CC BY
18
УДК 53.072
DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(2).44-50
РАСЧЕТ ФЛУКТУАЦИОННОДИССИПАТИВНОГО ОТНОШЕНИЯ ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, Е. А. Поспелов, А. С. Лях
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 19.03.2019
Дата принятия в печать 11.04.2019
Аннотация. При реализации алгоритма тепловой бани осуществлено моделирование неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гейзен-берга и впервые для этой модели проведен расчет динамической восприимчивости и флуктуационно-диссипативного отношения при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния.
Дата онлайн-размещения 05.07.2019
Ключевые слова
Неравновесное критическое поведение, алгоритм тепловой бани, трехмерная модель Гейзенберга, динамическая восприимчивость, флуктуационно-диссипативное отношение.
Финансирование
Исследование выполнено при поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003 и гранта Президента РФ МД-6868.2018.2
CALCULATION OF THE FLUCTUATION-DISSIPATION RATIO FOR THE NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE THREE-DIMENSIONAL CLASSICAL HEISENBERG MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, E. A. Pospelov, A. S. Lyakh
Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
Article info
Received 19.03.2019
Accepted 11.04.2019
Abstract. Simulation of the non-equilibrium critical behavior of the three-dimensional classical Heisenberg model is carried out with use of the heat-bath algorithm and the dynamical susceptibility and the fluctuation-dissipation ratio are calculated with evolution of system from a high-temperature initial state.
Available online 05.07.2019
Keywords
Non-equilibrium critical behavior, heat-bath algorithm, three-dimensional Heisenberg model, dynamical susceptibility, fluctuation-dissipation ratio.
Acknowledgements
The reported study was funded by the RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003 and grant of the President of the Russia MD-6868.2018.2
В настоящее время большой интерес у исследователей вызывает поведение систем, характеризующихся аномально медленной динамикой [1; 2]. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения, характеризуемыми нарушениями флуктуационно-диссипа-тивной теоремы. Хорошо известными примерами подобных систем с аномально медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как спиновые стекла [3]. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные исследования [4; 5], могут наблюдаться и в системах, испытывающих фазовые переходы второго рода. Это обусловлено тем, что их поведение вблизи критических температур характеризуется аномально большими временами релаксации.
В окрестности температуры Tc фазового перехода второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной trei ~ | T-Tc|-zv, где z, v - критические индексы. Таким образом, системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. Именно на этапе t << trel проявляются эффекты старения. Они выражаются в осуществлении двухвременных зависимостей для корреляционной функции и функции отклика от времени ожидания tw и времени наблюдения t-tw. Время ожидания характеризует время, прошедшее с момента приготовления образца до начала измерения его характеристик. В течение t-tw << trel во временном поведении системы проявляется влияние начальных состояний системы. В исследовании влияния начальных состояний различают высокотемпературное состояние, создаваемое при температурах T>> Tc, и низкотемпературное состояние при T< Tc. Высокотемпературное состояние характеризуется начальной намагниченностью m0 << 1, в то время как низкотемпературное -начальной намагниченностью m0 = 1.
Принципиально важным проявлением медленной динамики является нарушение флуктуаци-онно-диссипативной теоремы (ФДТ) [5; 6], которая
связывает функцию отклика системы на внешнее возмущение и корреляционную функцию
С(^):
Х^) дС $)
R(t ,tw)=-
(1)
кТ д^
где - флуктуационно-диссипативное отноше-
ние (ФДО). ФДТ утверждает, что в равновесном состоянии Х(1 > >> 1>е|) = 1.
Предельное значение флуктуационно-диссипа-тивного отношения
Хда = ИтИтХ^ ) (2)
tw -^да t^да
может быть использовано в качестве новой универсальной характеристики для неравновесного критического поведения различных систем.
В данной работе решается задача численного Монте-Карло исследования с применением алгоритма тепловой бани особенностей неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гейзенберга при эволюции из высокотемпературного начального состояния и расчета для этой модели динамической восприимчивости и флуктуа-ционно-диссипативного отношения.
