CC BY
32
УДК 539.2
DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(3).39-48
НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
В. В. Прудников, П. В. Прудников, А. С. Лях
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 18.06.2019
Дата принятия в печать 01.07.2019
Дата онлайн-размещения 28.10.2019
Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения трехмерной анизотропной модели Гейзенберга при ее эволюции из различных начальных состояний. Исследовано влияние начальных состояний на релаксационные свойства модели. Проведен расчет динамических критических индексов г и 6'. При исследовании двухвременной зависимости автокорреляционной функции выявлены эффекты старения и их зависимость от начальных состояний системы.
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, трехмерная модель Гейзенберга, релаксация намагниченности, влияние начальных состояний, эффекты старения
Финансирование
Исследование выполнено при поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003 и гранта Президента РФ МД-6868.2018.2
NON-EQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE THREE-DIMENSIONAL ANISOTROPIC HEISENBERG MODEL
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, A. S. Lyakh
Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
Article info Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of features of non-equilibrium criti-
Received cal behavior in a three-dimensional anisotropic Heisenberg model are presented with its
18.06.2019 evolution from different initial states. Study of influence of different initial states on relaxa-
tional properties of model have been carried out. Dynamical critical exponents z and 6' were Accepted calculated. Aging effects were carried out during study of two-time dependence of the au-
01.07.2019 tocorrelation function on initial states.
Available online 28.10.2019
Keywords
Monte Carlo method, non-equilibrium critical behavior, three-dimensional Heisenberg model, relaxation, influence of initial states, aging effects.
Acknowledgements
The reported study was funded by the RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-50006 and grant of the President of the Russia MD-6868.2018.2
Трехмерная ферромагнитная модель Гейзен-берга является одной из традиционных статистических моделей, используемых для описания фазовых переходов в самых различных спиновых системах, в частности в таких переходных металлах, как Ре, Со, N1 и их сплавах.
Однако модель Гейзенберга является изотропной и не учитывает эффекты анизотропии, возникающие в реальных магнитных системах за счет влияния кристаллического поля, спин-орбитального взаимодействия, магнитного диполь-дипольного взаимодействия [1]. Несмотря на то, что энергия анизотропии на два-три порядка меньше по величине энергии обменного взаимодействия, в результате действия магнитной кристаллографической анизотропии в кристалле возникают некоторые выделенные направления для ориентации намагниченности - оси легкого намагничения или плоскости легкого намагничения. Детальный учет эффектов магнитной кристаллографической анизотропии при их теоретическом описании является очень сложной и в настоящее время до конца не решенной задачей. Для облегчения теоретического описания влияния эффектов магнитной анизотропии на обменное взаимодействие был предложен подход [2-4], основанный на введении анизотропной модели Гейзенберга.
Критическая динамика анизотропной модели Гейзенберга описывается релаксационной моделью А в классификации Гальперина-Хоэнберга (обзор [5]), в которой не сохраняются как параметр порядка, так и энергия. Для этой модели динамический критический индекс г = 2 + сп с с = 6 1п(4/3) - 1 и 0,726 и п - индекс Фишера. Ожидается, что за счет одноосной анизотропии критическое поведение анизотропной модели Гейзенберга эквивалентно критическому поведению модели Изинга с П| ~ 0,036(1) [6] и г и 2,026(1). В работе [7] был проведен расчет динамического критического индекса г для трехмерной модели Изинга в рекордном четырехпетлевом приближении в рамках теоретико-полевого подхода непосредственно для размерности системы d = 3 и с применением техники суммирования Паде-Бореля получено значение г = 2,017. Проведенный в работе
[8] более тонкий анализ сходимости рядов теории и их суммирования показал, что при применении метода суммирования Паде-Бореля получается значение г = 2,0171(1), при применении метода Паде-Бо-реля-Лероя г = 2,0168(1) и метода конформного Паде-Бореля г = 2,0372(1). Усреднение значений, полученных разными методами суммирования, дает г = 2,0237(55).
