможно, не представляла бы большого интереса сама по себе, поскольку численные методы в настоящее время позволяют быстро и точно рассчитать обтекание произвольного крыла идеальной несжимаемой жидкостью. Однако и в настоящем подходе, как и в теории Прандтля, сохраняется возможность использования профильных характеристик сечений и, таким образом, учета влияния вязкости, которое в точной постановке в настоящее время не всегда можно рассчитать достаточно точно. В работе [1] показано, что с точностью до членов, удерживаемых в [3] во внешнем разложении, течение во внутреннем разложении является плоским, что в некоторой степени обосновывает использование профильных характеристик в сечениях крыла.
Теория Прандтля, а также модифицированная теория несущей нити [3] требуют знания зависимостей су(а) для сечений крыла в плоском потоке. Обычно эта зависимость считается линейной, что обеспечивает линейность интегродифференциального уравнения, используемую при численном решении этого уравнения. Если зависимости Су(а) сечений являются нелинейными, то соответствующее уравнение также является нелинейным. Решение его позволяет найти такие характеристики крыла, как, например, сутах. Приближение теории Прандтля в этом случае является менее оправданным, поскольку на отрывных режимах обтекания пространственность течения проявляется более заметно и использование гипотезы плоских течений менее обоснованно. Однако данный подход дает некоторое приближение к отрывному обтеканию крыла и качество такого приближения может быть оценено путем сравнения расчетных и экспериментальных результатов. Проблема при этом заключается в удовлетворительном численном методе решения соответствующего нелинейного уравнения. Такой подход применялся в целом ряде работ [4—6]. В работе [7] модель несущей нити была использована для определения характеристик крыльев, включая случаи отрывного обтекания, однако решаемые уравнения отличались от уравнений теории Прандтля.
В настоящей статье рассмотрены результаты применения модифицированной теории несущей нити [3] как для линейной зависимости су (а) сечений крыла, так и для нелинейной зависимости, вплоть до закритических углов атаки.
1. Модифицированная теория несущей линии. Использованная в данной работе модификация теории несущей нити предложена в ра-
боте [3]. Рассмотрим обтекание прямого крыла конечного размаха большого удлинения потоком идеальной несжимаемой жидкости. В соответствии с теорией несущей линии крыло заменяется прямолинейным присоединенным вихрем с переменной интенсивностью Г (г) и вихревой пеленой за ним с интенсивностью у(г) = -dГ/dz. Пелену будем считать плоской и параллельной набегающему потоку. В соответствии с гипотезой плоских сечений и теоремой Жуковского подъемная сила сечения пропорциональна циркуляции Г(г) и величина Г(*) определяется из уравнения
Г(г) = 1/2 • Л(г) су(г,ае(г)); (1)
здесь Г(г) отнесено к скорости набегающего потока и полуразмаху крыла, Ь(х) — местная хорда сечения, отнесенная к полуразмаху 1фы-ла, с>,(г,ае(г)) — коэффициент подъемной силы сечения. Величина ае(г) — эффективный угол атаки сечения, который равен
ае(г) = а-“о Сг)(2)
где а — геометрический угол атаки крыла, ао(г) — угол нулевой подъемной силы сечения, а,-(г) — индуктивный скос в данном сечении, обусловленный наличием вихревой пелены. В соответствии с теорией Прандтля индуктивный скос определяется на линии присое-диненнош вихря и равен
(3)
Если считать зависимость с^,(г,а) сечения линейной по а, т. е.
су(г,а) = с“(*)-а,
то получается известное линейное интегродифференциальное уравнение Прандтля:
Г(г) = у6(г)с“(г)
а-ао(г)-^р£М . -1
(4)
В работе [1] на основе метода сращиваемых асимптотических разложений получено разложение величины Г(^) по малому параметру
г = 1/Х:
г(г) * Го(*) • є + г,(г) • в + г2(*) • є іпє + г3(г) • е3+...
(5)
В этой же работе показано, что уравнение Прандтля (4) позволяет правильно получить первые два члена этого разложения. Следующий член, пропорциональный є31п є, в теории Прандтля отсутствует.
