Влияние начальных состояний и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53.072

DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(3).49-57

ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ И ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА НЕРАВНОВЕСНОЕ КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

В. В. Прудников, П. В. Прудников, П. Н. Маляренко

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Аннотация. Представлены результаты численного Монте-Карло исследования особенностей влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга при ее эволюции из различных начальных состояний. На основе анализа временной зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости для различных начальных состояний выявлено проявление логарифмических поправок в универсальных характеристиках неравновесного критического поведения чистой и структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга. Проведено исследование влияния различных начальных состояний на значения предельного флуктуационно-диссипативного отношения.

Ключевые слова

Метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, структурно неупорядоченная двумерная модель Изинга

Финансирование

Исследование выполнено при поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-50006 и гранта Президента РФ МД-6868.2018.2

INFLUENCE OF INITIAL STATES AND STRUCTURAL DEFECTS

ON NONEQUILIBRIUM CRITICAL BEHAVIOR OF THE TWO-DIMENSIONAL ISING MODEL

V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, P. N. Malyarenko

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. The results of a numerical Monte Carlo study of defects influence on nonequilib-rium critical behavior of the two-dimensional Ising model are presented with its evolution from different initial states. Analysis of time dependence of the autocorrelation function and dynamic susceptibility for different initial states has revealed an influence of logarithmic corrections on universal characteristics of nonequilibrium critical behavior of pure and disordered two-dimensional Ising model. We have studied influence of different initial states on values of the limiting fluctuation-dissipation ratio.

Keywords

Monte Carlo method, nonequilibrium critical behavior, disordered two-dimensional Ising model

Информация о статье

Дата поступления 25.05.2019

Дата принятия в печать 01.07.2019

Дата онлайн-размещения 28.10.2019

Article info

Received 25.05.2019

Accepted 01.07.2019

Available online 28.10.2019

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 3. С. 49-57

-ISSN 1812-3996

Acknowledgements

The reported study was funded by the RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-50006 and grant of the President of the Russia MD-6868.2018.2

Задача описания фазовых переходов и критических явлений остается одной из наиболее сложных в статистической физике. Критические явления характеризуются аномально большими по амплитуде и долгоживущими флуктуациями параметра порядка, и их эффективно сильным взаимодействием. Одной из особенностей, возникающей при описании критического поведения систем, является эффект критического замедления. Он связан с аномальным увеличением времени релаксации системы по мере приближения к температуре фазового перехода второго рода [1]. В результате система, находящаяся в критической точке, не приходит к состоянию равновесия в течение всего процесса релаксации. Поэтому на неравновесном этапе эволюции системы возникают такие необычные явления, как старение, нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы и влияние начальных состояний системы [2].

Для описания неравновесных критических явлений наряду с аналитическими подходами широко применяются численные методы, в частности методы статистического моделирования Монте-Карло [1]. В данной работе планируется методами Монте-Карло исследовать эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы для чистой и структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга с эволюцией из различных начальных состояний. Ставится цель выявить особенности неравновесной критической динамики данной модели. Результаты исследований могут найти применение для описания эффектов старения в ультратонких ферромагнитных пленках и адекватной интерпретации экспериментальных данных, полученных для мультислойных структур Fe/Cr и Co/Cr [3-10].

Полученные нами в работах [11; 12] результаты исследования неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга для двух начальных состояний системы с намагниченностями mo = 0,01 << 1 и то = 1 выявили сильное влияние как данных начальных состояний, так и дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения систем, описываемых двумерной

моделью Изинга. Это делает исключительно интересной задачу по проведению исследований влияния различных начальных состояний с промежуточными значениями начальной намагниченности 0 < mo < 1 и дефектов структуры на универсальные характеристики неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга.

Гамильтониан ферромагнитной модели Изинга, разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением

H = - J g pipjsisj - hg p S,, (1)

<i ,i> i

где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами S. = ±1, зафиксированными в узлах плоской квадратной решетки. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 - в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения

P(p,) = (1 - p)8(pi) + p8(pi), (2)

где p = (p.*) задает величину спиновой концентрации.

В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины, как двухвремен-ная корреляционная функция C(t, tw) и линейная функция отклика R(t, tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями

"(S(x,t)S(0,tw)) - " '_-( S(x ,t))( S(0,tw)) _

MS(xt)) I

^ ' Sh(x,tw) ^ где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решетке.