В данной работе исследуется неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга методами Монте-Карло. Известно, что поведение систем вблизи температуры фазового перехода второго рода характеризуется медленной динамикой, так как время релаксации таких систем является расходящейся величиной £ге| ~| Т-Тс|"ги, где г, V - критические индексы. В настоящее время поведение систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает у исследователей большой интерес. Это обусловлено наблюдаемыми при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния свойствами старения и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы
[9]. На временах t << trel в неравновесном поведении систем проявляются эффекты старения. Эти эффекты выражаются в осуществлении двухвременных зависимостей для автокорреляционной функции и функции отклика и зависимости их поведения от начальных состояний. В исследовании влияния начальных состояний различают высокотемпературное состояние, создаваемое при температурах Т>> Тс, и низкотемпературное состояние при Т < Тс. Высокотемпературное состояние характеризуется начальной намагниченностью т0 << 1, в то время как низкотемпературное - начальной намагниченностью т0 = 1. В данной работе исследуется влияние различных начальных состояний с намагниченностью в интервале 0 < т0 < 1 на критическую релаксацию намагниченности в трехмерной анизотропной модели Гейзенберга и исследуются особенности двухвременных зависимостей для автокорреляционной функции при эволюции системы из высокотемпературного и низкотемпературного начальных состояний с выделением эффектов старения.
Гамильтониан ферромагнитной модели Гей-зенберга с анизотропией типа «легкая ось» задается выражением
н = -j £ [(1 - а)(s*sjx + sys/ ) + s/s/ ], (1)
<, j >
где J > 0 характеризует короткодействующее обмен-
i
ное взаимодействие между спинами s, зафиксированными в узлах простой кубической решетки, Д - па-
i
раметр анизотропии. Спин s( = (s*, sy, sf) задается как классический единичный вектор. Моделировалась система с размерами Lx LxL и наложенными периодическими условиями. Алгоритм Метрополиса выбирался для моделирования односпиновых переворотов, адекватно передающий релаксационную динамику системы. Для данного исследования параметр анизотропии принимал значение Д = 0,63 [10; 11].
В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как намагниченность
M(t) = 1Jddx(I(x,t^ = (N-£ 1(t)} (2)
и двухвременная автокорреляционная функция C(t, tw)
I 1 N I I \ I I
C(t,tw) = \n £ si(t)s!(tw4-M(t)M(tw), (3)
где Ns = L3 характеризует число спинов в решетке, угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния.
Вблизи критической точки намагниченность и автокорреляционная функция являются обобщенно однородными функциями времени наблюдения t, времени ожидания tw и нового масштаба времени trn~m0-k, связанного с начальной намагниченностью системы m0, где показатель k = 1/(0' + ß / zv) > 0 выражается через динамические z, 0' и статические ß, v критические индексы. В результате предсказывается осуществление следующих скейлинговых зависимостей для намагниченности и автокорреляционной функции [9]:
M (t, tm)~ t-p/(vz ]Fm (t / tm), C(t, tw,tm) ~ t-2f5/(vz)FC (t / tw, t / tm), (4)
где скейлинговые функции Fm (t / tm) и FC (t / tw ,t / tm) являются обобщенно-однородными функциями своих аргументов.
Для исследуемой модели неизвестно значение критической температуры Tc . Для нахождения критической температуры использовался метод кумулянтов Биндера [12], задаваемых соотношением
UAT, L) = 11 3 - МЩ 4К '2 I М2(T,L)
(5)
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение, а Мп - п-й момент намагниченности описывается выражением
м i N ЪS
(6)
Кумулянт ^(Т,/) имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму и4(Т,1) = и(/.1/г(Т-Тс)), которая указывает, что температурные зависимости кумулянта, полученные для систем с различными линейными размерами /, пересекаются при температуре, равной Тс , в реальности в некоторой окрестности Тс, размер определяется статистическими погрешностями вычисления кумулянта и 4.
Для получения значения температуры фазового перехода Тс для модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая» ось осуществлялось компьютерное моделирование систем с различными линейными размерами / = 24, 36, 48. На рис. 1 представлены графики температурной зависимости кумулянтов Биндера и4(Т, /). Пересечение этих кривых образует область температур, в которой находится значение критической температуры для анизотропной модели Гейзенберга.