В работе [3] предложено модифицировать выражение (3) для индуктивного скоса и использовать следующую формулу
емое представляет индуктивный скос в теории Прандтля. Как показано в работе [3], выражение для индуктивного скоса, используемое при решении уравнения (1), позволяет правильно получить член в раз-
теории Прандтля.
Таким образом, система уравнений, позволяющая получить решение задачи об обтекании прямого крыла большого удлинения с учетом следующего члена разложения по малому параметру е = 1/Я. по сравнению с теорией Прандтля, представляет собой уравнение (1), в котором величина эффективного угла атаки сечения ае(г) вычисляется по соотношениям (2) и (6).
2. Метод расчета. Система уравнений (1), (3) и (6) представляет собой нелинейную систему уравнений относительно неизвестной функции Г(г). Дискретизация этой системы осуществлялась путем разбиения полукрыла по размаху на ТУ-контрольных сечений 1к =
=-1/2 • совб*, вк = п/2 к = 1,2,...,# (и симметрично для вто-
рой половины размаха). Значения а/ вычислялись по формуле (6) интегрированием по методу прямоугольников. Как известно, такое разбиение и такой метод интегрирования дают точное значение индуктивного скоса в теории Прандтля (т. е. вычисленного по формуле (3)) при эллиптическом распределении циркуляции. Затем уравнение (1) записывалось для контрольных сечений zk и решалось методом Ньютона:
дг”(^) + \ь(1к)с«ик,*пе)Ак1лпи() = -(гй(**) - %ь(1к)суЬк,*яе)У,
При линейной зависимости су(а) сечений сходимость достигается за одну итерацию, поскольку система уравнений в этом случае является линейной. При нелинейной зависимости су(а) сечений решение, вообще говоря, может не существовать. Несуществование решения проявлялось в расчетах в отсутствии сходимости итерационного процесса метода Ньютона. Однако это отсутствие сходимости
-і -1
4р2 Г [Г(§)й(4)}(г-§) ^ *Ь2(1) Дд/й2(г)+1бр2(г-4)2
(6)
Здесь р2 =1-М2, Ма, — число М набегающего потока, первое слага-
ложении (3) порядка є31п є, следующий по сравнению с полученным в
Ги+1(г*) = Тпик) + дг”(^), к = 1,2,...,#;
. да, (Цг) здесь Ак1 = а'> V, п — номер итерации. 01
наблюдалось лишь в некоторых случаях при закритических значениях угла атаки крыла, т. е. величина сутгх крыла могла быть рассчитана. Условием окончания итерационного процесса было условие £ 0,005, что обеспечивало вполне достаточную точность опре-
шах. к
деления суммарных аэродинамических характеристик крыла. Удовлетворение этого условия требовало обычно выполнения 2—5 итераций на нелинейном участке зависимости су(а).
3. Результаты расчетов. Рассмотрим сначала результаты, полученные при линейной зависимости су(а) сечений крыла. Для плоского бесконечно тонкого крыла эллиптической формы в плане получено точное аналитическое решение задачи его обтекания. Величина с“ для такого крыла приведена в [8] и выражается следующей зависимостью:
с° <7> 1г .1. агсяп А А
где к = 4/пХ, к = VI-*2, Е(Н) — полный эллиптический интеграл II рода. Асимптотическое выражение для этой величины при X -> оо, также полученное в [8], имеет вид
са _ _____________2%________
у .2 16 „ . 1Ч 256 л ■
‘+1+??(1пА'1Н5л?+'"
В соответствии с теорией несущей нити для плоского эллиптического крыла величина
~а _ 2я у " , 2 •
■ 1+- - , ■ ■ -
Отсюда видно, что теория несущей нити правильно учитывает член порядка 0(1/А.) и не учитывает член порядка 0(1пхД2). Модифицированная теория несущей нити, изложенная в предыдущих разделах, правильно учитывает и это слагаемое.
