CC BY
72
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 110-119 Механика
УДК 539.3
Компьютерное моделирование экспериментов по определению типа начальной анизотропии упругих материалов &
Д. В. Христич
Аннотация. Выполнено численное моделирование экспериментов по идентификации типа начальной упругой анизотропии материала с учётом погрешности измерений. Расчёты показывают применимость теоретических критериев.
Ключевые слова: компьютерное моделирование, анизотропные материалы, эксперимент.
Будем рассматривать материалы, не чувствительные к виду напряжённого состояния. Деформируемые твёрдые тела при малых деформациях проявляют свойство упругости. Будем предполагать, что соотношения, связывающие тензоры напряжений и деформаций, при стремлении деформаций к нулю асимптотически приближаются к закону Гука, который выражает линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
е = С ■ -Б, (1)
где е — тензор деформаций, С — постоянный тензор упругих податливостей четвёртого ранга, Б — тензор напряжений.
Анализу структуры и свойств тензора С посвящены многочисленные работы [1-8 и др.] (подробный обзор таких работ содержится в статье [3]). Этот анализ показывает, что тензор С обладает симметрией: С^ы = Сды = = Скщ — и поэтому имеет 21 независимую компоненту. Различные кристаллографические системы имеют некоторое количество элементов симметрии, поэтому тензор С имеет меньшее число независимых компонент: от 2 для изотропного и гиротропного материалов до 13 для моноклинного [9].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-31-50244-мол_нр).
В статьях [1, 10-13] предложены различные методы определения 21 упругой постоянной в случае произвольного анизотропного тела. В работе Я.К.Рыхлевского [1] доказано, что для нахождения 21 компоненты тензора упругости в общем случае требуется провести 15 экспериментов на одномерное нагружение и 6 экспериментов на двумерное нагружение.
В работе [14] задача об определении типа анизотропного материала решена в общем виде на основе разложения известного из экспериментов тензора модулей упругости на изотропную (постоянную) часть и части, содержащие два девиатора и нонор. Приведены формулы разложений матриц модулей упругости материалов всех кристаллографических сингоний. Эти разложения для разных типов анизотропных материалов имеют различный вид, поэтому на их основе можно полностью решить проблему идентификации анизотропного материала.
Одним из возможных подходов к решению проблемы идентификации анизотропного материала является разработка вычислительных алгоритмов, позволяющих определить симметрию свойств тензора упругой податливости по известным его компонентам в некоторой произвольной системе координат [15].
Однако во всех указанных работах [1, 10-15] для установления типа анизотропного материала требуется определить 21 компоненту тензора упругости или тензора упругих податливостей в некоторой системе координат.
Альтернативный подход к решению проблемы идентификации типа анизотропии материала состоит в разработке программы экспериментов, с помощью которой можно перед определением упругих констант провести классификацию материалов по кристаллографическим системам [16], если симметрия свойств некоторого анизотропного материала априори неизвестна. Такая система экспериментов позволяет идентифицировать тип симметрии свойств анизотропного материала.
Этот подход был развит в нескольких работах автора. В статье [17] предложена программа из трёх экспериментов на одноосное сжатие, необходимых и достаточных для определения ориентации главных осей анизотропии кристаллических материалов. В статьях [18-20] разработаны программы экспериментов, состоящие из опытов на растяжение-сжатие и на кручение, по результатам которых можно отличить изотропный материал от кубического, различить между собой тригональный, гексагональный и тетрагональный, а также ромбический, моноклинный и триклинный материалы. В этих работах выполнена оценка влияния погрешностей экспериментальных измерений на применимость полученных теоретических критериев. В статье [21] проведён анализ определения главных осей анизотропии, данного В.В.Новожиловым, и предложено понятие канонических осей анизотропии. Разработаны программы экспериментов для определения ориентации канонических осей анизотропии в материалах.
Для компьютерного моделирования экспериментов разработана прикладная программа, которая осуществляет расчёт и визуализацию деформаций материального образца (куба или цилиндра) при различных видах базовых нагружений, предусмотренных перечисленными программами экспериментов. Ориентация канонических осей анизотропии относительно лабораторной системы координат и компоненты тензора упругих податливостей для анизотропных материалов различных типов задаются в программе, но считаются «неизвестными» для экспериментатора (пользователя). Результатом работы программы является тензор деформаций е, который определяется по заданным напряжениям на гранях куба из закона Гука (1). Программа предусматривает, что приложенные нагрузки и вызванные ими деформации измеряются с некоторой погрешностью, максимальную величину которой можно задать.