Трехмерная классическая модель Гейзенберга является одной из традиционных статистических моделей, используемых для описания фазовых переходов в самых различных спиновых системах, в частности, в таких переходных металлах как Ре, Со, N1 и их сплавах. Статическое критическое поведение систем, описываемое данной моделью, исследовалось самыми различными методами и в различных приближениях: экспериментальными методами, методом суммирования рядов высокотемпературного разложения, методами ренормгруппового описания и компьютерного моделирования методами Монте-Карло. Полученные этими методами значения критической температуры и статических критических индексов хотя и имеют некоторые различия, но в пределах статистических погрешностей находятся в хорошем согласии друг с другом (см. обзор [7]).
Значительно меньшее число работ посвящено исследованию критической динамики, и, за исключением нашей [8], отсутствуют работы по изучению
неравновесного критического поведения модели. Проведенные в работе [8] численные Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гейзенберга позволили выявить сильное влияние начальных состояний на релаксационные свойства системы. Показано, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний т0 * 1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1. При этом для систем с т0 << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом М(■) = т0^', который на временах ■ > ЪГт0-к сменяется режимом, характеризуемым степенной зависимостью М(^~Гр/(21/). При эволюции системы из начального низкотемпературного состояния с т0 = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью
Проведен расчет динамических критических индексов г и 0', характеризующих данные неравновесные режимы. Приведены аргументы, указывающие на то, что рассчитанные значения г = 2,035(4) и 0' = 0,490(1) являются более достоверными по сравнению с результатами, полученными ранее другими методами.
При исследовании двухвременной зависимости автокорреляционной функции были выявлены эффекты старения и их зависимость от начальных состояний системы. Показано, что при эволюции из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1,0 наблюдается более сильная зависимость автокорреляционной функции от времени ожидания по сравнению со случаем эволюции из высокотемпературных начальных состояний с т0 << 1. Выявлено, что временное спадание автокорреляционной функции из высокотемпературных начальных состояний оказывается значительно более медленным при сравнении с временным спаданием автокорреляционной функции из низкотемпературного начального состояния.
В дополнение к результатам работы [8] в данной статье впервые для трехмерной модели Гейзен-берга проводится расчет динамической восприимчивости и флуктуационно-диссипативного отношения при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния.
Гамильтониан ферромагнитной модели Гей-зенберга задается выражением
H = -J Е SS,
(3)
где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si, зафиксированными в узлах простой кубической решетки. Спин
S: = (S*, Sy, SZ) задается как классический единичный вектор. Моделировалась система с размерами Lx LxL и наложенными периодическими условиями. В данной работе был реализован алгоритм тепловой бани для моделирования односпиновых переворотов, адекватно передающий релаксационную динамику системы. Для данного исследования использовалось известное из работы [9] значение критической температуры Tc = 1,44292(8).
При реализации алгоритма тепловой бани осуществлялась следующая схема индивидуального переворота спина. Пусть для опрокидывания выбран спин S. Создадим случайный единичный вектор r. Представим спин Si
S, = Sj| + S1 (4)
в виде суммы параллельной Sj' и перпендикулярной Si1 проекций на направление вектора r. Преобразование спина Si заключается в перевороте параллельной проекции в противоположном направлении Sj' Sj' при сохранении направления и величины перпендикулярной составляющей. Таким
образом, изменение /-го спина Si ^ S( может быть представлено в следующем виде:
dS = S' -S = -2S,'1, (5)
т. е. изменение спина зависит только от параллельной проекции спина на направление случайного вектора r. Поскольку sj' = (S/ • r) • r , то приходим к следующему выражению для осуществляемого преобразования спина:
S,' = S -2(S • r) • Г . (6)
Для получения аналитических выражений для функции отклика модели Гейзенберга, определяемой соотношением
-5< S(x,t)> | (7) 1/J 1 SU, t ■ 'ft=0, (7)
VJ 5h(x ,tw. нами была применена методика, реализованная в работах [10-15] для модели Изинга и позволяющая при моделировании динамики системы с помощью алгоритма тепловой бани получить функцию отклика без введения магнитного поля в процедуру расчета. Ключевой момент методики [10] заключается в за-
R(t ^) = V i ddx-
— I
писи вероятности переворота W(S, ^ S(. ) для случая применения случайного локального поля h на /'-ом
— I
узле и вычислении производной от W(S, ^ S(. ) по полю в пределе ht ^0. В общем случае при такой процедуре для динамики тепловой бани получается следующее выражение:
dW
dh,
= ßW,
(8)
под £ = £(') обозначен зависящий от времени фактор, подлежащий определению; под в обозначена обратная температура. Для динамики тепловой бани формула расчета двухвременной функции отклика принимает вид [10]:
ß N
R(t ,tw ) = 5,- (t) Ж + Ч),
N i=1
(9)
а одна из форм обобщенной восприимчивости записывается в виде:
А N к
)=NЁ(г) ■Дб, )), ДБ, )=£вд. (10)
N 1=1 ¡=0
Рис. 1. Схематическое изображение переворота спина относительно случайного вектора г в модели Гейзенберга
Под N обозначается количество спинов в системе.
