CC BY
10
C = eiw2 + P2 - hgiW3 + 2p2 + P3 + h,,eÍW3 + P3 - hgí(w1-W2 + W3)-p1 + P2 + P3 + he™2 + 2Pl + P2 + hgÍW3 + 2Pl + P3 + h-jC^i^i
D = m1e2(p2+P3)
- h8elWi-pi + h9elW3-p3 + h10
h13el(-wi+w2+w3)+Pi-P2+P3 + h hweiW3+2vi-p3 - h19e + h24eíW3+2p2+P3
- m2e2(Pi+p2+P3) + m3e
-m6e
10
eí(Wi-W2 + W3) + pi + p2-p3 + hííeí(-Wi + W2 + W3)-Pi + P2 + P3 + h
PLW3 + P3 — h pÍW3 + 2pi + p3 — h pLWi + pi — h
14c h15c h16c h17
ÍW3 + 2P2-P3 _ U pÍW3 + 2pi + 2p2-p3
h20e
Í(W3-W2)+P2 + P3
h16elWi+pi - h17e h21eÍW2-p2 + h22eÍWi-pi + h23
■7*
PIW3+Pi+2P2-P3 12е ÍW3-P3
ÍWi + 2p2-pi
e-
mAe
í(W3-W2) + 2pi + p2 + P3 + m^gí(W2-W3)+p2 + P3
Í(W2-W3) + 2PI + P2 + P3 + m7gí(Wi-W2) + Pi + P2 + 2p3 + m gí(w3-w i) + Pi + 2p2 + P3 + m¡¡e2(pi + P2 + P3)
mi2eí(-W3-Wi) + Pi + 2p2 + P3 + m^e2(Pi + P2 + P3)
- minei(wi-w3)+pi+p3 - mííeí(w2-w3)+2pi+P2+P3 -
+ m14e2(Pi+P3) + m15e
- m18ei(wi-w3)+pi+2p2+p3 + + m22el(w2-wi)+pi+p2+2P3 -
- m26ei(wi-w2)+pi+p2 + m27e
- m4?e2(Pi+P2) + m^e2pi - m
32
33
Í(wi-W3) + Pi + 2P2 + P3
19
e2(Pi + P2-
2(Pi+P3) + m. 35 + 36 - "l37
í(W2-Wi)+pi + p2 + 2p3
m17e
13
2(Pi + P2 + P3)
m16e
m,Qei(w3-wi)+pi+p3 + m20ei(w3-^2)+2Pi+P2+P3 - m21e m23e2(pi+p2+p3) - m24ei(w2-wi)+pi+p2 + m25e2(Pi+r>2)
Í(Wi-W2)+PI + P2 + 2P3
2Рз + 34
т2ве + m29e
+ + m3f, - тЯ7 - m00 + m
2(Р2 + РЗ) + m e2(Pi + P2 + P3)
m31e
2P2
39
(17)
Hence
_A _B _C
Vi-D,V2-D,V3~D-
5. Conclusion
Using formulas (6), (12), (17), we write solutions of the equation (14) as follows
Ф1 = b( 1 +
e
itài(x,t)
e
i^2(x,t)
-W1(x,t)+--V2(x,t)
к- к -^2
e
i^3(x,t)
+ —-W3(x,t) )eik(x+kt),
к ^3
<P2 = Yl?1 + Y2^2
<P3 = Y1V1 + Y2V2 + Y3V3. (18)
One can easily show, that e 0,ф3 ^ 0 at x ^ ±œ
ik(x+kt)
<P2
References
1. K. Abdulloev, A. Maksodov, K. Muminov. New type of two-soliton solution of the vector non-linear Schrodinger equation with the mixed boundary conditions. Journal of Technical Physics.1993. vol.63 (3), P.180-184.
2. I.V. Cherednik. Functional Analysis and Applications,Russian journal. 1972. vol.12 (3), p.45.
3. B.A. Dubrovin, I.M. Krichever, T.G. Malanyuk, V.G. Makhankov. Exact solutions of a time dependent Schrodinger equation with selfconsistent potential. Elementary Particles and Atom. Nuclear. 1988. vol.19 (3), P.579.
