CC BY
53
УДК 539.072
DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(2).33-43
ИССЛЕДОВАНИЕ MAРГИНАЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, П. Н. Маляренко
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 25.03.2019
Дата принятия в печать 11.04.2019
Дата онлайн-размещения 05.07.2019
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, структурно неупорядоченная двумерная модель Изинга
Финансирование
Исследование выполнено при поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003 и гранта Президента РФ МД-6868.2018.2
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга при ее эволюции из различных начальных состояний. На основе анализа временной зависимости намагниченности, двухвременной зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости выявлено проявление логарифмических поправок и кроссоверных явлений перколяционного поведения на неравновесные характеристики и критические индексы. Проведено исследование нарушений флуктуационно-диссипативной теоремы и вычислены значения предельного флуктуационно-диссипативного отношения для случая высокотемпературного начального состояния .
STUDY OF MARGINAL STRUCTURAL DEFECTS INFLUENCE ON NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE TWO-DIMENSIONAL ISING MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, P. N. Malyarenko
Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
Article info
Received 25.03.2019
Accepted 11.04.2019
Available online 05.07.2019
Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of features of defects influence on nonequilibrium critical behavior of the two-dimensional Ising model are presented with its evolution from different initial states. Analysis of magnetization time dependence and the two-time dependences of the autocorrelation function and dynamic susceptibility has revealed an influence of logarithmic corrections and crossover phenomena of percolation behavior on nonequilibrium characteristics and critical exponents. We have studied the violations of the fluctuation-dissipation theorem and calculated the limiting fluctuation-dissipation ratio for high-temperature initial state.
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, disordered two-dimensional Ising model
Acknowledgements
The reported study was funded by the RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-50006 and grant of the President of the Russia MD-6868.2018.2
Разбиение систем, демонстрирующих фазовые переходы второго рода, на классы универсальности равновесного [1] и динамического [2] критического поведения позволило придать теории фазовых переходов и критических явлений необычную стройность. Изучение критического поведения структурно неупорядоченных магнитных систем со случайно распределенными немагнитными атомами примеси позволило расширить представление о факторах, влияющих на систематизацию по классам универсальности [3]. Исследования показали [4], что присутствие точечных замороженных дефектов структуры изменяет критическое поведение тех систем, для которых выполняется следующий критерий СЫ -2 = а > 0, где С - пространственная размерность системы, V - критический индекс корреляционной длины и а - критический индекс теплоемкости для чистой системы.
Критерий влияния точечных замороженных дефектов структуры на критическое поведение выполняется только для систем, описываемых трехмерной моделью Изинга, что нашло подтверждение как в результатах экспериментальных, так и теоретических ренормгрупповых и численных Монте-Карло-исследований [5-8]. Случай систем, критическое поведение которых описывается двумерной моделью Изинга, является маргинальным, так как критические индексы чистой модели V = 1, а = 0. Теория критических явлений предсказывает для маргинальных случаев появление логарифмических поправок в асимптотическом поведении термодинамических и корреляционных функций при сохранении значений критических индексов чистой модели. В работе [9] для слабо неупорядоченной двумерной модели Изинга со случайными связями было аналитически показано, что теплоемкость и корреляционная длина вблизи критической точки характеризуются следующими зависимостями:
С, х !п|!п|х||, т Г1 (1 + д !п(1/| т|)1/2, (1) с д = 4,8(1 - р) / р, где т = (Т - Тс) / Тс - приведенная температура, а параметр р определяет спиновую концентрацию системы. В работах [10; 11] для той же модели предсказывалось появление степенных ло-
гарифмических поправок в температурном поведении магнитной восприимчивости
Хх|т|-7/4!п7/8|т|. (2)
Данные предсказания получили подтверждение в работах [12; 13] при численных исследованиях методами Монте-Карло.