1

С (t ,tw) = - J Л

R(t ) = V J

(3)

В данной работе, по аналогии с работами [1315], была использована методика, позволяющая рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля. Расчет обобщенной динамической восприимчивости осуществлялся в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости):

tw 1 Ns

X(t,tw) = f dt'R(t,t')=—Д(pSi(t)AS,(tw})] , (4)

0 TNs Ы

где функция отклика R(t, tw) задается соотношением (3), а функция M,-(tw) рассчитывается в процессе моделирования состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяется соотношением

w

A Si (tw) = £[ S,. (s) - SW (s)] ,

s=0

где SW = th(J£pmSm /T).

(5)

Моделирование систем проводилось на квадратной решетке с линейным размером /. = 1024 в широком интервале изменения спиновых концентраций с р = 0,95, 0,9, 0,85, 0,8, 0,75 и 0,7 при соответствующих критических температурах Те(р): Тс(0,95) = 2,08989(8), Тс(0,9) = 1,9032(5), Тс(0,85) = = 1,7098(4), Тс(0,8) = 1,5103(4), Тс(0,75) = 1,2980(10), Тс(0,7) = 1,0729(10) [16; 17].

В данной работе нашло отражение исследование поведения систем, эволюционирующих из состояний с различными значениями начальной намагниченности та = 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 0,9 и 1,0. Поведение систем исследовалось на временах до 10000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании чистой системы с р = 1,0 проводилось статистическое усреднение по 15000 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вы-

(6)

числяемых величин проводилось по 2000 примесным конфигурациям и 15 прогонкам для каждой примесной конфигурации.

Для выявления зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости от начальных значений намагниченности т0 удобно в качестве времени ожидания выбрать величину, пропорциональную времени наблюдения, например tw = t / 3, тогда скейлинговые формы для данных функций примут вид [2]:

С^,tw = t / 3,tm) = t-2р/(гг]вс (тк), х^,^ = t /3,^) = t-2Ргвх (tm0), где ^ ~ т0-к - новый временной масштабный, связанный с начальной намагниченностью т0, показатель к = 1 / (0' + в / IV), вс и вх - скейлинговые функции, в, V и г, 0' - известные статические и динамические критические индексы.

На рис. 1 и 2 представлены временные зависимости автокорреляционной функции С(^Дт) и восприимчивости х(^шДт) для времен ожидания tw = t / 3 и различных значений начальной намагниченности для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0, р = 0,9 и р = 0,8. Наблюдаемый для структурно неупорядоченных систем с р = 0,9 и 0,8 нефизический рост автокорреляционных функций при эволюции из низкотемпературного начального состояния с т0 = 1 объясняется необходимостью учета логарифмических поправок [12].

Введение временных логарифмических поправок в виде зависимости (1+(§/2)!п^"(у2Са)/2С(^/3) от времени наблюдения t для системы с р = 0,95 и (М-'у2Са)/2С(^/3) от t для р < 0,9 (Са=2/г - 0' - показатель спадания автокорреляционной функции) позволяет устранить такое нефизическое поведение автокорреляционной функции (рис. 3), которое теперь демонстрирует временное спадание в течение всего процесса эволюции системы.

|0.1 у

0.01

ю юо юоо • у •■■<■ ю юо ю»

1.МС5Л 1. МСЗД 1. МС»)

Рис. 1. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции С(^/3) от времени наблюдения t для систем со спиновыми концентрациями р = 1,0 (слева), р = 0,9 (в центре) и р = 0,8 (справа) при эволюции из различных начальных состояний с 0,01 < т0 < 1,0

к» юсе 1соас 1С ice

t. MCS/5 i uCSli

Рис. 2. Неравновесные зависимости динамической восприимчивости Tx(t,t/3) от времени наблюдения t для систем со спиновыми концентрациями p = 1,0 (слева), p = 0,9 (в центре) и p = 0,8 (справа) при эволюции из различных начальных состояний с 0,01 < m0 < 1,0