С использованием метода кумулянтов Биндера было определено значение критической температуры Тс = 1,64497(45) для данной анизотропной модели Гейзенберга.
С целью проверки выполнения скейлинговых соотношений (4) в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая» ось на первом этапе было проведено численное исследование релаксационных свойств намагниченности при эволюции из различных начальных состояний. Результаты вычисления представлены на рис. 2.
Из графиков, представленных на рис. 2, видно, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний т0*1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с т0=1. При этом для систем с т0 << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом М(') = т0'6', где 6' > 0 - показатель начальной эволюции системы [9; 13; 14]. При временах ' > 'с~т0-к данный этап эволюции сменяется режимом, характеризуемым степенной зависимостью М(')~'-р/(ги). При эволюции системы из началь-
ного низкотемпературного состояния с т0 = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью
ММ~Гр/(ги>.
Э 0.4 -
1.00 0.95 0.90 0.85 0.30 0.75
г
0.70 0.65 0.80 0.55
0.50 1.640
Рис. 1. Температурная зависимость кумулянтов Биндера и4(Т, /) для 1=24, 36, 48 (сверху) и линейная аппроксимация для значений и4(Т, /) в окрестности критической температуры Тс = 1,64497(45) (снизу)
юо юоо юооо
I МСэ/э
Рис. 2. График критической релаксации намагниченности М(^ с различными значениями начальной намагниченности т 0
Для определения значения критического индекса 0', задающего для систем с т0 << 1 на этапе неравновесной эволюции степенной рост намагниченности М(^ = т0^', проводилось компьютерное моделирование намагниченности для начальных состояний с т0 = 0,001; 0,003 и 0,005. Линейный размер решетки выбирался для моделирования / = 100. Статистическое усреднение по реализациям начального состояния проводилось по 1000 конфигураций. Полученные графики динамической зависимости намагниченности М(^ т0) для данных начальных состояний т0 представлены в двойном логарифмическом масштабе на рис. 3 (а, б, в).
Значения показателя 0' для каждого т0 находились с помощью линейной аппроксимации данных М(^ т0) на временном отрезке 1 = 100 т 2000 МСб/б. Вычисленные критические показатели 0'(то) для различных т0 экстраполировались затем к значению т0^0 (рис. 4). В результате проведенной экстраполяции был получен критический индекс 0'=0,529(1).
Значение критического показателя р/гу определялось на основе анализа временной зависимости намагниченности М(^~Гр/(ги) при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0=1 (рис. 5). В данном случае для моделирования использовалась решетка с линейным размером / = 100. Статистическое усреднение осуществлялось по 100 прогонкам. Значение показателя Р/гу= 0,2565(4) было получено в результате линейной аппроксимации данных намагниченности на временном отрезке Д1 = 150т2000 МСб/б (рис. 6).
Характеристики модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая» ось должны быть схожими с характеристиками модели Изинга, так как в обеих моделях существует выделенное направление ориентации намагниченности вдоль оси г (см. рис. 7). Модель Изинга - предельный случай сильной одноосной анизотропии по отношению к модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая» ось с параметром анизотропии Д = 1. Поэтому для нахождения критического показателя г использовалось соотношение р/у = 0,5181(4) [6], соответствующее модели Изинга. Был получен критический показатель г = 2,020(4). Полученные значения критических индексов были сопоставлены со значениями, соответствующими модели Гейзенберга, исследованной в статье [15], и модели Изинга (таблица).
