CC BY
14
ФИЗИКА PHYSICS
УДК 539.072
DOI 10.24147/1812-3996.2019.24(4).16-24
РАСЧЕТ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПОПРАВОК ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ДЛИНЫ И ИХ ПРОЯВЛЕНИЕ В НЕРАВНОВЕСНОМ КРИТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
В. В. Прудников1, П. В. Прудников1, П. Н. Маляренко1, Л. Н. Щур2
1 Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
2 Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, г. Черноголовка, Россия
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга. Проведен расчет логарифмических поправок для корреляционной длины неупорядоченных систем с различными концентрациями спинов. На основе анализа временной зависимости корреляционной длины и двухвременной зависимости автокорреляционной функции выявлено проявление логарифмических поправок и кроссоверных явлений перколяционного поведения в неравновесных характеристиках и критических индексах.
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, структурно неупорядоченная двумерная модель Изинга
Финансирование
Исследование выполнено при поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-50006 и гранта Президента РФ МД-6868.2018.2
CALCULATION OF LOGARITHMIC CORRECTIONS FOR THE CORRELATION LENGTH AND ITS MANIFESTATION IN THE NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE AUTOCORRELATION FUNCTION OF THE DISORDERED TWO-DIMENSIONAL ISING MODEL
V. V. Prudnikov1, P. V. Prudnikov1, P. N. Malyarenko1, L. N. Shchur2
1 Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
2 Landau Institute for Theoretical Physics, Russia, Chernogolovka
Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of features of defects influence on nonequilibrium critical behavior of the two-dimensional Ising model are presented. The logarithmic corrections for the correlation length of disordered systems with different spin concentrations are calculated. Analysis of correlation length time dependence and the two-time dependences of the autocorrelation function has revealed an influence of logarithmic corrections and crossover phenomena of percolation behavior on nonequilibrium characteristics and critical exponents.
Информация о статье
Дата поступления 14.10.2019
Дата принятия в печать 14.10.2019
Дата онлайн-размещения 25.12.2019
Article info
Received 14.10.2019
Accepted 14.10.2019
Available online 25.12.2019
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, disordered two-dimensional Ising model
Acknowledgements
The reported study was funded by the RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-50006 and grant of the President of the Russian Federation MD-6868.2018.2
Поведение систем, характеризующихся аномально медленной динамикой, вызывает в настоящее время у исследователей большой интерес. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие сложные системы, как спиновые стекла [2]. Однако данные особенности неравновесного поведения характерны и для систем, испытывающих фазовые переходы второго рода [3; 4], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации trel.
В окрестности температуры Тс фазового перехода второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной ^ ~|Т-Тс|-2и, где г и V - динамический критический индекс и индекс корреляционной длины соответственно. В результате система, находящаяся в критической точке, оказывается не в состоянии прийти к равновесию в течение всего процесса релаксации. Поэтому на временах t « ^еI в поведении систем возникают такие необычные неравновесные явления, характерные для систем с медленной динамикой, как старение, нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы и влияние различных начальных неравновесных состояний системы.
Согласно критерию Харриса [5], присутствие точечных замороженных дефектов структуры изменяет критическое поведение тех систем, для которых выполняется условие 2 - dv = а > 0, где б - пространственная размерность системы, V - критический ин-
декс корреляционной длины и а - критический индекс теплоемкости для чистой системы. Данному критерию удовлетворяют только системы, описываемые трехмерной моделью Изинга, что нашло подтверждение как в результатах экспериментальных, так и теоретических ренормгрупповых и численных Монте-Карло исследований [6-9]. Случай систем, критическое поведение которых описывается двумерной моделью Изинга, является маргинальным, так как критические индексы чистой модели V = 1, а = 0. Теория критических явлений предсказывает для маргинальных случаев появление логарифмических поправок в асимптотическом поведении термодинамических и корреляционных функций при сохранении значений критических индексов чистой модели.
