CC BY
51
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 144-152
Механика =
УДК 539.3
Определение напряженно-деформированного состояния протектора шины в местах крепления
шипов *
В. О. Кондрашов, М. Ю. Соколова
Аннотация. Приведена постановка задачи об определении напряженно-деформированного состояния протектора зимней шины, учитывающая конечность деформаций шины и ее разогрев в процессе эксплуатации.
Ключевые слова: протектор, деформация, автомобильная шина.
Автомобильные шины являются важным и конструктивно сложным элементом современного автомобиля. На рис. 1 схематически показана конструкция бескамерной шины, основными элементами которой являются каркас (1), каркас и брекер (2), протектор (3), боковина (4), борт (5), бортовое кольцо (6) и наполнительный шнур (7). Брекер шины образован слоями кордной ткани, относящейся к одному из видов композитных материалов. В зависимости от расположения нитей в кордной ткани все шины делятся на диагональные и радиальные. В диагональных шинах нити корда смежных слоев каркаса и брекера перекрещиваются друг с другом, составляя углы в 45-60° с воображаемой линией вращения колеса. В радиальных шинах нити корда расположены под углом, близким к 90° с воображаемой линией вращения колеса.
Тенденциями современного развития шин являются: 1) создание низкопрофильных (H/B = 0, 71 — 0, 88) и сверхнизкопрофильных (H/B не более 0,7) шин, что позволяет установить тормозные механизмы больших размеров и снизить деформации боковых поверхностей шин; 2) снижение сопротивления качению шин за счет использования новых материалов протектора; 3) использование шипов или ламелей для улучшения сцепления автомобиля с дорогой при движении по льду и снегу. В связи с этим интерес представляет
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 15-01-01875-а).
Рис. 1. Конструктивные элементы и основные размеры шин (по материалам сайта http://www.topof.ru/help): 1 — каркас, 2 — брекер, 3 — протектор, 4 — боковина, 5 — борт, 6 — бортовое кольцо, 7 — наполнительный шнур; Б — наружный диаметр, Н — высота профиля, В — ширина профиля, й — посадочный размер обода колеса
исследование напряженно-деформированного состояния протектора зимних шин и влияние на него шипов различных конструкций.
Различные модели поведения автомобильных шин рассматривались в работах [1-6 и др.]. В работах [1-4] рассматривалось трехмерное моделирование шин с помощью метода конечных элементов с учетом конечности деформаций и с применением разработанного трехмерного оболочечного элемента. Работы Ю.А. Гамлицкого посвящены проблемам описания нелинейного поведения резин и резинокордных материалов [6, 7].
Целью настоящей работы является исследование напряженно-деформированного состояния протектора зимней шины с учетом его взаимодействия с дорожным покрытием в окрестности шипа. Расчетная схема задачи представлена на рис. 2. Исследуются плоские деформации поперечного сечения шины, которая рассматривается как двухслойная конструкция, состоящая из резинокорда, моделируемого ортотропным материалом, и собственно протектора, изготовленного из искусственного каучука и моделируемого изотропным упругим материалом. Условия между слоями задаются как условия полного прилипания. В первом приближении шипы будем рассматривать как абсолютно твердые цилиндры, а дорожное покрытие — гладким и абсолютно твердым. Технология установки шипов позволяет считать контакт между шипами и протектором удовлетворяющим условиям полного прилипания. Контакт между протектором и дорожным покрытием меняется в процессе деформирования, пятно контакта будет определяться в процессе расчета.
Известно, что деформации шины в процессе эксплуатации лежат в пределах 20% [7]. В связи с этим для адекватного описания напряженно-деформированного состояния требуется учет геометрической нелинейности.
<1
Рис. 2. Расчетная схема задачи: 1 — резинокорд, 2 — протектор, 3 — шип
Кроме того, материал протектора обладает существенной физической нелинейностью. В процессе эксплуатации температура протектора нормальная температура шины изменяется в пределах 70-80 °С, но может в самых «горячих» местах достигать 125 °С. Постановка рассматриваемой задачи должна учитывать указанные особенности поведения протектора и включает соотношения, приведенные в монографии [8].
