Численные Монте-Карло исследования эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной неупорядоченной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 102-106.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, Е.А. Поспелов

ЧИСЛЕННЫЕ МОНТЕ-КАРЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТОВ СТАРЕНИЯ И НАРУШЕНИЯ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОЙ ТЕОРЕМЫ В НЕРАВНОВЕСНОМ КРИТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА*

Представлена методика и результаты численного описания методом Монте-Карло особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной неупорядоченной модели Изинга. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционных функций и динамической восприимчивости для систем со спиновыми концентрациями р = 0,8 и 0,6 были выявлены эффекты старения, характеризующиеся замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания, и нарушение флук-туационно-диссипативной теоремы.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точки зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуаци-онно-диссипативной теоремы (ФДТ) [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы, как стекла: дипольные, металлические и спиновые [2]. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода [3], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации.

Эффекты старения проявляются на неравновесном этапе эволюции системы. Они выражаются в существовании двухвременных зависимостей таких функций, как корреляционная функция и функция отклика, зависящих от времени ожидания tw и времени наблюдения t - tw. Время ожидания характеризует время, прошедшее с момента приготовления образца до начала измерения его характеристик. В течении t - tw << тге1, где тге1 - время релаксации системы, во временном поведении системы проявляется влияние начальных состояний системы и эффектов старения, характеризующихся замедлением релаксационных процессов с увеличением «возраста» образца ^.

Ещё одним проявлением медленной динамики является нарушение ФДТ [3; 4], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение tw) и корреляционную функцию С^, tw):

1 ч = х 0, С)дС О, С) т

, № кт ’ ( ]

где X(t,tw) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). ФДТ

утверждает, что в равновесном состоянии Х^ > >> тге1) = 1.

* Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проекты: 10-02-00507 и 10-02-00787)

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, Е.А. Поспелов, 2013

Предельное значение

X“ = lim lim X(t, tw)

(2)

может быть использовано в качестве универсальной характеристики неравновесного поведения систем с медленной динамикой.

Корреляционная функция и функция отклика в неравновесном состоянии имеют следующую скейлинговую зависимость:

C (t, tw )~(t - tw )a

R(t, tw )~(t - tw )a

(LЛ tw

(3)

Показатели а и 0 связанны с критическими индексами рассматриваемой системы: а = (2 — ц— г)/ г , в = в'- г~1(2— ц —г).

Функция отклика Л^, Ш) спиновой системы на внешнее магнитное поле, приложенное к системе в момент времени tw, определяется соотношением t > tw):

R(t, t ) = - f ddx S< S(x, t) > Ih Vf Sh{ x, t) |h

(4)

Однако линейная функция отклика, соответствующая данному определению, не может быть непосредственно измерена экспериментально или получена методами компьютерного моделирования. Более удобной величиной является интегральная характеристика - динамическая восприимчивость

X(t, tw) = f dt' R(t, t').

(5)

В данной работе проведены исследования эффектов старения в неравновесном критическом поведении трёхмерной структурно неупорядоченной модели Изинга. Гамильтониан модели задаётся выражением

Н = -3 £ , (5)

<І,.} >

где суммирование проводится по ближайшим соседям, Бі =±1. Динамика системы

моделировалась с помощью метода Монте-Карло посредством алгоритма Метрополиса. В отсутствии магнитного поля осуществлялось вычисление автокорреляционной функции С(^ íш):

C (t, tw) =

IS‘ (')S' ('■)

(б)

где треугольные скобки означают статистическое усреднение по реализации начального состояния, квадратные - по различным распределениям немагнитных примесей на решётке.

Для вычисления х(і, і~ш) в момент времени к гамильтониану добавлялось возмущение АН = —£ НіБі , характеризующее

І

влияние случайного внешнего магнитного

поля Нг. Случайное магнитное поле задавалось бимодальным распределением ± Н на узлах г кристаллической решетки со средним <Н> = 0 [5]. На временах, превышающих время ожидания ( > tw), восприимчивость рассчитывалась по формуле

X(t, tw ) =

1

. h2 pL3

h (tw )S (t)

(7)

где черта означает статистическое усреднение по распределению случайного магнитного поля Ы на решётке.