4. I.M. Krichever. Functional Analysis and Applications, Russian journal. 1986. vol.20 (3), p.42.
5. S.P. Novikov. Soliton Theory. Inverse Scattering Method, Moscow, Nauka (in Russian).1979. p.213.
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
Астапов Юрий Владимирович
Тульский Государственный Университет, магистрант, г.Тула
Соколова Марина Юрьевна
доктор физико-математических наук, профессор, Тульский Государственный Университет, г. Тула
В статье рассматривается деформирование пластин из ортотропного материала, нагружаемых растягивающей силой и ослабленных концентраторами напряжений различных типов. Исследуется распределение напряжений вблизи концентратора напряжений с целью определения влияния формы и размеров концентраторов и анизотропии свойств материала пластины на это распределение. Задача решается методом конечных элементов с построением матрицы граничной жесткости [1].
Основные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние пластин, получены при условии неизменности температуры на основе приведенной в работах [2, 3] постановки связанной краевой термомеханической задачи нелинейной термоупругости в от-счетной конфигурации. К основным уравнениям конечного изотермического деформирования относятся:
1) определяющие соотношения анизотропной термоупругости, предложенные в работе [4] и связывающие «повернутый» обобщенный тензор напряжений
2
dV
R
dV
R • S • R 1 ( S - тензор истинных напряже-
0
ний Коши) с энергетически сопряженной с ним неголо-номной мерой деформаций М. Мера М была введена в работе [5] и определяется как решение дифференциального уравнения
м =
1
сМ
dt
WR = R • W • R
-1
(1)
где ^ =— (Уу + уУ) - тензор деформации скорости,
К - ортогональный тензор, входящий в полярное разложение аффинора деформации
Ф = и• я, и = ит, К 1 = Кт, и
- тензор искаже-
ния.
Для неогуковского материала определяющие соотношения представляют собой тензорно-линейную
связь между рассматриваемыми тензорами напряжении и деформаций:
= N •• М.
(2)
Здесь N - тензор четвертого ранга, характеризующий упругие свойства материала, компоненты которого удовлетворяют соотношениям
#ф1 = #Щ1И = #Щк = #ЫЩ [4].
Для ортотропного материала матрица компонент тензора упругости имеет вид [5]:
' N1111 #1122 #1133 0 0 0 1
#1122 #2222 #2233 0 0 0
#1133 #2233 #3333 0 0 0
0 0 0 #1212 0 0
0 0 0 0 #2323 0
, 0 01 111 0 0 01 #3131 ,
(N ) =
2) условие равновесного протекания процесса деформирования, записанное через «повернутый» обобщенный тензор в отсчетной конфигурации [2, 3]:
, , . , , / , \1_Г
1 и
•ЕК-1Г
Я 1 и 1
1
2
= I Р0 • ёхй .
(3)
где V (х, /) - поле скоростей точек среды в рассматриваемом объеме У0, р - внешняя нагрузка, распределенная
по поверхности 20.
3) эволюционные соотношения для перемещений и напряжений имеют вид:
= , ¿(X, 0 = ^^ VxeF0. (4)
й/
4) начальные условия характеризуют состояние тела в начальный момент времени /0:
и (х ,/0) = и д(х), 8(х, /0) = Б0(х). (5)
5) граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности 2р закона изменения внешних сил как функции времени
Р0 = Р0*(х,/) Ух V/ > /д.
0 - Р 0(х,/) ух е2р > 10. (6) При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности 2и определяется закон изменения перемещений материальных точек
и = и (х, /) Ух е2и V/ > /0. (7)
При решении задачи полагается, что Р0 (х, /) = СП , где П - единичная внешняя нормаль к
торцевой поверхности 2р , и (х, /) = 0 на длинной
стороне пластины, прочие поверхности свободны от напряжений.
В расчетах рассматриваются пластины длиной 50 мм, шириной 5 мм с и- и V-концентраторами различных размеров. Для и-концентраторов проведены расчеты для радиусов 0.1, 0.35 и 0.7 мм, V-концентраторы рассматривались с углами раствора 30 и 60 градусов, радиусами 0.1, 0.35 и 0.7 мм. Материал пластин полагался ортотроп-ным, значения констант упругости в главных осях анизотропии полагались равными:
#1Ш = 58.2ГПа, ^122 = 22.9ГПа, N2222 = 35.9ГПа, N1212 = 5.7ГПа.
Были проведены расчеты для пластин, в которых главные оси анизотропии совпадают с направлением растяжения, а также повернуты относительно сторон пластины на углы ж/ 6,ж/ 4,ж/ 3,ж/ 2.
