CC BY
20
УДК 539.2
DOI 10.25513/1812-3996.2017.3.29-36
ВЛИЯНИЕ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА НЕРАВНОВЕСНУЮ КРИТИЧЕСКУЮ РЕЛАКСАЦИЮ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА ПРИ ЭВОЛЮЦИИ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ НАЧАЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ
В. В. Прудников, П. В. Прудников, В. В. Крижановский
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 12.05.2017
Дата принятия в печать 26.06.2017
Дата онлайн-размещения 05.10.2017
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, двумерная структурно неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения, начальные состояния
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-02-00279 и Президента РФ в рамках научного проекта № МД-6024.2016.2
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения двумерной чистой и структурно неупорядоченной модели Изинга при ее эволюции из различных начальных состояний для спиновых концентраций р = 1,0; 0,9; 0,8. Показано, что пиннинг доменных стенок на дефектах структуры приводит к осуществлению эффектов сверхстарения в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой.
INFLUENCE OF STRUCTURAL DISORDER ON THE NONEQUILIBRIUM CRITICAL RELAXATION OF THE TWO-DIMENSIONAL ISING MODEL WITH EVOLUTION FROM DIFFERENT INITIAL STATES
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, V. V. Krizhanovskiy
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info
Received 12.05.2017
Accepted 26.06.2017
Available online 05.10.2017
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, two-dimensional diluted Ising model, ageing properties, initial states
Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of peculiarities of nonequilibrium critical behavior in a two-dimensional pure and structurally disordered Ising model are presented with its evolution from different initial states for spin concentrations p = 1,0; 0,9; 0,8. It is shown that pinning of domain walls on structural defects leads to the appearance of superaging in structurally disordered systems in comparison with the "pure" system.
Вестник Омского университета 2017. № 3(85). С. 29-36
-ISSN 1812-3996
Acknowledgements
The reported study was funded by RFBR according to the research project № 17-02-00279 and by the President of RF according to the research project № MD-6024.2016.2
Поведение статистических систем вблизи температуры Тс фазового перехода второго рода характеризуется медленной динамикой с аномально большими временами релаксации trel ~1Т- ТсГ2У, где г и V - динамический критический индекс и индекс корреляционной длины соответственно. В результате система, находящаяся в критической точке, не может прийти к равновесному состоянию в течение всего процесса релаксации [1-4]. В таких условиях система демонстрирует ряд особенностей неравновесного поведения, к которым относятся эффекты старения. Эти эффекты проявляются на неравновесном этапе с временами t << trel и выражаются в осуществлении двухвременных зависимостей для ав-корреляционной функции и функции отклика и зависимости их поведения от начальных состояний. В исследовании влияния начальных состояний различают высокотемпературное состояние, создаваемое при температурах Т>> Тс, и низкотемпературное состояние при Т< Тс. Высокотемпературное состояние характеризуется начальной намагниченностью т0 << 1, в то время как низкотемпературное - начальной намагниченностью т0 = 1 [4; 5]. В данной работе исследуется влияние различных начальных состояний с намагниченностью в интервале 0 < т0 < 1.
Данная работа посвящена исследованию особенностей неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга с различными начальными состояниями и влиянию на них дефектов структуры. В работе рассматриваются системы со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9; 0,8 c начальными состояниями, характеризующимися намагниченностями т0 = 1,0; 0,8; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,01.
Гамильтониан структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга задается выражением [6]:
Н = -] ^ РРМ , (1)
<>, ¡>
где ] > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Б/ = ±1. В данной модели немагнитным атомам примеси сопоставляются пустые узлы. Числа заполнения р/ вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: р/ принимается равным 1, если в узле / находится спин, и 0 в случае его отсутствия.
Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения Р(р/) = (1 - р)б(р/) + рб(р/), где р = (р.} задает величину спиновой концентрации в
системе [6]. Положение дефектов структуры фиксировалось для отдельной примесной конфигурации. Моделирование проводилось на квадратной решетке с линейным размером £ = 256 с наложенными периодическими граничными условиями. Ыэ = р1-2 характеризует число спинов в решетке. В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность [6]
M(t) = ddx [S(x ,t]) ] =
N
-tpSi (t)
(2)
и двухвременная автокорреляционная функция
Ф, ^) [6]
С(Г,ГШ) = 1 ¡с1"х[(з(х,гтгш))-{5(х,Г)}{5(0,Г„))], (3)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, равное 160 в данной работе, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решетке, равное 30 конфигурациям. Время моделирования выбиралось 3000 шагов Монте-Карло на спин.