Система термомеханических уравнений включает в себя соотношения, описывающие движение материальных точек деформируемого тела при приложении внешних механических и тепловых воздействий, а также определяющие соотношения. При описании процессов конечного деформирования необходимо учитывать, что напряженно-деформированное состояние тела определяется не только смещениями точек тела в данный момент времени, но и всей историей деформирования. В связи с этим целесообразно использовать условия равновесного протекания процессов, требующие удовлетворения равновесия не только для напряжений и деформаций, но и для их приращений, вызываемых приращениями внешних воздействий в данный момент времени.
На основании принципа Журдена возможная мощность активных нагрузок и сил инерции, действующих на частицу среды в фиксированный момент времени Ь, равна нулю. Возможная мощность подсчитывается на поле возможных в данный момент скоростей, тогда соответствующее вариационное соотношение имеет вид
/(*■8+- ш)) шу = 0 (1)
у
где Б — тензор истинных напряжений Коши, V — скорости точек среды, р, — плотность материала и плотность массовых сил, действующих на частицу.
После преобразований, использующих теорему Остроградского-Гаусса, вариационное уравнение (1) приводим к следующему виду:
У Б • ■WdУ = У Р(п) ■ ШЕ + ! (р - ^ ■ 5УрйУ = 0, (2)
У £ У
где Ш = ^ ^Уу+уУ^ — тензор деформации скорости, Р (п) — поверхностные силы, действующие на поверхности £. Для задания правой части уравнения (2) на части поверхности задается распределение внешних напряжений
Р(п) = РППп + Рг^т[ + Р^тъ. Здесь т\, т2 — перпендикулярные единичные векторы в плоскости, касательной к поверхности £. Если на части поверхности задано поле скоростей, то оно не варьируется, и правая часть уравнения (2) на этой части обращается в ноль. Кроме того, могут задаваться смешанные граничные условия, когда известны нормальная составляющая внешнего напряжения и тангенциальные составляющие скорости (напряжения).
Условия равновесного протекания процесса конечного деформирования тела, ограниченного поверхностью £, в объёме У приведены в монографии [8]. В предположении, что массовые и инерционные силы отсутствуют, эти условия имеют вид
Б +Б в -уУ ■ Б ■ ¿у У
У
) ■ ¿уУ] йУ = ^ Р(п) +Р(п) (в -п ■ W ■ п)
■ ¿УЖ. (3)
Соотношения (3) в монографии [8] названы основным вариационным соотношением. Данное соотношение содержит абсолютные производные по времени от тензора напряжений Коши, скорости точек тела и поэтому описывает квазистационарное движение сплошной среды при произвольных определяющих соотношениях и заданных законах изменения нагрузок и скоростей точек на соответствующих материальных поверхностях, ограничивающих рассматриваемую среду.
Таким образом, для равновесного течения процесса необходимо и достаточно, чтобы распределение напряжений внутри тела и распределение поверхностной нагрузки в каждый момент времени удовлетворяли вариационному соотношению (2), а скорости их изменения удовлетворяли основному вариационному соотношению (3).
В качестве соотношений, определяющих поведение упругого материала, используем связь между скоростями напряжений и деформаций в виде [8]
= С ■■W - В Т,
(4)
где Sv = Б +и - Б — 13 -и — яуманновская производная тензора напряжений, и = 1 ^Уу — у У^ — тензор вихря, С — тензор упругости материала, В = С ■ ■ а — направляющий тензор температурных напряжений, а — тензор коэффициентов температурного расширения, Т — абсолютная температура. Соотношения (4) в начальный момент времени при бесконечно-малых деформациях совпадают с соотношениями Дюгамеля-Неймана.
