CC BY
19
УДК 539.2
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(3).73-81
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НАЧАЛЬНЫХ СОСТОЯНИИ И ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, П. Н. Маляренко, К. А. Христовский
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 20.06.2018
Дата принятия в печать 25.06.2018
Дата онлайн-размещения 29.10.2018
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения двумерной чистой и структурно неупорядоченной модели Изинга при ее эволюции из различных начальных состояний для спиновых концентраций р = 1,0, 0,9 и 0,8. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости выявлено существенное влияние начальных состояний на эффекты старения. Проведено исследование нарушений флуктуационно-диссипативной теоремы и вычислены значения предельного флуктуационно-диссипативного отношения.
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, двумерная модель Изинга, начальные состояния
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003 и гранта МД-6868.2018.2 Президента РФ
STUDY OF INITIAL STATES AND STRUCTURAL DEFECTS INFLUENCE ON NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE TWO-DIMENSIONAL ISING MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, P. N. Malyarenko, K. A. Khristovskij
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of features of nonequilibrium critical
Received behavior in a two-dimensional pure and structurally disordered Ising model are presented
25.06.2018 with its evolution from different initial states for spin concentrations p = 1,0, 0,9 and 0,8.
Analysis of the two-time dependences of the autocorrelation function and dynamic suscep-Accepted tibility has revealed a substantial influence of the initial states on the aging effects. We have
25.°6.2018 studied the violations of the fluctuation-dissipation theorem and calculated the limiting
fluctuation-dissipation ratio.
Available online 25.09.2018
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, two-dimensional Ising model, initial states
Acknowledgements
The reported study was funded by RFBR according to the research
projects № 17-02-00279, 18-42-550003 and grant MD-6868.2018.2 of the President of the Russia
Поведение систем, характеризующихся аномально медленной динамикой, вызывает в настоящее время большой интерес. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флук-туационно-диссипативной теоремы [1]. Данные особенности неравновесного поведения характерны и для систем, испытывающих фазовые переходы второго рода [2], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации ^
Одной из особенностей, возникающих при описании критического поведения систем, является эффект критического замедления. Он связан с аномальным увеличением времени релаксации системы Ьв/ при приближении к температуре Тс фазового перехода второго рода: Ъв/~|Т- Тс|, где г, V- динамический критический индекс и индекс корреляционной длины соответственно. В результате система, находящаяся в критической точке, оказывается не в состоянии прийти к равновесию в течение всего процесса релаксации. Поэтому на временах t << Ьв/ в неравновесном поведении систем проявляются эффекты старения. Они выражаются в осуществлении двухвременной зависимости для корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t и времени ожидания tw. Время ожидания tw характеризует промежуток от момента приготовления образца до момента начала измерения его характеристик. Еще одним важным проявлением медленной динамики является нарушение флуктуационно-дис-сипативной теоремы (ФДТ) [1; 2], связывающей функцию отклика системы на внешнее возмущение й^^) и корреляционную функцию С^^):
) дс^ )
XЮ = lim limX(t,tw),
(2)
R(t ,tw) = -
(1)
кТ д^
где X(t,tw) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). Для времен с t > tw>> trв/ ФДТ устанавливает, что X= 1. Однако в общем случае для времен с t,tw << trв/ X* 1. Асимптотическое значение ФДО, вводимое как
оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.
В данной работе мы представляем результаты численного Монте-Карло исследования влияния начальных состояний и дефектов структуры на эффекты старения и значения предельного ФДО для двумерной модели Изинга. Гамильтониан ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля Ь задается выражением
Н = -7X ррАА -ЬХРА , (3)
< / ,]> /
где ] > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Б/ = ±1, зафиксированными в узлах плоской квадратной решетки. Числа заполнения р/ вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: р/ принимается равным 1, если в узле / находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения
Р(р/) = (1 - р)5(р/) + рб(р/), где р = (р.) задает величину спиновой концентрации.