Анализ результатов расчетов показал, что в рассматриваемой задаче максимальные напряжения наблюдаются в небольшой области вблизи вершины концентратора, составляющей примерно 5% от ширины пластинки. Принято характеризовать максимальные напряжения с помощью интегрального параметра - коэффициента концентрации, определяемого как отношение наибольшей интенсивности напряжений к значению интенсивности напряжений при отсутствии концентратора. На коэффициент концентрации оказывают влияние форма и радиус скругления концентратора. С увеличением радиуса скруг-ления влияние формы концентратора напряжений на коэффициент концентрации снижается.
Проведенное исследование позволяет анализировать распределение напряжений в пластинке. Характер распределения напряжений вблизи концентратора практически не зависит от его формы, поскольку в случае и-кон-центраторов вблизи их свободных границ наблюдается область, в которой напряжения практически равны нулю (см. рис.1). В случае V-концентраторов именно эта область пластинки оказывается отрезанной и не оказывает влияния на распределение напряжений вблизи вершины. На рисунках 1, 2 приведены поля напряжений в области пластины, непосредственно примыкающей к концентратору. На рисунках 1 и 2 для и-концентратора радиус скругления равен 0.1 мм, но на рисунке 1 направление главных осей анизотропии совпадает с направлением растяжения, а на рисунке 2 оси анизотропии повернуты на
угол ж/ 6 относительно первого случая.
Рисунок 1. Интенсивность напряжений при растяжении вдоль осей анизотропии
Рисунок 2. Интенсивность напряжений при повороте осей анизотропии
Существенное влияние на характер распределения напряжений оказывает радиус скругления концентратора и ориентация главных осей анизотропии материала. Увеличение радиуса скругления приводит к росту зоны неоднородности напряжений. При изменении ориентации главных осей анизотропии область максимальных напряжений смещается относительно оси концентратора, поворачиваясь на угол ж/6 . При этом поворот осей анизотропии практически не влияет на значения напряжений, сохраняя значение коэффициента концентрации.
Проведенный анализ показал, что анизотропия материала пластинки влияет на распределение максимальных напряжений в локализованной вблизи вершины концентратора области. Если в качестве концентратора напряжений рассматривать трещину, то ее развитие в материале связано с тем, каким образом распределены напряжения вблизи ее вершины. Проведенные расчеты показали, что при моделировании процессов развития трещин в материале необходимо учитывать характер анизотропии свойств этого материала.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (13-01-97501, 14-
01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
Список литературы:
1. Маркин А.А., Астапов Ю.В. Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости //Известия ТулГУ. Естественные науки.
- 2014. - Вып.1. - Ч. 1. - С.190-195.
2. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Описание конечных деформаций твердых тел в отсчетной конфигурации // Прикладная механика и техническая физика.
- Т.53. - № 2. - 2012. - С. 156-166.
3. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Решение краевых задач нелинейной термоупругости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2010. - В. 1. - С.123-136.
4. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика. - 2003. - Т. 44. - № 1. - С.170-175.
5. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - 374 с.
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ГРАНИЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Астапов Юрий Владимирович
Тульский Государственный Университет, магистрант, г.Тула
А. А. Ильюшиным [1, 2] была предложена идея построения универсальных соотношений, связывающие произвольную нагрузку на границе тела с перемещениями точек, принадлежащих этой границе, для моделирования зернистости материалов. Применение подобных соотношений целесообразно при решении прикладных задач механики деформируемого твердого тела, когда удобно предварительно оценивать поведение всей конструкции. Рассматривая состояние каждого отдельного элемента системы в отдельности, возможно определить силы взаимодействия, которые затем использовать в качестве граничных условий. В общем случае подобные связи могут быть найдены для задач, имеющих аналитические решения. С целью практического применения изложенной идеи необходимо использование численных методов.
Рассматривается задача теории упругости для линейно-упругого тела. В отсутствии массовых сил имеет место принцип возможных перемещений Лагранжа:
\q--SsdV = \Р-5йс1 И, (1)
V Е
где 6А{Г) = | (7 ■ -58(IV - работа внутренних напря-V
жений на возможных деформациях, §/(е ) = | р • §и ¿/X
2
- работа внешней поверхностной нагрузки на возможных перемещениях.
Применение метода конечных элементов [3]
позволяет, произведя дискретизацию объема V, найти связь между внешней нагрузкой и перемещениями в П точках области в виде системы линейных алгебраических уравнений [4]:
