CC BY
57
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 148-157
Механика =
УДК 539.3
Постановка задачи конечного деформирования анизотропных тел в терминах начальной конфигурации *
Д. В. Христич, Ю. В. Астапов, Л. В. Глаголев
Аннотация. Получены связанные уравнения равновесия и теплопроводности в вариационной форме, записанные в начальной конфигурации тела. Приведена замкнутая система уравнений связанной задачи термоупругости для изотропных и анизотропных тел без ограничения на величины деформаций. Представлены результаты численного решения тестовых задач.
Ключевые слова: термомеханика, термоупругость, конечные деформации, вариационные принципы, связанные краевые задачи.
1. Уравнения равновесия в вариационных формах
Рассмотрим произвольно выбранный объем V сплошной среды в произвольный момент времени ¿. На материальный объем действуют внешние поверхностные силы с вектором напряжения Р, а также внешние массовые силы с интенсивностью /. Суммарная сила, действующая на частицу массой йш = рдУ, может быть представлена в эйлеровом или лагранжевом видах [1, 2]
й'Я = (V • Б + р/) dV = (V•Р + РойУо,
где Б — тензор истинных напряжений Коши, определяющий внешние поверхностные силы, действующие на материальный объем, в соответствии с соотношением Р = п • Б, п — вектор нормали к поверхности £. Набла-оператор записан в эйлеровых координатах V = ё* , тогда и тензор напряжений Б, массовая плотность р, интенсивность массовых сил должны рассматриваться как функции эйлеровых координат: Б(ж, £), р(х, ¿), /(X, ¿).
Оператор Гамильтона в исходной системе координат обозначен как
о
V = е* дХ, р0 — начальная плотность материала, Р — тензор условных
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
напряжений Пиолы-Кирхгоффа (первый тензор Пиолы-Кирхгоффа), связанный с тензором напряжений Коши соотношением
Р = (Ф-1)Т § = £ * • С-«
О
где Ф = V х — аффинор деформаций.
Первый тензор Пиолы-Кирхгоффа определяет вектор напряжений Ро, отнесенный к начальной площади материального элемента, через ориентацию начальной нормали к этой площадке По. При этом РовХо = РвХ и Ро = по - Р.
Дифференцируя по времени Ь выражение для суммарной силы в'К, записанной в лагранжевом представлении, получим
вК в вЬ вЬ
(V • Р + Рор) вУо] = (V • Р + Рор) вУо = 0. (1.2)
Умножим полученное выражение (1.2) на отличную от нуля во всех точках рассматриваемого материального объема вариацию скорости §« и проинтегрируем по начальному объему:
(V Р + Рор) • 5ш!Уо = 0.
Уо
После преобразований, основанных на использовании теоремы Остроградского-Гаусса, получим условие равновесного протекания процесса деформирования в вариационной форме:
! Р • • ¿(« V)вУо = У Ро • ШЕо + У Ро1Р • ШУо, (1.3)
Уо £о Уо
где Ро = по • Р — скорость изменения вектора внешней нагрузки, приложенной на внешней поверхности Хо с вектором единичной нормали по.
Соотношение (1.3) содержит абсолютные производные по времени от тензора напряжений Пиолы-Кирхгоффа, скорости точек тела и поэтому описывает квазистационарное движение сплошной среды при произвольных определяющих соотношениях и заданных законах изменения нагрузок и скоростей точек на соответствующих материальных поверхностях, ограничивающих рассматриваемую среду.
В вариационное соотношение (1.3) входит производная тензора напряжений Пиолы-Кирхгоффа по времени Р, которая зависит от жесткого поворота, сопровождающего деформацию, поскольку в соответствии с определением (1.1)
Р = (вУ ^ • • К-1 • и-1 + вУ * • ((К-1)- • и-1 + я-1 • (и-1у),
\аУо ) вУо
где К — ортогональный тензор поворота, входящий в полярное разложение аффинора деформаций Ф = и ■ К, и = Ит — левая мера искажения.
Получим связь между тензором Р и производной от «повернутого» обобщенного тензора напряжений Коши
НУ
Хн = — К ■ Б ■ К-1, (1.4)
нУо
который инвариантен относительно жесткого поворота. Из определений (1.1) и (1.4) после дифференцирования по времени получим
Р = (К-1) ■ Хн ■ И-1 + К-1 ■ Хн ■ И-1 + К-1 ■ Хн ■ (И-1).
Подставим выражение для Р в вариационное соотношение (1.3):
У [(К-1) ■ Хн ■ И-1 + К-1 ■ ХН ■ И-1 + К-1 ■ Хн ■ (И-1)] ■ ■ ¿(VV)НУо =
Уа
= У Ро ■ ШХо ^У роР ■ 5ш!Уо. (1.5)
2а Уа
Соотношение (1.5) представляет собой условие равновесного протекания процесса деформирования, записанное через «повернутый» обобщенный тензор Хн в отсчетной конфигурации.
2. Вариационная форма уравнения теплопроводности
Тепловое воздействие на тело определяется притоком тепловой энергии через поверхность Х, ограничивающую объем V, и местными источниками тепла, которые имеют физико-химическую природу и в дальнейшем не учитываются. Общий тепловой поток через поверхность Х за время ДЬ представим в следующем виде:
Дд = - У д (X, Ь) ■ ННХДЬ = - у до (X, Ь) ■ НоНХоДЬ, (2.1)
где д — вектор теплового потока, характеризующий приток тепла через единичную поверхность в направлении нормали п к текущей поверхности Х в единицу времени, до — вектор теплового потока, характеризующий приток тепла через единичную поверхность в направлении нормали Но к начальной поверхности Хо в единицу времени.
Используя теорему Остроградского-Гаусса, из выражения (2.1) получим
Дд = - у V ■до НУоДЬ. (2.2)
Уа
Вектор теплового потока полагаем связанным с неоднородным температурным полем соотношением [3]
О
Ро (Х,Ь) = -Ло -V Т, (2.3)
О
где Ло — тензор теплопроводности, определяемый природой вещества, V Т — градиент температуры.
Для изотропного материала запишем тензор теплопроводности в виде:
Ло = О-1,
где О 1 = (Ф • ФТ) 1 — обратный метрический тензор. В этом случае закон теплопроводности (2.3) преобразуется к закону Фурье
Р (х,Ь) = -А VT,
используемому в механике сплошных сред. В анизотропном материале тензор Ло определяется присущей материалу симметрией свойств.
Из соотношения (2.2) определяется скорость притока тепла к единице объема материала в виде:
О
С? = - V•pо,
которая с учетом соотношения для теплового потока (2.3) принимает вид
С = V • (Ло -V Т), (2.4)
В изотропном материале
С? = А V2T,
где оператор
V2 = /! V 'О-1 -V.
Скорость притока тепла С? определим, исходя из второго закона термодинамики, который в дифференциальной форме записывают в виде Т£> = ро С? +гг, где £>, гг ^ 0 — соответственно скорость изменения удельной энтропии и скорость диссипации. Тогда
С = ро(ТБ - гг). (2.5)
Приравнивая правые части (2.4) и (2.5), получим уравнение теплопроводности в общем виде
ро(ТБ - гг) = V •(Ло -VТ) , (2.6)
которое должно быть конкретизировано на основании представлений для энтропии 5 и скорости диссипации ш в рассматриваемой модели материала.
Умножая левую и правую части уравнения (2.7) на отличную от нуля во всех точках рассматриваемого материального объема вариацию скорости изменения температуры 5Т и интегрируя по начальному объему, после преобразований получим уравнение теплопроводности в вариационной форме:
У ро(ТБ - Ш)5ТНУо = - У Но ■ до ¿ТНХо ^ (Ло -Vт) ■ 5 (VТ) НУо-
Уо 2о Уа
(2.7)
Это уравнение может быть положено в основу решения связанных термомеханических краевых задач и должно быть конкретизировано для определенной модели материала путем задания выражений для энтропии и скорости диссипации.
3. Система уравнений связанной задачи обратимого конечного деформирования
Рассмотрим процесс нелинейного обратимого деформирования, не сопровождающийся производством диссипации. В этом случае основное термомеханическое соотношение имеет вид [1]:
Ф + БТ = —Хн -М + ш, ш = 0. (3.1)
ро
В соотношении (3.1) Ф = Ф(М, Т) — удельная свободная энергия, которая полагается функцией меры деформаций М и абсолютной температуры Т. Мера М определяется как решение дифференциального уравнения
М = НМ = ^ = К ■ W ■ К-1, (3.2)
где W = 2 (Уу + УУ) — тензор деформации скорости. Неголономная мера деформаций М является энергетически сопряженной с обобщенным тензором напряжений, так что выражение Хн ■ ■М представляет собой удельную мощность напряжений.
Примем для свободной энергии квадратичное представление в виде [4]:
роФ (М, Т) = М ■ ^ ■ ■М - В ■ ■М (Т - То) + роФо (Т), (3.3)
где N В — постоянные тензоры, характеризующие механические и термические свойства материала; Фо (Т) — составляющая свободной энергии, зависящая только от температуры, причем ^Т0 = -се 1п ТО, где с£ — удельная теплоемкость материала.
Из соотношения (3.1) следует, что
дФ дФ
Хн = "»дм- 8 = -дТ- <3-4>
тогда на основании представления (3.3) соотношения, определяющие связь между напряжениями, конечными деформациями и температурой в анизотропном материале записываются в виде:
Хн = N ..М - В ■ (Т - Г0). (3.5)
В случае изотермических бесконечно-малых деформаций соотношения (3.5) асимптотически совпадают с законом Гука, поэтому тензор N имеет смысл тензора упругости. При неизотермических бесконечно-малых деформациях соотношения (3.5) совпадают с уравнениями состояния Дюгамеля-Неймана [5], а тензор В характеризует температурные напряжения в материале.
На основании соотношений (3.3) и (3.4) выражение для энтропии имеет
вид
1 Т
8 =— В --М + с£ 1п —, (3.6)
ро То
а скорость ее изменения равна
1 Т
Б=- В ..М + ое-. ро т
Тогда уравнение теплопроводности в вариационной форме (2.7) принимает вид:
У (В ■ МТ + еероТ) 6ТйУо = - У По ■ до5Тс!Хо - ^ (Ло ■ V т) ■ 6 (У Т) бУо.
Уо £о Уо
(3.7)
Возможна конкретизация соотношений (3.5), (3.7) для изотропного материала, поскольку используемая в них мера деформаций М обладает тем свойством, что ее первый инвариант связан только с изменением объема, а девиатор этой меры изменяется только в процессах формоизменения.
В случае изотропного материала определяющие соотношения (3.5) принимают вид:
Хн = 3К (в - а(Т - То)) Е + 2СМ,
где М = М - 3 (М ■ -Е)Е — девиатор тензора М, в = М ■ -Е = 1п ^ - первый инвариант тензора М, характеризующий изменение объема.
В соответствии с (3.2) М = тогда в левой части уравнения
теплопроводности (3.7) получим
В ■ МТ = 3аК Е ■ •WRT = 3аКвТ,
а в правой части
О \ / о . ч 0
7 2г
(Ло ■ V г) ■ ь (у Т) = ЛУ2ТЬТ.
Для изотропного материала уравнение теплопроводности в вариационной форме (3.7) принимает вид:
У (3аК0Т + с£роТ) ЬТНУ) = - ^ По ■ ^ЬТ^Ео ~ { Л У2ТЬТНУъ
Уо Ео Уо
Эволюционные соотношения для перемещений, напряжений и температуры имеют вид:
*(Х,*) = ^^' ё(Х,*) = ^^, Т(Х,*) = ^^^^^ Ух € Уо. (3.8)
Начальные условия характеризуют состояние тела в начальный момент времени ¿о:
и(х^о) = ио(х), Б(Х, ¿о) = Во (Х), Т (Х,*о) = То(Х). (3.9)
Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности Ер закона изменения внешних сил как функции времени
Ро = Р*(Х, ¿) УХ € Ер > ¿о. (3.10)
При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности Еи определяется закон изменения перемещений материальных точек
и = и*(X, ¿) УХ € Еи У^ > ¿о. (3.11)
В каждой точке поверхности Ери могут быть заданы граничные условия смешанного типа, то есть разноименные составляющие векторов
в ■ рРо = Р*о(Х, ¿) и ву ■ и = и*(Х, ¿), г = ; УХ € Ери У* > ¿о. (3.12)
Поверхности Ер, Еи, Ери не пересекаются:
Ео = Ер и Еи и Ери.