В работе [10] для слабо неупорядоченной двумерной модели Изинга со случайными связями было аналитически показано, что теплоемкость и корреляционная длина вблизи критической точки характеризуются следующими зависимостями: ^|т|-1(1+д!п(1/|т|)1/2, С <х-!п|,
с д = 4,8(1 - р)/р, где г = (Т -Тс) / Тс - приведенная температура, а параметр р определяет спиновую концентрацию системы. В работах [11; 12] для той же модели в температурном поведении корреляционной длины предсказывалось появление степенной логарифмической поправки вида
^|т|-11п1/2|т|, (2)
а также поправки для магнитной восприимчивости и других функций, определяемых в критической области их связью с корреляционной длиной, а именно:
M
-1/8
(3)
Данные предсказания получили подтверждение в работах [13; 14] при численных исследованиях методами Монте-Карло.
Данная статья посвящена изучению критического поведения двумерной модели Изинга с замороженными дефектами структуры, для которой фазовая диаграмма содержит два устойчивых фокуса притяжения фазовых потоков: фиксированную точку чистой модели Изинга и фиксированную точку спиновой перколяции при спиновой концентрации р[') = 0,5927. Эта модель исследовалась численно в ряде работ [11; 12; 15-17]. Авторы [15-17] подтверждают результаты работ [11; 12], согласно которым статические критические индексы в, у, V слабо неупорядоченных систем равны индексам чистой модели, а влияние дефектов приводит только к логарифмическим поправкам у характеристик критического поведения термодинамических и корреляционных функций.
В работах [18-20] высказаны идеи нарушения при перколяционной концентрации спинов стандартной формы динамического скейлинга, в соответствии с которой время релаксации trel и корреляционная длина (;т термических долгоживущих возбуждений системы связаны соотношением
\rnte = г) (4)
с функцией ^х) = zx и не зависящим от температуры динамическим индексом z. Предполагается, что при pc реализуется сингулярное динамическое скейлин-говое поведение (4) с^х), имеющей вид квадратичной функции. При этом может быть введен зависящий от температуры эффективный динамический индекс г(х~^) в виде
г = Л\П^т+ В. (5)
В работах [21; 22] при исследовании критической динамики двумерной модели Изинга было выявлено, что вблизи порога спиновой перколяции (для систем со спиновой концентрацией р < 0.85) динамический критический индекс z, определяющий температурную зависимость времени релаксации, демонстрирует зависимость от концентрации дефектов с нарушением стандартной формы динамического скейлинга в виде
z = Д'!п(р-p ) + B'.
(6)
Зависимость (6) сопоставляется с аномальной скейлинговой зависимостью (5) для эффективного динамического индекса z при (р-рсУ',
где Vp - индекс корреляционной длины для явления перколяции. Равенство fr ~ fr соответствует условиям T = Tc(p) и p, близких к pc, так как при использовании ряда известных соотношений для модели Изинга может быть получено, что /^ «exp[2Jvr(T-Tc)/kTTc]. В связи с вышеизложенным ожидается весьма нетривиальным влияние дефектов на характеристики неравновесного поведения двумерной модели Изинга.
Гамильтониан ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением
H = -JX PPjSSj -pS , (7)
< ,j> i
где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si = ±1, зафиксированными в узлах плоской квадратной решетки. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 - в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения
PP) = (1 - p)S(p,.) + pS(p,.), (8)
где p = (p,) задает величину спиновой концентрации.
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
M(t) = i | ddx [( S(x,t)) ] =
(9)
A
C(t ,tw) = -1 ddx
(10)
(Ns = р1-2 характеризует число спинов в решетке с линейным размером £) и двухвременная корреляционная функция tw), которая определяется соотношением
Б(х)) - "
-(Б(х Б(0,^)) _
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решётке.
Моделирование систем проводилось на квадратной решетке с линейным размером £ = 1024 в широком интервале изменения спиновых концентраций с р = 0,95, 0,9, 0,85, 0,8, 0,75 и 0,7 при соответствующих критических температурах Т:(р): 7"40,95) = 2,08989(8), Ъ(0,9) = 1,9032(5), Ъ(0,85) =
= 1,7098(4), Тс(0,8) = 1,5103(4), Тс(0,75) = 1,2980(10), Тс(0,7) = 1,0729(10) [17; 23].
Системе задавался старт из высокотемпературного начального состояния со значениями намагниченности и т0 = 0 и т0 = 0,01 << 1. Поведение систем исследовалось на временах до 10000 шагов Монте -Карло на спин. При моделировании чистой системы с р = 1,0 проводилось статистическое усреднение по 15000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 2000 примесным конфигурациям и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации.
