CC BY
49
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 113-118 Механика
УДК 539.3
Конечные деформации ортотропного цилиндра при нагружении внутренним
давлением *
Ю. В. Астапов
Аннотация. Приведена постановка задачи о конечных деформациях осесимметричных анизотропных тел с использованием вариационного условия равновесного протекания процесса деформирования. Выбранные определяющие соотношения могут быть использованы для анизотропного гипоупругого тела. В работе приведены результаты численного решения задачи об определении напряженно-деформированного состояния ортотропного цилиндра.
Ключевые слова: конечные деформации, осесимметричные задачи, условие равновесности, упругость, обобщенная производная Яуманна, ортотропный материал.
Целью настоящей работы является исследование конечных деформаций тонкостенного анизотропного цилиндра с закрепленными торцами, находящегося под действием внутреннего давления. В процессах с подобной схемой нагружения наблюдаются большие повороты сечений образца, что требует использования в определяющих соотношениях объективных производных тензора напряжений.
Решение задач конечного упругого деформирования анизотропных тел является актуальным в связи с распространенностью в современном производстве материалов по типу эластомеров. Для гипоупругих тел определяющие соотношения могут быть записаны в следующем виде:
Б* = С • Ш (1)
где С — тензор упругих постоянных четвертого ранга, Ш = \ + — тензор деформации скоростей; Б * — скорость изменения тензора истинных напряжений Коши; V = — оператор Гамильтона в текущей конфигу-
рации.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а, 15-01-01875_а).
В процессах конечного деформирования главные оси анизотропии а!^ г = 1..3 изменяют свою ориентацию относительно неподвижного базиса. Принято считать [1], что их вращение описывается ортогональным тензором Я, входящим в полярное разложение аффинора деформаций: а[ = Я ■ а,г, где а,г, г = 1..3 — начальная ориентация главных осей анизотропии. Определяющие соотношения удобно записывать в базисе главных осей таким образом, чтобы компоненты производной тензора напряжений относились к полярному базису щ, г = 1..3, изменяющемуся по такому же закону, что и а^, г = 1..3. Исходя из вышесказанного, в качестве объективной производной тензора напряжений выбрана обобщенная коротационная производная Яуманна:
БА = Б + О ■ Б - Б ■ О, (2)
где О — антисимметричный тензор угловой скорости полярного базиса [1], определяющийся соотношением
О = Я-1 ■ Я. (3)
В работе [1] приведено вариационное соотношение равновесного протекания процессов конечного деформирования в текущей конфигурации. Для обеспечения квазистационарности движения сплошной среды необходимо потребовать равенство нулю главного вектора сил, действующих на материальный объем, а также нулевой скорости изменения этого вектора. Используя вариационный принцип Журдена, условия принимают вид
/ (V ■ Б + рР) ■ 5уйУ = 0, И '
(/ Ш (V ■ Б + рр) ■ ^ + 0 (V ■ Б + рр) ■ ^ = 0-
После преобразований [1] условие равновесности (4) примет вид
/ (Б + Бв - Ж ■ Б) ■■& (1У = = / (Рп) +Р(п) (0 - п ■ Ж ■ п)^ ■ ¿Ж + (рр)* + 0рр) ■ 5^(1Уо,
(4)
(5)
где Р(п) и р — внешние поля соответственно поверхностных и массовых сил; р — плотность; V — поле скоростей точек среды; 0 = ) — скорость изменения элементарного объема.
Соотношение (5) после подстановки в него (1) и (2) с учетом отсутствия внешних массовых воздействий принимает следующий вид:
V [д • •ш - д • § + б • 0 + §в - • б) ••б (ьч^ (IV = / (Рп) +Рп (в - и • ш • и)^ • 6$(Я.
(6)
Уравнения (6) дополняются эволюционными соотношениями, определяющими связь поля перемещений и аффинора деформаций с полем скоростей:
{(х
$ = (7)
Ф = Ф •чь.
Начальные условия для системы (2), (7) имеют вид
ии =0, Фи = Е, §= §о(х). (8)
Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности Яр закона изменения внешних сил как функции времени
Р = Ро(х,г), х е Яр (9)
При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности Яи определяется закон изменения перемещений материальных точек
й = йо(х,£), х е Яи Ш > ¿0. (10)
Для решения начально-краевой задачи (2), (5), (6)-(10) использовались метод конечных элементов и метод пошагового нагружения. Для дискретизации поля скоростей точек среды был построен осесимметричный треугольный симплекс-элемент с девятью степенями свободы. Процесс нагружения разбивался по времени на конечные отрезки, на каждом из которых из решения системы линейных алгебраических уравнений определяются узловые величины V с учетом граничных условий (9) и (10). Затем производилось интегрирование системы (2), (7) и определялись величины перемещений точек среды й, а также меры деформаций и напряжений.