Данная статья посвящена изучению критического поведения двумерной модели Изинга с замороженными дефектами структуры, для которой фазовая диаграмма содержит два устойчивых фокуса притяжения фазовых потоков: фиксированную точку чистой модели Изинга и фиксированную точку спиновой перколяции при спиновой концентрации р^ = 0,5927. Эта модель исследовалась численно в ряде работ [14-17]. Некоторые из авторов [14; 15] утверждают, что статические критические индексы в, V, V изменяются с изменением концентрации дефектов, но при этом отношения р^, у^ остаются неизменными. Другие авторы [16; 17] делают заключение, что влияние дефектов приводит только к логарифмическим поправкам характеристического критического поведения термодинамических и корреляционных функций чистой модели, аналогичным случаю слабо неупорядоченных систем, но с усилением в области сильной неупорядоченности влияния логарифмической поправки в корреляционной длине
т|-1!п1/2| т| (3)
и других функциях, определяемых в критической области их связью с корреляционной длиной вида:
Хх^7/4, М к^1/8. (4)
В то же время в работах [18; 19] при исследовании критической динамики модели было выявлено, что вблизи порога спиновой перколяции (для систем со спиновой концентрацией р < 0,85) динамический критический индекс г, определяющий температурную зависимость времени релаксации, демонстрирует зависимость от концентрации дефектов с нарушением стандартной формы динамического скей-линга в виде г = А |!п(р-рс) | + В. В связи с этим ожидается весьма нетривиальным влияние дефектов на характеристики неравновесного поведения двумерной модели Изинга.
Гамильтониан ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением
H = -J X PPjSSj-h£ PS, (5)
<i ,j> i
где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si = ±1, зафиксированными в узлах плоской квадратной решетки. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 - в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения
P(Pi) = (1 - p)5(pi) + p5(pi), (6)
где p = (pf) задает величину спиновой концентрации.
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
M(t) = V j ddx[( S(x,t]) ] =
Nr. ? ^(t)
(7)
-I
С(t ) = - j ddx
Wt ) = V j ddx'
(8)
(Ns = pL2 характеризует число спинов в решетке с линейным размером L) двухвременная корреляционная функция C(t, tw) и линейная функция отклика R(t, tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями:
'( S(x ,t)S(0,tw )) -
_-( S(x ,t ))( S(0,tw )) |
^ 1 8h(x,tw
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решетке.
В данной работе, по аналогии с работами [2022], была использована методика, позволяющая рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля. Расчет обобщенной динамической восприимчивости осуществлялся в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости):
tw 1 Ns
X(t,tw) = j dt'R(t,t')= — (t)AS, (tw))], (9)
где функция отклика tw) задается соотношением (5), а функция ЬБ^) рассчитывается в процессе моделирования состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяется соотношением
AS, (tw ) = ? [ S (.) - SW (.)],
.=0
где SW = th(J?pmSm / T).
(10)
Моделирование систем проводилось на квадратной решетке с линейным размером L = 1024 в широком интервале изменения спиновых концентраций с p = 0,95; 0,9; 0,85; 0,8; 0,75 и 0,7 при соответствующих критических температурах Tc(p): 7"c(0,95) = 2,08989(8), 7"с(0,9) = 1,9032(5), Tc(0,85) = = 1,7098(4), Tc(0,8) = 1,5103(4), Tc(0,75) = 1,2980(10), Tc(0,7) = 1,0729(10) [23; 24].
Системе задавался старт из различных начальных состояний со значениями намагниченности в интервале от m0 = 0,01 до m0 = 1.
Поведение систем исследовалось на временах до 10000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании чистой системы с p = 1,0 проводилось статистическое усреднение по 15000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 2000 примесных конфигураций и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации.
Неравновесное поведение намагниченности, релаксирующей из начального состояния с намагниченностью m0, характеризуется в критической точке следующей скейлинговой зависимостью
M (t, tm )= Amt(t / ^ ) (11)
с временным масштабом tm ~ m0-k, где показатель k = 1/(0'+ß/zv) и скейлинговая функция Fm(t/tm) = = Fm(tm0k). Временная зависимость намагниченности M(t, tm) на этапе неравновесной эволюции систем с m0 << 1 (высокотемпературное начальное состояние) определяется характерным ростом, описываемым степенным законом M(t)~t0', где 0' - показатель начальной эволюции системы, в то время как для начального низкотемпературного полностью упорядоченного состояния с m0 = 1 убывающей степенной зависимостью M(t) - t-ß/zv. Результаты моделирования неравновесного критического поведения намагниченности для различных начальных состояний представлены на рис. 1 для спиновых концентраций p = 0,9 и p = 0,8. Графики M(t) наглядно демонстрируют существенные качественные и количественные различия в релаксации намагниченности из высоко-
температурного начального состояния с т0 << 1, низкотемпературного полностью упорядоченного состояния с т0 = 1 и промежуточных состояний с начальной намагниченностью 0,1 < т0 < 0,9. Видно, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний т0 * 1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1. В этом случае для систем с т0 << 1 характеристическое увеличение намагниченности, описываемое степенной зависимостью с с 0' = 0,190(3) для р = 0,9 и 0' = 0,166(2) для р = 0,8, на временах t > £сг = ^ ~ т0-к сменяется спадающей степенной зависимостью М(^~Гр/г\ При эволюции системы из начального низкотемпературного состояния с т0 = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью
.-p/(zv)
со значениями показателей, зависящими
M(t)~t
от спиновой концентрации p.