В случае структурно однородной спиновой системы линейными масштабами, характеризующими ее поведение, являются термодинамическая корреляционная длина £т и линейный размер ¿. Для систем с точечными дефектами структуры существует еще два характерных линейных масштаба [10]: I, характеризующий среднее расстояние между примесями, и пер-коляционная корреляционная длина £р, которая определяет линейный размер кластеров дефектов [17].
Зависимость среднего расстояния между примесями от концентрации дефектов структуры задается выражением:
/,. ж е1/д (11)
с коэффициентом д, определяемым спиновой концентрацией р. Аналитическое выражение
8
1 - p
4 4
g=~ g о=--т=—^—
я я (1+ V2/ я)2 р
> 4,843
1 - Р
(12)
согласуется с результатами численного моделирования в случае р < 0,9 [17].
Средний квадрат корреляционной длины может быть вычислен на основе соотношения [24]:
2^ {й2(в)в2 п(в))
=-
(13)
Е/П(5) '
где Я2(5) - квадрат радиуса гирации кластера раз мера 5,
1 5
R2(S) =1 ]ГК -rcm |2.
(14)
5
Здесь п - радиус-вектор узла, входящего в кластер, гст - радиус-вектор центра масс кластера, определяемый соотношением
1 5
= 1 Яг
5 i=1
(15)
Рассматривая кластеры дефектов, в соответствии с соотношениями (13) - (15) можно вычислить значения перколяционной корреляционной длины £р.
Нами был произведен расчет £р для структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга с различными концентрациями спинов р. Значения £р представлены в таблице 1. Перколяционная корреляционная длина характеризуется зависимостью от концентрации дефектов в виде [25]:
^Р =С(Р - Рс Р , (16)
где Vp = 4/3. На рис. 1 в двойном логарифмическом масштабе показана полученная нами зависимость £р от р для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0, 0,95, 0,9, 0,85, 0,8, 0,75, 0,7. Значения параметров линейной аппроксимации у = А + Вх, где х = 1п|р - рс|, у = 1п£р, равны: А = -0,72(12), В = -1,21(17). Значение Vp = В = -1,21(17) в пределах погрешности совпадают с точным результатом [25] Vp = 4/3, а £,(0) = еА = 0,49(6) - с полученным в работе [26] значением = 0,52(2).
Таблица 1 Значения перколяционной корреляционной длины коэффициента д и среднего расстояния между дефектами структуры I: = е1/д для систем с различными концентрациями спинов р
p p - Pc Ь g li
1,0 0,4072 0
0,95 0,3572 0,50(1) 0,2 148,4
0,9 0,3072 0,78(1) 0,65 4,657
0,85 0,2572 1,07(2) 1,2 2,301
0,8 0,2072 1,41(3) 2,1 1,610
0,75 0,1572 1,84(3) 3,75 1,306
0,7 0,1072 2,41(5) 5,7 1,192
Рис. 1. График зависимостей перколяционной корреляционной длины и среднего расстояния между дефектами структуры I, = е1/д от концентрации спинов р
Рассматривая кластеры спинов в различные моменты времени, из соотношений (13)-(15) можно
1
найти временные зависимости динамической корреляционной длины
Значение р = 0,9 соответствует спиновой концентрации, при которой совпадают значения перко-ляционной корреляционной длины (р и среднего расстояния между дефектами /¡. Системы с р > 0,9, для которых выполняется соотношение Ь> £Р, хорошо описываются теорией слабого беспорядка [10-12]. В системах с р < 0,9 размеры кластеров дефектов становятся больше среднего расстояния между примесями, начинает проявляться эффективное взаимодействие дефектов.
