CC BY
12
Рисунок 2. Интенсивность напряжений при повороте осей анизотропии
Существенное влияние на характер распределения напряжений оказывает радиус скругления концентратора и ориентация главных осей анизотропии материала. Увеличение радиуса скругления приводит к росту зоны неоднородности напряжений. При изменении ориентации главных осей анизотропии область максимальных напряжений смещается относительно оси концентратора, поворачиваясь на угол ж/6 . При этом поворот осей анизотропии практически не влияет на значения напряжений, сохраняя значение коэффициента концентрации.
Проведенный анализ показал, что анизотропия материала пластинки влияет на распределение максимальных напряжений в локализованной вблизи вершины концентратора области. Если в качестве концентратора напряжений рассматривать трещину, то ее развитие в материале связано с тем, каким образом распределены напряжения вблизи ее вершины. Проведенные расчеты показали, что при моделировании процессов развития трещин в материале необходимо учитывать характер анизотропии свойств этого материала.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (13-01-97501, 14-
01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
Список литературы:
1. Маркин А.А., Астапов Ю.В. Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости //Известия ТулГУ. Естественные науки.
- 2014. - Вып.1. - Ч. 1. - С.190-195.
2. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Описание конечных деформаций твердых тел в отсчетной конфигурации // Прикладная механика и техническая физика.
- Т.53. - № 2. - 2012. - С. 156-166.
3. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Решение краевых задач нелинейной термоупругости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2010. - В. 1. - С.123-136.
4. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика. - 2003. - Т. 44. - № 1. - С.170-175.
5. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - 374 с.
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ ГРАНИЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Астапов Юрий Владимирович
Тульский Государственный Университет, магистрант, г.Тула
А. А. Ильюшиным [1, 2] была предложена идея построения универсальных соотношений, связывающие произвольную нагрузку на границе тела с перемещениями точек, принадлежащих этой границе, для моделирования зернистости материалов. Применение подобных соотношений целесообразно при решении прикладных задач механики деформируемого твердого тела, когда удобно предварительно оценивать поведение всей конструкции. Рассматривая состояние каждого отдельного элемента системы в отдельности, возможно определить силы взаимодействия, которые затем использовать в качестве граничных условий. В общем случае подобные связи могут быть найдены для задач, имеющих аналитические решения. С целью практического применения изложенной идеи необходимо использование численных методов.
Рассматривается задача теории упругости для линейно-упругого тела. В отсутствии массовых сил имеет место принцип возможных перемещений Лагранжа:
\q--SsdV = \Р-5йс1 И, (1)
V Е
где 6А{Г) = | (7 ■ -58(IV - работа внутренних напря-V
жений на возможных деформациях, §/(е ) = | р • §и ¿/X
2
- работа внешней поверхностной нагрузки на возможных перемещениях.
Применение метода конечных элементов [3]
позволяет, произведя дискретизацию объема V, найти связь между внешней нагрузкой и перемещениями в П точках области в виде системы линейных алгебраических уравнений [4]:
£ Суи] = р , ' = 1-п
У =1
(2)
и
) + £ Си() = р, , = 1...П,
У=1
] =пе +1 п
У У
(4)
£ сие) + £ С и) = 0, / = пе + 1...П.
;=1 У=пе +1
Представим матрицу [С ] в блочном виде, обозначив элементы матрицы С,; следующим образом:
у
Кт1} = Ст1, т = 1...пе, 1 = 1...пе,
К (е')
I
(е =
т1
К",) = С„,, т = П + 1...П, / = П + 1...П
"т/ = Ст1, т = 1...Пе, 1 = Пе + 1...n, Кте) = Ст1, т = пе + 1...п 1 = 1...пе,
т/ ^ т/? ' "е • ^ •••■•■>* • -е
В новых обозначениях система (4) примет вид:
К (ее)
К
(,е)
{и (е)} + [ К(е') ]{и(,) } = {Р}, { и (е)} + [ К) ]{ и(' )} = {0}.
(5)
Найдем из однородной части системы (4) выражение для перемещений внутренних узлов через перемещения граничных узлов:
т1
{и(0 }
К
К]{и(е)}.
