CC BY
17
УДК 539.2
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(1).19-25
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ
НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, П. Н. Маляренко, Е. А. Поспелов
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления
28.11.2017
Дата принятия в печать
09.01.2018
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения двумерной чистой и структурно неупорядоченной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного начального состояния для спиновых концентраций р = 1,0 и 0,9. Показано, что пиннинг доменных стенок на дефектах структуры приводит к осуществлению эффектов сверхстарения в структурно неупорядоченной модели по сравнению с «чистой» моделью.
Дата онлайн-размещения 28.03.2018
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, двумерная модель Изинга, сверхстарение, низкотемпературное начальное состояние
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-02-00279 и Президента Российской Федерации в рамках научного проекта № МД-6868.2018.2
STUDY OF STRUCTURAL DEFECT INFLUENCE ON NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE TWO-DIMENSIONAL ISING MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, P. N. Malyarenko, E. A. Pospelov
Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
Article info Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of features of nonequilibrium crit-
Received ical behavior in a two-dimensional pure and structurally disordered Ising model are pre-
28.11.2017 sented with its evolution from low-temperature initial state for spin concentrations
p = 1,0 and 0,9. It is shown that pinning of domain walls on structural defects leads to the
Accepted appearance of superaging in structurally disordered model in comparison with the "pure"
09.01.2018 model.
Available online 28.03.2018
Keywords
Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, two-dimensional Ising model, superaging, low-temperature initial state
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 1. С. 19-25
-ISSN 1812-3996
Acknowledgements
The reported study was funded by RFBR according to the research project № 17-02-00279 and by the President of the Russian Federation according to the research project № MD-6868.2018.2
Поведение систем, характеризующихся аномально медленной динамикой, вызывает у ученых в настоящее время большой интерес. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) [1]. Данные особенности неравновесного поведения характерны и для систем, испытывающих фазовые переходы второго рода [2], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации ^ .
В окрестности температуры Т фазового перехода второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной ^ ~|Г-7С|"2и, где г, V- критические индексы. Таким образом, системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. Именно на временах t << Ьв/ в неравновесном поведении систем проявляются эффекты старения. Они выражаются в осуществлении двухвременной зависимости для корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t и времени ожидания tw. Время ожидания tw характеризует промежуток от момента приготовления образца до момента начала измерения его характеристик. Принципиально важным проявлением медленной динамики является нарушение ФДТ [1; 2], которая связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение Щ^) и корреляционную функцию ф^):
Х(К„) дс(к„)
R(t,tw) =
(1)
kT dtw
где X(t,tw) - флуктуационно-диссипативное отношение (ФДО). Для времен с t > tw>> trei ФДТ устанавливает, что X(t,tw) = 1. Однако в общем случае для времен с t,tw<< treiX(t,tw) * 1. Асимптотическое значение ФДО, вводимое как
Хда = lim limX(t,tw), (2)
tw ^да t ^да
оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.
В данной работе мы представляем результаты численного Монте-Карло исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и значения предельного ФДО для двумерной модели Изинга. Гамильтониан ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля Ь задается выражением
_ _ (3)
h=-J £ ppfiSj - h£ PS,
где ] > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Б/ = ±1, зафиксированными в узлах плоской квадратной решетки. Числа заполнения р/ вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: р/ принимается равным 1, если в узле / находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения
Р(р/) = (1 - р)5(р/) + рб(р/), где р = (р(.) задает величину спиновой концентрации.
В работах [3-5] было показано, что присутствие некоррелированных дефектов структуры является несущественным для статического критического поведения двумерной модели Изинга, сохраняя значения критических индексов равными индексам чистой модели, а именно в = 0,125 и V = 1, и приводя лишь к логарифмическим поправкам в термодинамических и корреляционных характеристиках. В то же время в работах [6; 7] при исследовании критической динамики модели было выявлено, что вблизи порога спиновой перколяции динамический критический индекс г, определяющий температурную зависимость времени релаксации, демонстрирует зависимость от концентрации дефектов с нарушением стандартной формы динамического скей-линга. В связи с этим ожидается весьма нетривиальным влияние дефектов на характеристики неравновесного поведения модели.