Для трехмерной модели Гейзенберга вывод расчетных формул начинается с применения локального поля = [Ь*,Ьу,Ь'} на произвольном /'-ом спине. В этом случае функция отклика (9) предста-вима в виде:
о N
Ж','»)=NЁ Ё Б(')К +1)). (11)
N /=1 ае[х,у
Фактор становится векторной величиной £ = [2", 2у, } с составляющими, вычисляемыми через покомпонентное дифференцирование вероятности переворота. Используем динамику Глаубера
1
W (5, ^ 5,. ) =
1+e
ßAH,
(12)
где ДН, - изменение энергии локального гамильтониана в /'-ом узле. Его можно записать в виде
ДН,. = - ЦБ, - 5) ■ 5п,ь - Ь (5,' - Б,). (13) Под 5пеЬЬ в (13) введена сумма спинов, соседних с /'-м спином. Дифференцируя (12) по компоненте Ь*,получаем
Г 5,х - 5"
dW
5h7
= ßW
1 + e
-ßAH,
(14)
Ь* ,ьу Ь^0
Аналогичные выражения получаются для компонент [у, ¿}. В общем виде фактор 2 = {2х,2у,} можно представить в виде:
Б, (') - 5/, (')
E(t) =■
1 + e
.-ßAH, (t)
(15)
В результате выражения для функции отклика и обобщенной восприимчивости трехмерной модели Гейзенберга могут быть представлены в виде (векторная запись):
^)=-ЛёЁ<5/ (') Ж +1^, (16)
N1=
A5, (tw) = £ ВД.
s=0
соотношения
(17)
S, = 5," + 5,1,
Учитывая
S/ -S, = —2S|' и S, = S,1-S11, фактор 2(t) в (15) можно представить в следующем виде:
ад = -2Si(tl =s; -s; -- 2sS'
1 + e
-ßAH, (t)
1 + e
ßAH
= 5. -5; + 5,1 --
251
1+e
-ßAH,
= 5' ' -
- 5,.' '+-
25,
1 + e
-ßAH,
= 5. 'I 1 -
1-e
-ßAH,
1 + e
ßAH
= 5.' ' (t)
1 - th | 2AH (t)
(18)
Было проведено моделирование неравновесного критического поведения трехмерной модели Гейзенберга для системы с линейным размером
h
/ = 100. Вычислялась двухвременная зависимость автокорреляционной функции:
/1 ^ ^ ^ \ ^ ^ с (■ ) =( N § 51 (■)(*" 7 " М(*)М(*„), (19)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния. Результаты для ■,„) при моделировании из высокотемпературного начального состояния представлены на рис. 2.
X(t ) = lim. 1 с-0 QC(t,tw)
(21)
Рис. 2. График двухвременной зависимости автокорреляционной функции от времени наблюдения для различных времен ожидания при эволюции из высокотемпературного начального состояния
При использовании соотношений (17)-(18) вычислялась динамическая восприимчивость х(£, ■щ) системы. На рис. 3 представлены в двойном логарифмическом масштабе рассчитанные двухвременные зависимости динамической восприимчивости х(■ ■«) от времени наблюдения (■ - ■щ) для различных времен ожидания ■щ. Графики наглядно демонстрируют проявление эффектов старения в зависимости х(^ ■щ) от «возраста» системы (с увеличением возраста системы ее реакция на внешние возмущения уменьшается).
