CC BY
30
УДК 539.2
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(3).64-72
НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, А. С. Лях, Е. А. Поспелов
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 18.06.2018
Дата принятия в печать 18.07.2018
Дата онлайн-размещения 29.10.2018
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло описания особенностей неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гей-зенберга при её эволюции из различных начальных состояний. Исследовано влияние начальных состояний на релаксационные свойства модели. Проведен расчет динамических критических индексов z и 6'. При исследовании двухвременной зависимости автокорреляционной функции выявлены эффекты старения и их зависимость от начальных состояний системы.
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, трехмерная модель Гейзенберга, релаксация намагниченности, влияние начальных состояний, эффекты старения
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003 и гранта МД-6868.2018.2 Президента РФ
NON-EQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE THREE-DIMENSIONAL CLASSICAL HEISENBERG MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, A. S. Lyakh, E. A. Pospelov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of features of non-equilibrium critical behavior in a three-dimensional classical Heisenberg model are presented with its evolution from different initial states. Study of influence of different initial states on relaxational properties of model have been carried out. Dynamical critical exponents z and 6' were calculated. Aging effects were carried out during study of two-time dependence of the autocorrelation function on initial states.
Available online 29.10.2018
Article info
Received 18.06.2018
Accepted 18.07.2018
Keywords
Monte Carlo method, non-equilibrium critical behavior, three-dimensional Heisenberg model, relaxation, influence of initial states, aging effects
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 64-72
ISSN 1812-3996-
Acknowledgements
The reported study was funded by RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003 and grant MD-6868.2018.2 of the President of the Russia
Трехмерная классическая ферромагнитная модель Гейзенберга является одной из традиционных статистических моделей, используемых для описания фазовых переходов в самых различных спиновых системах, в частности, в таких переходных металлах, как Fe, Со, N и их сплавах. Статическое критическое поведение систем, описываемое данной моделью, исследовалось самыми различными методами и в различных приближениях: экспериментальными методами, методом суммирования рядов высокотемпературного разложения, методами ре-нормгруппового описания и компьютерного моделирования методами Монте-Карло. Полученные этими методами значения критической температуры и статических критических индексов хотя и имеют некоторые различия, но в пределах статистических погрешностей практически находятся в достаточно хорошем согласии (см. обзор [1] с представленными в сводных таблицах значениями статических критических индексов со ссылками на работы, в которых они были получены).
Значительно меньшее число работ посвящено исследованию критической динамики, и отсутствуют работы по изучению неравновесного критического поведения модели. В ранних работах по ре-норм-групповому описанию критической динамики различных динамических моделей (см. обзор [2]) критическая динамика изотропной модели Гейзенберга классифицировалась как модель ] с сохраняющимся параметром порядка - намагниченностью и несохраняющейся энергией. Уравнение динамики намагниченности вблизи критической точки хотя и содержит релаксационную составляющую, но длинноволновая и низкочастотная динамика намагниченности определяется гидродинамической составляющей уравнения, описывающей прецессионное медленное вращательное движение намагниченности. Размерный анализ уравнения динамики намагниченности для изотропной модели Гейзенберга позволяет легко получить выражение для динамического критического индекса г = (д + 2 - пи) / 2, где
д - пространственная размерность системы, п - критический индекс Фишера, определяющий степенное спадание корреляционной функции с расстоянием вблизи критической точки. Для трехмерной модели Гейзенберга предсказывается значение г ~ 5/2, так как значение ^ « 0.021 (в приближении £2 применения метода £-разложения) является пренебрежимо малым по сравнению с 5/2. Однако в магнетиках всегда присутствует дипольное взаимодействие, которое в особенности существенно вблизи критической точки для изотропных магнетиков ввиду даль-нодействующего характера дипольного взаимодействия. Влияние дипольного взаимодействия на статические свойства модели Гейзенберга изучены методом £-разложения в работе [3], а на динамические свойства - в работе [4]. В [4] отмечается важное свойство влияния дипольного взаимодействия на критическую динамику - оно приводит к несохранению параметра порядка и реализации релаксационной динамики намагниченности с динамическим критическим индексом га = 2 + CdПd ~ 2,022, где согласно работе [4] са = (27 / 4) 1п(4/3) - 1 = 0,942, а индекс Фишера с влиянием дипольного взаимодействия принимает значение п « 0.023 (в приближении £2 применения метода £-разложения [3]). И хотя численные значения статических критических индексов слабо изменяются под влиянием дипольного взаимодействия, однако за счет изменения динамики намагниченности влияние дипольного взаимодействия на значение динамического критического индекса оказывается существенным.