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
M(t) = i J ddx [(S(x,t)} ] =
N.
■2>A (t)
, (4)
двухвременная корреляционная функция C(t, tw) и линейная функция отклика R(t, tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями:
'(S(x,t)S(0,tw)} - " _-( S(x ,t))( S(0,tw ) _ 5{S(x,t)}
I и x-
-I
C (t ,tw) = - J ddx
VJ
-J
R{VW) = - J ddx
(5)
" lh=0
5ЦхЛ„)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решетке.
В данном исследовании по аналогии с работами [8-10] была использована методика, позволяющая рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля. Расчет обобщенной динамической восприимчивости осуществлялся в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости)
-1 N
) = { Л£[((Г„))], (7) 0 т 1=1 где функция отклика R(t, tw) задается соотношением (5), а функция ДS,■(tw) рассчитывается в процессе моделирования состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяется соотношением
w
AS,. (tw) = £[s, (s) - SW (s)],
(6)
где SW = th(jYPmSm / T).
Рассмотрим результаты проведенного численного Монте-Карло исследования влияния дефектов на характеристики неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного начального состояния с начальной приведенной намагниченностью mo = 1. Было осуществлено компьютерное моделирование динамического процесса односпиновых переворотов в рамках статистического метода Монте-Карло.
Изучались чистая (р = 1,0) и слабо неупорядоченная со спиновой концентрацией р = 0,9 системы. Моделирование проводилось на квадратной ре-
шетке с линейным размером L = 512 и наложенными периодическими граничными условиями при соответствующих критических температурах Tc(p): ^(1,0) = 2,2692, ^(0,9) = 1,9004 [6; 7; 11]. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Поэтому применение в исследованиях решетки с достаточно большим линейным размером L = 512 позволяет пренебрегать конечномерными эффектами по сравнению с их проявлением при моделировании равновесных критических явлений [11]. Ns = pL2 характеризует число спинов в решетке с линейным размером L. Положение дефектов фиксировалось для отдельной примесной конфигурации. Поведение систем исследовалось на временах до 10 000 шагов Монте-Карло на спин.
При моделировании «чистой» системы с p = 1,0 проводилось статистическое усреднение по 15 000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 2000 примесным конфигурациям и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации.
Был осуществлен расчет (рис. 1) двухвремен-ной зависимости автокорреляционной функции ^^) и динамической восприимчивости x(t,tw) как интегральной характеристики функции отклика [2; 6] при эволюции систем с p = 1,0 и 0,9 из низкотемпературного (Ъ = 0) упорядоченного состояния с начальной намагниченностью mo = 1. На рис. 1 видно проявление эффектов старения на временах t - tw ~ tw, а именно замедление спадания данных функций с ростом времени ожидания tw - «возраста» системы, в соответствии с обобщенными скейлинговыми формами [2]
С(г Л)~ К-2М^С (г / С),
хШ~ (г / tш),- (7)
а также усиление данных эффектов для структурно неупорядоченной модели по сравнению с «чистой». Анализ зависимостей скейлинговой функции
Гс(Г/^), Г (Г/С), проведенный с использованием
значений показателей в = 0,125, V = 1, z = 2,1667(5) и представленный на рис. 2, 3, показал выполнение указанных соотношений для «чистой» модели с показателем ц = 1 - реализация канонического старения, а для структурно неупорядоченной модели с
ц = 6,25(8) для Г (Г / С) - реализация сверхстарения и показателем ц = 1 для Г (Г / ^).