10 №0 |«Ю 0 ) 1 10 100 1000
!. МСХЧ I. МГ5Л
Рис. 1. Графики критической релаксации намагниченности М(^ для структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга со спиновыми концентрациями р = 0,9 и р = 0,8 с различными значениями начальной намагниченности т0
На рис. 2 представлены результаты численной проверки предсказания временной скейлинговой зависимости (11) для намагниченности М(^т) как функции начальных значений намагниченности т0 для систем с р = 0,9 и р = 0,8. Для скейлинговой функции Рт(х) от х = Ша1 наблюдается «коллапс» данных, полученных для различных т0, на единой универсальной кривой с линейным начальным участком (в двойном логарифмическом масштабе) с Гт(х) ~ х1/к. Были получены следующие значения показателя к для двумерной модели Изинга: 1/к = 0,248(3) для р = 0,9 и 1/к = 0,216(2) для р = 0,8.
Рис. 2. Зависимость скейлинговой функции Рт^т0к) = ^г)МШ от переменной ^0к для систем со спиновыми концентрациями р = 0,9 и р = 0,8
Учтем во временной зависимости намагниченности структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга, релаксирующей из низкотемпературного начального состояния с т0 =1, влияние логарифмических поправок в следующей форме:
М^) х t (1 + (д / 2)ЫУту, (12)
8
1 Р = 4,843^—Р [9; 23].
4 4
где д =- д0 =---г —
л л (1 + ^2/ л)2 р р
В долговременном режиме на временах t >> tw >> 1, а также для систем с более высокими концентрациями дефектов влияние дефектов может характеризоваться логарифмической поправкой следующего вида:
М^) х t~9/уг(!п^р/2\ (13)
В данных выражениях для намагниченности отношение статических индексов в^ можно считать независящим от концентрации дефектов и положить равным значению в / V = 1 / 8 для чистой модели.
Представленные на рис. 3 (сверху) временные зависимости намагниченности М(^ при релаксации из начального состояния с т0 = 1 для систем с различными спиновыми концентрациями р демонстрируют сильную зависимость от концентрации дефектов. Если пренебречь влиянием логарифмических поправок и рассматривать временное изменение намагниченности как М(^~Гр/(Л), то получаемые значения динамического критического индекса г'(р): г'(1,0) = 2,161(11), г'(0,95) = 2,240(12), г'(0,9) = = 2,646(13), г'(0,85) = 2,741(15), г'(0,8) = 3,085(19), г'(0,75) = 3,495(26), г'(0,7) = 4,004(35). Отметим, что значение индекса г' для чистой модели хорошо согласуется со значением г(1,0) = 2,1665(12), определенным в работе [25].
0.95
£ 0,9
0.85
s 0.8
+
s 0,75
s 0,7
0.65
1.05 1
0.95 0,9 Г 0.85 £ 0.8 Ж 0.75 0,7 0.65 0,6
10 100 t, MCS/s
1000
«V1
: —— p = 1.0
—— p = 0.95
—p = 0.9
—»— p = 0.85
—0— p = 0.8
—■— p = 0.7S
— p = 0.7
1 10 100 t, MCS/s 1000
4 mo=1
p = 0,85
—-0 = 0.8
! —^p = 0.75
— p = 0,7
10
100 t MCS/s
1000
10000
Рис. 3. Временная зависимость намагниченности М(^ при релаксации из начального состояния с т0 = 1 для систем с различными спиновыми концентрациями р (сверху) и для 1п (в центре) и МШп
с учетом логарифмических поправок (снизу)
Приведенный на рис. 3 (в центре) учет влияния логарифмических поправок вида (12) на временное поведение намагниченности, представленное в виде М(^(1+(§/2) 1п ^"-г1^2"1, приводит к заметно другим значениям и(р): г(0,95) = 2,161(12), г(0,9) = = 2,424(15), 2(0,85) = 2,491(16), 2(0,8) = 2,724(18), 2(0,75) = 2,992(23), 2(0,7) = 3,462(26).
