CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 84-90 Механика
УДК 539.3
Конечное неизотермическое деформирование резинового шара *
Д. В. Христич, Ю. В. Астапов
Аннотация. На основе постановки связанной термомеханической задачи исследовано напряженно-деформированное состояние резинового шара в процессе его движения по осесимметричному каналу переменного диаметра под действием внешнего давления в неоднородном поле температур.
Ключевые слова: термомеханика, конечные деформации, связанные краевые задачи, осесимметричные задачи.
В последнее время в огнестрельном оружии стали применяться резиновые пули. Они используются в травматическом оружии, предназначенном для охраны общественного правопорядка и личной самообороны, а также в боевом оружии, находящемся на вооружении силовых структур. В последнем случае специальные устройства [1] позволяют использовать боевое оружие в качестве оружия травматического действия. В статье [2] представлены результаты математического моделирования процесса функционирования штатного оружия в дополнительном режиме нелетального действия с использованием специальных устройств, обеспечивающих надежность работы автоматики оружия и выполнение требований по травмобезопасности. В этой работе предпринята попытка совместного решения задачи о движении пули по каналу ствола под действием пороховых газов и задачи по определению напряженно-деформированного состояния сферической резиновой пули. Модель деформирования пули при ее движении по каналу ствола построена в рамках линейной теории упругости в предположении о несжимаемости материала пули. Однако из данных о диаметрах пули (9,3 ± 0,05мм) и внутреннего канала ствола (6мм) [3] следует, что деформации пули могут составлять до 35 %.
Из приведенной в [4] таблицы, в которой содержатся данные о внутреннем диаметре гильзы и диаметре сферической резиновой пули, следует, что деформации пули, вызванные ее начальным обжатием в снаряженном
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а, 15-01-01875-а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
патроне, составляют около 16 %. В связи с этим целесообразно определять напряженно-деформированное состояние пули с использованием нелинейных определяющих соотношений, учитывающих конечные величины деформаций.
В рамках постановки связанной краевой задачи конечного деформирования, выполненной в статьях [5-7], численно решена задача о неизотермическом продавливании предварительно обжатого резинового шара через отверстие меньшего диаметра.
В основе численного решения лежит система уравнений связанной задачи нелинейной термоупругости в начальной конфигурации для изотропного тела, полученная в статье [8]. Эта система уравнений включает:
условие равновесного протекания процесса деформирования в вариационной форме
I ( (и-1)' • X я • я + и-1 • X я • & + и-1 • X я • &) "¿(я ^ (1Уо = = I Ро • 5уйХо + I Ро • 5уйУ0,
£0 Уо
где Xя = \J~gR • § • & 1, § — тензор истинных напряжений Коши; С и
'а п § & 1
д — метрические тензоры соответственно в текущий и начальный моменты
времени; и — левая мера искажений, К — ортогональный тензор в полярном разложении аффинора деформаций Ф = К • К; V — вектор скорости; Р0 и Р0 —
о
внешние поля поверхностных и массовых сил соответственно; V = ё^дх — набла-оператор в отсчетной системе координат;
уравнение нестационарной теплопроводности в вариационной форме
J (ШаОТ + е£роТ) 5Т йУо = - J По • (о^Т ёХо - J А УТ • ^УТ^ йУо,
Уо £о Уо
(2)
где с£ — удельная теплоемкость материала при постоянной деформации, р0 — начальная плотность, А — коэффициент теплопроводности, а — коэффициент линейного теплового расширения, К — объемный модуль упругости среды, (о — вектор теплового потока на границе тела, П0 — единичная внешняя нормаль к поверхности Хо, 0 — скорость относительного изменения объема, Т — температура;
определяющие соотношения
Xя = [К - 2О)0Е + 2СМ - 3Ка(Т - То)Е, (3)
где М — неголономная мера деформаций, определяемая из дифференциального уравнения [9] М = \ (й/ ■ У + Ц ■ й^, С — модуль сдвига материала;
2
кинематические соотношения ¿и
V = ~Г ,
¿г'
о
Ф = ^У,
У ■ и + и ■ и= [Чу
Т= ¿1
1 ¿г'
начальные условия
Фт + Ф
(4)
й\1=1о = йь(х), ц/.. = ^ (X), 5
¿=¿00
д
¿=¿0
= 5_ (х), Т\4=4о = То(х). (5
до
Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности 5р закона изменения внешних сил как функции времени:
р = Ро(х,г) х е 5р уг>го.
(6)
При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности 5и определяется закон изменения перемещений материальных точек
й = й0 (х, г) х е 5и ш > г0.
(7)
Предполагается, что функции Р0 и и0 дифференцируемы по времени. Для поля температур рассматриваются условия свободного теплообмена в виде закона Ньютона, заданные на поверхности 5т:
дТ
- + а(Т - Те) = 0 х е 5т Уг>г0, дп0
(8
где а — коэффициент теплообмена, Те — температура окружающей среды.
Начально-краевая задача (1)—(8) решается численными методами конечных элементов и пошагового нагружения.