Приведём примеры моделирования экспериментов по идентификации типа начальной упругой анизотропии материала.
Пример 1. Исходные данные для моделирования: компоненты тензора С в канонических осях анизотропии [9]
Счы —
/ 5 —1, 25 —1, 25 0 0 0
—1, 25 5 —1, 25 0 0 0
—1, 25 —1, 25 5 0 0 0
0 0 0 6, 25 0 0
0 0 0 0 6, 25 0
V 0 0 0 0 0 6, 25
10-12Па-1;
канонические оси анизотропии совпадают с осями лабораторной системы координат; относительная погрешность измерения напряжений и деформаций 1%.
Опыт 1: сжатие вдоль оси вь
Измеренные напряжения: — -0,9997 ■ 108Па. Измеренные
деформации:
"г3
—5.01 0 0
0
1, 25 0
0 0
1, 25
)
10
-4
Опыт 2: сжатие вдоль оси в2. Измеренные напряжения: деформации:
5*21 — —0,9915
108Па. Измеренные
-II
'V
1, 25 0 0
0
—4, 99 0
0 0
1, 24
10
-4
(
I
(
Опыт 3: сжатие вдоль оси вз.
Измеренные напряжения: БЦ1 = —1,0054 деформации:
108Па. Измеренные
е111 =
V
(
1, 26 0 0
0
1, 25 0
00, , 01
0
0 | ■ 10
—5, 01
-I
-4
Найдём компоненты тензора деформаций е = е1 + е11 + е111, которые являются откликом материала на всестороннее сжатие:
-V
= е1 + е11 + е111 =
V V V
"V
2, 5 0 0
0 —2, 49 0 ■ 10-4
0 0 —2, 52
(2)
Главные значения тензора деформаций (2) е1 = —2, 5 ■ 10-4, е2 = —2,49 х х 10-4, ез = —2, 52 ■ 10-4. С точностью 1,5% их можно считать равными, тогда исследуемый материал является изотропным или кубическим. При этом главные оси анизотропии совпадают с лабораторными осями координат:
к = ег, % = 1, 2,3.
Для определения типа материала в соответствии с критерием, предложенным в статье [18], проведём эксперименты на двухосное растяжение-сжатие в направлении канонических осей анизотропии &1, и на сдвиг в этой плоскости, который можно реализовать как растяжение-сжатие под углом 45° к этим осям.
Опыт 4: растяжение-сжатие вдоль осей &1, к2. Измеренные напряжения: 517 = 1, 006 ■ 108Па, Б^ = —0, 9996 ■ 108Па. Измеренные деформации:
е17 =
V
(
6, 28 0 0
0
—6, 24 0
)
10
-4
Опыт 5: сдвиг в плоскости осей &1, к2. Измеренные напряжения: Б 7 = = 1, 001 ■ 108Па. Измеренные деформации:
е7 =
V
(
0
6, 26 0
6, 26 0 0
10
-4
Найдём отношения измеренных деформаций к приложенным
1 О 1 О
напряжениям: -IV = 6, 243 ■ 10-12, —¡Т = 6, 254 ■ 10-12. Различия в этих
отношениях составляют около 0,2%, поэтому с большой точностью
£1У £У
выполняется равенство = -—¡т. Значит, по критерию, приведённому в
статье [18], исследуемый материал является изотропным, что соответствует типу материала, заданному в программе. При этом погрешность
(
экспериментальных измерений позволяет с достаточной точностью использовать предложенный критерий.
Пример 2. Исходные данные для моделирования: компоненты тензора С в канонических осях анизотропии [9]
Cijkl —
/ 1, 49 -0, 49 -0, 91 0 0 0
-0, 49 1, 49 -0, 91 0 0 0
-0, 91 -0, 91 1, 89 0 0 0
0 0 0 0, 82 0 0
0 0 0 0 1, 5 0
V 0 0 0 0 0 1, 5 /
10-10Па-1;
канонические оси анизотропии кх, повёрнуты относительно осей ёх, ё2 лабораторной системы координат вокруг вектора к3 = ёз на угол фо = -0,4рад; относительная погрешность измерения напряжений и деформаций 1%.
Опыт 1: сжатие вдоль оси ёъ
Измеренные напряжения: Б^ = -1,0058 ■ 106Па. Измеренные деформации:
£ • • —
ij
(
-1, 42 0, 09 0
0, 09 0, 40 0
0 0
0, 91
)
10
-4
Опыт 2: сжатие вдоль оси ё2. Измеренные напряжения: Б22 =
-1,0063 ■ 106Па.