Подставим выражение для яуманновской производной тензора напряжений в условие (3) и после преобразований получим вариационное соотношение в виде
/ Г + Б в —+ Б -и) •• ¿уУ
у К )
Р (п) +р (п) ^ —й- W П
I
£
(V =
(5)
•¿у(£.
Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности £р закона изменения внешних сил как функции времени:
Ро = р*(х, г) УХ е £р Уг> го. (6)
При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности £и определяется закон изменения перемещений материальных точек
и = и*(Х, г) ух е £и Уг> го. (7)
В каждой точке поверхности £ри могут быть заданы граничные условия смешанного типа, то есть разноименные составляющие векторов
ро = Р*(Х, г) и и = и*(Х, г) ух е £ри Уг > го. (8)
Поверхности £р, £и, £ри не пересекаются: £0 = £р и £и и £ри.
В соответствии с рис. 2 на указанных поверхностях требуется задать:
51 : Р(п) = —ори, 53 : и,п = 0, Рт = 0,
на поверхностях 52 и 54 задаются условия полного прилипания.
Тепловое воздействие на тело определяется притоком тепловой энергии через поверхность £, ограничивающую объем V, и местными источниками тепла, имеющими физико-химическую природу и в дальнейшем не учитывающимися. Общий тепловой поток через поверхность £ за время Аг представим в следующем виде:
А«=Ч (9)
где т — вектор теплового потока, характеризующий приток тепла через единичную поверхность в направлении внешней нормали тп в единицу времени.
Если направления д и п противоположные, то AQ имеет знак + и тело нагревается, если же т и п направлены одинаково, то тепло отводится. Используя теорему Остроградского-Гаусса, из (9) получаем
AQ = - J У ■ тйУАЬ. (10)
У
Тепловое воздействие на единицу объема получим в виде
= -У ■ А (11)
Вектор теплового потока полагаем связанным с неоднородным температурным полем законом Фурье [8]
т(Х,Ь) = А ■УТ, (12)
где А — тензор теплопроводности, определяемый природой вещества, УТ — градиент температуры.
Для изотропного материала полагают А = АС, где Л — коэффициент теплопроводности, С — метрический тензор текущего состояния. При этом закон Фурье принимает вид (¡(х, Ь) = АС ■ УТ. В анизотропном материале тензор А определяется присущей материалу симметрией термических свойств.
Соотношение (11) позволяет определить скорость притока тепла к еди-
• °
нице объема материала в виде Q = — У т, которая с учетом закона Фурье для теплового потока (12) принимает вид
Q = У ■ (а ■ Ут^ . (13)
В изотропном материале Q = —А У2Т, где У2 = У ■ С ■У — оператор Лапласа.
Скорость притока тепла Q входит и в закон изменения энтропии, откуда в случае обратимых процессов
Q = РТЯ, (14)
где п — скорость изменения удельной энтропии.
Приравнивая правые части (13) и (14), получим уравнение теплопроводности в общем виде:
рТЦ = У ■ (А ■УТ), (15)
оторое должно быть конкретизировано на основании представления для энтропии п. Для нелинейно упругих материалов выражение для скорости изменения энтропии принимается в виде [8]
• 1 Т
п = - В ■ ■ W + с£ Т, (16)
р Т
где ве — удельная теплоёмкость материала.
Умножим левую и правую части уравнения (15) на отличную от нуля во всех точках рассматриваемого материального объема вариацию скорости
изменения температуры ¿Т и проинтегрируем это уравнение по объему:
рТП ¿Т (V = I У- (А- УТ^ ¿Т (IV. (17
У У
Преобразуем правую часть выражения (17), используя теорему Остроградского-Гаусса:
[а- Ут^ ¿Т (V = у У ■ (А ■ Ут¿т) (V — J (А- УТ^ ^ (Ур) (V =
У У У
= — J и ■ q¿T (£ — J (А- УТ^ ^¿ (УТ) (V.