Динамику модели Гейзенберга с учетом влияния дипольного взаимодействия можно сопоставить с релаксационной динамикой модели А в классификации Гальперина-Хоэнберга (обзор [2]),в которой также не сохраняются как параметр порядка, так и энергия. Для этой модели динамический критический индекс г = 2 + сп с с = 6 1п(4/3) - 1 « 0,726 и если воспользоваться значением пи « 0,021, то для модели Гейзенберга ги = 2 + спи « 2,015, которое также оказывается достаточно близким к га для модели Гейзенберга с влиянием дипольного взаимодей-
ствия. В работах [5; 6] при компьютерном моделировании релаксационной динамики трехмерной модели Гейзенберга методом коротковременной динамики были получены следующие значения динамического критического индекса z = 1,975(10) и z = 1,976(9), которые согласуются в пределах статистических погрешностей со значением z = 1,96(6), рассчитанным ранее в [7] с использованием равновесной техники моделирований автокорреляционной функции. Однако в полученных в [5; 6] значениях z настораживает, что они меньше двух и, следовательно, эти значения г должны приводить к расходимости кинетических коэффициентов, что противоречит ренормгрупповым основам релаксационной модели А и не наблюдается в эксперименте.
В настоящее время поведение систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает у исследователей большой интерес. Это обусловлено наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [8]. Данные особенности неравновесного поведения характерны и для систем, испытывающих фазовые переходы второго рода [9], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации.
В окрестности температуры ^ фазового перехода второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной trel - Tc|-zV, где z, V - критические индексы. Таким образом, системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. Именно на временах t << trel в неравновесном поведении систем проявляются эффекты старения. Эти эффекты выражаются в осуществлении двухвременных зависимостей для автокорреляционной функции и функции отклика и зависимости их поведения от начальных состояний. В исследовании влияния начальных состояний различают высокотемпературное состояние, создаваемое при температурах T>> ^, и низкотемпературное состояние при T < ^. Высокотемпературное состояние характеризуется начальной намагниченностью mo << 1, в то время как низкотемпературное - начальной намагниченностью mo = 1. В данной работе исследуется влияние различных начальных состояний с намагниченностью в интервале 0 < mo < 1 на критическую релаксацию намагниченности в трехмерной модели Гейзенберга.
Гамильтониан ферромагнитной модели Гей-зенберга задается выражением
H = -J X ? st, (1)
<i ,i>
где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Sf, зафиксированными в узлах простой кубической решетки. Спин
S = {S*, S?, S) задается как классический единичный вектор. Моделировалась система с размерами L х L х L и наложенными периодическими условиями. Алгоритм Метрополиса выбирался для моделирования односпиновых переворотов, адекватно передающий релаксационную динамику системы. Для данного исследования использовалось известное из работы [10] значение критической температуры Tc = 1,44292(8).
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
m=VK*(sM)=(Npi{t)) (2)
и двухвременная автокорреляционная функция C(t, tw)
/ 1 N ^ ^ \ ^ ^
C{t ,tw) = =— £ SiSiw )\-M {t)M {tw), (3)
где Ns = L3 характеризует число спинов в решетке, угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния.
Вблизи критической точки намагниченность и автокорреляционная функция являются обобщенно однородными функциями времени наблюдения t, времени ожидания tw и нового масштаба времени tm~rn0-k, связанного с начальной намагниченностью системы m0, где показатель k = 1 / (0' + ß / zv) > 0 выражается через динамические z, 0' и статические ß, v критические индексы. В результате предсказывается осуществление следующих скейлинговых зависимостей для намагниченности и автокорреляционной функции [11]:
M{t ,tm)~ t-V^Fjt / tm), C{t,tw ,tm )~ t-^Fc {t / tw ,t / tj, (4)
где скейлинговые функции Fm{t/tm) и Fc{t/tw,t/tm) являются обобщенно-однородными функциями своих аргументов.
С целью проверки выполнения данных скейлин-говых соотношений в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Гейзенберга на первом этапе было проведено численное исследование
релаксационных свойств намагниченности при эволюции из различных начальных состояний. Результаты вычисления представлены на рис. 1.