Также необходимо задать на части поверхности Ет закон изменения температуры
Т = Т*(Х,*) УХ € Ет У£>£о, (3.13)
на части поверхности Ед — закон изменения теплового потока:
д = д°(Х,г) УХ € Ед У^ > ¿о. (3.14)
На части поверхности Ес может происходить свободный теплообмен с окружающей средой, температура которой Тс(Х, ¿) известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упрощения задачи во многих случаях он может быть принят в виде закона Ньютона [3], в соответствии с
которым количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды. Это приводит к граничному условию
о
По ■ Ло -VТ + ао(Т - Тс)=0 Ух € Хс > ¿о, (3.15)
где ао — коэффициент теплообмена, который в общем случае зависит от разности температур Т - Тс, от характера поверхности и окружающей среды, то есть от радиус-вектора х. В случае, когда материал рассматриваемого тела изотропный и коэффициент теплообмена не изменяется, не зависит от температуры и одинаков во всех точках поверхности тела, условие (3.15) принимает вид:
+ ао(Т - Тс) = 0.
дпо
Поверхности Ху, Хд, Хс не пересекаются:
Хо = Хт и Хя и Хс.
При задании граничных условий полагаем, что функции (3.10)-(3.14) являются дифференцируемыми функциями времени. Тогда условия (3.10)-(3.14) могут быть преобразованы к виду:
Ро = Ро* (х, ¿) Ух € Хр V* > ¿о; (3.16)
V = V*(х, ¿) Ух € Хи V* > ¿о; (3.17)
Ро = Р0*(х, ¿) и V = V*(х, *) Ух € Хр„ V* > ¿о; (3.18)
Т = Т*(х,*) Ух € Хт У* > ¿о. (3.19)
Таким образом, постановка связанной краевой задачи включает определения мер деформаций и кинематические соотношения (3.2), уравнение равновесия сплошной среды в вариационной форме (1.5), уравнение теплопроводности в вариационной форме (3.7), соотношения, определяющие связь между напряжениями, конечными деформациями и температурой (3.5), эволюционные соотношения (3.8), начальные условия (3.9) и граничные условия (3.15)-(3.19).
4. Результаты решения некоторых краевых задач
Постановка связанной краевой задачи, приведенная в статье, позволяет естественным образом перейти от вариационных принципов к численному решению методом конечных элементов. При этом используется разностная
схема аппроксимации перемещений и температур первого порядка по времени.
На рис. 1, 2 приведены результаты тестирования разработанного программного комплекса по известным решениям линейных задач для изотропного (задача Кирша) [6] и анизотропного [7] материалов.
Рис. 1. Напряжения $ц, $12, 822 при растяжении полосы из изотропного
материала
Рис. 2. Напряжения $11, $12, $22 при растяжении полосы из ортотропного материала
Полученные при расчетах поля напряжений, возникающие в пластине с круговым отверстием при растяжении вдоль горизонтальной оси, с большой степенью точности соответствуют известным аналитическим решениям.
Список литературы
1. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
2. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Описание конечных деформаций твердых тел в отсчетной конфигурации // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 2. С. 156-166.
3. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.
4. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной
термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая
физика. 2003. Т. 44. № 1. С. 170-175.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
6. Демидов С.П. Теория упругости: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1979.
432 с.
7. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1947.
355 с.
Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Астапов Юрий Владимирович (ast3x3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Глаголев Леонид Вадимович (len4ic92@rambler.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Positing of a problem of finite deforming of anisotropic bodies in terms of initial configuration
D. V. Khristich, Yu. V. Astapov, L. V. Glagolev
Abstract. Coupled equilibrium and heat conducting equations in variation form written in an initial body configuration are obtained. A closed system of equations of the coupled thermoelasticity problem for isotropic and anisotropic bodies without limitations on strain values is given. Results of numerical solution of test problems are presented.
Keywords: thermomechanics, thermoelasticity, finite deformations, variation-al principles, coupled boundary problems.
Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Glagolev Leonid (len4ic92@rambler.ru), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 05.11.2014