В работах [3-5] было показано, что присутствие некоррелированных дефектов структуры является несущественным для статического критического поведения двумерной модели Изинга, сохраняя значения критических индексов равными индексам чистой модели, а именно в = 0,125 и V = 1, и приводя лишь к логарифмическим поправкам в термодинамических и корреляционных характеристиках. В то же время в работах [6; 7] при исследовании критической динамики модели было выявлено, что вблизи порога спиновой перколяции динамический критический индекс г, определяющий температурную зависимость времени релаксации, демонстрирует зависимость от концентрации дефектов с нарушением стандартной формы динамического скей-линга. В связи с этим ожидается весьма нетривиальным влияние дефектов на характеристики неравновесного поведения модели.
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
M(t) = if ddx [(S(x,t]) ] =
N
■£p?, (t)
(4)
двухвременная корреляционная функция С(^ tw) и линейная функция отклика tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями
"(БМБШ»)) - "
-( Б(хЛ))( ))
*-11^ ■
л
C(t tw) = 1 f dd
(5)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решетке.
В данной работе, по аналогии с работами [810], была использована методика, позволяющая рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля. Расчет обобщенной динамической восприимчивости осуществлялся в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости):
^ N
л) - / л $')-—£[< р^ )) ],(6) 0 ¡-1 где функция отклика tw) задается соотношением (5), а функция Д5,^) рассчитывается в процессе моделирования состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяется соотношением
w
¿S, (tw) = £[S, ^^^ - SW (s)],
s=0
ГДе SW = th(j£PmSm / T).
(7)
Моделирование систем проводилось на кубической решетке с линейным размером £ = 1024 со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9 и 0,8 при соответствующих критических температурах Тс.
Формировались начальные состояния системы с различными значениями приведенной намагниченности в интервале от то = 0,01 << 1 до то = 1. Поведение автокорреляционной функции и динамической восприимчивости исследовалось для различных времен ожидания.
Изучались чистая (р = 1,0), слабо неупорядоченная со спиновой концентрацией р = 0,9 и сильно неупорядоченная с р = 0,8 системы. Моделирование
проводилось на квадратной решетке с линейным размером £ = 1024 и наложенными периодическими граничными условиями при соответствующих критических температурах Т:(р): Т:(1,0) = 2,2692, 7^0,9) = 1,9032(5), 7:(0,8) = 1,5103(4) [11]. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала, и конечность размера модели-
руемой системы оказывается несущественной. Поэтому применение в исследованиях решетки с достаточно большим линейным размером £ = 1024 позволяет пренебрегать конечномерными эффектами по сравнению с их проявлением при моделировании равновесных критических явлений [12]. N5 = р1-2 характеризует число спинов в решетке с линейным размером Положение дефектов фиксировалось для отдельной примесной конфигурации. Поведение систем исследовалось на временах до 10 000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании «чистой» системы с р = 1,0 проводилось статистическое усреднение по 15 000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 2000 примесных конфигураций и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации.
Был осуществлен расчет двухвременной зависимости автокорреляционной функции С (рис. 1) и динамической восприимчивости x(t,tw) (рис. 2) как интегральной характеристики функции отклика [2; 6] при эволюции систем с р = 1,0; 0,9 и 0,8 из начальных состояний со значениями намагниченности, равными то = 1 и то = 0,01 << 1. Видно проявление эффектов старения на временах t - tw ~ tw, а именно замедление спадания данных функций с ростом времени ожидания tw - «возраста» системы, в соответствии с обобщенными скейлинговыми формами [2]
)~ $ / С),
X(t,t )~ t -2»/(vz)F (t /t»),
' w' w X w''
(8)
а также усиление данных эффектов для структурно неупорядоченной модели по сравнению с чистой. Анализ зависимостей скейлинговой функции Я/С), я$/С), проведенный с использованием
значений показателей р^ = 0,058(1) для р = 1,0, РМ = 0,056(1) для р = 0,9, РМ = 0,046(1) для р = 0,8 [13] и представленный на рис. 3, 4 показал, что для случая высокотемпературного начального состояния с то << 1 реализуется каноническое старение с ц = 1. В случае низкотемпературного начального состояния я / $ц) характеризуется ц = 1 только для
чистои модели, а для структурно неупорядоченных систем наблюдается сильное замедление эффектов корреляции по сравнению с «чистой» системой, что приводит к реализации «сверхстарения» с показателем ц = 6,25(5) для р = 0,9 и ц = 6,75(5) для р = 0,8
[13]. Для р (г/^), как в случае чистой системы, так и
для структурно неупорядоченных систем реализуется каноническое старение.