Эффекты старения в поведении автокорреляционной функции и динамической восприимчивости наглядно проявляются (рис. 3 и 4) через отклонение зависимостей (1+(g/z)lnt)-(vzCa)/2C(t,t/3), (1+(g/z)lnt)-(vzCa)/2x(t,t/3) для системы с p = 0,95 и (lnt)-<vzCa>/2C(t,t/3), (lnt)-(vzCa)/2x(t,t/3) для p < 0,9 от степенной (при постоянном значении tw), имеющей вид прямой в двойном логарифмическом масштабе, и

характеризуются замедлением корреляции и релаксации системы с увеличением ее «возраста» ^. Из представленных на рис. 3 и 4 графиков видно, что в поведении автокорреляционной функции эффекты старения проявляются сильнее, чем в поведении восприимчивости. Кроме того, из анализа данных графиков можно сделать вывод, что с ростом начального значения намагниченности то эффекты старения усиливаются.

£

¥

0Д1

к S^tiSÄ p =0.95

VC't >

\ \ R> 1 ,

1000D

1 1С 1СС 1000 1 1С 100 1000 Ю00С 1 10 100

1. МСЗД ъ МСЭ/а I

Рис. 3. Неравновесные зависимости (1+(§/г)Iп>/2С(Г,) для системы со спиновой концентрацией р = 0,95 (слева) и (1п?)-1и2Са)/2С(?,?/3) для систем с р = 0,9 (в центре) и р = 0,8 (справа), демонстрирующие влияние логарифмических поправок в поведении автокорреляционной функции при эволюции из различных начальных состояний с 0,01 < т0 < 1,0

t

0,1

s

$ 0.01

' » Ш'щщщ p = 0.95 d.i С rl,-ii x p " 0.Э ^-•-■.« 0 01 0.1 s :: H К -C.01 Е. 1 я

|o,oi s lyuA ГЧ" ' \\ , 4 ^^ С 2

ft 001 »».- о 3 0.М1

100 (

100

t 1 t.MCS's

Рис. 4. Неравновесные зависимости (1 + (g/z)lnt)-(vzCa)/2Tx(t,t/3) для системы со спиновой концентрацией p = 0, и (lnt)-(vzCa)/2Tx(t,t/3) для систем с p = 0,9 (в центре) и p = 0,8 (справа), демонстрирующие влияние логарифмических поправок в поведении динамической восприимчивости при эволюции из различных начальных состояний с 0,01 < m0 < 1,0

1000

,95 (слева)

Для проверки осуществления скейлинговых соотношений (6) были построены зависимости

t2ß/(vz>c(t,t/3) от x = tm0k. На рис. 5 видно, что в случае чистой системы c p = 1,0 наблюдается коллапс данных для различных значений начальной намагниченности то на единой универсальной кривой.

Однако временное поведение автокорреляционной функции для структурно неупорядоченных систем, представленное на рис. 6, демонстрирует нарушение скейлингового соотношения (6), что связано с существенным влиянием дефектов структуры на корреляционные свойства системы на неравновесном этапе ее эволюции при старте из низкотемпературных начальных состояний с то ф 0 [11]. Представление зависимости C(t,tw = t1/p,tm) t2ß/(^vz) от x = f"mok позволяет при значениях показателя

сверхстарения д, равных ц(р = 0,95) = 6,10(5); ц(р = 0,9) = 6,25(5); ц(р = 0,85) = 6,50(5); ц(р = 0,8) = 6,75(5); ц(р = 0,75) = 7,05(5); ц(р = 0,7) = 7,50(5), получить совпадение данных для скейлинговой функции Сс(^т0к) на соответствующих универсальных кривых при значениях начальной намагниченности 0,5 < та < 1 и распределение данных в виде параллельно расположенных графиков для 0,01 < т0 < 0,4 (рис. 6). Это указывает на то, что в структурно неупорядоченных системах для автокорреляционной функции реализуется более сложная скейлинговая зависимость вида

С ^, tw = t1/1 ,Гт) = tw6С ^ ц тк0). (7)

3 о.' 3

f-0.3

-e-e(.001

G 03

—«v-с ее \

-O-^-C 1 \

1 v

—— «,-0 J \

V

z/

—»»04

-•-«vot

ч/

--Щ.Л

-в-»,-0 01

М' _

—«,= 0 J

>

v?

.«С

кчт.

