Применение теории несущей линии для расчета прямых крыльев с произвольными профилями* Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XX

1989

№ 2

УДК 629.735.33.015.3.025.1

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРЯМЫХ КРЫЛЬЕВ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ПРОФИЛЯМИ*

Н. А. Чичеров

Показано, что в случае применения в крыле большого удлинения профилей с производной с“ Ф 2л в рамках допущений, принятых в теории несущей линии, уравнение для несущей линии может быть записано в виде, отличающемся от уравнения Прандтля.

На основе полученного уравнения предлагается модификация метода дискретных вихрей для расчета аэродинамических характеристик прямых крыльев с учетом реальных характеристик профилей. Показано хорошее согласование результатов расчетов по предлагаемому методу с экспериментальными данными, полученными в различных аэродинамических трубах.

Первой попыткой определения аэродинамических нагрузок, действующих на трехмерные крылья с произвольными профилями при небольших скоростях, был метод несущей линии, предложенной Прандтлем [1]. Метод базируется на использовании интегро-дифференциального уравнения

где с; пр — производная функции су по а' профиля, а' — геометрический угол атаки, отсчитываемый от плоскости хорд, когда су на профиле равен нулю, Ь — местная хорда крыла, £ — размах крыла, Г (г) —значение циркуляции скорости в сечении крыла.

Каких-либо теоретических доказательств применимости уравнения (1) для расчета аэродинамических характеристик прямых крыльев с произвольными профилями нет. Проверка его применимости была основана фактически на решении обратной задачи, т. е. пересчете результатов экспериментальных исследований, полученных группой Прандтля [1]. Для этого были проведены испытания дужек (прямых крыльев без сужения и крутки) с удлинениями Х=1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, а затем полученные аэродинамические характеристики в широком диапазоне а были пересчитаны на удлинение X = 5, предполагая эллиптический закон распределения циркуляции по размаху крыльев. Показано, что в этом случае разброс значений функций Су(а) и Сх(Су) небольшой, но есть [1].

Следует подчеркнуть, что проверка была проведена при пересчете данных для близких к на к = 5, а не на Я= оо. Однако в дальнейшем это как-то отступило на второй план, и эти эксперименты использовались как аргумент в пользу существующей до настоящего времени методики пересчета аэродинамических характеристик прямых крыльев с конечного удлинения (X = 5) на к = оо по методу, предложенному Глауэртом [2]. Однако, если пересчитать аэродинамические характеристики прямых крыльев, приведенные в работе Прандтля, на к = оо по методу Глауэрта, основанного на уравнении Прандтля, то получим существенный разброс в значениях с“Пр в зависимости от к (рис. 1). Там же приведен пример, демонстрирующий неточность уравнения (1) при пересчете результатов расчетов прямых крыльев (X = 1 —10), при-

Статья печатается в порядке обсуждения— (примечание редколлегии).

(1)

(и.} работы [11)

Рис. 1

веденных в работе [3] на стр. 186. Пересчет с“ этих крыльев на X = оо показывает, что с увеличением X с“ тонкого профиля стремится к 6,28, но в диапазоне А. <10 еше не достигает этого значения. Как пример неточности данной методики в широком диапазоне а, на рис. 2 приводится сравнение результатов испытаний профилей GA(W)-\ и ЛМС-4-23021 в плоском потоке [4, 5] и результатов пересчетов по методу Глауэрта с конечного удлинения (Я == 5) на бесконечное, показывающих расходимость в аэродинамических характеристиках профилей, полученных такими способами. Особенно большие расхождения в аэродинамических характеристиках наблюдаются на нелинейных участках зависимости с„ = /(а) и в области су шах. На рис. 1 приведены также некоторые данные по профилей типа NACA различных серий, полученные в плоском потоке [4, стр. 32]. Видно, что ни одна серия в диапазоне толщин с = 6—16%, наиболее используемых в авиации, не имеет производную меньше 6. А в уравнении (1) обычно используется значение с* = 5,6.

По этой причине в американских методиках пересчета с удлинения X = 6 на X = оо вводились эмпирические поправки [6J. В дальнейшем за рубежом от такой методики получения профильных характеристик отказались и перешли на определение характеристик профилей только в плоском потоке.