0,001
0,0001
m0=1
m P = o,8
■ p = 0,9 .
t„= 80
C= 60
\ T p = i,oV tw= 40
- (6) t„= 20
1
10
100 1000 t -1 , MCS/s
10000
Рис. 1. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции от времени наблюдения t - ^
для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9 и 0,8 в случае т0 = 0,01 (а) и т0 = 1 (б)
0,1
0,01
-■1 ■1 ........1 .....1
m0= 0.01
---1=20 t t =40
" tw=60 V t =80 NV = 0.8 S8S*p = 0.9
(a) ХЛь P = 1 ;
0,1
0,01
0,001
0,0001
m = 1 -
* tw=20
13 tw»40 ч! Щр = 0.8
r (6) tm=80 p = 1.0 ;
1000
10000
1
10 100 t -1 , MCS/s
1 10 1100 t-t , MCS/s
w
Рис. 2. Неравновесные зависимости динамической восприимчивости x(t,tw) от времени наблюдения t - tw для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9 и 0,8 в случае m0 = 0,01 (а) и m0 = 1 (б)
О
0,1
m-1 • • m0= 0.01 —•—1^=20
—11— tw=40 ;
V=eo
—it— tw=80
W^4*" p = 0.8
p = 0.9
: (a) I , ...... i ■ ■ ^ p = 1 ...... • ' '
'0,1
о
0,01
0,001
10
t/t
100
m0=1
p = 0.8
—— t =20
" t =40
* t =60
г (6) P = I v - tm=80
1
t/t
10
Рис. 3. Зависимости скейлинговой функции р (г / ^) от переменной х = г / для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9 и 0,8 в случае т0 = 0,01 (а) и т0 = 1 (б)
0,1
0,01
m0= 0.01 — tu=20 " _t„=4CI "^{=60
V -t =80 W ^^^ p = 0.8
p = 0.9 -
: (a) P=1
0,1
0,01
0,001
: { m0= 1 • („=20
\ —t =40
■ % \
(6) P = 0.9 p = 1,0" . r , .1
10
И
100
ш
10
Рис. 4. Зависимости скейлинговой функции яс (* / ^) от переменной х = t / ^ для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9 и 0,8 в случае то = 0,01 (а) и то = 1 (б)
На рис. 5 (а) представлены временные зависимости автокорреляционной функции С(^ tw) для времени ожидания tw = t / 3 и различных значений начальной намагниченности для системы со спиновой концентрацией р = 0,8. Наблюдаемый нефизический рост автокорреляционных функций при эволюции из низкотемпературного начального состояния с то = 1 связан с малостью значений времени ожидания tw = t / 3 на временах наблюдения t < 30 шагов Монте-Карло на спин, что не соответствует условию tw >> 1.
Для времени ожидания tw = ^3 в случае чистой системы (р = 1) неравновесное поведение автокорреляционной функции характеризуется скейлинговой зависимостью в виде [8]:
_2Р
C(t,t /3) = t » Gc (tmk0).
(9)
Для проверки этого соотношения были построены зависимости ^д/3) от х = гтк0. Из рис. 5 (б) видно, что для системы с p = 0,8 в случае начальных значений намагниченности 0,01 < то < < 0,3 наблюдается «коллапс» данных для различных то на единой универсальной кривой, а для 0,4 < то < 1 данная зависимость нарушается. Эти изменения можно связать с пиннингом доменных стенок на дефектах структуры, что приводит к смене режима поведения автокорреляционной функции при переходе от высокотемпературного начального состояния с то << 1 к низкотемпературному с то = 1. Таким образом, поведение автокорреляционной функции для систем, релаксирующих из начальных состояний с различными значениями начальной намагниченности то, характеризуется принадлежностью к двум подклассам универсального неравновесного критического поведения. Один из них соответствует типу низкотемпературного начального состояния, вклю-
чающего в себя состояния с 0,4 < то < 1. В этом случае скейлинговая временная зависимость автокорреляционной функции для чистой модели Изинга описывается соотношениями теории канонического старения, а для структурно-неупорядоченной модели Изинга — соотношениями теории сверхстарения. Другой подкласс универсального неравновесного критического поведения соответствует типу высокотемпературного начального состояния, включающего в себя состояния с то < 0,4. В этом случае автокорреляционная функция описывается скейлинго-выми формами, соответствующими каноническому старению как для чистой системы, так и для структурно неупорядоченных систем.