(6)
Подставим соотношение (6) в неоднородную часть системы (5):
( К(ее) _ К(е,) К ('г) —1 К(,е) \
V )
,(е)\_
где С,-;,' = 1...П, У = 1...П - компоненты глобальной
У ^
матрицы жесткости системы конечных элементов, Р -
внешние обобщенные узловые силы.
Переставим в системе (2) уравнения таким образом, чтобы первые пе уравнений соответствовали перемещениям узлов, принадлежащих границе X объема V . Оставшиеся П — Пе уравнений будут соответствовать перемещениям внутренних узлов. Причем, учитывая отсутствие массовых сил, к внутренним узлам не отнесены узловые силы, поэтому вторая часть системы будет однородной.
п
£ Суи; = р, ' =1...Пе,
;=1
(3)
п
£ Суи; = 0 ' = пе + 1...п.
и=1
В каждом из уравнений системы (3) также выполним группировку неизвестных перемещений, соответ-
('')
ствующих внутренним узлам и и узлам на границе
(е).
Р}.
(7)
Выражение (7) устанавливает универсальную линейную связь между поверхностной нагрузкой и узловыми перемещениями на границе. Назовем матрицу, входящую в левую часть соотношения (7), матрицей граничной жесткости:
п—1
[ В] = К(ее)
К
(е')
К
со
К
(,'е)
(8)
причем матрица граничной жесткости имеет размер П^ X П^.
Построив по формуле (8) матрицу граничной жесткости для произвольного тела с заданной конфигурацией конечно-элементной сетки, возможно, задавая различные допустимые комбинации граничных условий, получать решения в виде перемещений граничных узлов и соответствующих опорных реакций. Преимуществом данного подхода является то, что решения на границе, полученные с помощью матрицы граничной жесткости и с помощью глобальной матрицы жесткости идентичны, однако число уравнений, разрешающих задачу в первом случае значительно меньше, чем во втором. Следует, однако, отметить, что сам алгоритм построения матрицы граничной жесткости сопряжен с определенными вычислительными затратами. В соответствии с формулой (8), необходимо численно обращать блок глобальной матрицы жесткости, соответствующий внутренним узлам
К(") . Применение метода оправдано в тех случаях,
когда для области со сложной внутренней структурой необходимо оценивать поведение границы. Тогда возможно, аппроксимировав внутреннюю структуру большим числом конечных элементов, построить матрицу граничной жесткости и дальнейшие расчеты вести с ее помощью, пользуясь ее малой размерностью по сравнению с глобальной матрицей жесткости.
Для построения системы уравнений для задачи сопряжения областей с использованием матрицы граничной жесткости используется алгоритм, отличающийся от алгоритма непрямого суммирования локальных матриц жесткости элементов при построении глобальной матрицы жесткости. Матрицы граничной жесткости записываются блоками на диагонали глобальной матрицы граничной жесткости. К построенной таким образом матрице добавляется прямоугольная матрица связей, каждая строка которой отражает равенство неизвестных величин в сопрягаемых узлах. Матрица связей имеет размерность
Пс X £ Пе, , где Пс - количество степеней свободы в уз-
лах сопряжения.
Г
И [0]
[0]
м
с
{и <е)} =
р(е) 0
(9)
[ с ] [0],
Алгоритм (8)-(9) был реализован применительно к плоской области, дискретизированной треугольными симплекс-элементами и протестирован на численном решении задачи Ламе для многослойного цилиндра.
<
п
<
Внутренний слой цилиндра, изготовленный из изотропного материала, подвержен действию равномерно-распределенного по внутреннему контуру давления Рд . Внешний слой цилиндра связан с внутренним условием «полного прилипания». Внешний контур конструкции свободен.