£ У
Подставив преобразованное слагаемое в уравнение (17), получим уравнение теплопроводности в вариационной форме:
J РТП ¿Т (V = — J n■q¿T (£ — J (а ■УТ) ^ (У Т^) (V. (18)
У £ У
Требуется задать на части поверхности £т закон изменения температуры
Т = Т*(Х, г) УХ е £т Уг> го, (19)
на части поверхности £я — закон изменения теплового потока:
р = р*(х,г) УХ е £д Уг> го. (20)
На части поверхности £с может происходить свободный теплообмен с окружающей средой, температура которой Те(Х,г) известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упрощения задачи во многих случаях он может быть принят в виде закона Ньютона. По закону Ньютона, количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды. По закону сохранения энергии, это количество
тепла должно быть равно тому количеству тепла, которое передается через единицу площади поверхности за единицу времени вследствие внутренней теплопроводности. Это приводит к граничному условию
п ■ А ■УТ + ао(Т - Те) = 0 Ух е Ес УЬ>Ьо, (21)
где ао — коэффициент теплообмена, который в общем случае зависит от разности температур Т — Те, от характера поверхности и окружающей среды, то есть от радиус-вектора х. В случае, когда материал рассматриваемого тела изотропный и коэффициент теплообмена не изменяется, не зависит от температуры и одинаков во всех точках поверхности тела, условие (21) принимает вид
дТ
А— + ао(Т - Те) = 0. дп
Поверхности Еу, , Ес не пересекаются: Ео = Еу и и Хс.
Эволюционные соотношения для перемещений, напряжений и температуры имеют вид
У(Х,Ь) = ^, Б(Х,Ь) = ^, Т(Х,Ь) = ^ Ух е Уо. (22)
Начальные условия характеризуют состояние тела в начальный момент времени Ьо:
и(х,Ьо) = ио(х), Б(х,Ьо) = Бо(х), Т (х,Ьо) = То(х). (23)
Таким образом, постановка рассматриваемой краевой задачи включает уравнение равновесия сплошной среды в вариационной форме (2), условия равновесного протекания процесса (5), уравнение теплопроводности в вариационной форме (18), соотношения, определяющие связь между напряжениями, конечными деформациями и температурой в нелинейно упругом теле (4), эволюционные соотношения (22), начальные условия (23) и граничные условия (7)-(8), (19)-(21). Численное решение задачи выполняется с использованием метода конечных элементов.
Список литературы
1. Лопухин К.А., Шешенин С.В. Применение многосеточного метода для решения задачи о шине // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2010. № 1. С. 62-66.
2. Шешенин С.В. Трехмерное моделирование шины // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 12-21.
3. Шешенин С.В. Трехмерное моделирование пневматических шин // Упругость и неупругость. 2011. С. 458-463.
4. Определение модулей резинокорда при плоско-напряженном состоянии / С.В. Шешенин, П.Н. Демидович, П.В. Чистяков, А.В. Муравлев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 5. С. 49-53.
5. Ненахов А.Б., Гальперин Л.Р., Соколов С.Л. Оптимизация конструкции пневматических шин на стадии проектирования // Каучук и резина. 2000. № 2. С. 25-34.
6. Гамлицкий Ю.А. Нелинейная механика резин и резинокордных композитов. Теория, эксперимент и методы испытаний // Каучук и резина. 2001. № 5. С. 30-38.
7. Гамлицкий Ю.А. Нелинейные механические свойства резин и резинокордных композитов и работоспособность деталей шин: дис. .. .д-ра техн. наук. М., 2014.
8. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
Кондрашов Вадим Олегович ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Соколова Марина Юрьевна ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Determination of stress-strain state of tire tread in places of
fastening studs
V. O. Kondrashov, M.Yu. Sokolova
Abstract. The statement of a problem of determining the stress-strain state of the tread of winter tires taking into account finite deformations of the tire and its heating during operation is given.
Keywords: protector, deformation, automobile tyre.
Kondrashov Vadim ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Sokolova Marina ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 12.05.2015