На рис. 2 (а) приведены временные зависимости динамической корреляционной длины №) для систем с линейным размером £ = 1024 и различными спиновыми концентрациями при эволюции из состояния с начальной намагниченностью те = 0. Видно, что асимптотически стремится к значению = ¿/2 = 512. Это связано с наложенными на систему периодическими граничными условиями. Для характеристики поведения корреляционной длины на долговременном этапе с t >> 1 были вычислены временные зависимости параметра = ^(а>), представленные на 2 (б). Из данных, представленных в таблице 1 и на рис. 2, видно, что для системы с концентрацией спинов р = 0,95 в рассматриваемом интервале времен t = 10..3000 MCS/s динамическая корреляционная длина оказывается близкой по величине к среднему расстоянию между дефектами структуры /, тогда как для систем с р < 0,9 значение много больше /¡. Для параметра ДДО) в случае р = 0,95 выполняется соотношение ) < /(.. Системы с меньшими концентрациями спинов характеризуются параметром Д^), большим по сравнению с масштабами /1 и
Для чистой системы поведение корреляционной длины характеризуется временной зависимостью параметра ДДО) в виде
)~ t. (17)
В случае слабо неупорядоченных систем с концентрациями спинов р = 0,95 и р = 0,9 в связи с малостью значений времени t до выхода корреляционной длины №) на плато влиянием логарифмических поправок на ее поведение можно пренебречь. Следовательно, для данных систем справедлива зависимость Д^) в виде (17). Из найденных зависимостей Д^) в соответствии с соотношением (17) были вычислены значения показателя 1/z и соответствующие величины динамического критического индекса z, представленные в таблице 2.
Для сильно неупорядоченных систем с p < 0,9 теория слабого беспорядка [10] неприменима. Влияние дефектов на временное поведение корреляционной длины в таких системах характеризуется логарифмической поправкой следующего вида:
A£(t)~ t-1/z (lnt)1/2. (18)
1 10 100 1000
t, MCS/s
1 10 100 1000 t, MCS/s
1 10 100 1000
I, МСБ/э
Рис. 2. Временная зависимость динамической корреляционной длины (а), а также параметра Л£,^) = £,(го) (б) и сучетом влияния
логарифмических поправок в виде Л^)(П)-1/2 (в) при релаксации из начального состояния с т0= 0 для систем с различными спиновыми концентрациями р
Таблица 2
Значения показателя 1/z и соответствующие значения
динамического критического индекса z, найденные из анализа поведения динамической корреляционной длины {(t)
p Поправка 1/z z
1 - 0,465(8) 2,147(37)
0,95 - 0,463(9) 2,160(43)
0,9 - 0,463(7) 2,158(32)
0,8 (In/)1'2 0,391(5) 2,558(30)
0,75 (In/)1'2 0,354(6) 2,822(47)
0,7 (In/)1'2 0,308(5) 3,242(47)
Для этого были построены в двойном логарифмическом масштабе графики зависимости )(!п*)1/2 от времени наблюдения t, представленные на рис. 2 (в). Из наклона изображающих кривых были определены значения показателей г и 1/г, приведенные в таблице 2. Данные значения в пределах погрешности совпадают со значениями г(р): г(1,0) = 2,161(11), г(0,9) = 2,158(13), г(0,85) = 2,293(15), г(0,8) = 2,508(17), г(0,75) = 2,774(21), г(0,7) = 3,217(25), которые были вычислены в работе [27] из анализа временной зависимости намагниченности при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1. Значения показателей г(р) для систем со спиновыми концентрациями р = 0,95 и р = 0,9 в пределах погрешности совпадают со значением г = 2,147(37) для чистой системы. Данный результат подтверждает, что значения динамического критического индекса г(р) для слабо неупорядоченных систем с р > 0,9 остаются постоянными и их критическая динамика принадлежит классу универсальности чистой двумерной модели Изинга [21; 22]. В то же время для спиновых концентраций р < 0,85 зависимость г(р), как видно из рис. 5 (а), хорошо описывается логарифмической зависимостью г(р) = А |1п(р - рс)| + В, характеризуемой нарушением стандартной формы динамического скейлинга из-за влияния кроссоверных эффектов перколяционного поведения [21; 22].
На следующем этапе исследований был осуществлен расчет двухвременной зависимости автокорреляционной функции С(^ tw) (рис. 3) при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью те = 0,01 << 1. Эффекты старения проявляются на временах t - tw ~ tw и характеризуются замедлением корреляции и релаксации системы с увеличением ее возраста - времени ожидания tw в соответствии с обобщенной скейлинговой формой [4]:
с(* Л)~ (№/ )), (19)
где Гс - скейлинговая функция, зависящая от корреляционных длин с учетом логарифмических поправок (1) и (2) для структурно неупорядоченных систем.