Учет влияния логарифмических поправок вида (13), представленный как М^)(\п 1:)в/2"~г13/(2") на рис. 3
(снизу), приводит к значениям 2(р): 2(0,95) = = 1,912(11), 2(0,9) = 2,158(13), 2(0,85) = 2,293(15), 2(0,8) = 2,508(17), 2(0,75) = 2,774(21), 2(0,7) = 3,217(25).
Анализ полученных значений динамического критического индекса 2(р) с учетом логарифмических поправок к степенной зависимости намагниченности приводит к пониманию, что логарифмические поправки вида (12) надо учитывать для слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями р > 0,9, в то время как для систем с р < 0,9 надо учитывать логарифмические поправки вида (13). В результате мы выделяем следующие значения динамического критического индекса 2(р): 2(0,95) = = 2,161(12), 2(0,9) = 2,158(13), 2(0,85) = 2,293(15), 2(0,8) = 2,508(17), 2(0,75) = 2,774(21), 2(0,7) = = 3,217(25). Видно, что значения показателей 2(р) для систем со спиновыми концентрациями р = 0,95 и р = 0,9 в пределах погрешности совпадают со значением 2 = 2,161(11) для чистой системы. Данный результат подтверждает, что значения динамического критического индекса 2(р) для слабо неупорядоченных систем с р > 0,9 остаются постоянными и их критическая динамика принадлежит классу универсальности чистой двумерной модели Изинга [18; 19]. В то же время для спиновых концентраций р < 0,85 зависимость 2(р), как видно из рис. 4, хорошо описывается логарифмической зависимостью 2(р) = Л|\п(р-ре)|+б, характеризуемой нарушением стандартной формы динамического скейлинга из-за влияния кроссовер-ных эффектов перколяционного поведения [18; 19].
Рис. 4. Зависимость динамического критического индекса z(p) от спиновой концентрации в логарифмическом масштабе |ln (p-pc)|
Учет влияния логарифмических поправок вида (12) и (13) на временное поведение намагниченности при эволюции из высокотемпературного начального состояния с m0 << 1 приводит также к логарифмической зависимости от спиновой концентрации
показателя начальной эволюции намагниченности 0'(p) = A'\ln(p-pc)\+B' с A'< 0, представленной на рис. 5.
Применение логарифмических поправок вида (12) и (13) к временному поведению намагниченности при эволюции системы из различных начальных состояний, характеризуемой выражением (11), при учете влияния логарифмических поправок на значения z(p) приводит к модификации скейлинговой функции Fm(t/tm)=Fm(tmok), а следовательно, к изменению значений показателя к. Проведенный анализ показал, что зависимость показателя 1/к от спиновой концентрации также описывается логарифмической зависимостью 1/k(p)= A"\ln(p-pc)\+B" с A"< 0, представленной на рис. 5 (снизу).
На следующем этапе исследований был осуществлен расчет двухвременной зависимости автокорреляционной функции C(t, tw) (рис. 6) и динамической восприимчивости x(t, tw) (рис. 7) как интегральной характеристики функции отклика при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью mo = 0,01 << 1 и низкотемпературного начального состояния с m0= 1.
Эффекты старения проявляются на временах t - tw ~ tw и характеризуются замедлением корреляции и релаксации системы с увеличением ее возраста - времени ожидания tw в соответствии с обобщенными скейлинговыми формами [26]: C(t,tw )~ tw2^Fc fé(t)/^ )),
X(t ,tw )~ tw-2MV% fê(t)/Ç(tw )),
где FC,X - скейлинговые функции, зависящие от корреляционных длин с учетом логарифмических поправок (1) и (3) для структурно неупорядоченных систем.