Для расчета флуктуационно-диссипативного отношения была построена параметрическая зависимость Тх(^ ■щ) от автокорреляционной функции ■щ) (рис. 4). Действительно, в долговременном режиме (■-■щ) восприимчивость может быть записана [13] в виде
T l(t ,tw ) = { X(q)dq.
(20)
Тогда флуктуационно-диссипативное отношение как функция времени ожидания X(tw) = limX(t,tw) может
быть задано соотношением:
ТА 1.)
-■-(, = 20 А
I - 160
Рис. 3. Зависимость динамической восприимчивости х(^1щ,) от времени наблюдения для различных времен ожидания
Рис. 4. Параметрическая зависимость динамической восприимчивости от автокорреляционной функции.
На графике показаны участки, на которых определялись X(tw) при С ^ 0
Графики параметрической зависимости динамической восприимчивости от автокорреляционной функции на рис. 4 позволяют в соответствии с соотношением (21) по асимптотической кривизне представленных кривых определить значения ФДО X(tw) для каждого из рассмотренных значений времени ожидания tw. Применяя к полученным значениям ФДО X(tw) процедуру линейной аппроксимации (рис. 5), а затем экстраполяции X(tw^~) было установлено предельное значение флуктуационно-дис-сипативного отношения XT = 0,202(11) для трехмерной модели Гейзенберга.
■
lead to = 0.202
0.03 1 ! t 0.04
Рис. 5. Расчет предельного флуктуационно-диссипативного отношения в пределе 1/tw ^0
В заключение отметим, что в данной работе представлен разработанный нами алгоритм расчета функции отклика и динамической восприимчивости для трехмерной модели Гейзенберга. Был осуществлен расчет двухвременных зависимостей для автокорреляционной функции и динамической восприимчивости при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния. Совместный анализ данных функций позволил впервые определить универсальную характеристику неравновесной критической динамики модели такую, как предельное флуктуационно-диссипативное отношение со значением X" = 0,202(11). Выявлены и продемонстрированы эффекты старения в поведении двухвременной динамической восприимчивости
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Henkel M., Pleimling M. Ageing and dynamical scaling far from equilibrium // Non-equilibrium Phase Transitions. Heidelberg: Springer, 2010. Vol. 2. 544 p.
2. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
3. Berthier L., Kurchan J. Non-equilibrium glass transitions in driven and active matter // Nature Phys. 2013. Vol. 9. P. 310-314.
4. Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133-R193.
5. Berthier L., Holdsworth P. C. W., Sellitto M. Non-equilibrium critical dynamics of the two-dimensional XY model // J. Phys. A. 2001. Vol. 34. P. 1805-1824.
6. Calabrese P., Gambassi A. Aging and fluctuation- dissipation ratio for the dilute Ising model // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. Р. 212407.
7. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Physics Reports. 2002. Vol. 368, no. 6. P. 549-727.
8. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Лях А. С. Неравновесное критическое поведение трехмерной классической модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 64-72.
9. Chen K., Ferrenberg A.M., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. P. 3249-3256.
10. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. С. 693-699.
11. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. C. 462-471.
12. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Malyarenko P. N., Vakilov A. N. Aging and non-equilibrium critical phenomena in Monte Carlo simulations of 3D pure and diluted Ising models // Prog. Theor. Exp. Phys. 2015. P. 053A01.
13. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
14. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774-778.
Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 2. С. 44-50
-ISSN 1812-3996
15. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Поспелов Евгений Анатольевич - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: posevg@yandex.ru.
Лях Анастасия Сергеевна - студентка физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Лях А. С. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 2. С. 44-50. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).44-50.
INFORMATION ABOUT AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Pospelov Evgenii Anatolievich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior lecturer of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: posevg@yandex.ru.
Lyakh Anastasiya Sergeevna - student of Physics Faculty, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
FOR GTATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Pospelov E.A., Lyakh A.S. Calculation of the fluctuation-dissipation ratio for the nonequilibrium critical behavior of the three-dimensional classical Heisenberg model. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 2, pp. 44-50. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).44-50. (in Russ.).