Рис. 3. Временная зависимость автокорреляционной функции С(^ для систем с различными спиновыми концентрациями р при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 0.01 << 1
1.2 1
^JS
si 0.8
I 5 0.6
0.4
L m0= 0.01
1 ^ !
—*— tw= 20 ■ t = 40 ^ р = 0.7 : m р = 0.8
-i—i i i i i i i *** и и OD О) О О \ р = 0.9 Р = 1
тщ,,)
Рис. 4. Зависимости скейлинговых функций Гс(?Ш/Ш) = tw) от для систем
с р = 1,0, 0,9, 0,8 и 0,7 при эволюции из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 0,01
В соответствии с соотношением (19) была проанализирована зависимость автокорреляционной функции С(^ tw) от корреляционных длин и ДОш) для систем с р = 1,0, 0,9, 0,8 и 0,7. Рассмотрение данной зависимости позволяет провести анализ поведения автокорреляционной функции без дополнительного учета логарифмических поправок, как это было сделано нами в работе [27]. Была построена зависимость ^2Р/(Щ)С(^) от ш) при эволюции систем из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью те = 0,01. Представленные на
рис. 4 графики демонстрируют коллапс полученных данных для различных tw на универсальной кривой, определяемой скейлинговой функцией Гс, для каждой спиновой концентрации.
Рис. 5. Зависимость динамического критического индекса I (а) и критического показателя са(р) для автокорреляционной функции (б), представленная в логарифмическом масштабе 11п (р-рс)|
На долговременном этапе эволюции с t - tw » tw двухвременная зависимость скейлинговой функции Гс , согласно [4], характеризуется выражениями:
Г ^ / ^ )~(t / ^ )Са (20)
с показателем са, связанным с критическими индексами I, д' соотношениями Са = Ы/г - д', где Ы = 2 - пространственная размерность системы. С учетом зависимости автокорреляционной функции от корреляционной длины (20) принимает вид
Г ^ / ^ )~(ад/ )Г°, (21)
где показатель Са'равен по значению Са. Из асимптотического наклона скейлинговых функций Гс на временном интервале с t/tw >> 1 были определены значения показателей Са', равные Са'(р): Са'(1,0) = 0,738(8), Са'(0,9) = 0,734(9), Са'(0,8) = 0,619(15), Са'(0,7) = 0,486(7). Данные значения в пределах погрешности совпадают со значениями показателя Са(р): Са(1,0) = = 0,729(6), Са(0,9) = 0,730(7), Са(0,8) = 0,627(11), Са(0,7) = 0,487(14), вычисленными в работе [27] в соответствии с соотношением (15) с учетом логарифмических поправок.
Анализ показывает, что значения критического показателя Са' для системы с р = 0,9 в пределах погрешности совпадает с найденным для чистой модели значением Са'. Таким образом, критическая динамика слабо неупорядоченных систем с р > 0,9 принадлежит классу универсальности чистой двумерной модели Изинга [21; 22]. В то же время для спиновых концентраций р < 0,85 зависимость Са' (р), как видно из рис. 5 (б), хорошо описывается логарифмической зависимостью Са'(р) = Ла |1п(р - рс)| + Ва', отражающей влияние кроссоверных эффектов перколя-ционного поведения [21; 22].
Таким образом, в данной работе методами Монте-Карло был осуществлен расчет логарифмических поправок в неравновесном критическом поведении корреляционной длины для структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга при ее эволюции из высокотемпературного начального состояния. На основе анализа временной зависимости корреляционной длины и двухвременной зависимости автокорреляционной функции было выявлено проявление логарифмических поправок в неравновесных характеристиках и критических индексах структурно неупорядоченной модели.
Показано, что неравновесная критическая динамика слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями р > 0,9 относится к классу универсальности неравновесного критического поведения «чистой» модели, а неравновесное критическое поведение систем с р < 0,9 демонстрирует зависимость универсальных характеристик от концентрации дефектов и нарушение динамического скейлинга, что связано с влиянием кроссоверных эффектов перколяционного поведения [21; 22; 28].
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Fisher M. E. The renormalization group in the theory of critical behavior // Rev. Mod. Phys. 1974. Vol. 46. P. 597-616.
1. Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L. F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. NotesPhys. 1997. Vol. 492. P. 184-219.