Приведенные факты показывают, что применение уравнения (1) не позволяет получить достоверные аэродинамические характеристики профилей из испытаний прямоугольных крыльев небольшого удлинения (Х^5-=-6) в широком диапазоне а. По этим же причинам вызывает сомнение и применимость уравнения (1) к расчету аэродинамических характеристик крыльев конечного удлинения при наличии характеристик профилей, полученных в плоском потоке.

Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, в работе [7] было показано, что из уравнений движения может быть получено почти «точное» интегральное уравнение, определяющее обтекание тонкого крыла:

1 Г аг йг' 1 ГГ 6д ч,

п ) <1г{ (г —г,) 4 )) </г,

1 £

где ИР—индуцируемая нормальная скорость; имеет одно и тоже значение на верхней и нижней поверхности крыла; (? — характеризует кривизну профиля; Л — определяет распределение кривизны профиля вдоль хорды; Г — значение циркуляции в сечениях крыла; ц — местная интенсивность вихрей, распределенных вдоль хорды.

Как показано в работе [7], если рассмотреть приближение, когда отношение £./6 1,

то в этом случае из уравнения (2) следует уравнение

Как показано в монографии [8 [, интеграл в левой части уравнения (3) есть циркуляция скорости вокруг профиля сечения крыла в плоском потоке

Тогда из уравнения (2), полученного для тонкого изогнутого прямоугольного крыла большого удлинения; следует уравнение:

Данное уравнение устанавливает связь между изменением циркуляции по размаху тонкого крыла большого удлинения, значением циркуляции Г (г) в произвольном сечении крыла и значением циркуляции Гпр(;г) для профиля в рассматриваемом сечении при том же угле атаки сечений крыла. Отметим, что для решения уравнения (4) не нужны ни углы атаки, ни скосы, а нужно знать только геометрию в плане и Гпр в сечениях крыла. Как показывают испытания прямых крыльев, распределение су сеч по размаху крыла практически не зависит от с“пр. Используя это обстоятельство, предлагается применить это уравнение для расчета аэродинамических характеристик прямых крыльев большого удлиненйя с профилями имеющих с“ ф 2л.

Сформулируем условия, при которых полученное уравнение (4) можно применять для получения аэродинамических характеристик толстых прямоугольных крыльев конечного удлинения при обтекании реальным потоком. Это возможно при условии, что влиянием поперечных перетеканий на подъемную силу в близких сечениях крыла, связанных с изменением толщины профилей, вязкости, завихренностью вне крыла и деформацией следа можно пренебречь. В такой постановке, как показано в работе [7], из внутреннего решения используется только соотношение между циркуляцией и углом атаки, которое эквивалентно наклону зависимости су = = /(о). Таким образом, метод сращиваемых асимптотических разложений может быть применен и в тех случаях, когда внутренняя задача решена экспериментально. Например, для расчета прямых крыльев, имеющих в сечениях крыла профили близкой толщины. В этом случае при равенстве геометрических углов атаки а сечений крыла за счет изменения кривизны срединной поверхности ()•(Их/йх на тонком крыле можно достичь значений циркуляций таких, как в сечениях реального крыла. Значит переход от толстого крыла к тонкому возможен при условии, что в решении используется тонкое крыло с переменной вогнутостью как по размаху крыла, так и по а. Значения вогнутости тонкого крыла в каждом сечении будут определяться, как зависимостью ^(о) реальных профилей, используемых в крыле, так и величиной подъемной силы в рассматриваемом сечении.

Преобразуем уравнение (4), использовав формулу Жуковского и связь с углом атаки крыла а через выражение су пр = су пр • а'/а'. Тогда уравнение (4) можно представить в следующем виде:

Ь — х

х

- 0,5Г(г).

(3)

ь

(4)

или

Г(г) = 0,5с —

' ' упр а‘

а' Ь г 4Г ***■

а' 4 3 (1г{ (г — г,)

Г(г) = 0,5с,„рА

(5)

Для случая линейной зависимости с,(а) (су = с“а', где а' = а — ао) уравнение (5) можно представить в следующем виде:

Г(г) = 0,5 Л„Ь

(6)

Видно, что по структурной записи уравнение (6) похоже на уравнение Прандтля (1), однако отличается коэффициентом перед интегралом. Только в случае плоской пластины, имеющей производную с° = 2л из уравнения (6) получается уравнение (1), но при условии, что перед интегралом в уравнении (1) 2л это есть производная с“ пР, а не число.