Вблизи критической точки намагниченность и автокорреляционная функция являются обобщенно однородными функциями времени наблюдения t, времени ожидания tw и нового масштаба времени tm~mo-1'/k [2], связанного с начальной намагниченностью системы т0, где показатель к = в / (г^) + 0' > 0, выражается через известные динамические г, 0' и статические в, V критические индексы. В результате предсказывается осуществление следующих скей-линговых зависимостей для намагниченности и автокорреляционной функции [2]:
т ^,а / ^ ),
С(г,гт)~ г(Г / ,г / Гт), где скейлинговые функции (г / гт),
Гс (г / ^ / ) - обобщенно-однородные функции своих аргументов.
(4)
С целью проверки выполнения данных скей-линговых соотношений в неравновесном критическом поведении двумерной модели Изинга и влияния на них дефектов структуры на первом этапе было проведено численное исследование релаксационных свойств намагниченности для систем со спиновыми концентрациями p = 1,0; 0,9; 0,8 при эволюции из различных начальных состояний. Результаты вычисления представлены на рис. 1-3.
Рис. 1. График критической релаксации намагниченности M(t) для «чистой» системы с p = 1,0 с различными
значениями начальной намагниченности то (светлосерые линии обозначают использованные аппроксимации)
Рис. 2. График критической релаксации намагниченности M(t) для структурно неупорядоченной системы с p = 0,9 с различными значениями начальной намагниченности то (светлосерые линии обозначают использованные аппроксимации)
Из графиков, представленных на рис. 1-3, видно, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний mo Ф 1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1. При этом для систем с т0 << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом где д' - показатель начальной эволюции системы [2-4]. При временах t > Ъ~т0-1/к данный этап эволюции сменяется режимом, характеризуемым степенной зависимостью М(^~Гр/(и). При эволюции системы из начального низкотемпературного состояния с т0 = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью М^)^-13''2"' со значениями показателей, зависящими от спиновой концентрации р.
Рис. 3. График критической релаксации намагниченности M(t) для структурно неупорядоченной системы с p = 0,8 с различными значениями начальной намагниченности то
Процедура линейной аппроксимации зависимости M(t), проведенная для полученных графиков в двойном логарифмическом масштабе, позволила определить показатель в / (vz). Так, данный показатель принимает следующие значения: в / (vz) = 0,058(6) для p = 1,0; в / (vz) = 0,056(3) для p = 0,9; в / (vz) = 0,048(4) для p = 0,8.
В работах [7-9] было показано, что присутствие некоррелированных дефектов является несущественным для критического поведения двумерной модели Изинга, сохраняя значения критических индексов равными индексам чистой модели, а именно в = 0,125 и v = 1, и приводя лишь к логарифмическим
Вестник Омского университета 2017. № 3(85). С. 29-36
-ISSN 1812-3996
поправкам в асимптотическом поведении термодинамических и корреляционных характеристик при Т-^Тс. Подстановка данных значений для в и V позволяет определить значения динамического критического индекса 2. 2(1,0) = 2,155(8), 2(0,9) = 2,232(6), 2(0,8) = 2,604(6). Сравнение этих значений с полученными ранее другими методами г(1,0) = 2,143(5) [10], 2(1,0) = 2,24(7), 2(0,9) = 2,24(6), г(0,8) = 2,51(6) [11], показывает их достаточно хорошее согласие в пределах статистических погрешностей. В то же время данные значения указывают на определенную зависимость динамического показателя от спиновой концентрации, что связано с выявленным в работе [11] нарушением стандартной формы динамического скейлинга вблизи перколяционной концентрации спинов для двумерной модели Изинга.
Рис. 4. Зависимость скейлинговой функции Гт(то1/к) = /Р'МОД от переменной Ш1к для чистой системы с р = 1,0
На рис. 4-6 представлены результаты численной проверки предсказания временной скейлинговой зависимости (4) для намагниченности как функции начальных значений намагниченности т0 для чистой системы и систем с р = 0,9 и р = 0,8. Для скейлинговой функции Гт(х) от х = tmo1/k наблюдается «коллапс» данных, полученных для различных т0, на единой универсальной кривой с линейным начальным участком (в двойном логарифмическом масштабе) с Гт(х) ~ хк. Были получены следующие значения показателя к для двумерной модели Изинга: к = 0,249(3) для р = 1,0, к = 0,253(4) для р = 0,9 и к = 0,175(7) для р = 0,8.