деформации:
Измеренные
£П — ij
(
0, 41 -0, 09 0 -0, 09 -1, 41 0 0 0 0, 91
10
-4
Опыт 3: сжатие вдоль оси ёз. Измеренные напряжения: деформации:
ыи
°33
— -0,9974 ■ 106Па. Измеренные
-III
-у
(
0, 91 0 0
0
0, 91 0
00,
, 87 )
0 0
-1, 87
10
-4
Найдём компоненты тензора деформаций - = -1 + е11 + — являются откликом материала на всестороннее сжатие:
III
которые
/ ' -0.1 0 0
£П = é- + £1Т + £1П = £ij £ij + £ij + £ij i 0 -0.1 0
\ 0 0 -0.05
10
-4
(3)
Главные значения тензора деформаций (3) е1 = е2 = —10-5, е3 = —0,5 х 10-5. При этом главные оси этого тензора деформаций совпадают с лабораторными осями координат. Такой материал может быть тригональным, тетрагональным или гексагональным. У этих материалов, называемых одноосными кристаллами, главная ось анизотропии, соответствующая однократному главному значению ез, совпадает с поворотной осью симметрии и, следовательно, с канонической осью кз.
Для определения угла поворота ф канонических осей анизотропии &1, ^2 относительно лабораторных осей е1, е2 выполним эксперименты на двухосное растяжение-сжатие вдоль осей в1, в2 и на сдвиг в плоскости этих осей.
Опыт 4: двухосное растяжение-сжатие вдоль осей в1, е2. Измеренные напряжения: Б17 = 1, 0058 ■ 106Па, = —1, 0063 ■ 106Па. Измеренные деформации:
1, 83 —0, 18 0
еЦУ = —0,18 —1, 81 0 ■ 10-4.
V 0 0 0 У
0 0 0 Опыт 5: сдвиг в плоскости в1, е2.
Измеренные напряжения: Б^ = 1, 0074 ■ 106Па. Измеренные деформации:
0, 18 1, 83 0 , 83 —0,18 0 0 0 0
е7 = ( 1,83 —0,18 0 )■ 10-4.
Так как в опыте 4 не возникают сдвиговые деформации £13 и £23, исследуемый материал не является тригональным. Определим угол ф по
1 2£1У
формуле [21] ф = 1 аг^ 1У12 у : ф « —0, 393рад. Погрешность определения
4 £11 £12 угла ф составляет 1,8%.
Для определения типа материала в соответствии с критерием, предложенным в статье [19], проведём эксперименты на двухосное растяжение-сжатие в направлении канонических осей анизотропии &1, ^2 и на сдвиг в этой плоскости, который можно реализовать как растяжение-сжатие под углом 45° к этим осям.
Опыт 6: растяжение-сжатие вдоль осей &1, к2. Измеренные напряжения: Б71 = 1, 0032 ■ 106Па, Б71 = —0, 9993 ■ 106Па. Измеренные деформации:
1, 99 0 0 е^1 = 0 —1,99 0 ■ 10-4
V 0 0 0 /
Опыт 7: сдвиг в плоскости осей &1, к2. Измеренные напряжения: 5711 = = 1, 0074 ■ 106Па. Измеренные деформации:
0 1,67 0 \ е]11 = ( 1,67 0 0 ■ 10-4.
(
-г]
' 0 0 0
Найдём отношения измеренных деформаций к приложенным £УТ _10 £У11 _10
напряжениям: -^Ут = 1, 984 ■ 10 10, = 1, 658 ■ 10 . Различия в этих
отношениях составляют около 20%, поэтому выполняется неравенство
£У1 £У11
■^ут = "51тт . Значит, по критерию, приведённому в статье [19], исследуемый материал является тетрагональным, что соответствует типу материала, заданному в программе. При этом погрешность экспериментальных измерений позволяет с достаточной точностью использовать предложенный критерий.
Пример 3. Для ромбического, моноклинного и триклинного материалов главные оси анизотропии определяются однозначно и совпадают с каноническими. Поэтому для таких материалов представляют интерес эксперименты в канонических осях анизотропии для идентификации типа материала. В соответствии с программой, предложенной в статье [20], для идентификации типа этих материалов требуется провести три эксперимента по кручению сплошных цилиндров. В каждом из этих экспериментов вектор крутящего момента направлен вдоль одной из канонических осей анизотропии. Анизотропные цилиндры при кручении могут изгибаться. Измеряется максимальный прогиб цилиндра, который достигается в поперечном сечении, равноудалённом от торцов.