Рис. 5. Скейлинговые зависимости ^в/(Ч1)С(М/3) от х = Тт0к для систем с концентрацией спинов р = 1,0 (слева)

и р = 0,9 (в центре), р = 0,8 (справа)

I М

001

щ ■ ■ 001 '.V/j p =0.9

—ч* ooa ^«SS

—r 005 \

—e-ri* 01 X

— v Oi

«v аз

04 •

——m? a«

-m* —»V at OA * \ vH iL ц-6?5

— ЩШ --rv 09 1

1м

* * —•—r^»(L0 Г 'Iv'i""» p-0.8

—щ* 002 ^Sj

-«—aos ^s

—п\*0Э

У^пЯ

—P^ÜS \

——f^-Ов \ \

—p—J^-sO«

0.!

О

10 Рис.

*ю"ю* 10* 10"* 10' 1<f w' «Г и" 10" 10*10"

в ■ —r^-aoi V'^A p =0.7

-■—н^аог ^^

—rvaoi

—•—

•

—.—д. -09 . N.

—........

10Г"10Г* Ю"1 10* ю' 101 1в* 10* 10" 10" ю"10" 10"

6. Эффекты сверхстарения, наблюдаемые в зависимости скейлинговой функции от переменной х = Тцт0к с ц = 6,25 для системы с концентрацией спинов р ■ для р = 0,8 (в центре) и ц = 7,50 для р = 0,7 (справа)

Gc(tW) = 0,9 (слева

' to' «' 1<Г Iii 10"

л Ь

п-

= C(t,tw = t1^. , Ц = 6,75

tm) Г2^'^!

Таким образом, поведение автокорреляционной функции для систем, релаксирующих из начальных состояний с различными значениями начальной намагниченности т0, характеризуется принадлежностью к двум подклассам универсального неравновесного критического поведения.

Один из них соответствует типу низкотемпературного начального состояния, включающего в себя состояния с 0,5 < т0 < 1. В этом случае скейлинговая

временная зависимость автокорреляционной функции для чистой модели Изинга описывается соотношениями теории канонического старения с д = 1, а для структурно неупорядоченной модели Изинга -соотношениями теории сверхстарения с д > 1. Другой подкласс универсального неравновесного критического поведения соответствует типу высокотемпературного начального состояния, включающего в себя состояния с т0< 0,4. В этом случае автокорреляционная функция описывается скейлинговыми

формами, соответствующими каноническому старению как для чистой системы, так и для структурно неупорядоченных систем с д = 1.

Наблюдаемое для начальных состояний с намагниченностями 0,5 < то < 1 изменение режима поведения автокорреляционной функции на долговременном этапе с t >> tw связано с сильным замедлением эффектов корреляции вследствие пиннинга доменных стенок на дефектах структуры в процессе неравновесного изменения доменной структуры системы. Данная особенность в поведении автокорреляционной функции была выявлена нами ранее в структурно неупорядоченной двумерной модели Изинга, эволюционирующей из низкотемпературного полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1 с реализацией для эффектов сверхстарения [11]. Для начальных состояний с 0,01 < то < 0,4 поведение автокорреляционной функции не меняется как на этапе старения с t ~ tw , так и на долговременном этапе с t >> tw и характеризуется одним режимом поведения.

На следующем этапе нами было осуществлено исследование влияния различных начальных состо-

яний на значения предельного флуктуационно-дис-сипативного отношения (ФДО). Рассчитывалась временная зависимость динамической восприимчивости х(^шДт) и автокорреляционной функции С(^Дт) для различных значений начальных намаг-ниченностей т0 при времени ожидания, равном tw = :/9, которое лучше соответствует условию t - ^ >> ^ для долговременного этапа эволюции системы - области универсальности неравновесной динамики. С учетом логарифмических поправок соотношение

х ) = |im LM+A

w 5C (t,tw)

(8)

перепишется для структурно неупорядоченной дву мерной модели Изинга в виде:

,Тсд[(1 + (д /г)!п0"/2"КЛ,и

X (tw) = lim

3[(1 + (g /z)lnt)-IVCa C(t,tw)]

(9)

для систем со спиновыми концентрациями 0,9 < р < 1,0 и в виде:

х(, ) = !1т 7д[(пГ-уЛ,*„)] (10)

для систем со спиновыми концентрациями р < 0,9.