""' .......1 .......' .....1
»—~' — m„= 0,3 -
- X — гт\=0.4
' mn= 06
r~ — * 1
------- — m„=0,8 — mD=1.0
1 10 100 1000 10000 t, MCs/s
Рис. 1. График критической релаксации намагниченности M(t) с различными значениями начальной намагниченности m0
Из графиков, представленных на рис. 1, видно, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний то * 1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с то = 1. При этом для систем с то << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом M(t) = mot0, где 0' > 0 -показатель начальной эволюции системы [12; 13]. При временах t > tcr~mo-k данный этап эволюции сменяется режимом, характеризуемым степенной зависимостью M(t)~t-e/(zv). При эволюции системы из начального низкотемпературного состояния с то=1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью M(t)~t-e/<zv).
Для определения значения критического индекса 0', задающего для систем с то << 1 на этапе неравновесной эволюции степенной рост намагниченности M(t) = то^', проводилось компьютерное моделирование намагниченности для начальных состояний с то = о,001; 0,003 и 0,оо5. Линейный размер решетки выбирался для моделирования L = бо. Статистическое усреднение по реализациям начального состояния проводилось по 1ооо конфигураций. Полученные графики динамической зависимости намагниченности M(t, то) для данных начальных состояний то представлены в двойном логарифмическом масштабе на рис. 2 (а, б, в).
100 1000 1, МСз/5 (В)
Рис. 2. Графики намагниченности М(^ т0) с различными значениями начальной намагниченности т0 = 0,001 (а), т0 = 0,003 (б) и т0 = 0,005 (в), линейная аппроксимация которых определяет значения показателя 0'(т0)
Значения показателя 0' для каждого т0 находились с помощью линейной аппроксимации данных М(^ т0) на временном отрезке t = 30 т 2000 МСБ/б. Вычисленные критические показатели 0'(т0)
для различных mo экстраполировались затем к значению т0 ^ 0 (рис. 3). В результате проведенной экстраполяции был получен критический индекс 6' = 0,490(1).
Значение критического показателя в/zv определялось на основе анализа временной зависимости намагниченности M(t)~t-p/(zv) при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1 (рис. 4). В данном случае для моделирования использовалась решетка с линейным размером £ = 100. Статистическое усреднение осуществлялось по 100 прогонкам. Значение показателя в/zv= 0,25599(27) было получено в результате линейной аппроксимации данных намагниченности на временном отрезке t = 500^2000 МСБ/б (рис. 5).
Рис. 3. Экстраполяция значений показателя 6'(т0), полученных для значений начальной намагниченности т0 = 0,001; 0,003; 0,005, к значению 6'(т0 ^ 0)
1000 10000
1, МСз/й
Рис. 4. График намагниченности при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1 для решетки с линейным размером I = 100
I, МС5/5
Рис. 5. Линейная аппроксимация графика намагниченности при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного
начального состояния с т0 = 1 на временном отрезке t = 500^2000 MCS/s, позволяющая определить критический показатель Р/гу = 0,25599(5).
При использовании значений статических критических индексов, полученных в работе [14] и дающих отношение р/у = 0,521(1), и значения показателя р/гу = 0,256(1), рассчитанного нами, было получено значение динамического критического индекса z = 2,035(4).
Данное значение критического индекса z = 2,035(4), большее двух, уже соответствует ре-нормгрупповым основам релаксационной модели А и находится в достаточно хорошем согласии со значением zн = 2 + спи и 2,015, предсказываемым результатами применения метода £-разложения в двухпетлевом приближении [2]. Кроме того, если использовать значение пн = 0,0413(16), рассчитанное в работе [14] методами Монте-Карло, то получаемое при с = 61п(4/3) - 1 и 0,726 значение z = 2,0315(11) находится в очень хорошем согласии с рассчитанным нами значением динамического критического индекса.
Значение полученного нами критического индекса начальной эволюции намагниченности 6' = 0,490(1) может быть сопоставлено с близким значением 6' = 0,482(3), рассчитанным методом ко-ротковременной динамики в работе [6]. В отличие от работы [6] критический индекс 6' был получен нами для системы с большим линейным размером решетки £ = 60 и для меньших значений начальной намагниченности т0, что позволяет считать наше значение 6' = 0,490(1) более достоверным.