t. MCs/s (а)
0.02
Е
if 0.01
- ш =0.003
Й1 = 0.4895(4)
0.02
ГО.01
100 1000 I, МСз/з (в)
Рис. 3. Графики намагниченности М(^ т0) с различными значениями начальной намагниченности т0 = 0, 001 (а), т0=0, 003 (б) и т0=0, 005 (в), линейная аппроксимация которых определяет значения показателя 0'(т0)
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 то
Рис. 4. Экстраполяция значений показателя 0'(т0), полученных для значений начальной намагниченности т0 = 0,001; 0,003; 0,005, к значению 0'(т0^0)
Е >
0.1
10000
100 i, мс5/5
Рис. 5. График намагниченности М(^ при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1 для решетки с линейным размером /= 100
0.25
Рис. 6. Линейная аппроксимация графика намагниченности М(^ при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного
начального состояния с т0 = 1 на временном отрезке Д 1=150т2000 МС./б, позволяющая определить критический показатель Р/гу= 0.2565(4)
1 ' * ' (1)
0.8 m0 - 1.0
o.e (3)
E 0.4
0.2
1 10 100 1000 t, MCs/s
Рис. 7. Динамическая зависимость намагниченности M(t)
с начальной намагниченностью m0 = 1 для различных спиновых моделей: для изотропной модели Гейзенберга (1), для анизотропной модели Гейзенберга (2) и модели Изинга (3)
Сопоставление значений критических индексов p/vz, z и в' со значением параметра анизотропии А для различных спиновых моделей
Модель Изинга Анизотропная модель Гейзенберга Изотропная модель Гейзенберга
Д 1 0,63 0
p/vz 0,2569(2) 0,2565(4) 0,25599(5)
z 2,017 [7] 2,020(4) 2,035(4)
0' 0,108(2)[16] 0,529(1) 0,490(1)
и ху-составляющей намагниченности М^) при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с то = 1. Поэтому особенности неравновесного критического поведения должны проявляться в автокорреляционной функции только для г-составляющих спинов:
^ t tw ) = - & (t)s¡z (tw ) -mz (t)Mz (tw
N í=I
(7)
100 1, мса'з
Рис. 8. Динамическая зависимость намагниченности М(Т,т0) с начальной намагниченностью т0 = 0,001 для изотропной (1) и анизотропной (2) моделей Гейзенберга
Из таблицы видно, что значения показателей Р/уг и г для анизотропной модели Гейзенберга находятся в хорошем согласии с показателями для модели Изинга. В то же время значение критического показателя 6' для анизотропной модели заметно превышает значение 6' = 0,108(2), полученное в [16] для трехмерной модели Изинга при компьютерном моделировании методом коротковременной динамики, а также значение 6' = 0,1078(22), предсказываемое расчетами в рамках метода £-разложения [17]. Значение показателя 6' = 0,529(1) для анизотропной модели оказывается близким к значению 6' = 0,490(1) для изотропной модели. Это подтверждается графиками временной зависимости намагниченности на рис. 8 при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с начальной намагниченностью т0 = 0,001 для изотропной и анизотропной моделей Гейзенберга.
В анизотропной модели Гейзенберга при критической температуре медленной динамикой характеризуется только г-составляющая намагниченности Мг($. Это наглядно видно из представленых на рис. 9 графиков временных зависимостей полной намагниченности М(1), г-составляющей намагниченности М2($
to'
toJ
1 10 1<М 1000 10000
1, МСз/Е
Рис. 9. Сопоставление графиков временных зависимостей полной намагниченности М^), г-составляющей
намагниченности М^) и ху-составляющей намагниченности М^) при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1
Нами было проведено численное исследование двухвременной зависимости автокорреляционной функции Сгг(^«,) для различных времен ожидания = 20, 40, 80, 160 МСб/б при эволюции системы из разных начальных состояний. На рис. 10 и 11 представлены графики автокорреляционной функции Сгг(^«,) для значений начальной намагниченно-
сти т0 = 1,0 и т0 = 0,001, соответствующих начальному низкотемпературному полностью упорядоченному состоянию и высокотемпературному начальному состоянию соответственно. Видно проявление эффектов старения в поведении автокорреляционных функций, а именно замедление их временного спадания с ростом времени ожидания tw. При этом наблюдается более сильная зависимость автокорреляционной функции от tw для случая эволюции из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1,0 по сравнению со случаем эволюции из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,001.
10"'
о"
тг
Рис. 10. Временная зависимость автокорреляционной функции Сгг(^,д|) для различных времен ожидания ^ = 20, 40, 80, 160 МСб/б при эволюции системы из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1
10"'
а
«У
Ю"1
Рис. 11. Временная зависимость автокорреляционной функции Сгг(^,д|) для различных времен ожидания ^ = 20, 40, 80, 160 МСб/б при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,001
Сопоставление на рис. 10 и 11 графиков временной зависимости автокорреляционной функции Сгг(^^) также показывает, что временное спадание
автокорреляционной функции при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния оказывается значительно более медленным для всех рассмотренных значений tw по сравнению со случаем низкотемпературного начального состояния.