Опыт решения тестовых задач показал, что на качество получаемого решения в наибольшей мере влияет точность определения величины компонент тензора спина д для конкретного состояния системы. При построении матрицы жесткости конечного элемента и при интегрировании поля напряжений использовалось определение (3), дающее наиболее достоверный с вычислительной точки зрения результат. Отметим, что для осесимметричной задачи аналогично плоской возможно получить конечные формулы для компонент тензора поворота и его абсолютной производной по времени [2].
Для проверки работы алгоритма были получены решения задач с известными аналитическими решениями. Численное решение задачи о нагружении толстостенного цилиндра со свободными торцами внутренним давлением на первом шаге сравнивалось с известным решением задачи Ламе [3]. Результаты решения показали сходимость в определении поля перемещений и компонент напряжений.
Рассматривался тонкостенный цилиндр со следующими геометрическими пропорциями относительно толщины стенок Ь: внутренний радиус ^ =9, внешний радиус ^ = 10 длина по образующей ^ = 24.
Ось цилиндра направлена вдоль оси г. Торцы образца закреплены от перемещений. На внутренней поверхности цилиндра задано изменяющееся с постоянной скоростью равномерно распределенное давление. Внешняя поверхность свободна от нагрузок. В начальный момент времени компоненты тензора напряжений для внутренних точек цилиндра равны нулю.
При вычислениях с изотропным образцом производилось сравнение линейного решения и решения, полученного по безмоментной теории упругих оболочек [4, 5]. При условии малости достигнутых деформаций решения по критерию совпадения найденных прогибов совпадают.
Расчет производился для специально подобранных значений величин характерного размера конечного элемента и шага дискретизации по времени, обеспечивающих сходимость численного решения. Рассматривался ортотроп-ный цилиндрический образец. На рис. 1 приведены графики зависимостей величины радиального перемещения точки внутреннего радиуса с го = | от величины приложенного внешнего давления. Пунктирной линией изображено нелинейное решение, соответствующее расчету с использованием (2) и (6), а сплошной — линейное решение, полученное нагружением образца заданным давлением за один шаг.
р, МПа
/
/
/
/
/ ' у''
/ /
//
/
/
Рис. 1. Зависимости перемещения средней точки внутреннего радиуса и величины действующего давления
Из характера приведенных кривых можно сделать вывод о существенной нелинейности решения для области конечных деформаций. На рис. 2 изоб-
ражены деформированные конечноэлементные сетки для четырех стадий процесса нагружения, соответствующих величинам приложенных давлений: а) - р = Р/9, б) - р = 4Р/9, в) - р = 2Р/3, г) - р = 8Р/9.
а) 6) в) г)
Рис. 2. Деформированное состояние образца для различных стадий
процесса нагружения
Решение с использованием постановки (2), (6) и (8)-(9) позволяет обнаружить нелинейный эффект потери несущей способности, свойственный задачам со следящей нагрузкой и хорошо проиллюстрированный на рис. 1. Горизонтальная асимптота пунктирной кривой соответствует максимальной нагрузке, которую способен выдержать образец до потери устойчивости напряженно-деформированного состояния. Дальнейший рост давления приводит к неограниченному росту перемещений точек цилиндра.
На рис. 3 приведены распределения величин скоростей поворотов точек внутреннего радиуса для различных значений приложенного внутреннего давления.
/ О'1
1ч ¡"У- / -р = Р/9 ---р = 4Р/9 .....р = 2Р/3 — р = 8Р/9
"¡5 0.05 0.1 0.15 0.2 г, м
Рис. 3. Распределения величины компоненты Охз по оси цилиндра для различных стадий процесса
По графикам зависимостей на рис. 3 возможно проследить развитие зоны краевого эффекта, вызванного условием жесткого закрепления торцов.
Приведенная задача демонстрирует возможность применения соотношений (2), (6) для решения осесимметричных задач конечного деформирования анизотропных гипоупругих тел. Следует отметить, что, в отличие от постановок задач в отсчетной конфигурации, в данной постановке реализация следящей нагрузки является естественной.
Список литературы
1. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического
конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.
2. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие.
Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 92 с.
3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: учеб. пособие для
вузов. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1988. 712 с.
4. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука,
1966. 636 с.
5. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твёрдого тела: учеб. пособие.
М.: Высшая школа, 1979. 318 с.
Астапов Юрий Владимирович ([email protected]), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Finite deformations of orthotropic cylinder under internal
pressure loading
Yu. V. Astapov
Abstract. The finite deformations problem of axisymmetric anisotropic bodies has been presented using variational condition of the equilibrium course of the process of deformation. Chosen constitutive relations can be used for anisotropic hypoelastic bodies. Current work contains the results of numerical solution of a problem about the calculation of the stress-strained state of the orthotropic cylinder.
Keywords: finite deformations, axisymmetric problems, equilibrium course of the process, elasticity, generalized Yaumann derivative, orthotropic material.
Astapov Yuri ([email protected]), student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 11.10.2015