Отметим, что для эллиптического распределения циркуляции по размаху крыла из уравнения (6) следует другое соотношение между с^кр и с“пР: с“кр = С“пр/(1 + 2Д), чем из (1)

Су кр = Су пр/ [ 1 + с* Пр/ (лХ) ] .

Таким образом, хотя уравнение (6) и (1) получены при одинаковых допущениях в рамках теории несущей линии, однако уравнение (5) получено из уравнений, моделирующих обтекание прямых крыльев непрерывным вихревым слоем, а уравнение Прандтля (для с“ Ф 2л) получено в предположении, что реальное крыло можно моделировать вихревой нитью без введения поправок, учитывающих отличие с^пр от 2л. Поэтому оно не отражает реальных изменений, происходящих на крыле при с“ Ф 2я и его нельзя применять при расчете крыльев с с“ ф 2л, так как циркуляция Г (г) в сечениях крыла рассчитывается неверно.

Наряду с рассмотренным приближением в работе [7] было предложено более точное приближение \х — XI | = 0,56(г) для второго интеграла в уравнении (2). Используя это приближение, предлагается, аналогично как это делается в работе [7], преобразовать уравнение (2) в следующее:

. . _ 6 Г ёГ 1 Г, , 0,56 1

4 \ ^2, (г — гЛ I I 2 " Т I

Лг, +

-с1г,.

(7)

Затем для случая линейной зависимости су от а, заменив Гпр на су пр, получим:

0,5 Г ёГ 1 Г. , 0,56 . . ,

1 1 < (7-)

С“"рЬ I- а2' У(0,56)2 + (г-г1)2 йг

Видно, что уравнение (7') по своей структуре аналогично уравнениям, используемым в методе тонкой несущей поверхности [3]. Так, первый интеграл в этом уравнении есть аналог скоса от свободных, а второй — от присоединенных вихрей в точках (0,56; г). Полученное интегральное уравнение можно заменить системой алгебраических уравнений типа:

Чр <г’ *') = °-51 75~ту Г1 + -7- °’5Ь 1

'=' ( I л/(0,56)2 + (г-г,Н

Г, . . .............

56)4(г-г,)2 '

(8)

N

^У-Г

/-■ Ь л/(0,56)2 + (г-г,)

0,5

са

1М'

+

0,56

л/(0,56)2 + (2-2,)!

лй

56) + (г — г,)

(8')

На основе этих уравнений предлагается метод расчета в аэродинамических характеристиках прямоугольных крыльев, использующий подходы, развитые в методе тонкой несущей поверхности. Для этого крыло заменяется системой дискретных вихрей, расположенных вдоль линии, параллельной передней кромке крыла. В этом случае решение уравнений типа (8) находится через систему линейных алгебраических уравнений. Однако в данном случае не используется понятие контрольной точки и в правых частях стоят значения су пр в сечениях, соответствующие заданному углу атаки крыла, а не местные углы атаки. В результате решения системы уравнений получаем значения Г (г) в сечениях крыла. Запись уравнения (2) в форме (8) справедлива для профилей, имеющих распределение давления по хорде, близкое к распределению по пластине. В случае, если распределение давления по про)филю существенно отличается, например, из-за наличий сверхзвуковых зон, распределения толщин и т. д., значения \х — х< | — А должны быть другими. Тогда уравнение (8') примет следующий вид:

_ 0,5 у г/ Г_____________________0,56 Л у __£(____________________г~г1

Супр г==1 (*“*.) [ -д/^ + ^-г,)2 ] )=, VА2 + (г-г,у

Для проверки метода по разработанной программе были проведены параметрические расчеты прямых крыльев, имеющих различную профилировку, удлинение, при различных числах М, а и Ие. Сравнение результатов расчетов толстых крыльев, полученных путем решения полных уравнений для потенциального течения [9] и предлагаемым методом показывает хорошее согласование (рис. 3, а). Для расчета предлагаемым методом профильные характеристики были получены по программе [10], где также решаются полные уравнения для потенциального течения. Там же (рис. 3, б, в) приведено сравнение результатов расчетов предлагаемым методом прямых крыльев, выполненных из профиля ЛМС4-4415, с результатамй экспериментальных исследований. (Данные по профилю и крыльям взяты из работ [4, 11]).