Сравнивая динамические зависимости автокорреляционных функций для анизотропной и изотропной моделей, представленные на рис. 12 для одних и тех же значений начальной намагниченности, можно видеть, что кривые автокорреляционной функции Сгг(^) для анизотропной модели спадают быстрее, чем кривые автокорреляционной функции для изотропной модели как для низкотемпературного, так и высокотемпературного начальных состояний. Для автокорреляционной функции изотропной модели с эволюцией из высокотемпературного начального состояния т0 << 1 заметно более слабое влияние времени ожидания tw (более слабое проявление эффектов старения), чем для анизотропной модели.
Анизотропная модель
. 'Сш, 10 ■ •
■ «
о"
10'Г т„ = 1.0
1 to 100 tooo
t - MCs/s
1U"
10"'
3 о
10*
1 ю 100 юоо
I - I,, МС5/5 (6)
Рис. 12. Сопоставление временных зависимостей автокорреляционной функции Сгг(^,д,) для различных времен ожидания ^ при эволюции системы из низкотемпературного (т0=1) и высокотемпературного (т0 = 0,001) начальных состояний для анизотропной (а) и изотропной (б) моделей
t - t , MCs/5
I ■ Г, MCs/в
(а)
В режиме старения, реализующемся для времен ~ автокорреляционная функция описывается соотношением [9; 18]
С(■,^)~ ^р/|*2)ГС (■ / ) (8)
со скейлинговой функцией Гс^Д«), которая убывает на долговременном этапе изменения с >> 1«>>1 в соответствии со степенным законом
^(■/ ^ )~(г / ^)-Са (9)
с показателем Са('Т)= 1+ Р(б+2)/гу при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1,0 [19-21] и показателем са(НТ) = ^г - 0' при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с т0 << 1 [22; 23].
Для подтверждения скейлинговой зависимости для автокорреляционной функции (8) было осуществлено построение зависимости tw2|3/гuCzz(t■,tw) от t/tw с использованием полученного выше значения
показателя р/гу = 0,2565(4). На рис. 13 (а, б) представлены результаты расчетов для случаев эволюции системы из низкотемпературного и высокотемпературного начальных состояний, которые демонстрируют коллапс полученных для различных tw данных на соответствующих различным начальным состояниям универсальных кривых, характеризуемых скейлинговыми функциями Гс^Д„). Для временных интервалов с t/tw >> 1 были определены значения показателя Са('Т) = 2,734(7) при эволюции системы из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1,0 и показателя сС(нТ) = 0,979(6) при эволюции системы из высокотемпературного начального состояния с т0 = 0,001. Данные значения показателей в пределах статистических погрешностей хорошо согласуются с теоретически предсказанными значениями Са"Т> = 1+ Р(5+2)/гу ~ 2,730 и Са'нТ) = 3/г - 6'= 0,984.
(а) (б)
Рис. 13. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции ■«2|3/г" С22(^«) от ■/■« при эволюции системы из высокотемпературного (а) и низкотемпературного (б) начальных состояний, демонстрирующие коллапс полученных для различных данных
В заключение отметим, что проведенные численные Монте-Карло исследования особенностей неравновесного критического поведения трехмерной анизотропной модели Гейзенберга с анизотропией типа «легкая» ось позволили выявить сильное влияние начальных состояний на релаксационные свойства системы. Показано, что кривые релаксации для систем, стартовавших из начальных состояний mo* 1, асимптотически стремятся к кривой релаксации из низкотемпературного начального состояния с mo = 1. При этом для систем с mo << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом M(t) = mot3', который на временах t > tcr~mo-kсменяется режимом, характеризуемым степенной зависимостью M(t)~t-p/(zu). При эволюции системы из начального низкотемпературного состояния с mo = 1
временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью М(^~Гв/(ги).