Приведем исходные данные и результаты решения задачи. Радиус шара в недеформированном состоянии Г0 = 10 мм. Материал шара изотропный и имеет следующие характеристики: модуль Юнга Е = 8 ■ 106Па, коэффициент
Пуассона V = 0, 4, коэффициент линейного расширения а = 2, 3 ■ 10"4К_1,
кг
м3 :
начальную плотность р0 = 1, 2 ■ 103 м-, удельную теплоемкость е£ = 1, 42
103 кгТК, коэффициент теплопроводности Л0 = 0,16 Кт
м
Процесс деформирования шара состоит из двух стадий. На первой стадии происходит осесимметричное обжатие, в результате которого шар помещается внутрь цилиндра радиусом Гх = 9 мм. На второй стадии к шару прикладывается давление р, линейно возрастающее с течением времени.
Схема нагружения шара на второй стадии приведена на рис. 1: г\ = Эмм, Г2 = 8,16 мм, /3 = 60°. Начальная температура во всех точках То = 293 К. Расчет производился до достижения величины давления, действующего на поверхность £1 образца, р = 3,36 • 106Па = 1,17667 (С — модуль сдвига материала шара) при скорости ее изменения р = 2,4 • 107ЙД.
Граничные условия (6)-(8) при рассматриваемой схеме нагружения принимают вид:
х е Ха : Р= -р*Йо, Те = 2000К; х е £2 : уп = 0, РТ = 0, Те = 293К; х е £3 : = = Ро2) = Те = 293К-
Рис. 1. Схема нагружения резинового шара
Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния резинового шара представлены на рис. 2-5. На этих рисунках показаны распределения напряжений, отнесенных к модулю сдвига С.
До приложения давления (при р = 0) в шаре действуют сжимающие напряжения, вызванные его деформациями при помещении шара в цилиндр меньшего радиуса. Наибольшие по модулю напряжения на этой стадии процесса деформирования возникают в экваториальном сечении шара, контактирующем с внутренней поверхностью цилиндра.
При возрастании давления абсолютные значения напряжений в теле увеличиваются, а характер их распределения по сечению шара изменяется.
а б в
Рис. 2. Распределения напряжений в шаре при р = 0: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения
а б в
Рис. 3. Распределения напряжений в шаре при р = 0,496С: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения
а б в
Рис. 4. Распределения напряжений в шаре при р = 0, 832С: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения
1-3.5
а б в
Рис. 5. Распределения напряжений в шаре при р = 1,176С: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения
Происходит перераспределение напряжений в области контакта тела с конической поверхностью, соединяющей цилиндры с радиусами Г1 и Г2.
Форма поверхности рассматриваемого деформируемого тела значительно изменяется в процессе его движения внутри цилиндров и усеченного конуса. Величина возникающих напряжений и деформаций существенно зависит от начального радиуса шара и геометрических параметров поверхности 52.
Приведенное решение задачи позволяет проследить за развитием напряженно-деформированного состояния в упругой сферической пуле на начальном этапе выстрела из травматического оружия.
Список литературы
1. Патрикова Е.Н. Математическое моделирование процесса функционирования табельного оружия в режиме нелетального действия // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2012. Вып. 11. Ч. 1. С. 33-39.
2. Патрикова Е.Н. Математическая модель процесса функционирования штатного оружия в режиме нелетального действия // Концепт. 2013. Современные научные исследования. Выпуск 1. ART 53224. URL: http://e-koncept.ru/2013/53224.htm. Гос. рег. Эл № ФС 77-49965.
3. Патрикова Е.Н. Сравнительный анализ результатов экспериментальных исследований процесса функционирования табельного оружия в режиме нелетального действия // Концепт. 2014. Современные научные исследования. Выпуск 2. ART 54639. URL: http://e-koncept.ru/2014/54639.htm. Гос. рег. Эл № ФС 77-49965.
4. Травматический патрон: пат. 2348892 С 1 Российская Федерация; МПК8 F 5/02 / Гринберг М.В. (RU), Кузьменко О.Л. (RU), Соколов В.М. (RU); патентообладатели Гринберг М.В. (RU), Кузьменко О.Л. (RU), Кузьменко Т.Н. (RU), Соколова А.З. (RU), Черновская Н.И. (RU) - № 2007119484/02; заявл. 28.05.2009; опубл. 10.03.2009, Бюл. № 7. 9 с.
5. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Описание конечных деформаций твердых тел в отсчетной конфигурации // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 2. С. 156-166.
6. Христич Д.В., Астапов Ю.В., Глаголев Л.В. Постановка задачи конечного деформирования анизотропных тел в терминах начальной конфигурации // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 148-157.
7. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Решение краевых задач нелинейной термоупругости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 123-136.
8. Христич Д.В., Астапов Ю.В. Учет взаимного влияния полей напряжений, деформаций и температур при решении задачи Ламе // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 67-73.
9. Маркин А.А., Соколова М.Ю, Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.
Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Астапов Юрий Владимирович (ast3x3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Finite non-isothermal deforming of a rubber sphere
D. V. Khristich, Yu. V. Astapov
Abstract. On the basis of coupled thermomechanical problem positing a stress-strain state of a rubber sphere during its movement along an axisymmetric channel of variable diameter under action of outer pressure in inhomogeneous temperature field is investigated.
Keywords: thermomechanics, finite deformations, coupled boundary problems, axisymmetric problems.
Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, department of mathematical modelling, Tula State University.
Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 10.02.2015