На рис. 1 приведены результаты расчета зависимости су(а) для
крыла эллиптической формы в плане при X = 5 по теории несущей нити Прандтля и по модифицированной теории несущей нити [3]. Характеристика су(а) сечений была прямолинейной с с“ =2п. Модифицированная теория дает, в отличие от теории Прандтля, отличное согласование с точным решением, описываемым формулой (7). Приведены также результаты расчета величины с“ для эллиптического крыла в зависимости от удлинения X. Теория Прандтля дает завышенное значение с“, в то время как модифицированная теория несущей нити хорошо согласуется с точным решением (7) вплоть до X = 2. При X = 5,
ЭЛиптичвеяое лр*ио
Рис. 1. Расчет зависимости су (а) для эллиптического крыла
например, разность значений с“, полученных с помощью разных
теорий, составляет 8,6%.
Таким образом, модифицированная теория несущей нити улучшает согласование с точным решением по величине с“ по сравнению с теорией несущей нити Прандтля на линейном участке зависимости су(а) профиля.
Рассматриваемая методика может быть применена и при нелинейном характере зависимости су(а) сечений, включая область максимальной подъемной силы. Ниже рассмотрены результаты расчетов и дается сравнение их с экспериментальными данными.
На рис. 2,а приведены результаты расчета зависимости Су(а) для
прямоугольного крыла X = 5 с профилем ОА\\^-1 (с = 17%). Экспериментальная зависимость су(а) профиля взята из [9], и она хорошо
согласуется с расчетной зависимостью, полученной по методу [10]. Последняя зависимость и была использована при расчете характеристик крыла конечного размаха. Расчетная зависимость для крыла сравнивается с экспериментальной зависимостью, полученной в АДТ
вАЧГ~1 Крым \'11,0в Щ-у
м-о,15 яе-ггв* яе-г,в7 ю*
Рис. 2. Расчет зависимости су (а) для прямоугольного (а) и трапециевидного (б) крыльев
ЦАГИ Т-106М. Согласование результатов является удовлетворительным, и разность расчетных и экспериментальных значений сутах составляет ОКОЛО 3,5%. Уменьшение величины Сутах при переходе от профиля (X = оо) к крылу конечного размаха (X = 5) составляет около 13% ОТ величины Су тах профиля.
На рис. 2,6 приведены результаты расчета зависимости су(а) для прямого незакрученного трапециевидного крыла X = 12,06; г) = 2,5, в корневом сечении которого был установлен профиль КАСА 4424 (с = 24%), а в концевом — профиль ИАСА 4412 (с = 12%). Зависимости су(а) для данных профилей при 11е = 3-106 были взяты из [11]. Необходимые в расчетах характеристики с^(а) сечений, промежуточных между корневым и концевым, представляли собой линейную интерполяцию по I между характеристиками корневого и концевого сечений. Экспериментальные данные при Яе = 2,87 • 106 взяты из [12]. Рассогласование расчетных и экспериментальных значений сутах для крыла составляет менее 2,5%.
Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что в рассмотренных примерах при X £ 5 результаты расчета величины су ^ крыла согласуются с экспериментальными результатами с точностью до 3—5%.
Ниже рассмотрены результаты методических расчетных исследований по влиянию формы крыла в плане на величину с^тах крыла. На рис. 3 приведены результаты расчета зависимостей су(а) трапециевидных крыльев с профилем с = 15% при одинаковом удлинении X = 5
Рис. 3. Зависимость су(а) трапециевидных крыльев с профилем с ,= 15 % при одинаковом удлинении (X = 5) и различных сужениях (Л = 1,2,3,5)
и различных сужениях г) = 1,2,3,5. Здесь же даны результаты для крыла эллиптической формы в плане (X = 5). Зависимость су(а) профиля
была получена расчетным путем по методу [10]. Известно [13], что по теории несущей линии Прандтля величина су тах крыла эллиптической
формы в плане без крутки совпадает с величиной сутах для профиля. В рассматриваемой методике эти величины также получились практически одинаковыми. Для трапециевидных крыльев величина сутах крыла с увеличением сужения сначала возрастает до л * 2, а затем снова уменьшается. Аналогично ведет себя и величина критического угла атаки. Возрастание величины су тах до г| * 2 связано с тем, что у прямоугольного крыла (г) = 1) отрыв происходит в корне крыла, в то время как у трапециевидного крыла отрыв происходит ближе к концу крыла (г = 0,5 - 0,7; г| = 3), где местные хорды сечений меньше, чем в корневой части, и вклад этих сечений в суммарную подъемную силу крыла меньше. Дальнейшее уменьшение величины сутах крыла с ростом удлинения связано с уменьшением индуктивных скосов в кон-
сольной части крыла, что приводит к большим закритическим углам атаки концевых сечений и к значительному уменьшению подъемной силы этих сечений.