Графики автокорреляционных функций для различных спиновых концентраций р и значений начальной намагниченности т0 представлены на рис. 7-9. Видно существенное влияние начальных
состояний, а также замедление спадания временной зависимости автокорреляционной функции с ростом концентрации дефектов (понижением значений р). В соответствии с исследованиями, проведенными в работе [12], этот эффект можно связать с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры, что приводит к смене режима поведения автокорреляционной функции при переходе от высокотемпературного начального состояния с те << 1 к низкотемпературному с те = 1.
Рис. 5. Зависимость скейлинговой функции Рт(Шош) = Р'МОД от переменной то1/к для системы с р = 0,9
Рис. 6. Зависимость скейлинговой функции Рт(Шош) = Р'МОД от переменной то1/к для чистой системы с р = о,8
1 10 100 1000
t, mcs/s
Рис. 7. График автокорреляционной функции 0ЦИ3) для чистой системы с р = 1,0
1 10 100 1000
t, mcs/s
Рис. 8. График автокорреляционной функции C(t,tl3) для системы с p = 0,9
0,01
1 10 100 1000 (, тсв/$
Рис. 9. График автокорреляционной функции 0(1Щ для системы с р = 0,8
Отметим, что наблюдаемый для систем со спиновыми концентрациями р = 0,9 (рис. 8) и р = 0,8 (рис. 9) нефизический рост автокорреляционных функций при эволюции из высокотемпературного
начального состояния с т0 = 1 связан с малостью значений времени ожидания tw = t/3 на временах наблюдения t < 30 шагов Монте-Карло на спин, в то время как необходимо, чтобы было tw >> 1.
На рис. 10-12 представлены графики скейлин-говой составляющей автокорреляционной функции от переменной х = /01/к. Видно, что для чистой системы с р = 1,0 при соответствующем выборе показателя к(1,0) = 0,249 наблюдается каноническое явление старения, т. е. «коллапс» данных для различных т0 на единой универсальной кривой. В то же время для структурно неупорядоченных систем с р = 0,9 (рис. 11) и р = 0,8 (рис. 12) такого «коллапса» для значений показателя к(0,9) = 0,253 и к(0,8) = 0,175 не наблюдается.
0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000
х-Ц,"
Рис. 10. Зависимость скейлинговой функции Рс(Ш1к) = от переменной Ш1к
для чистой системы с р = 1,0
■ Ч.........—ГТТТЛЩ-1 I IIIKf—.........—гттпп^—........—ГТТТПЩ-ГТТПЩ—I II......—I I llliq—I I IIIIIJ
10-" 10Г1 10» 1(Г 10"* 10* 10" 10' 10е 101 10* 10'
x=tm0"k
Рис. 11. Зависимость скейлинговой функции Fc(tmo1lk) = t2e'(vz)C(t,í/3) от переменной tmo1lk для системы с p = 0,9
Рис. 12. Зависимость скейлинговой функции
Рс(Ш1к) = т^ОаЮ) от переменной Ш1к для системы с р = 0,8
В соответствии с теорией неравновесных фазовых переходов [13; 14] двухвременные зависимости автокорреляционной функции и функции отклика могут описываться не только скейлинговыми формами (4), соответствующими каноническому старению, но и более сложными скейлинговыми зависимостями вида
С^ лт) = Г2|3/(^> Рс { / С1 / С ) ■ (5)
В случае показателя ц > 1 реализуются эффекты сверхстарения, а для ц < 1 - эффекты субстарения. При выборе tw~t1/^ скейлинговая форма (5) принимает вид
с^ ^, г)=t-2|3/И2) Рс к С),
(6)
что позволяет описывать зависимость автокорреляционной функции от значений начальной намагниченности то для эффектов сверхстарения или субстарения.
В работах [15; 16] при численном Монте-Карло исследовании неравновесного критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга было выявлено осуществление эффектов сверхстарения во временной зависимости автокорреляционной функции при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния [15], а также для значений начальной намагниченности то > 0,25 [16].
Ввиду того, что для двумерной модели Изинга дефекты приводят к изменению режимов для автокорреляционной функции и нарушению для канонического старения, можно сделать предположение о возможности осуществления более сложных форм сверхстарения или субстарения.
Для этого надо исследовать скейлинговую часть автокорреляционной функции C(t,t1/^)t2ß/(^uz) от переменной t^mo1/k, подбирая такой показатель ц, который мог бы обеспечить «коллапс» данных для различных mo на одной или нескольких универсальных кривых.