Моделирование системы проводилось на кубической решётке спинов с линейным размером Ь = 128 со случайно распределенными по узлам замороженными точечными немагнитными дефектами структуры при спиновых концентрациях р = 0,8 и 0,6 и соответствующих критических температурах Тс = 3,4995(2) и 2,4241(1) [6]. Формировалось высокотемпературное (при Т >> Тс) начальное состояние системы с малым значением намагниченности М0 << 1, которое для исследуемого (при Т = Тс) критического режима являлось существенно неравновесным. Поведение системы исследовалось на временах до 10000 шагов Монте-Карло на спин (МС8/в) для времён ожидания tw = 50, 250, 500 и 1000 МС8/в. Значение поля Ь задавалось равным 0,01.

На рис. 1 приведены графики временной зависимости автокорреляционной функции в двойном логарифмическом масштабе для различных времён ожидания для слабо неупорядоченной системы (р = 0,8) и сильно неупорядоченной системы (р = 0,6).

Временная зависимость автокорреляционной функции на квазиравновесном этапе критической эволюции носит степенной характер: С(X)~ГСа. Показатель са =у/гV обратно пропорционален произведению критических индексов zv, определяющих время релаксации системы в критической точке тге1 ~| Т — Тс |—^. В итоге чем ниже значение показателя са, тем медленнее система приходит к состоянию равновесия.

На графиках временной зависимости автокорреляционной функций (рис. 1) можно выделить два характерных участка степенной зависимости С(X)~ X~Са: на временах (t - tw) << tw реализуется квазиравновесный режим, для (t - tw) >> - неравновесный

режим, в котором проявляются особенности неравновесного критического поведения; на временах ^ - tw) ~ tw возникает переходный режим с зависимостью корреляционных характеристик от времени ожидания. При этом, как показывают полученные значения показателей Са для переходного режима (табл. 1), с увеличением времени ожидания tw значения Са уменьшаются, а следовательно, времена корреляции и релаксации сис-

w

темы растут. Это явление получило название эффекта старения [1-4]. Сопоставление значений са для систем с различной концентрацией дефектов показывает, что эффекты старения усиливаются с ростом концентрации дефектов.

t - tw, MCS/s

а

б

Рис. 1. Временная зависимость автокорреляционной функции для различных времён ожидания / = 50, 250, 500 и 1000 МОБ/э и спиновых концентраций р = 0,8 (а), р = 0,6 (б)

Таблица 1

Значение показателей еа для различных времён ожидания

tw P = 0,8 (t - tw) = [160;1600] P = 0,6 (t - tw) = [300,1200]

50 0,938(34) 0,745(32)

250 0,707(16) 0,726(13)

500 0,553(17) 0,583(14)

1000 0,494(18) 0,519(29)

—» X 0,418(11) 0,443(6)

Теоретико-полевое описание поведения корреляционной функции предсказывает её скейлинговую двухвременную зависимость в виде [4]:

С(X, с )~ —2+п)1 гРс ЦI С ) . (8)

Для её проверки была построена зависимость (й = 3) Хм,_(1+п)1 гС (X, ) от 1/ш, пока-

занная на рис. 2 и демонстрирующая «коллапс» полученных данных для различных tw на одной универсальной кривой.

а

б

Рис. 2. Временная зависимость функции

tl^,V tw ) оГ

для различных времён ожидания для спиновых концентраций p = 0,8 (а) и p = 0,6 (б)

Скейлинговая функция FC на временах

t >> tw имеет зависимость FC ~ (t/ tw) Са . На

этом участке показатель ca связан с критическими индексами гиб’ соотношением ca = d / z -в', где показатель б’ определяет

рост намагниченности M (t) ~ te в коротковременном режиме критической эволюции системы (tw ^ 0). Из анализа полученных данных, были вычислены значения показателя Са для различных спиновых концентраций: С„(p = 0,6) = 0,87(9) и С„(p = 0,8) = 1,02(12).

В случае слабо неупорядоченной системы с p = 0,8 значение показателя Са в пределах погрешности согласуется как с вычисленным методом коротко-временной динамики значением са = 1,135(10) в работе [7], так и полученным при исследовании эффектов старения значением са = 1,05(3) в работе [8].

На основе вычисленных временных зависимостей для восприимчивости x(t, tw) и автокорреляционной функции C(t, tw) можно определить флуктуационно-диссипатив-

ное отношение (2), выразив Тх(1, tw) как функцию С^, tw) и представив её в виде некоторой кривой, наподобие той, что изображена на рис. 3 для для слабо неупорядоченной системы с = 250 МСЭ/в. Тогда из асимптотической кривизны этой кривой можно выделить значение

* (Т X)

X ” (X) = —ііш-

(9)

с^0 ЛС

При получении X” (^) для различных времён ожидания їш и осуществлении экстраполяции X” (Х^ ^ ж) определяется искомое предельное ФДО X” .

