CC BY
64
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 67-73
Механика =
УДК 539.3
Учет взаимного влияния полей напряжений, деформаций и температур при решении
задачи Ламе *
Д. В. Христич, Ю. В. Астапов
Аннотация. Исследуется влияние учета связанности численного определения напряженно-деформированного состояния и температурного поля на решение задачи нелинейной термоупругости. Рассматриваются состояния толстостенного цилиндра при двух видах нагружения в неоднородном температурном поле. Поставленная задача решается в цилиндрической системе координат методом конечных элементов.
Ключевые слова: термомеханика, термоупругость, конечные деформации, связанные краевые задачи.
Основные определяющие и эволюционные соотношения, а также начальные и граничные условия записаны в работах [1-3] в рамках связанной постановки краевой задачи нелинейной термоупругости в отсчетной конфигурации. Система уравнений, включающая в себя условие равновесного протекания процесса деформирования и уравнение нестационарной теплопроводности в вариационной форме, имеет вид:
/ ( (и-1)' • ?я • & + и-1 • ?я • & + и-1 • ?я • & у) (1Уо =
= / Ро • ёуй^о + / Р • 5уйУо,
£о Уо
(1)
/ (в • •МТ + В • •М1Т + е£роТ) 5Т йУо =
Уо
= - / по • (1о5Т ^о - ! (До •УТ) • 5 ( УТ ) (1Уо.
Ео Уо
(2)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а, 15-01-01875-а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
В уравнениях (1), (2) используется повернутый обобщенный тензор напряжений Ед = ^^Я ■ Б ■ Я-1, где 5 — тензор истинных напряжений Коши; С и д — метрические тензоры соответственно в текущий и начальный моменты времени; Я — ортогональный тензор в полярном разложении аффинора деформаций Ф = Я ■ Я• Неголономная мера деформаций М определяется
из дифференциального уравнения [4] М = 2 (й-1 ■ Я + Я ■ Я; Р0 и Р0 — внешние поля соответственно поверхностных и массовых сил; до — вектор теплового потока на границе тела; V — поле скоростей точек среды.
Взаимное влияние процесса деформирования и температурного поля определяется наличием в уравнении (2) слагаемого
У (ß • -MT + B ■ -Mt) STdV0.
Vo
Определяющие уравнения представляют собой связь между мерой напряжений Ед, мерой деформаций М и температурой Т:
еr = N --M - B(T - T0),
(3)
где N — тензор упругих постоянных четвертого ранга, B — тензор коэффициентов температурных напряжений.
Далее рассматриваются материалы, обладающие изотропными и стационарными механическими и теплофизическими характеристиками. Таким образом, отдельные слагаемые уравнения (2) можно конкретизировать:
/ (3Ka9T + еероТ) ST dVo =
Vo (4)
= - f no ■ qoST dE 0 - / (Ao V t) ■ s( VT) dVo,
So Vo V / V /
где ве — удельная теплоемкость материала при постоянной деформации, р0 — начальная плотность, А0 — коэффициент теплопроводности, а — коэффициент линейного теплового расширения, К — объемный модуль упругости среды.
Вариационные принципы (1), (4) замыкает система дифференциальных уравнений, включающих кинематические и определяющие соотношения:
йи
V = —Г ,
йг'
о
Ф =
и•и + и•и = уу
2
Фт + Ф
(5)
5Д = уК - 3 СуЕ + 2СМ - 3Ка (Т - Т)о Е,
Т1 — йг'
где С - модуль сдвига материала.
Начальные условия для системы (5) имеют вид
и\,=,0 = ио(х), и = и (X), 5я =5яс(х), Т= То(х). (6)
¿=¿0 0 t=to
Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности 5р закона изменения внешних сил как функции времени
Р = Ро(Х,г) X е 5р ш>го. (7)
При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности 5и определяется закон изменения перемещений материальных точек
и = и0 (х, г) х е 5и Уг > го.
(8
Для поля температур рассматриваются условия свободного теплообмена в виде закона Ньютона, заданные на поверхности 5т:
Ао
дТ дпо
+ а(Т - Те) = 0 х е 5т Уг>го,
(9)
где а — коэффициент теплообмена.
Для решения начально-краевой задачи (1), (3), (5)-(9) используются методы конечных элементов и пошагового нагружения. Для дискретизации неизвестного поля скоростей точек среды в (1), (4) построен осесимметрич-ный треугольный симплекс-элемент с девятью степенями свободы. Процесс нагружения разбивается по времени на конечные отрезки, на каждом из которых из решения системы линейных алгебраических уравнений определяются узловые величины полей V и Тс учетом граничных условий (7), (8) и (9). Затем методом Рунге-Кутта производится интегрирование системы (5), (6) и определяются величины перемещений точек среды и, поле температур Т и компоненты тензоров и и 5я, которые используются на следующем
шаге в качестве начальных условий.
Рассматривается толстостенный цилиндр, который имеет следующие геометрические характеристики: внутренний радиус V = 0, 005м, внешний радиус ге = 0,01м и длину по образующей I = 0,01м. В качестве материала цилиндра выбран некоторый упругий изотропный материал, с механическими и термомеханическими свойствами: Е = 2, 75 ■ 109Па, V = 0, 4,
а = 2,3 ■ 10-4К-1, ро = 1,07 ■ 103м, с£ = 1,075 ■ 103^ТК, А = 40Км ' ' ' ' м3 > ь ' кг-К' К-м
Ось цилиндра направлена вдоль оси г. На торцах образца задано ограничение на перемещения и ■ По = 0, где По — внешняя нормаль к поверхности.