Из уравнения (7) при линейной зависимости су от а для прямых крыльев следует универсальная зависимость между с* Кр и с“ Пр от X, позволяющая переходить от характеристик профиля к характеристикам крыльев (рис. 4) и наоборот. Ее достоверность подтверждают приведенные там же экспериментальные и расчетные значения, полученные для различных профилей и крыльев. На рис. 3 приведены также результаты пересчетов с X — 2,3 -г- 5 на X = оо по приведенной зависимости на рис. 4. Видно хорошее согласование. Как пример.

М=Ц15

* /

1 / / 7

/ / /

/ / /

/ и/ 1// о© 1 _1

а)

5 ° ОС 6)

расчет по Ш -----»— [31

е1

V

\/ у

/ "У ^ оо

// 1 !

? ос !У

эксперимент иг М

-----я--------п-00

расчет предлагаемым методом пересчет------»-----------»------

а

Рис. 3

на рис. 1 приведены материалы, иллюстрирующие, что дает пересчет с Я. = 2 7 по Прандтлю —

Глауэрту и предлагаемым методом, используя зависимости между с* Кр и с“ Пр, приведенные на рис. 4.

Важным результатом этой работы является то, что предлагаемый метод расчета аэродинамических характеристик прямых крыльев, хотя и основан на уравнении, полученном для идеальной жидкости, однако позволяет учесть влияние толщины, сжимаемости и вязкости при выполнении определенных ограничений через реальные характеристики профилей. Особенности этого метода, использование характеристик профилей позволяет применить его для получения аэродинамических характеристик профилей по испытаниям прямых крыльев конечного удлинения в аэродинамических трубах.

Возвращаясь к существующей методике получения аэродинамических характеристик профилей по испытаниям прямых крыльев с X = 5 можно сказать, что причинами расхождения в аэродинамических характеристиках профилей, полученных в плоском потоке и по существующей методике пересчета Прандтля — Глауэрта, является следующее:

во-первых, то, что при с*Ф 2л неправильно определяются значения Г (г) в сечениях крыла из-за неточности уравнения;

во-вторых, то, что не учитывалось получаемое распределение с„ сеч по размаху крыла при расчете с,(а) и Мг(о) для профиля.

В существующей методике пересчета после определения эффективного угла атаки этому углу присваивались суммарные значения подъемной силы, сопротивления и продольного момента испытываемого крыла, что является правомерным только для случая, если все характеристики являются линейными функциями а. Однако при принятых допущениях, даже на линейном участке изменения характеристики су(а) в реальном потоке профильное сопротивление и продольный момент имеют нелинейные характеристики. По этой причине при пересчете на А, = оо происходит завышение профильного сопротивления и продольных моментов. Поэтому более точные результаты при получении характеристик профилей по испытаниям прямых крыльев конечного удлинения будет давать методика, в которой с, и тг крыла определяются интегрированием по размаху испытываемого крыла и учитывается распределение сх(г) и тг(г). Испытания прямых крыльев Х=5 с профилем <5А(Ш)-1 и ЫАСА-23021 были проведены Николаевой К. С. и- Наседкиным Н. В.

ЛИТЕРАТУРА

1. Р г a n d 11 L. Applications of modern hydrodynamics to aeronautics. — NACA Report, N 116, 1925.

2. ГлауэртГ. Основы теории крыльев и винта. — ГНТИ, 1931.

3. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. — М.: Наука, 1965.

4. Abbot 1. Н., Doenhoff А. Е., Stivers L. S. Symmary of aerfoil data. — NACA Rep. N 824, 1945.

5. Mcgee R. J. Low speed aerodynamic characteristics of a 17 percent thick airfoil section designer for general aviation applications. — NACA TND-7428, 1973.

6. Юрьев В. H. Экспериментальная аэродинамика. — М.: Наука, 1938.

7. A s h 1 е у Н., L a n d a h I М. Aerodynamics of wings and bodies. — M,

1965.

8. Dyke V. Perturbation methods in fluid mechanics. — N. Y. 1964.

9. Владимирова H. А. Исследования обтекания прямых и стреловидных крыльев большого удлинения при околозвуковых скоростях. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 4.

10. Ляпунов С. В. Программа расчета обтекания профиля трансзвуковым потоком идеального газа. Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2064.

11. Jacob К. Computation of the flow around wings with rear sepa-

ration.— J. Aircraft, 1984, vol. 21, N 2.

Рукопись поступила 11/IX 1987 г.