На рис. 13-14 представлены графики зависимости функции C(t,t1/^)t2ß/(^uz) от переменной t^mo1/k при значении ц = 2,6 для системы с концентрацией спинов p = 0,9 и ц = 2,8 для системы с p = 0,8. При этом на данных графиках, соответствующих явлению сверхстарения (так как ц > 1), можно наблюдать разделение на два типа совпадающих кривых для mo < 0,1 и для mo > 0,4. Кривая для начальной намагниченности mo = 0,2 занимает промежуточное (маргинальное) положение.
Отметим, что в работах [12; 15; 16] при исследовании влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга были получены значения показателя сверхстарения ц = 2,3 для слабо неупорядоченных систем и ц = 2,8 для сильно неупорядоченных систем.
Рис. 13. График зависимости функции от переменной №то11к, который демонстрирует явление сверхстарения для системы с р = 0,9
Проведенные исследования позволяют сделать вывод о реализации в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга эффектов сверхстарения и возможности выделения двух классов универсальности неравновесного критического поведения, соответствующих эволюции из высокотемпературного и низкотемпературного начальных состояний. К низкотемпературному классу универсальности можно отнести все системы с начальной намагниченностью
m0 > 0,2, а к высокотемпературному - системы с начальной намагниченностью m0 < 0,2.
Рис. 14. График зависимости функции C(f,f1/м)f2P/(мvz) от переменной №то11к, который демонстрирует явление сверхстарения для системы с р = 0,8
Так же как и в случае со структурно неупорядоченной трехмерной моделью Изинга [12; 15; 16], возникновение явления сверхстарения можно связать с эффектами сильного замедления временного спадания автокорреляционной функции из-за пин-нинга доменых стенок на дефектах структуры при mo * 0.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.
2. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical aging of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. P06016.
3. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., Vakilov A. N., Pospelov Е. А., Rychkov M. V. Shorttime dynamics and critical behaviour of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 011130.
4. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н., Крижановский В. В. Влияние дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга при эволюции из начального низкотемпературного состояния // Вестн. ОмГУ. 2015. № 4. С. 32-38.
5. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. С. 462.
6. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. М.: Физматлит, 2009. 224 с.
7. Доценко В. С., Доценко В. С. Фазовый переход в 2D модели Изинга с примесными связями // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. С. 40-43.
8. Шалаев Б.Н. Корреляционная функция и восприимчивость двумерной модели Изинга с примесями // ФТТ. 1984. Т. 26. С. 1811-1823.
9. Shalaev B. N. Critical behaviour of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Reports. 1994. Vol. 237. P. 129-188.
10. Okano K., Schulke L., Yamagishi K., Zheng B. Universality and scaling in short-time critical dynamics // Nucl. Phys. B. 1997. Vol. 485. P. 727-746.
11. Прудников В. В., Марков О. Н. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 24-29.
12. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
13. Henkel М., Pleimling М. Non Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2. Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). Heidelberg: Springer, 2010. 544 p.
Вестник Омского университета 2017. № 3(85). С. 29-36
-ISSN 1812-3996
14. Struik L. C. E. Physical aging in amorphous polymers and other materials. Amsterdam: Elsevier Scientific Publishing Company, 1978. 244 p.
15. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on ageing and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. 043303.
16. Krizhanovskiy V. V., Malyarenko P. N., Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. Features of the non-equilibrium critical dynamics in 3D pure and diluted Ising-like ferromagnets // J. Sib. Federal University. Mathematics & Physics. 2016. Vol 9, No 4. P. 463-468.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikp@univer.omsk.ru.
Крижановский Вячеслав Васильевич - магистрант (направление «Прикладные математика и физика»), кафедра теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikp@univer.omsk.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@ univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikp@univer.omsk.ru.
Krizhanovskiy Vyacheslav Vasiljevich - master-student, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikp@univer.omsk.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Крижановский В. В. Влияние дефектов структуры на неравновесную критическую релаксацию двумерной модели Изинга при эволюции из различных начальных состояний // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 3(85). С. 29-36. ЭО! : 10.25513/1812-3996.2017.3.29-36.
FOR CITATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Krizhanovskiy V.V. Influence of structural disorder on the nonequilibrium critical relaxation of the two-dimensional Ising model with evolution from different initial states. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 3(85), pp. 29-36. DOI: 10.25513/1812-3996. 2017.3.29-36. (In Russ.).
