CC BY
50
Том XXXIV
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 3
№ 1—2
УДК 629.735.33.015.3.025.1:532.526
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕ ЕДИНСТВЕННЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ В РАМКАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ
К А. КОЛИНЬКО, А. Н. ХРАБРОВ
Представлена попытка математического объяснения наблюдаемых экспериментальных фактов о наличии гистерезиса аэродинамических характеристик при обтекании крыла большого удлинения на больших углах атаки. Исследуется отрывное обтекание эллиптического в плане крыла с использованием нелинейной теории несущей линии Прандтля. При этом нелинейная зависимость несущих свойств профилей в сечениях крыла от угла атаки задается аналитической кривой, вид которой может изменяться в зависимости от свободного параметра для моделирования интенсивности развития отрыва потока на профиле при увеличении угла атаки. Интегродифференциальное уравнение Прандтля сводится к нелинейной системе алгебраических уравнений. Порядок данной системы определяется требуемой точностью, с которой удовлетворяется условие Жуковского в сечениях крыла. Нелинейная система исследуется численно методами теории бифуркаций в зависимости от параметров задачи. Получено, что при быстром развитии отрыва потока на профиле решение задачи в области отрывного обтекания
крыла не единственно, хотя профильные зависимости су (а) носят однозначный характер. Для
крыла конечного удлинения полученные не единственные решения отличаются размерами зоны отрыва потока. Эта неединственность решений может приводить к появлению гистерезиса аэродинамических характеристик при квазистационарном увеличении и уменьшении угла атаки. С ростом удлинения крыла область существования не единственных решений уменьшается.
Как показывают данные эксперимента, статические аэродинамические характеристики крыла большого удлинения при дозвуковых скоростях потока могут иметь в области развития отрывного обтекания значительный гистерезис [1]. Однако до настоящего времени это явление математически не описано. В статье предпринимается попытка исследовать возможность существования не единственных отрывных решений в рамках традиционной теории Прандтля [2], широко применяемой для крыльев большого удлинения до настоящего времени. Для нахождения численного решения уравнения Прандтля известны подходы, базирующиеся на представлении зависимости циркуляции по размаху крыла в виде ряда Фурье и нахождении соответствующих коэффициентов ряда решением системы линейных уравнений. Этот метод развит в работе Мультхоппа [3], где решена линейная задача, в которой подъемная сила в сечениях крыла прямо пропорциональна местному (эффективному) углу атаки. В дальнейшем были рассмотрены обобщения на нелинейный случай, когда зависимость подъемной силы профиля от угла атаки с учетом отрыва потока нелинейна [4]. Целый ряд работ, появившихся в последнее время [5] — [8], показал широкие возможности нелинейного метода несущей линии и ее модификаций для решения прикладных задач.
1. В классической теории несущей линии Прандтля полагается, что прямое крыло большого удлинения, обтекаемое несжимаемым невязким потоком, может быть представлено как вихревая система, состоящая из прямого присоединенного вихря переменной
интенсивности, расположенного вдоль размаха крыла (несущей линии) и пелены свободных вихрей, берущих начало на присоединенном вихре и сбегающих вдоль направления невозмущенного потока.
В каждом сечении крыла течение полагается двумерным, а местный угол атаки сечения ае
отличается от геометрического угла атаки крыла а на угол скоса потока аг-, возникающего под действием свободных вихрей:
ае (г)=а-аг (г), (1)
где г — координата сечения. Используя формулу Био-Савара, можно получить выражение для определения угла скоса потока от свободных вихрей в любой точке несущей линии:
, ч 1 Г й Г/
а(г )=1--------------(2)
4пК00_1/2 г -5
где ¥х — скорость набегающего потока; I — размах крыла, а несобственный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Величина циркуляции присоединенного вихря в сечении связана с величиной местной подъемной силы У(г) формулой Жуковского:
У (г)=р^Г(г), (3)
где р — плотность набегающего потока.
Подъемная сила сечения крыла может быть выражена также следующим образом:
У ( г )=£|2 с, (ае ) Ь (г ), (4)
где су (ае ) — коэффициент подъемной силы сечения крыла, Ь(г) — местная хорда. Сравнивая (3) и (4), можно получить выражение для циркуляции присоединенного вихря в сечении крыла:
Г(г)=2су (ае КЬ(г). (5)
Таким образом, при известной зависимости коэффициента подъемной силы сечения от угла атаки су (а) основная система уравнений теории нелинейной несущей нити может быть записана в виде
1 1/2 лги (6)
, ч 1 I* й Г ,
а (г )=а---------------I —-—
еК ’ 4п^ ^ 2 г - 5
Из решения этих уравнений, одно из которых является интегродифференциальным, находится распределение по размаху циркуляции присоединенного вихря Г(г). После чего для коэффициента подъемной силы крыла имеем
¡1 2
у ¡712 1 Г(')Ь(1)й ? <7>
¡°Ь -¡¡2
с, =
где 1=12/Б — удлинение крыла.
Таким образом, исследование математической модели аэродинамических нагрузок для отрывного обтекания крыла большого удлинения сводится к решению нелинейного интегродифференциального уравнения для распределения циркуляции вдоль размаха. Для решения системы (6) в настоящей работе использовался метод Мультхоппа. Распределение циркуляции присоединенного вихря по размаху крыла раскладывалось в ряд
При этом была введена новая координата вдоль размаха крыла z=-0,5/ cos 0. Так как рассматривается задача симметричного отрывного обтекания, то необходимо принимать во внимание только нечетные члены этого ряда.
С учетом (8) эффективный угол атаки в каждом сечении крыла может быть найден следующим образом:
которая в соответствии с методом Мультхоппа должна решаться для контрольных точек,
Следовательно, задача численного решения уравнения Прандтля сводится к задаче численного решения нелинейной системы алгебраических уравнений для коэффициентов ряда Фурье. После разложения в ряд Фурье теорема Жуковского о подъемной силе выполняется только в заданных сечениях крыла. Количество этих сечений соответствует количеству членов ряда Фурье. Коэффициент подъемной силы крыла при этом определяется только первым членом ряда су =пХах.
Для численного исследования уравнения (10) необходимо еще задать функцию зависимости коэффициента подъемной силы сечения крыла от эффективного угла атаки Су (ае ). В работе [9]
использовалась следующая зависимость коэффициента подъемной силы профиля от координаты точки отрыва потока на его верхней поверхности, полученная с использованием модели отрывного обтекания Кирхгофа, в которой отрывная зона представляется зоной постоянного давления:
где х — координата точки отрыва потока с верхней поверхности для сечения крыла. При х =1 обтекание безотрывно, при х = 0 отрыв происходит с передней кромки крыла в данном сечении. Функция х(а) может быть вычислена с использованием теории пограничного слоя или найдена по экспериментальным данным. В настоящей работе для исследования возможности существования не единственных решений задачи применялась простая аналитическая аппроксимация. Зависимость координаты точки отрыва на профиле от угла атаки в сечении представлялась экспонен-
циальной функцией, зависящей от двух параметров:
N
Г(0)=2Vaol^a« sin«0.
(8)
«=1
(9)
Приходим к нелинейной системе алгебраических уравнений
N
4A^a« sin«0-cy (ae)=0, n=1...N,
(10)
«=1
(11)
где а0 — угол атаки, при котором отрыв происходит в середине хорды профиля (х = 0,5), а / — коэффициент, используемый для задания степени нелинейности характеристик профиля. Графики зависимостей су (а) и х(а) для ао =12° и
различных значений коэффициента /= 0,005 0,1 представлены на рис. 1. Для малых углов атаки отрыв потока на верхней поверхности профиля отсутствует (х ^ 1). На больших углах атаки точка отрыва потока стремится к передней кромке профиля (х ^ 0). Данное аналитическое выражение имеет непрерывные производные во всем диапазоне углов атаки, что помогает проведению бифуркационного анализа задачи. Первый параметр
а0
определяет область углов атаки, в которой происходит отрыв потока на профиле. Второй параметр / описывает интенсивность развития отрыва потока по хорде с увеличением угла атаки.
Соответствующим выбором этих параметров могут быть смоделированы эффекты геометрии профиля, а также влияния числа Рейнольдса набегающего потока.
Следует отметить, что в настоящей работе рассматриваются не единственные отрывные решения на крыле только для однозначных зависимостей аэродинамических характеристик профиля от угла атаки. В принципе, возможны не единственные решения и при отрывном обтекании профиля [10], что привело бы к более сложным зависимостям для трехмерного крыла.
2. Обратимся к результатам численного исследования решений системы уравнений (10) для эллиптического крыла. Сначала предположим, что решение уравнения имеет тоже эллиптический вид. При этом циркуляция присоединенного вихря
Рис. 1. Аппроксимационные зависимости для коэффициента подъемной силы профиля и координаты начала отрыва потока
Г(0)=ІУ^ат 0
и скос потока во всех сечениях крыла постоянен.
Тогда система уравнений (10) сводится к одному нелинейному уравнению, которое было исследовано с помощью метода непрерывного продолжения решения по параметру [11]. Этот метод не имеет особенности в точках бифуркации и позволяет находить все решения нелинейных уравнений.
При нулевом значении угла атаки бралось известное нулевое решение и продолжалось по углу атаки при различных значениях параметров / и X. При постепенном развитии отрыва потока на профиле (большие значения параметра /) решение для крыла везде единственно. При уменьшении параметра / что соответствует моделированию более интенсивно развивающегося отрыва потока на профиле, для крыла начинают возникать не единственные решения. Типичный пример результатов расчета показан на рис. 2 для /= 0,005 и X = 5. Пунктирной линией показана зависимость су (а) для профиля. Сплошная линия соответствует полученной расчетной
зависимости су (а) для крыла. Видно, что для крыла существует область не единственных
решений. Например, для угла атаки а = 15° существует три решения, помеченные на рисунке буквами А, В и С. Там же показаны соответствующие распределения циркуляции вдоль размаха крыла.