0.026 0.024 0.022 ©0,020 3,0,018 >¿0,016 Ь 0,014 Г 0,012 ! 0,010 с 0,008 0.006 0.004 0.002 0.000 0,1

Рис. 7. Параметрическая зависимость ЫШр^^х^Л/^Лт) от (1пГ)_1и2Са)/2С(Г,Г/9,Гт) для систем с р = 0,9 (вверху) и р = 0,8 (внизу) при различных значениях начальной намагниченности т0

Представленная на рис. 7 для систем со спи- рическая зависимость 7С(1п^ ("2Са)/2х(^/9Дт) от новыми концентрациями р = 0,9 и р = 0,8 парамет- (1п^-("гСа)/2С(^/9Дт) позволяет получить значения

р = 0.8

30 0.02

0,04 0.06

о.оа 0,10 t C(t,t/9)

0,12

0,0018 _ 0,0016 0.0014 ^0,0012 ~ 0.0010 i 0.0008 я 0.0006

0,0004 0,0002 0,0000

p =0.8

P — m„=0.4 .

-m;=0 5 :

——m =0.6

» ^ 0

-—m=0.8 ■

— т„=09 '

lr —m„=i ;

0,007

0,008

0.009

0.050 t C(t,U9)

0.011

предельного ФДО X~ в соответствии с соотношением (10).

Из графиков на рис. 7 видно, что в случае начальных состояний с намагниченностью 0,01 < < то < 0,4 системы со всеми спиновыми концентрациями характеризуются линейной зависимостью TcX от С и предельными значениями ФДО, представленными в таблице. Эти значения в пределах погрешности совпадают со значениями для высокотемпературного начального состояния Xht~ = 0,339(19) (p = 1,0), Xht~ = 0,317(21) (p = 0,9) и Xht~ = 0,256(23) (p = 0,8) [12].

Значения предельного ФДО X°(p, m) для систем с различными спиновыми концентрациями p при различных значениях начальной намагниченности m

В случае начальных состояний с намагниченностью 0,5 < т0 < 1 предельное значение ФДО для чистой системы (р = 1,0) хорошо согласуется с найденным в [12] значением = 0,751(34) для низкотемпературного полностью упорядоченного состояния с то = 1. Для структурно неупорядоченных систем с начальными намагниченностями 0,5 < то < 1 предельное ФДО Xю = 0, что связано с сильным замедлением корреляционных эффектов на временах t >> ^

вследствие пиннинга доменных стенок на дефектах структуры.

В заключение отметим, что проведенное исследование неравновесного критического поведения автокорреляционной функции для систем, релакси-рующих из начальных состояний с различными значениями начальной намагниченности т0, характеризуется принадлежностью к двум подклассам универсального неравновесного критического поведения. Один из них соответствует типу низкотемпературного начального состояния, включающего в себя состояния с 0,5 < т0 < 1. В этом случае скейлинговая временная зависимость автокорреляционной функции для чистой модели Изинга описывается соотношениями теории канонического старения, а для структурно неупорядоченной модели Изинга - теорией сверхстарения [2]. Другой подкласс универсального неравновесного критического поведения соответствует типу высокотемпературного начального состояния, включающего в себя состояния с т0 < 0,4. В этом случае автокорреляционная функция описывается скейлинговыми формами, соответствующими каноническому старению, для систем со всеми значениями спиновых концентраций. Случай начальной намагниченности т0 = 0,4 является переходным, когда поведение автокорреляционной функции на временах t > tw соответствует типу неравновесного критического поведения с высокотемпературным начальным состоянием, а на долговременном этапе с t >> tw - низкотемпературному типу начальных состояний. С увеличением концентрации дефектов поведение автокорреляционной функции для системы с т0 = 0,4 все более соответствует подклассу высокотемпературного начального состояния.