Исходные данные для моделирования: компоненты тензора С в канонических осях анизотропии [9]
Сг]Ы =
/ 0, 2 -0, 07395 -0, 14 0, 02 0 0 \
-0, 07395 0, 76 -0, 17 0, 19 0 0
-0, 14 -0, 17 0, 37 -0, 2 0 0
0, 2 0, 19 -0, 2 1, 23 0 0
0 0 0 0 1, 27 -0, 21
V 0 0 0 0 -0, 21 1, 26 /
10_10Па-1;
канонические оси анизотропии совпадают с осями лабораторной системы координат; относительная погрешность измерения напряжений и деформаций 1%; отношение длины цилиндра к радиусу 20.
Опыт 1: кручение моментом М1 = М ёь
В эксперименте происходит изгиб в плоскости Ож,г. Отношение максимального прогиба к радиусу цилиндра равно 0,2.
Опыт 2: кручение моментом М2 = М ё2.
В эксперименте происходит изгиб в плоскости Оуг. Отношение максимального прогиба к радиусу цилиндра равно 0,08.
Опыт 3: кручение моментом М3 = М ёз.
В эксперименте ось цилиндра остаётся прямой.
В соответствии с критерием, описанным в статье [20], исследуемый материал является моноклинным. Этот вывод соответствует типу материала, заданному в программе.
Таким образом, численное моделирование экспериментов по идентификации типа начальной упругой анизотропии материала показывает, что разработанные программы экспериментов позволяют при доступной точности измерений правильно определить тип анизотропного материала.
Список литературы
1. Rychlewski Y.K. On the detectability of constitutive laws in solid mechanics and physics / Упругость и неупругость: Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых твёрдых тел, посвящённого девяностолетию со дня рождения А.А.Ильюшина (Москва, 22-23 января 2001 года) / под ред. проф. И.А.Кийко, проф. М.Ш.Исраилова, проф. Г.Л.Бровко. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 67-73.
2. Рыхлевский Я.К. О законе Гука // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 3. С. 420-435.
3. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 131-151.
4. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 66. С. 113-125.
5. Остросаблин Н.И. О классификации анизотропных материалов // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 71. С. 82-96.
6. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 1. С. 170-175.
7. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. Механика. С. 173-178.
8. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат А.А.Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.
9. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 320 с.
10. Norris A.N. On the acoustic determination of the elastic moduli of anisotropic solids and acoustic conditions for the existence of symmetry planes // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1989. Vol. 42. Pt. 3. P. 413-426.
11. Hayes M.A. A simple statical approach to the measurement of the elastic constants in anisotropic media // Journal of Materials Science. 1969. Vol. 4. P. 10-14.
12. Jaric J.P. On the conditions for the existence of a plane of symmetry for anisotropic elastic material // Mechanics Research Communications. 1994. Vol. 21. Is. 2. P. 153-174.
13. Цвелодуб И.Ю. К определению упругих характеристик однородных анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика. 1994. Т. 35. № 3. С. 145-149.
14. Остросаблин Н.И. Линейные инвариантные неприводимые разложения тензора четвертого ранга модулей упругости // Динамика сплошной среды: сб. научных трудов. 2002. Вып. 120. С. 149-160.
15. Аннин Б.Д., Смирнов С.В., Анненков В.А. Идентификация анизотропных материалов // Проблемы механики деформируемого твёрдого тела: Межвуз. сб. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2002. С. 21-28.
16. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение типа исходной анизотропии и распространение частного постулата Ильюшина на начально анизотропные материалы // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении: сборник научных трудов. Тверь: Изд-во ТвГТУ, 2000. Вып. 2. С. 66-71.
17. Христич Д.В., Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Программа экспериментов по определению главных осей анизотропии материала // Известия КГАСУ. 2012. № 3 (21). С. 216-224.
18. Христич Д.В. Критерий экспериментальной идентификации изотропного и кубического материалов // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 110-118.
19. Христич Д.В. Критерий экспериментальной идентификации гексагонального, тригонального и тетрагонального материалов // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2013. № 2. С. 67-72.
20. Христич Д.В. Критерий экспериментальной идентификации ромбического, моноклинного и триклинного материалов // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 166-178.
21. Христич Д.В. К вопросу об определении главных осей анизотропии материала // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 203-213.
Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Computer modelling of experiments by detecting of initial anisotropy type of elastic materials
D. V. Khristich
Abstract. Numerical modelling of experiments by identification of initial elastic anisotropy type of material with account of measurement error. Calculations show applicability of theoretical criteria.
Keywords: computer modelling, anisotropic materials, experiment.
Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 05.11.2014