er -1-1- i 1 —ï— -1-1—1-1-1-1-1- -1-1-
0.19 - Ï
0.18 - ï
0.17 - i
G.lfi -
O.J5 - ï
0.14 ■
0.(3 0.12 - ï
0 8 1.0 u 1.4 1.6 1.8 2.0 HtP-Pj 2.2
1Ik 1 i Ï ï 1 « 1
02* ■
022 I
020 X
0.1 S
ï
0.16
1.0 1.S 2,0
Mp-pJI
Рис. 5. Зависимость динамического критического показателя начальной эволюции 6'(р) (сверху) и показателя 1/k(p) для скейлинговой функции Fm(tm0k) (снизу) от спиновой концентрации p в логарифмическом масштабе |ln (p-pc)|
i 001 -v-ao
V —V*
—
--мао
^^p* Ü95
-„—„-,—-.—.—_ ^P* 1 ........——ï
1 10 100
Рис. 6. Зависимости скейлинговых функций Fc(t/tw) = ^2р/(1,г'С(^и) от t/tw (слева) и с учетом логарифмических поправок
в виде Гс^(1+^/г)п)~^/2/^(1+(Е/г)^))~^/2) для системы р = 0,95 (в центре) и в виде Гс^ !п-л,г/^/^ !п-л,г/^)) для систем с р < 0,9 (справа) при эволюции из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 0,01
1 10 toe 1 10 100 1 10 wo
Рис. 7. Зависимости скейлинговых функций Я^Д«,) = х(¿"ш) от (слева) и с учетом логарифмических поправок
в виде Гх(Ц1+^/1)Ы)-у1/2)/^(1+(Е/1Шш))-у1/2) для системы р = 0,95 (в центре) и в виде 1п-у2/2Г/^ !п-у2/^)) для систем с р < 0,9 (справа) при эволюции из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 0,01
Для проверки реализации соотношений (14) были построены зависимости £и,2|3/("2)С(£Л), ¿■^Мх^,^) от ¿Д« (при пренебрежении логарифмическими поправками к корреляционным длинам в системах с дефектами), показанные на рис. 6 и 7 (слева) при эволюции систем из высокотемпературного начального состояния с намагниченностью т0 = 0,01. Представленные графики демонстрируют коллапс полученных данных для различных ¿ш на универсальных кривых, определяемых скейлинго-выми функциями Ге.х, для каждой спиновой концентрации.
На долговременном этапе эволюции с ¿—ш >> ¿ш двухвременные зависимости скейлинговых функций Яс,х , согласно [26], характеризуются выражениями:
ЯЬ/^)~(г/^Г-, ^КШ^, (15) с показателями Сад, связанными с критическими индексами 2, 0' соотношениями са,г = С/2 - 0', где с1 = 2 - пространственная размерность системы. Из асимптотического наклона скейлинговых функций Яс,х на временном интервале с ¿/¿ш >> 1 были определены значения показателей Са = 0,729(6) и сг = 0,735(4) для чистой модели Изинга, которые совпадают в пределах погрешностей расчета друг с другом, а также со значением Са,г = 0,733(4), вычисленным на основе значений критических индексов 2 = 2,161(11), 0' = 0,192(4).
Для структурно неупорядоченной модели Изинга в соотношениях (14) и (15) для скейлинговых функций Яс,х уже необходимо учитывать влияние логарифмических поправок к критическому поведению корреляционной длины, которые в той или
иной мере должны привести к изменению показателей Са,х в (15). С учетом вида логарифмических поправок показатели Са,г будем искать из асимптотического наклона скейлинговых функций Яс,х на временном интервале с ¿/¿ш >> 1 от переменных ¿(1+(§/2)П)-"2/7М1+(§/2)!пГшГ2/2) для системы с р = 0,95 и от г !п-у2/2Г/^ !п-у2/^) для систем с р < 0,9. В результате были определены следующие значения показателей са:„ а именно, Са(р): Са(0,95) = 0,726(6), Са(0,9) = 0,730(7), Са(0,85) = 0,681(9), Са(0,8) = 0,627(11), Са(0,75) = 0,557(13), Са(0,7) = 0,487(14); и Сх(р): Сх(0,95) = 0,732(5), Сх(0,9) = 0,726(5), Сх(0,85) = 0,673(6), Сх(0,8) = 0,633(6), Сх(0,75) = 0,568(7), Сх(0,7) = 0,495(8). Сопоставление данных значений показывает их хорошее согласие друг с другом в пределах погрешности расчетов и со значениями Са,х(р), вычисленными с использованием критических показателей 2(р) и 0'(р), а именно Са(0,95) = 0,734(4), Са(0,9) = 0,736(4), Са(0,85) = 0,692(4), Са(0,8) = 0,631(3), Са(0,75) = = 0,571(3), Са(0,7) = 0,493(3).