В первом случае на внутренней поверхности цилиндра задано изменяющееся с постоянной скоростью р = 0, 0003С^^ давление. Внешняя поверхность свободна от нагрузок. На внутренней и внешней поверхностях задан свободный теплообмен, а торцы полагаются адиабатически изолированными. Начальная температура всех точек цилиндра составляет То = 300 К и совпадает с температурой Те = 300 К окружающей среды снаружи образца. Во внутренней полости образца поддерживается температура Т = 1500 К. В начальный момент времени компоненты тензора напряжений для внутренних точек цилиндра равны нулю.
Во втором случае давление прикладывается к внешней поверхности цилиндра со скоростью р = 0,0003С П^. Температура окружающей среды Те = 1500 К, во внутренней полости образца Т = 300 К. Начальная температура цилиндра То = 300 К. Остальные граничные и начальные условия совпадают с первым случаем.
Расчеты производились на интервале времени Ь £ [0; 1, 5]с для связанной и несвязанной постановок задачи. Использовалась сетка, состоящая из 3900 конечных элементов. Процесс нагружения был разбит по времени на 1500 шагов. Найденные характеристики напряженно-деформированного состояния однородны вдоль оси г в обоих случаях, поэтому результаты решения приведены на рис. 1-4 в виде зависимостей компонент тензора истинных напряжения §, тензора Генки Г и температуры от радиуса цилиндра. Него-
лономная мера М в данных процессах совпадает с тензором Генки, так как главные оси меры Я не меняют своего направления по отношению к материальным волокнам. На каждом графике приведены по четыре серии кривых, соответствующих действующим нагрузкам р = 0, 1С, р = 0, 2С, р = 0, 3С, р = 0, 4С (сплошные линии — решение связанной задачи, а пунктирные — несвязанной; а — решение задачи с внутренним давлением, приложенным к цилиндру, Ь — с внешним давлением).
Учет связанности при определении поля скоростей точек среды и температурного поля не оказывает существенного влияния на получаемые распределения радиальных компонент тензора истинных напряжений Я, что, в
первую очередь, обусловлено выбранной схемой нагружения образца. При достижении максимального давления р = 0, 4С радиальные деформации составляют 17, 5 % в первом случае и 16 % во втором случае. Распределе-
а) б)
Рис. 1. Распределения тангенциальных компонент тензора напряжений
по радиусу цилиндра
ния тангенциальных компонент напряжений, полученные для связанной и несвязанной задач, отличаются примерно на 10 % при максимальном действующем давлении и на 5 % при малых нагрузках. Следует отметить, что на начальных стадиях развития процесса вследствие интенсивного прогрева приграничного слоя цилиндра наблюдается локальный максимум в распределении тангенциальных напряжений, отстоящий от несвободной границы на некоторое расстояние, зависящее от термомеханических свойств материала образца.
а) б)
Рис. 2. Распределения радиальных компонент тензора деформаций
по радиусу цилиндра
Различия в определяемых компонентах мер деформации, изображенных на рис. 2 и 3, для связанной и несвязанных постановок не превышают 8, 5 %. Различие в найденных компонентах Г^ и Г^^ постоянно по радиусу цилиндра в отличие от определенных мер напряжений, где наибольшие отличия наблюдаются в середине толщины и уменьшаются к краям.
Максимальные различия в получаемых распределениях наблюдаются для температурного поля и составляют величины порядка 15 %. На рисунках 4, а и 4, б можно видеть влияние деформации на изменение темпе-
а) б)
Рис. 4. Распределения температуры по радиусу цилиндра
ратуры. Так, при отрицательной скорости изменения объема наблюдается увеличение температуры, а при положительной скорости — уменьшение, что соответствует результатам работы [5]. На начальном этапе нагружения для процесса, изображенного на рис. 4, а, наблюдается локальный минимум температурного поля, соответствующий растяжению серединных волокон цилиндра. Затем по мере прогрева образца этот эффект пропадает. Для процесса обжатия цилиндра (рис, 4, б) аналогично наблюдается локальный максимум температурного поля, которому соответствует сжатие серединных волокон.
В данных задачах учет связанности в максимальной степени влияет на определение температурного поля. Различия в решениях накапливаются с ростом деформаций и температуры. Постановка (1), (4)—(9) позволяет моделировать различные эффекты взаимного влияния поля деформаций и температурного поля.
Список литературы
1. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Описание конечных деформаций твердых тел в отсчетной конфигурации // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 2. С. 156-166.
2. Христич Д.В., Астапов Ю.В., Глаголев Л.В. Постановка задачи конечного деформирования анизотропных тел в терминах начальной конфигурации // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 148-157.
3. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Решение краевых задач нелинейной термоупругости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 123-136.
4. Маркин А.А., Соколова М.Ю, Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.
5. Роговой А.А., Столбова О.С. Эволюционная модель термоупругости при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 3. С. 184-196.
Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Астапов Юрий Владимирович (ast3K3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Account of mutual influence of stress, strain and temperature fields at Lame problem solving
D. V. Khristich, Yu. V. Astapov
Abstract. In this article an influence of coherence accounting in numerical determination of stress-strain state and the temperature field in nonlinear thermoelasticity problem is investigated. States of thick-walled cylinder with two types of loading in a nonuniform temperature field are examined. The problem is solved in cylindric coordinates using finite element method.
Keywords: thermomechanics, thermoelasticity, finite deformations, coupled boundary problems.
Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 22.12.2014