Проведенные расчеты предельных значений флуктуационно-диссипативного отношения как универсальной характеристики неравновесного критического поведения системы подтверждают сделанные выводы о существовании двух подклассов универсального неравновесного критического поведения в двумерной модели Изинга.

mo X°(p, ma)

P = 1,0 P = 0,9 P = 0,8 P = 0,7

0,01 0,335(17) 0,316(20) 0,255(21) 0,181(16)

0,02 0,336(19) 0,317(19) 0,252(20) 0,181(15)

0,05 0,338(18) 0,314(19) 0,251(19) 0,182(16)

0,1 0,334(19) 0,313(18) 0,255(19) 0,181(15)

0,2 0,334(19) 0,316(19) 0,254(18) 0,182(16)

0,3 0,331(18) 0,313(19) 0,256(19) 0,184(17)

0,4 0,339(19) 0,314(21) 0,258(20) 0,185(17)

0,5 0,742(32) 0 0 0

0,6 0,749(31) 0 0 0

0,8 0,452(33) 0 0 0

0,9 0,750(32) 0 0 0

1,0 0,751(33) 0 0 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. М.: Физматлит, 2013. 316 с.

2. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания // УФН. 2017. Т. 187, вып. 8. С. 817-855.

3. Ферт А. Происхождение, развитие и перспективы спинтроники // УФН. 2008. Т. 178. С. 1336-1348.

4. Прудников П. В., Прудников В. В., Медведева М. А. Размерные эффекты в ультратонких магнитных пленках // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100. С. 501-505.

- 55

Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 3, pp. 49-57

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 3. С. 49-57

-ISSN 1812-3996

5. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Menshikova M. A., Piskunova N. I. Dimensionality crossover in critical behavior of ultrathin ferromagnetic films // J. Magn. Magn. Mater. 2015. Vol. 387. P. 77-82.

6. Прудников В. В., Прудников П. В., Пуртов А. Н., Мамонова М. В. Эффекты старения в неравновесном поведении мультислойных магнитных структур // Письма в ЖЭТФ. Т. 104. С. 797-805.

7. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Purtov A. N., Mamonova M. V., Piskunova N. I. Non-equilibrium critical dynamics of multilayer magnetic structures // J. Magn. Magn. Mater. 2019. Vol. 470. P. 143-146.

8. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Mamonova M. V., Firstova M. M., Samoshilova A. A. Manifestation of aging in giant magnetoresistance of the Co/Cu/Co nanostructure // J. Phys. Commun. 2019. Vol. 3, no. 1. Р. 015002.

9. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Эффекты старения в неравновесном поведении магнитных сверхструктур и их проявление в магнитосопротивлении // ЖЭТФ. 2018. Т. 154. C. 855-867.

10. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Mamonova M. V., Piskunova N. I. Influence of anisotropy on magnetoresistance in magnetic multilayer structures // J. Magn. Magn. Mater. 2019. Vol. 482. P. 201-205.

11. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты сверхстарения и перколя-ционного кроссовера в неравновесном критическом поведении двумерной неупорядоченной модели Изинга // Письма в ЖЭТФ. 2018. Т. 107, вып. 9. С. 595-603.

12. Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Исследование маргинального влияния дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // Вестник Омского ун-та. 2019. № 2. С. 33-43.

13. Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical ageing of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. Vol. 6. P. 06016.

14. Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192-201.

15. Prudnikov V.V., Prudnikov P. V., Pospelov E. A. Influence of disorder on aging and memory effects in non-equilibrium critical dynamics of 3D Ising model relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2016. Vol. 2016. P. 043303.

16. Shchur L. N., Vasilyev O. A. Critical amplitude ratio of the susceptibility in the random-site two-dimensional Ising model // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 65. Р. 016107.

17. Martins P. H. L., Plascak J. A. Universality class of the two-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. Р. 012102.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.

Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.

INFORMATION ABOUT AUTHORS

Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.

Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prud-nikov_pavel@ mail.ru.

Маляренко Петр Николаевич - аспирант, кафедра Malyarenko Petr Nikolaevich - Postgraduate Student, теоретической физики, Омский государственный the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Рос- Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, сия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: petr.malyarenko@ Russia; e-mail: petr.malyarenko@yandex.ru. yandex.ru.

56 -

Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 3, pp. 49-57

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Прудников В. В., Прудников П. В., Маляренко П. Н. Влияние начальных состояний и дефектов структуры на неравновесное критическое поведение двумерной модели Изинга // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 3. С. 49-57. DOI: 10.25513/1812-3996.2019. 24(3).49-57.

FOR CITATIONS

Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Malyarenko P.N. Influence of initial states and structural defects on nonequi-librium critical behavior of the two-dimensional Ising model. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 3, pp. 49-57. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(3).49-57. (in Russ.).