Анализ показывает, что значения критических показателей Са,х(р), вычисленные с учетом логарифмических поправок для слабо неупорядоченных систем с р > 0.9, в пределах погрешности совпадают между собой и с найденными для чистой модели значениями Са,х(1.0) = 0,732(5) и в итоге критическая динамика таких систем принадлежит классу универсальности чистой двумерной модели Изинга [18; 19]. В то же время для спиновых концентраций р < 0,85 зависимость Са,х(р), как видно из рис. 8, хорошо описывается логарифмической зависимостью Са,х(р) = = Ла,х|!п(р-ре)|+ба,х, отражающей влияние кроссовер-ных эффектов перколяционного поведения [18; 19].
MM>J РФ-Pjl
Рис. 8. Зависимость критических показателей сад(р) для автокорреляционной функции (слева) и динамической восприимчивости (справа), вычисленные с учетом логарифмических поправок от спиновой концентрации р, представленная в логарифмическом масштабе |1п (р-рс)|
Значения флуктуационно-диссипативного отношения для различных спиновых концентраций р при эволюции систем из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,01
p = 1,0 p = 0,95 p = 0,9 p = 0,85 p = 0,8 p = 0,75 p = 0,7
tw v(t-tw )»tw ХНТ v(t-tw )>>tw х НТ V(t-tw )>>tw х НТ v(t-tw )>>tw ХНТ v(t-tw )>>tw х НТ V(t-tw )>>tw х НТ V(t-tw )>>tw хНТ
20 0,347(19) 0,313(18) 0,264(17) 0,247(20) 0,216(21) 0,186(18) 0,166(17)
40 0,345(23) 0,322(20) 0,289(19) 0,265(22) 0,235(23) 0,190(19) 0,170(17)
60 0,343(26) 0,326(22) 0,297(23) 0,271(23) 0,241(25) 0,191(19) 0,172(18)
80 0,341(21) 0,327(21) 0,303(25) 0,275(26) 0,247(28) 0,192(21) 0,173(19)
^ !X> 0,339(19) 0,332(19) 0,317(21) 0,283(21) 0,256(23) 0,194(19) 0,175(18)
х ™ 0,339(19) 0,339(19) 0,317(21) 0,283(21) 0,256(23) 0,194(19) 0,175(18)
На следующем этапе исследований нами был проведен расчет флуктуационно-диссипативного отношения в соответствии с соотношением [26]
ШК К)
х (tw) = lim-
(16)
с-0 дС$)
На рис. 9 представлены графики параметрических зависимостей Тс%^,^) от С^,^) для случая эволюции систем с различными спиновыми концентрациями р из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,01. Для получения предельного значения ФДО была проведена процедура определения значений Х(^) на основе соотношения (16) для каждого значения времени ожидания К полученным значениям Х(^) была затем применена линейная аппроксимация и экстраполяция Х(^^х>), которая и позволила определить искомые предельные значения ФДО (см. табл.). Найденное для чистой модели Изинга значение предельного ФДО Хнтш = 0,339(19) находится в очень хорошем согласии с результатом компьютерного моделирования Хнтш = 0,33(1), полученным в работе [20]. Для слабо неупорядоченных (р = 0,95 и р = 0,9) систем значение предельного ФДО в пределах погрешности совпадает со значением
для чистой модели, следовательно, эти системы относятся к одному классу универсальности.
0,9 0,8 0.7 0.6
Чо,4 0,3 0.2 0.1 0,0
т0=0.01 ; p= 1.0
v p = 0.9.
ip = 0.8 о » p = 0 75 * p = 0.7- J? ,в .' * € /yJyy7 —^ ■
yyvi^ (,=40
gjgggS5^ --«.=60
--(.=80
0.0
0,2
0,1
0,6
C(t.tJ
0.8
1.0
Рис. 9. Параметрическая зависимость динамической восприимчивости Тс%(?,?и) от автокорреляционной функции С(^и) при эволюции систем с различными спиновыми концентрациями р из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,01
Для сильно неупорядоченных систем предельное значение ФДО начинает зависеть от концентрации дефектов, что связано с влиянием кроссоверных
эффектов перколяционного поведения [18]. Расчет предельных значений ФДО для структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга при эволюции из низкотемпературного начального состояния с mo = 1 был представлен нами в работе [27], в которой были выявлены эффекты сверхстарения, приводящие к обращению значений предельного ФДО Xlt™ в нуль, в то время как для чистой модели Изинга Xlt™ = 0,751(24).