Рис. 2. Не единственные решения для эллиптического Рис. 3. Не единственные решения при неэллиптическом крыла с эллиптическим распределением циркуляции N =1 распределении циркуляции N =3
Если предположить, что циркуляция вдоль размаха может иметь неэллиптическое распределение, следует взять несколько членов ряда (8). На рис. 3 показаны результаты расчетов для двух членов ряда
Г(0)=2КОО/(а18т0+а3 8т30).
Видно, что в зоне развития отрыва потока в верхней точке бифуркации возникает дополнительная пара решений, исчезающая в нижней точке бифуркации. Дополнительные решения при а = 15° в этом случае отмечены буквами В, Е, Б, J и Н. На этом же рисунке показаны соответствующие распределения циркуляции. Следует отметить, что решения А, В и С практически не отличаются от соответствующих решений, полученных при эллиптическом распределении циркуляции.
На рис. 4 показаны полученные не единственные решения для того же крыла X = 5 для других значений параметра / при рассмотрении только двух членов из ряда (8). Видно, что не единственные решения более высоких порядков исчезают позднее с увеличением /, по сравнению с не единственными членами первого порядка.
Удлинение крыла также значительно влияет на существование не единственных решений при отрывном обтекании. На рис. 5 показаны результаты расчетов для эллиптических крыльев разного удлинения при значении параметра /= 0,005. Видно, что с увеличением X не единственные решения также исчезают. При значении X = 30 результаты расчетов для крыла практически совпадают с данными для сечений этого крыла.
Рис. 5. Влияние удлинения крыла на существование не единственных решений при параметре развития отрыва потока на профиле / = 0,005
При добавлении в рассмотрение еще одного члена из ряда (8) в точках бифуркации возникает и исчезает еще одна пара решений. При этом следить за всеми решениями становится сложно. Решения более низкого порядка меняются мало. Все дополнительные решения существуют в узкой области углов атаки, соответствующей развитию отрыва потока на крыле. На малых углах атаки при безотрывном обтекании существует единственное эллиптическое решение. Такая же картина наблюдается и при больших углах атаки для развитого отрывного течения.
Таким образом, проведенные численные исследования решения нелинейного уравнения несущей линии Прандтля для эллиптического крыла показали, что при интенсивном развитии отрыва на профиле, которое отражается в нелинейной зависимости Су (а) сечений, наблюдается
область существования не единственных решений. Эта неединственность может приводить к развитию гистерезиса аэродинамических характеристик при медленном увеличении и уменьшении угла атаки. Показано, что нелинейность зависимости подъемной силы профиля от угла атаки, а также удлинения крыла оказывают заметное влияние на существование и размеры области не единственных решений уравнения Прандтля.
Авторы выражают благодарность Ю. Б. Лифшицу и С. В. Ляпунову за проявленный интерес к работе и полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 99-01-00042).
ЛИТЕРАТУРА
1. Жук А. Н., К о линь ко К. А., Миатов О. Л., Храбр о в А. Н. Экспериментальные исследования нестационарных аэродинамических характеристик изолированных крыльев в условиях срыва потока// Препринт ЦАГИ.— 1997, № 86.
2. Prandtl L. Tragflügeltheorie. Nachrichten d.K.Gesellshaft d.Wiss. zu Göttingen// Math.-phys. Klasse.— 1918.
3. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflügeln// Luftfahrtforschung Bd. 15, №. 14.— 1938.
4. Wieselsberger G. On the distribution of lift across the span near and beyond the stall// J. of the Aeronautical Sciences.— 1937. Vol. 4, N 9.
5. Lan C. E. An improved nonlinear lifting — line theory// AIAA J.— 1973. Vol. 11, N 5.
6. Lan C. E., Fasce M. Н. Applications of an improved nonlinear lifting — line theory//
J. of Aircraft.—1977. Vol. 14, N 4.
7. Anderson J. D., Corda S., V a n W i e D . M. Numerical lifting line theory applied to drooped leading-edge wings below and above stall// J. of Aircraft.— 1980. Vol. 17, N 12.
8. Ляпунов С. В., Щенников О. Л. Расчет нелинейных несущих характеристик крыльев большого удлинения// Ученые записки ЦАГИ.— 1994. Т. XXV, № 1—2.
9. Колинько К. А., Храбров А.
Н. Математическое моделирование
нестационарной подъемной силы крыла большого удлинения в условиях отрыва потока// Ученые
записки ЦАГИ.— 1998. Т. XXIX, № 3—4.
10. Храбров А. Н.
Неединственность ламинарного отрывного обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа// Ученые записки ЦАГИ.— 1985. Т. XVI, № 5.
11. Гоман М. Г. Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений, зависящих от параметра // Ученые записки ЦАГИ.— 1986. Т. XVII, № 5.
Рис. 4. Влияние параметра интенсивности развития
отрыва потока на профиле f на существование не -----------------------
единственных решений на крыле удлинением X =5