2. Berthier L., Kurchan J. Non-equilibrium glass transitions in driven and active matter // Nature Phys. 2013. Vol. 9. P. 310-314.
3. Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.
4. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
5. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. 1974. Vol 7. P. 1671-1692.
6. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003. Т. 173. С. 175-200.
7. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. С. 1377-1383.
8. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 417-425.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Физматлит, 2013. 316 с.
10. Доценко Вик. С., Доценко Вл. С. Фазовый переход в 2D модели Изинга с примесными связями // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. С. 40-44.
11. Шалаев Б. Н. Корреляционная функция и восприимчивость двумерной модели Изинга с примесями // ФТТ. 1984. Т. 26. С. 1811-1823.
12. Shalaev B. N. Critical behavior of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Rep. 1994. Vol. 237. P. 129-188.
13. Wang J. S., Selke W., Dotsenko Vl. S., Andreichenko V. B. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica A. 1990. Vol. 164. P. 221-239.
14. Selke W, Shchur L. N., Talapov A. L. Monte Carlo simulations of dilute Ising models // Annual Reviews of Computational Physics I. 1995. P. 17-54. [Ed. by D. Staufer, World Scientific, 1995. 356 pp.]
15. Ballesteros H. G., Fernandez L. A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A., Parisi G., Ruiz-Lorenzo J. J. Ising exponents in the two-dimensional site-diluted Ising model // J. Phys. A. 1997. Vol. 30. P. 8379-8383.
16. Selke W., Shchur L.N., Vasilyev O.A. Specific heat of two-dimensional diluted magnets // Physica A. 1998. Vol. 259. P. 388-396.
17. Shchur L. N., Vasilyev O. A. Critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 65. 016107.
18. Henley C. K. Critical Ising spin dynamics on percolation clusters // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 54, no. 18. P. 2030-2033.
19. Harris C. K., Stinchcombe R. B. Critical dynamics of diluted Ising systems // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, no. 8. P. 869-872.
20. Lage E. J. S. Critical dynamics of the pure and diluted two-dimensional Ising model // J. Phys. C: Solid State Phys. 1986. Vol. 19, no. 4. P. L91-L95.
21. Марков О. Н, Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 24-29.
22. Prudnikov V. V., Markov O. N. Monte-Carlo renormalization-group of dilute 2D Ising dynamics // Europhys. Letters. 1995. Vol. 29, no. 3. P. 245-250.
23. Martins P. H. L., Plascak J. A. Universality class of the two-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. 012102.
24. Hoshen J. Percolation and cluster structure parameters: The radius of gyration // J. Phys. A: Math. Gen. 1997. Vol. 30, no. 24. P. 8459-8469.
25. Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation Theory. London: Taylor and Francis, 1991. 184 P.
26. Aharony A., Stauffer D. Test of universal finite-size scaling in two-dimensional site percolation // J. Phys. A: Math. Gen. 1997. Vol. 30. P. L301-L306.
27. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 2. С. 33-43.
28. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты сверхстарения и перколя-ционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 107, вып. 9. С. 595-603.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Маляренко Петр Николаевич - аспирант кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: petr.malyarenko@ yandex.ru.
Щур Лев Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432, Россия, Московская область, г. Черноголовка, пр. акад. Семенова 1A; e-mail: shchur@ itp.ac.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Malyarenko Petr Nikolaevich - Postgraduate Student, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: petr.malyarenko@yandex.ru.
Shchur Lev Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, leading researcher, Landau Institute for Theoretical Physics, 1-A, Akademika Semenova av., Chernogolovka, Moscow Region, 142432, Russia; e-mail: shchur@itp.ac.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н., Щур Л. Н. Расчет логарифмических поправок для корреляционной длины и их проявление в неравновесном критическом поведении автокорреляционной функции для неупорядоченной двумерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 4. С. 16-24. ЭО!: 10.24147/1812-3996.2019.24(4).16-24.
FOR QTATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Malyarenko P.N., Shchur L.N. Calculation of logarithmic corrections for the correlation length and its manifestation in the nonequilibrium critical behavior of the autocorrelation function of the disordered two-dimensional Ising model. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 4, pp. 16-24. DOI: 10.24147/1812-3996.2019.24(4).16-24. (in Russ.).