Таким образом, в данной работе методами Монте-Карло было осуществлено численное исследование особенностей влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга при ее эволюции из различных начальных состояний. На основе анализа временной зависимости намагниченности, двухвременной зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости было выявлено проявление логарифмических поправок и кроссоверных явлений перколяционного поведения на неравновес-
ные характеристики и критические индексы структурно неупорядоченной модели. Проведено исследование нарушений флуктуационно-диссипативной теоремы и вычислены значения предельного флук-туационно-диссипативного отношения для случая высокотемпературного начального состояния.
Показано, что неравновесная критическая динамика слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями р > 0,9 относится к классу универсальности неравновесного критического поведения «чистой» модели и характеризуется одинаковыми критическими показателями и значениями предельного флуктуационно-диссипативного отношения, а неравновесное критическое поведение систем с р < 0,85 демонстрирует зависимость универсальных характеристик неравновесного критического поведения от концентрации дефектов и нарушение динамического скейлинга, что связано с влиянием кроссоверных эффектов перколяционного поведения [18; 19; 27].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fisher M. E. The renormalization group in the theory of critical behavior // Rev. Mod. Phys. 1974. Vol. 46. P. 597-616.
2. Hohenberg P. C, Halperin B. I. Theory dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49, no. 3. P. 436-479.
3. Stinchcombe R. B. Dilute magnetism, in Phase Transitions and Critical Phenomena / eds. C. Domb, J. L. Le-bowitz. Vol. 7. Academic Press: New-York, 1983. P. 151-191.
4. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. 1974. Vol 7. P. 1671-1692.
5. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003. Т. 173. С. 175-200.
6. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. С. 1377-1383.
7. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 417-425.
8. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Физматлит, 2013. 316 с.
9. Доценко Вик. С., Доценко Вл. С. Фазовый переход в 2D модели Изинга с примесными связями // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. С. 40-44.
10. Шалаев Б. Н. Корреляционная функция и восприимчивость двумерной модели Изинга с примесями // ФТТ. 1984. Т. 26. С. 1811-1823.
11. Shalaev B. N. Critical behavior of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Rep. 1994. Vol. 237. P. 129-188.
12. Wang J. S., Selke W., Dotsenko Vl. S., Andreichenko V. B. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica A. 1990. Vol. 164. P. 221-239.
13. Selke W., Shchur L. N., Talapov A. L. Monte Carlo simulations of dilute Ising models // Annual Reviews of Computational Physics I / ed. by D. Staufer, World Scientific. 1995. P. 17-54.
- 41
Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 2, pp. 33-43
14. Kim J. K., Patrascioiu A. Critical behavior of the specific heat in the two dimensional site diluted Ising system // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 72. P. 2785-2788.
15. de Queiroz S. L. A., Stinchcombe R. B. Transfer-matrix scaling from disorder-averaged correlation lengths for diluted Ising systems // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. P. 9976-9981.
16. Ballesteros H.G., Fernandez L.A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A, Parisi G., Ruiz-Lorenzo J.J. // J. Phys. A. 1997. Vol. 30. P. 8379-8383.
17. Selke W., Shchur L. N., Vasilyev O. A. Specific heat of two-dimensional diluted magnets // Physica A. 1998. Vol. 259. P. 388-396.
18. Марков О. Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 24-29.
19. Prudnikov V. V., Markov O. N. Monte-Carlo renormalization-group of dilute 2D Ising dynamics // Europhys. Letters. 1995. Vol. 29, no. 3. P. 245-250.
20. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 06016.
21. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
22. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
23. Shchur L. N., Vasilyev O. A. Critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 65. P. 016107.
24. Martins P. H. L., Plascak J. A. Universality class of the two-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. P. 012102.
25. Nightingale M. P., Blote H. W. J. Dynamic exponent of the two-dimensional Ising model and Monte Carlo computation of the subdominant eigenvalue of the stochastic matrix // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 4548-4551.
26. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
27. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты сверхстарения и перколяционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 107, вып. 9. С. 595-603.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Маляренко Петр Николаевич - аспирант кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: petr.malyarenko@ yandex.ru.
INFORMATION ABOUT AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Malyarenko Petr Nikolaevich - Postgraduate Student, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: petr.malyarenko@yandex.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 2. С. 33-43. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).33-43.
FOR CITATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Malyarenko P.N. Study of marginal structural defect influence on nonequilib-rium critical behavior of the two-dimensional Ising model. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 2, pp. 33-43. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).33-43. (in Russ.).