На следующем этапе исследований нами был проведен расчет флуктуационно-диссипативного отношения в соответствии с соотношением [10; 14]
д№ )
X(t ,t) = limT
(10)
' дС(*Л)
На рис. 6 (а) представлены графики зависимостей Тх от С для случая эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с то = 0,01. Для получения предельного значения ФДО была проведена процедура определения значений Х^) на основе соотношения (10) для каждого значения времени ожидания tw. К полученным значениям X(tw) была затем применена экстраполяция Х^ ^ ж), которая и позволила определить искомые предельные значения ФДО (табл. 1). Найденное для «чистой» системы значение X" = 0,339(19) находится в очень хорошем согласии с результатом компьютерного моделирования X"= 0,33(1), полученным в работе [8]. Для слабо неупорядоченной (р = 0,9) системы значение ФДО в пределах погрешности совпадает со значением для «чистой» системы, следо-
вательно, эти системы относятся к одному классу универсальности. Для сильно неупорядоченных систем предельное значение ФДО начинает зависеть от концентрации дефектов, что связано с влиянием кроссо-верных эффектов перколяционного поведения [6].
В случае низкотемпературного начального состояния с то = 1 для «чистой» системы зависимость Тх от С имеет линейный характер для временного интервала t - tw > tw >> 1 изменения автокорреляци-
онной функции С^, tw) и характеризуется предельным значением ФДО X" = 0,751(24). Данное значение находится в очень хорошем согласии с теоретико-полевым значением X" = 0,75 [1]. Однако для структурно неупорядоченных систем с р = 0,9 и р = 0,8 для случая то = 1 за счет эффектов сильного замедления корреляционных эффектов на временах t - tw ~ tw >> 1 из-за пиннинга доменных стенок на
100 I, МСЭ/з
Рис. 5. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции С(£,£ / 3) (а) и скейлинговые зависимости С(£/3К 2р/(™] от х= tmk для системы с концентрацией спинов р = 0,8
0,9 0,8 0,7 0,6 5 0,5 > 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
t m0=0.01 ^p = 1.0-
$ p « 0.9
j p = 0.8
,, *
JtS^jr tw=20
Г tw=40
—a- tw=60
i i ^^ —tw=80 1 . 1 . 1 . I .
0,0
0,2
0,4
0,6
c(t.t)
1,0
Рис. 6. Зависимости восприимчивости от автокорреляционной функции, определяющие флуктуационно-диссипативное отношение для различных концентраций спинов р в случае т0 = 0,01 (а) и т0 = 1 (б)
Значения ФДО для систем с концентрацией спинов р = 1,0; р = 0,9 и р = 0,8 для то ■ (высокотемпературное начальное состояние)
Таблица 1
0,01
p = 1,0 p = 0,9 p = 0,8
tw X(t - tw) » tw tw X(t - tw) » tw tw X(t - tw) » tw
20 0,347(19) 20 0,264(17) 20 0,216(21)
40 0,345(23) 40 0,289(19) 40 0,234(23)
60 0,343(26) 60 0,297(23) 60 0,241(25)
80 0,341(21) 80 0,303(25) 80 0,247(28)
0,339(19) 0,317(21) 0,256(23)
0,339(19) 0,317(21) 0,256(23)
Таблица 2
Значения ФДО для систем с концентрацией спинов р = 1,0; р = 0,9 и р = 0,8 для то = 1 (низкотемпературное начальное состояние)
p = 1,0 P = 0,9 P = 0,8
tw X(t - tw ) >> tw tw X(t - tw ) ~ tw tw X(t - tw ) ~ tw
20 0,765(26) 20 0,800(28) 20 0,794(31)
40 0,761(30) 40 0,774(32) 40 0,754(34)
60 0,756(34) 60 0,765(35) 60 0,740(35)
80 0,754(38) 80 0,761(37) 80 0,735(38)
0,751(34) 0,748(35) 0,714(36)
0,751(34) X~ 0 X~ 0
дефектах в графиках зависимостей Тх от C проявляется наличие двух линейных участков: первый участок соответствует изменению автокорреляционной функции С^^) на временах t - tw> tw>> 1, а второй - значениям С(^ tw) для долговременного этапа эволюции с t - tw >> tw >> 1 (рис. 6, б). Второму участку соответствуют предельные значения ФДО X" = 0. В то же время анализ зависимостей Тх от C на первых участках, осуществленный на основе выражения (10) без рассмотрения предела C ^ 0, показывает, что если к определенным значениям Х^) применить аппроксимацию Х^ ^ ж), тогда можно получить значения, представленные в табл. 2. При этом значение ФДО для системы с р = 0,9 оказывается близким к значению для «чистой» модели Изинга.