Проведен расчет динамических критических индексов г и 6', характеризующих данные неравновесные режимы. Приведены аргументы, указывающие на то, что рассчитанные значения г = 2,020(4) и 6' = 0,490(1) являются более достоверными по сравнению с результатами, полученными ранее другими методами.
При исследовании двухвременной зависимости гг-составляющей автокорреляционной функции Сгг(^) были выявлены эффекты старения и их зависимость от начальных состояний системы. Показано, что при эволюции из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1,0 наблюдается более сильная
зависимость автокорреляционной функции от времени ожидания tw по сравнению со случаем эволюции из высокотемпературных начальных состояний с mo << 1. Выявлено, что временное спадание автокорреляционной функции из высокотемпературных начальных состояний оказывается значительно более медленным по сравнению с временным спада-
нием автокорреляционной функции из низкотемпературного начального состояния.
Осуществлено численное подтверждение справедливости обобщенной скейлинговой зависимости (8), характеризующей неравновесное поведение автокорреляционной функции в зависимости от начальных состояний и времени ожидания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Квантово-статистическая теория твердых тел. СПб. : Лань, 2016. 448 с.
2. Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В. Об одном применении теории возмущений к полярной модели металла // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. С. 251-255.
3. Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В. Приближенный метод нахождения низших энергетических уровней электронов в металле // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. С. 256-268.
4. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М. : Наука, 1975. 530 с.
5. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49, no. 3. P. 436-479.
6. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // Physics Reports. 2002. Vol. 368, no. 6. P. 549-727.
7. Прудников В. В., Иванов А. В., Федоренко А. А. Критическая динамика спиновых систем в четырехпет-левом приближении // Письма в ЖЭТФ. 1997. Т. 66, вып. 12. С. 793-798.
8. Криницын А. С., Прудников В. В., Прудников П. В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 147, вып. 1. С. 137-154.
9. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.
10. Прудников П. В., Прудников В. В., Медведева М. А. Размерные эффекты в ультратонких магнитных пленках // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100, вып. 7. C. 501-505.
11. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Medvedeva M. A., Piskunova N. I. Dimensionality crossover in critical behaviour of ultrathin ferromagnetic films // J. Magn. Magn. Mater. 2015. Vol. 387. P. 77-82.
12. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. 224 с.
13. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S., VakilovA. N., Pospelov Е. А., Rychkov M. V. Short-time dynamics and critical behaviour of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. Р. 011130.
14. Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И. А., Рычков М. В. Неравновесная критическая релаксация структурно неупорядоченных систем в коротковременном режиме: ренормгрупповое описание и компьютерное моделирование // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. С. 287-300.
15. Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С., Поспелов Е. А. Неравновесное критическое поведение трехмерной классической модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 64-72.
16. Jaster A., Mainville J., Shulke L., Zheng B. Short-time Critical Dynamics of the 3-Dimensional Ising Model // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. Р. 1395.
17. Прудников В. В., Прудников П. В., Калашников И. А., Циркин С. С. Ренормгрупповое описание процессов неравновесной критической релаксации в коротковременном режиме: трехпетлевое приближение // ЖЭТФ. 2008. Т. 133, вып. 6. C. 1251.
18. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Malyarenko P. N., Vakilov A. N. Aging and non-equilibrium critical phenomena in Monte Carlo simulations of 3D pure and diluted Ising models // Prog. Theor. Exp. Phys. 2015. Р. 053A01.
19. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. Р. P06016.
- 47
Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 3, pp. 39-48
20. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.
21. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.
22. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. C. 462-471.
23. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Pospelov E. A., Vakilov A. N. Influence of disorder on critical ageing in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774-778.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Лях Анастасия Сергеевна - студентка физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Лях А. С. Неравновесное критическое поведение трехмерной анизотропной модели Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 3. С. 39-48. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(3).39-48.
INFORMATION ABOUT AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prud-nikov_pavel@ mail.ru.
Lyakh Anastasiya Sergeevna - Student of Physics Faculty, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: lyakhnastya@gmail.com.
FOR CITATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Lyakh A.S. Non-equilibrium critical behavior of the three-dimensional anisotropic Heisenberg model. Vestnik Omskogo universi-teta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 3, pp. 39-48. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(3).39-48. (in Russ.).