Рис. 6. Зависимость скейлинговой функции
Fm(tm0k) = te/(vz)M(t,m0) от переменной x = tm0k
На рис. 6 представлены результаты численной проверки предсказания скейлинговой зависимости (4) для намагниченности M(t,tm) как функции начальных значений намагниченности m0. Для скейлинговой функции Fm(x), построенной на рис. 6 в зависимости от переменной x = tm0k наблюдается «коллапс» данных M(t,m0), полученных для различных m0, на единой универсальной кривой. Зависимость Fm(x) характеризуется линейным начальным участком (в двойном логарифмическом масштабе) с Fm(x) ~ x1/k. Нами было получено для трехмерной модели Гейзенберга следующее значение показателя k = 1,340(4).
Нами было проведено численное исследование двухвременной зависимости автокорреляционной функции C(t,tw) для различных времен ожидания tw = 20, 40, 80, 160 MCs/s при эволюции системы из разных начальных состояний. На рис. 7-8 представлены графики автокорреляционных функций для крайних значений начальной намагниченности m0 = 1,0 и m0 = 0,001, соответствующих начальному низкотемпературному полностью упорядоченному состоянию и высокотемпературному начальному состоянию соответственно. Видно проявление эффектов старения в поведении автокорреляционных функций, а именно замедление их временного спадания с ростом времени ожидания tw. При этом наблюдается более сильная зависимость автокорреляционной функции от tw для случая эволюции из низкотемпературного начального состояния с m0 = 1,0 по сравнению со случаем эволюции из высокотемпературного начального состояния с m0 = 0,001.
1 10 100 1000
Рис. 7. Временная зависимость автокорреляционной функции для различных времен ожидания ^ = 20, 40, 80, 160 MCs/s при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1
100
Рис. 8. Временная зависимость автокорреляционной функции для различных времен ожидания ^ = 20, 40, 80, 160 MCs/s при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с /0 = 0,001
Сопоставление на рис. 9 графиков временной зависимости автокорреляционной функции при эволюции из тех же начальных состояний показывает, что временное спадание автокорреляционной функции из высокотемпературного начального состояния оказывается значительно более медленным для всех рассмотренных значений tw
(примерно на порядок для малых tw = 20 и 40 МСб/б) по сравнению со случаем низкотемпературного начального состояния.
1 10 100 1000
Рис. 9. Сопоставление временных зависимостей автокорреляционной функции С((^(щ) для различных времен ожидания ^ при эволюции системы из низкотемпературного (т0 = 1) и высокотемпературного (т0 = 0,001) начальных состояний
В режиме старения, реализующемся для времен t - tw ~ tw >> 1 автокорреляционная функция описывается соотношением [9; 15]
C(t ,tw )~ tw^zFc (t / tw )
(5)
со скейлинговой функцией Fc(t/tw), которая убывают на долговременном этапе изменения с t - tw >> tw >> 1 в соответствии со степенным законом
Fc(t/tj-c° (6)
с показателем Ca(LT)= 1+ Р(б+2) / zv при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с то =1,0 [11; 16; 17] и показателем Ca{HT> = d/z - 0' при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с то << 1 [18; 19].
Для подтверждения скейлинговой зависимости для автокорреляционной функции (5) было осуществлено построение зависимости tw2p/zv C(t,tw) от t/tw с использованием полученного выше значения показателя p/zv = 0,256(1). Результаты представлены для случаев эволюции системы из низкотемпературного и высокотемпературного начальных состояний на рис. 10 (a, б), которые демонстрируют коллапс полученных для различных tw данных на соответствующих различным начальным состояниям универсальных кривых, характеризуемых скейлинговой функцией Fc(t/tw). Для временных интервалов с t/tw >> 1 были определены значения показателей
са
(LT) .
2,734(7) при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с т0 =1,0 и показателем Са{НГ) = 0,979(6) при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с
то = 0,001, которые в пределах погрешностей хорошо согласуются с теоретически предсказанными значениями са(гг) = 1 + ß(5 + 2) / zv ~ 2,730 (для трехмерной модели Изинга 5 = 4,758(11)) и cJHT) = 3/z - 0'= 0,984.