s=0
0,1 & 0,01 0,001 0,0001
."1 ........ ■ , ■ ...... ........ • • ' '
^^■t P = 0,9
M»= 80
ь'»= 60
P = 1 '„= 40
(a) * '„" 20
0,1
0,001
0,0001
1 10 100 t-t^, MCS/s 1000
p = 0,9
Vv Wfct = 60
\\ t„= 60
t =40
- (6) p= 1,0 1 t„= 20
10
100
t-t , MCS/s
1000
Рис. 1. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции С(1,1Ш) (а) и динамической восприимчивости Х(№ш) (б) от времени наблюдения для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9 и различными временами ожидания ^
Явление «сверхстарения» было выявлено нами ранее в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга [9; 10; 12; 13] и обусловлено пиннингом доменных стенок на дефектах структуры, происходящим при неравновесном изменении доменной структуры системы при переходе от однодоменного состояния при То = 0 к многодоменной флуктуацион-ной структуре, возникающей при критической температуре Тс. Исследование показало ту же природу сверхстарения и в неупорядоченной двумерной модели Изинга. На это указывают графики для двух составляющих автокорреляционной функции в соотношении (5), которые мы обозначили как СввЦ и Стт(1 и представили на рис. 3 для «чистой» системы и системы со спиновой концентрацией р = 0,9 соответственно. Из графиков видно, что для «чистой» системы на временах наблюдения Ь - Ьш> Ьш значения составляющих Свв^, и Стт(1 начинают совпадать, приводя к взаимной компенсации в полной автокорреляционной функции, в то время как для структурно неупорядоченной системы графики для этих составляющих хотя и сближаются на временах Ь - Ьш > Ьш с параллельным дальнейшим изменением, но полной компенсации их не происходит.
о
0,8
0,6
О
0,4
Л p = 1.0
(а) ^Vl =20 fcQ»- ''-- 40 60 't =80
10
100
t-t..
1000
10000
10000
Рис. 2. Сравнение временных зависимостей вкладов в автокорреляционную функцию и) ~ [^(ед^))] и Стт(Ь, Ш ~ [^(ф^))] для концентрации спинов р = 1,0 (а) и р = 0,9 (б)
о 0,1
о-5
0,01
0,001
\ Sp = 0.9'
- t =20
—t„=40
—i- t =60
(а> V t„=80 p = 1.0
10
0.1
0,01
0,001
V
P = 0.9
(6) ^^•p = 1,0 -
И
6 7 8 9
Рис. 3. Зависимости скейлинговых функций Рс к / ^) (а) и к / ^) (б) от переменной х = t / ^ для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9
На следующем этапе исследований нами был проведен расчет ФДО в соответствии с соотношением [10; 12; 13]
^(t ,tw)
X(t,t ) = limr-('w) cm< 8C(t ,t )
(8)
о
0,1
't =80 t = 1 *t 60 ^n40 t„= p = 30 t 0,9 20
I j j
1 i ц = 6,25
(B)
10
10s
1<Г
107 10*
к
105
10
Рис. 4. Зависимость скейлинговой функции Гс^ /^)
от переменной х = t / ^ с ц = 6,25 для систем со спиновой концентрацией р = 0,9
Из представленных на рис. 5 графиков параметрических зависимостей Тх от С видно, что для «чистой» системы эта зависимость имеет линейный характер для временного интервала t - tw > tw >> 1 изменения автокорреляционной функции С^, tw) и характеризуется предельным значением ФДО
Xм = 0,751(6). Данное значение было получено при проведении процедуры определения значений X(tw) на основе соотношения (9) для каждого значения времени ожидания tw. К полученным значениям X(tw) была затем применена аппроксимация X(tw ^ ж), которая и позволила определить искомое
предельное ФДО Xм. Значение Xм = 0,751(6) находится в очень хорошем согласии с теоретико-полевым значением Xм = 0,75 и результатом компьютерного моделирования Xм = 0,73(1), полученными в работе [8].