Далее приведены результаты исследований влияния удлинения крыла на зависимость су(а) для прямоугольного и трапециевидного, г) = 3 (рис. 4) крыльев. Видно, что трапециевидное крыло имеет большее значение сутах по сравнению с прямоугольным крылом при всех рассмотренных значениях удлинения.
С помощью данной методики было также исследовано влияние геометрической крутки крыла на зависимости су(а) для прямоугольного и трапециевидного крыльев (X = 5, л = 1 и т| = 3). На рис. 5 приведены соответствующие результаты расчетов для крыльев с профилем (с = 15%) с выраженным падением су на закритических углах. Были рассмотрены плоские крылья без крутки и с круткой концевого сечения е = -5°. Для прямоугольных крыльев отрицательная крутка концевого сечения приводит к увеличению нагрузки корневых
ел\Я-1 М'0,15 Пв-р-Ю* Прлпоушьнве нрьио у/
го х
Рис. 4. Влияние удлинения крыла на зависимость Су (а ) для прямоугольного и трапециевидного крыльев
Рис. 5. Влияние геометрической крутки крыла на зависимости су{а) для прямоугольного и трапециевидного крыльев
сечений, где имеет место начало отрыва, с чем связано уменьшение величины су та* по сравнению с плоским крылом. У трапециевидного крыла разгрузка концевых сечений, напротив, приводит к некоторому увеличению величины Су max.
Таким образом, модифицированная теория несущей нити с учетом нелинейности зависимостей су(а) сечений крыльев большого удлинения позволяет уточнить характеристики крыльев на линейном участке изменения подъемной силы и получить значения максимальной подъемной силы крыльев конечного размаха.
ЛИТЕРАТУРА
1.Van Dyke М. Lifting-line theory as a singular perturbation problem // Archiwum Mechaniki Stosowaney.—1964. Vol. 16, N 3.
2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.—М.:
Мир, 1967.
3. Lan С.-Т. An improved nonlinear lifting-line theory // AIAA J.—1973.
Vol. 11, N 5.
4. Wieselsberger C. On the distribution of lift across the span near and beyond the stall // J. of the Aeronautical Sciences.—1937. Vol. 4, N 9.
5. Sivells J. C., Nelly R. H. Method Гог calculating wing characteristics by lift—line theory using nonlinear section lift data // NACA- Rep. 865.—1947.
6. Sivells J. С., Westrick G. C. Method for calculating lift distributions for unswept wings with naps of ailerons by use of nonlinear section data // NACA TN 2283.-1951.
7. Чичеров H. А. Применение теории несущей линии для расчета прямых крыльев с произвольными профилями // Ученые записки
ЦАГИ.—1989. Т. 20, № 2. .
8. Hauptman A. Exact asymptotic expressions of the lift slope coefficient ol
an elliptic wing // AIAA J.—1987. Vol. 25, N 9.
9. Me Ghee R. G., Beasley W. D. Low-speed aerodynamic characteristics of a 17-percent thick airfoil section designed for general aviation applications // NASA TN-D-7428.—1973.
10. Болсуновский A. JI., Глушков H. H., Щенникова О. Л. Приближенный метод расчета максимальной подъемной силы крыловых профилей при малых скоростях,// Труды ЦАГИ.—1986. Вып. 2313.
11. Abbott I. Н., Dofenhoff А. Е. Theory of wing sections //
Mc'Graw—Hill Book Company.—1949.
12. Nelly R. H., Bollech Т. V. Experimental and calculated characteristics of several NASA 44-series wings // NASA TN-N-1270.—1947.
13. Серебрийский Я. М. Точные частные решения нелинейного уравнения теории крыла конечного размаха // ПММ.—1944, № 4.
Рукопись поступила 15/VII1993 г.