На рис. 3 пунктирной линией показана прямая, соответствующая квазиравновес-ному состоянию с выполнением ФДТ. График выявленной зависимости Тх(ї, íw) от С^Дш) для неупорядоченной модели Изинга наглядно демонстрирует нарущение ФДТ. Аналогичные зависимости и ФДО вычислялись для времён ожидания = 250, 500 и 1000 МС8/в. В табл. 2 приведены значения X ” (Х^ ) для различных íш.

На рис. 4 приведены зависимости

X” (1/ ^ ) и их экстраполяция для їш ^ да.

Проведём сравнение значений ФДО с результатами других работ. Так, в работе [9] был проведён теоретико-полевой расчёт ФДО для однородной модели Изинга во втором порядке по £ = 4 - й. Методом суммирования

Паде было получено значение X” = 0,429(6) . Те же авторы в работе [3] провели теоретикополевой расчёт для слабо неупорядоченной

системы и получили значение X” = 0,416 в первом порядке теории. Однако сами авторы говорят о неопределённости эффектов влияния структурного беспорядка на значение ФДО, по крайней мере в низшем порядке теории, что требует расчёта в более высоких порядках теории или более точных Монте-Карло исследований.

Рис. 3. Зависимость Тх(1, /) от 0(1,/) для системы с р = 0,8, / = 250 мОб/э

Таблица 2 Значение ФДО X “ для систем с р = 0,8 и р = 0,6

¡и/ X”

Р = 0,8 Р = 0,6

250 0,725(34) 0,748(14)

500 0,638(38) 0,600(50)

1000 0,460(41) 0,504(42)

—— °0 0,402(50) 0,430(21)

0,8 -0,7-

0,6

Х”(и)

і

0,402

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 1/^

Х«(й

0,6

0,430

і

.--I"

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 1/1* б

Рис. 4. Получение ФДО путём экстраполяции / ^ » для систем с р = 0,8 (а) и р = 0,6 (б)

Итак, сделаем основные выводы. Как было показано при анализе поведения автокорреляционной функции, в критической точке в неупорядоченной модели Изинга проявляются эффекты старения, а именно: с увеличением времени ожидания релаксация системы замедляется. Отметим, что сильно неупорядоченная система релакси-рует медленнее, чем слабо неупорядоченная система.

Численно доказано нарушение ФДТ в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной модели Изин-га, характеризуемое значениями ФДО

X “= 0,418(11) и X “= 0,443(6) соответственно, для систем со спиновыми концентрациями р = 0,8 и р = 0,6.

Исследования бъли проведены с привлечением вычислительных ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

а

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L.F. Complex behavior of glassy systems // Lect. Notes Phys. 1997. V. 492. P. 184.

[2] Bouchaud J. P., Cugliandolo L. F., Kurchan J., M'ezard M. Out of equilibrium dynamics in spin-glasses and other glassy systems // In Spin Glasses and Random Fields, Directions in Condensed Matter Physics / ed. by A. P. Young. Singapore: World Scientific, 1998. V. 12.

[3] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. V. 38. P. R133.

[4] Calabrese P., Gambassi A. Aging and fluctuation-dissipation ratio for the diluted Ising Model // Phys. Rev. E. 2002. V. 66.

[5] Berthier L., Holdsworth P.C.W, Sellitto M. Non-equlibrium critical dynamics of the two-dimensional XY model. // J. Phys. A. 2001. V. 34. P. 1805.

[6] Прудников В. В., Прудников П. В., Ваки-лов А. Н., Криницин А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2. С. 417-425.

[7] Prudnikov V. V, Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., Vakilov A. N., Pospelov E. A., Rychkov M. V. Short-time dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. V. 81.

[8] Schehr G., Paul R. Non-equilibrium critical dynamics in disordered ferromagnets // J. Phys. Conf. Series. 2006. V. 40. № 27.

[9] Calabrese P., Gambassi A. Two-loop critical fluctuation-dissipation ratio for the relaxational dynamics of the O(N) Landau-Ginzburg Hamiltonian. // Phys. Rev. E. 2002. V. 66.