Однако для структурно неупорядоченной системы с р = 0,9 за счет эффектов сильного замедления корреляционных эффектов на временах t - tw >> tw >> 1 в графиках зависимостей Тх от С (рис. 5) проявляется наличие двух линейных участков. Первый участок соответствует изменению автокорреляционной функции С^, tw) на временах t - tw ~ tw >> 1, а второй - значениям С(^ tw) для долговременного этапа эволюции с t - tw >> tw >> 1. Второму участку соответствует предельное значение
ФДО Xм = 0. В то же время анализ зависимостей Тх от С на первых участках, осуществленный на основе выражения (8) без рассмотрения предела С ^ 0, показывает, что если к определенным значениям ХМ применить аппроксимацию Х^ ^ ж), то можно получить приведенные в таблице значения, близкие к среднеполевым значениям предельного
ФДО Xм = 0,8 [8]. Отклонения обусловлены влиянием флуктуационных эффектов и дефектов структуры.
Рис. 5. Зависимости восприимчивости от автокорреляционной функции, определяющие ФДО, для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0; 0,9
Значения ФДО для систем с концентрацией спинов p = 1,0 и p =
0,9
p = 1,0 P = 0,9
tw X(t - tw ) >> tw tw X(t — tw ) ~ tw
20 0,765(13) 20 0,836(6)
40 0,761(12) 40 0,789(7)
60 0,756(8) 60 0,767(7)
80 0,754(9) 80 0,759(7)
0,751(2) 0,734(3)
0,751(2) 0
В заключение отметим, что в результате численных исследований выявлено существенное влияние дефектов на неравновесную критическую динамику двумерной модели Изинга при ее эволюции из низкотемпературного начального состояния. Показано, что в слабо неупорядоченной системе происходит усиление эффектов старения по сравнению с «чистой» с реализацией явления сверхстарения. Наиболее наглядно влияние дефектов проявляется в сильном замедлении эффектов корреляции.
В результате спадание автокорреляционной функции на временах t - tw >> tw >> 1 осуществляется
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 1. С. 19-25
-ISSN 1812-3996
по степенному закону критической релаксации намагниченности за счет пиннинга доменных стенок
на дефектах, а предельное значение ФДО, определяемое динамикой доменов в долговременном режиме, становится равным нулю.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184-219.
2. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
3. Доценко В. С., Доценко В. С. Фазовый переход в 2D модели Изинга с примесными связями // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. С. 40-43.
4. Шалаев Б. Н. Корреляционная функция и восприимчивость двумерной модели Изинга с примесями // ФТТ. 1984. Т. 26. С. 1811-1823.
5. Shalaev B. N. Critical behaviour of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Reports. 1994. Vol. 237. P. 129-188.
6. Марков О. Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60. С. 24-29.
7. Prudnikov V. V., Markov O. N. Monte-Carlo renormalization-group of dilute 2D Ising dynamics // Europhys. Letters. 1995. Vol. 29, No. 3. P. 245-250.
8. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 06016.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
10. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
11. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М. : Наука, 2013.
12. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование влияния различных начальных состояний и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2017. Т. 152. С. 1293-1308.
13. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Монте-Карло исследования влияния различных начальных состояний на значения флуктуационно-диссипативного отношения для трехмерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 1 (83). С. 18-24.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@ univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Маляренко Петр Николаевич - аспирант кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: petr.malyarenko@ yandex.ru.
Поспелов Евгений Анатольевич - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: posevg@yandex.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н., Поспелов Е. А. Исследование влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 1. С. 19-25. DOI : 10.25513/1812-3996.2018.23(1). 19-25.
Malyarenko Petr Nikolaevich - Postgraduate Student of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: petr.malyarenko@yandex.ru.
Pospelov Evgenii Anatolievich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: posevg@yandex.ru.
FOR CITATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Malyarenko P.N., Pospelov E.A. Study of structural defect influence on nonequilibrium critical behavior of the two-dimensional Ising model. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 1, pp. 19-25. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(1).19-25. (in Russ.).