В данной работе выявлено существенное влияние начального состояния и дефектов структуры на неравновесную критическую динамику двумерной модели Изинга. Выявлена реализация двух типов универсального поведения, соответствующих высокотемпературному и низкотемпературному начальным состояниям. Показано, что слабо неупорядоченная система с p = 0,9 относится к классу универсальности «чистой» системы и характеризуется тем же набором характеристик критического поведе-
ния. В случае низкотемпературного начального состояния в неупорядоченных системах наблюдается сильное замедление корреляционных эффектов вследствие пиннинга доменных стенок на дефектах. В результате предельные значения ФДО, определяемые динамикой доменов в долговременном режиме, становятся равными нулю. Для высокотемпературного начального состояния предельные значения ФДО для «чистой» и слабо неупорядоченной с p = 0,9 систем характеризуются совпадающими в пределах погрешностей значениями X" = 0,751(24) и 0,317(21), в то время как для системы с p = 0,8 предельное значение ФДО X" = 0,256(23) демонстрирует значительное уменьшение своей величины по сравнению со значениями для систем с p = 1,0 и 0,9, превышающее статистические погрешности вычислений. Это еще раз указывает, что слабо неупорядоченная система с p = 0,9 относится к классу универсальности неравновесного критического поведения «чистой» системы, а неравновесное критическое поведение систем с p > 0,8 демонстрирует зависимость характеристик от концентрации дефектов и нарушение динамического скейлинга, что связано с влиянием кроссоверных эффектов перколяционного поведения [6; 7].
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184-219.
2. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
3. Доценко В. С., Доценко В. С. Фазовый переход в 2D модели Изинга с примесными связями // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. С. 40-43.
4. Шалаев Б. Н. Корреляционная функция и восприимчивость двумерной модели Изинга с примесями // ФТТ. 1984. Т. 26. С. 1811-1823.
5. Shalaev B. N. Critical behaviour of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Reports. 1994. Vol. 237. P. 129-188.
6. Марков О. Н, Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 24-29.
7. Prudnikov V. V., Markov O. N. Monte-Carlo renormalization-group of dilute 2D Ising dynamics // Europhys. Letters. 1995. Vol. 29, no. 3. P. 245-250.
8. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 06016.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
10. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
11. Shchur L. N., Vasilyev O. A. Critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. 2001. Vol. 65. P. 016107.
12. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Наука, 2013.
13. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты сверхстарения и перколя-ционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 107, вып. 9. С. 595-603.
14. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2017. Т. 152. С. 1293-1308.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Маляренко Петр Николаевич - аспирант кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: petr.malyarenko@ yandex.ru.
Христовский Кирилл Александрович - бакалавр кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: khristovskiy_55@mail.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Malyarenko Petr Nikolaevich - Postgraduate Student, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: petr.malyarenko@yandex.ru.
Khristovskij Kirill Aleksandrovich - Student, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: khristovskiy_55@mail.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н., Христовский К. А. Исследование влияния начальных состояний и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 73-81. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).73-81.
FOR GTATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Malyarenko P.N., Khris-tovskij K.A. Study of initial states and structural defect influence on nonequilibrium critical behavior of the two-dimensional Ising model. Vestnik Omskogo univer-siteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 73-81. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).73-81. (in Russ.).