Рассмотрим сечение цилиндра, лежащее в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Для данной задачи из аналитического решения [5] для каждого слоя цилиндра могут быть получены выражения, связывающие величины давлений на внутреннем и внешнем контурах
р, Ре с соответствующими радиальными перемещениями и; и ие :
Р =( Л1ие + Л2иг ),
Ре =( Ви + В2Щ ), Д = -БГгГе2 (А + 2[), Д = 0(Ге3М + Т?Те (А + [)), В = -+ ггте2(А + [)), В2 = Бг2те(А + 2[),
в =_2(А + М)М(Ге2 - гг2)_
(+ тгт2(А + [))(теЪ[ + т2те(А + [)) - т?те\2И + А)2 '
(10)
где А и [ - упругие константы Ламе.
Записав уравнения (10) для каждого слоя цилиндра и добавив к ним условия сопряжения, получим систему линейных алгебраических уравнений, разрешающую задачу:
рд = (+ Л21)ил),
РВ1 = ( в^ + В^ид),
Р(2) =( В(2)иВ2> + В22)ис) (11)
РС =( +Л22)ис),
Р1 = РВ2), иВ)— иВ) •
Рассмотрим решение задачи методом конечных элементов с построением матрицы граничной жесткости.
В силу осевой симметрии задачи конечно-элементные сетки для каждого из слоев были построены для секторов,
соответствующих центральному углу 90 . Для внутреннего слоя было использовано 1600 элементов, количество граничных узлов равно 120. Для внешнего слоя использовалась сетка с 2400 элементами со 140 граничными узлами.
Для каждой из областей были построены матрицы граничной жесткости размером 240 X 240 для внутреннего слоя и 280 X 280 для внешнего. Полученные матрицы были объединены в соответствии с нумерацией узлов и заданы граничные условия. Также были сформулированы ограничения, наложенные на перемещения, и не позволяющие совершать движения области как жесткого целого. Полученная система уравнений была решена методом Гаусса. Результаты численного решения, полученного с использованием матрицы граничной жесткости, отличаются от результатов, полученных из системы (11) менее чем на 1%.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (13-01-97501, 14-01-31138-мол_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
Список литературы:
1. Рязанцева М.Ю., Васин Р.А., Киликовская О.А., Тринчер В.К. О некоторых способах уточнения матриц жесткости Ильюшина в плоской задаче теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. - 1982. - № 3.
- С. 175.
2. Шапиро Г.С. XVII Польская конференция по механике деформируемого твердого тела, 3-9 сентября 1975 г. // Проблемы теории пластичности: сборник переводов / под ред. Г.С. Шапиро / Новое в зарубежной науке. Механика; вып. 7. - М.: Мир, 1976. -232 с. - С. 217-230.
3. Маркин А.А., Астапов Ю.В. Построение матрицы граничной жесткости для плоской задачи теории упругости //Известия ТулГУ. Естественные науки.
- 2014. - Вып.1. - Ч. 1. - С.190-195.
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. - 428 с.
5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1: Учебник для университетов. - М.: Наука, 1976. - 536 с.
ОЦЕНКА ИЗБИРАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИ РЕНТГЕНОСПЕКТРАЛЬНОМ ФЛУОРЕСЦЕНТНОМ АНАЛИЗЕ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ «МЕШАЮЩЕГО» ИЗЛУЧЕНИЯ В ВИДЕ ПОТОКА, ИСПУСКАЕМОГО ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ СЛОЕМ ОБРАЗЦА В ОПРЕДЕЛЕННОМ «ЭФФЕКТИВНОМ» НАПРАВЛЕНИИ
Дуймакаев Шамиль Исхакович*, Потькало Максим Валерьевич**
*кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики наносистем
и спектроскопии (КФН и С), **аспирант КФНи С; физический факультета ЮФУ, 344090 г. Ростов-на-Дону, ул. Р. Зорге, 5
Одной из основных проблем рентгеноспектраль-ного флуоресцентного анализа (РСФА) является избирательное возбуждение флуоресценции определяемого элемента А флуоресценцией т.н. «мешающих» элементов В образца [2-6].
Относительный «чистый» вклад эффекта избирательного возбуждения е одним из первых в мировой практике теоретически изучен В.Ю. Залесским [2]. В монохроматическом приближении возбуждения рентгеновской флуоресценции с интегрированием в цилиндрической системе координат им получены аналитические выражения