Рис. 10. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции (щ2в/г" С(^щ) от УЪ при эволюции системы из высокотемпературного (а) и низкотемпературного (б) начальных состояний, демонстрирующие коллапс полученных для различных ^ данных
Проведенные численные Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения трехмерной классической модели Гейзенберга позволили выявить сильное влияние начальных состояний на релаксационные свойства системы. Показано, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний т0 * 1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1. При этом для систем с т0 << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост
намагниченности, описываемый степенным законом M(t) = mot0', который на временах t > tcr~mo-k сменяется режимом, характеризуемым степенной зависимостью M(t)~t-ß/(zv). При эволюции системы из начального низкотемпературного состояния с mo = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью M(t)~t-ß/(zv).
Проведен расчет динамических критических индексов z и 0', характеризующих данные неравновесные режимы. Приведены аргументы, указывающие на то, что рассчитанные значения z = 2,035(4) и 0' = 0.490(1) являются более достоверными по сравнению с полученными ранее результатами другими методами.
При исследовании двухвременной зависимости автокорреляционной функции были выявлены
эффекты старения и их зависимость от начальных состояний системы. Показано, что при эволюции из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1,0 наблюдается более сильная зависимость автокорреляционной функции от времени ожидания tw по сравнению со случаем эволюции из высокотемпературных начальных состояний с т0 << 1. Выявлено, что временное спадание автокорреляционной функции из высокотемпературных начальных состояний оказывается значительно более медленным при сравнении с временным спаданием автокорреляционной функции из низкотемпературного начального состояния.
Осуществлено численное подтверждение справедливости обобщенных скейлинговых зависимостей (4) и (5), характеризующих неравновесное поведение намагниченности и автокорреляционной функции в зависимости от начальных состояний и времени ожидания.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Physics Reports. 2002. Vol. 368, no. 6. P. 549-727.
2. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49, no. 3. P. 436-479.
3. Fisher M. E., Aharony A. Dipolar interactions at ferromagnetic critical points // Phys. Rev. Lett. 1973. Vol. 30. P. 559; Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 3323; Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 3342.
4. Тейтельбаум Г. Б. Динамика намагниченности в дипольной критической области // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21, вып. 6. С. 339-341.
5. Fernandes H. A., Drugowich de Felicio J. R., Caparica A. A. Short-time behavior of a classical ferromagnet with double-exchange interaction // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 054434.
6. Fernandes H. A., da Silva R., Drugowich de Felicio J.R. Short-time critical and coarsening dynamics of the classical three-dimensional Heisenberg model // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 10002.
7. Peczak P., Landau D.P. Dynamical critical behavior of the three-dimensional Heisenberg model // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47. P. 14260.
8. Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. NotesPhys. 1997. Vol. 492. P. 184-219.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
10. Chen K., Ferrenberg A.M., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48. P. 3249.
11. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 06016.
12. Prudnikov V. V., PrudnikovP. V., Krinitsyn A. S., VakilovA. N., PospelovЕ. А., RychkovM. V. Short-time dynamics and critical behaviour of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. Р. 011130.
13. Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И. А., Рычков М. В. Неравновесная критическая релаксация структурно неупорядоченных систем в коротко-временном режиме: ренормгрупповое описание и компьютерное моделирование // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. С. 287-300.
14. Ballesteros H. G., Fernandez L. A., Martin-Mayor V., Munoz Sudupe A. Finite size effects on measures of critical exponents in d = 3 O(N) models // Phys. Lett. B. 1996. Vol. 387. P. 125.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 64-72
-ISSN 1812-3996
15. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Malyarenko P.N., Vakilov A.N. Aging and non-equilibrium critical phenomena in Monte Carlo simulations of 3D pure and diluted Ising models // Prog. Theor. Exp. Phys. 2015. Р. 053A01.
16. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
17. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
18. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. C. 462-471.
19. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E .A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774-778.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@ univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@ mail.ru.
Лях Анастасия Сергеевна - студентка физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
Lyakh Anastasiya Sergeevna - Student of Physics Faculty, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
Поспелов Евгений Анатольевич - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: posevg@yandex.ru.
Pospelov Evgenii Anatolievich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior lecturer of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: posevg@yandex.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С., Поспелов Е. А. Неравновесное критическое поведение трехмерной классической модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 64-72. ЭО!: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).64-72.
FOR QTATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Lyakh A.S., Pospelov E.A. Non-equilibrium critical behavior of the three-dimensional classical Heisenberg model Non-equilibrium critical behavior of the three-dimensional classical Heisenberg model. Vestnik Omskogo universi-teta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 64-72. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3). 64-72. (in Russ.).
