QOVUSHOQ-ELASTIK TAYANCHLARGA O‘RNATILGAN VALNING DINAMIKASINI HISOBLASH Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

MEXANIKA

UDK 677.01.023

QOVUSHOQ-ELASTIK TAYANCHLARGA O'RNATILGAN VALNING

DINAMIKASINI HISOBLASH

Teshayev Muhsin Xudoyberdiyevich Buxoro muhandislik-texnologiya instituti

Nematov Erkinjon Hamroyevich I.Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti

Qalandarov Navro'zbek Olimbeyevich I.Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti

Annotatsiya. Deformatsiyalanuvchi qovushqoq elastik rotor sistemasidan tashkil topgan mexanik sistemaning erkin va majburiy tebranishlar va ulardagi energiya dissipatsiyasi masalalari bo'yicha ma'lumotlar berilgan. Mexanik sistemaga ta'sir qiluvchi aktiv va passiv kuchlarni bajarga ishlari aniqlangan. Mexanik sistemaning erkin tebranishlari o'rganilganda tashqi ta'sir etuvchi kuchlarni hisobga olmaymiz. Chegaraviy shartlar masalalarni variatsion qo'yilishida avtomatik bajarilishini hisobga olib qo'yilmaydi. Mexanik sistemani Myuller, Gauss, muzlatish usullaridan foydalanib qovushoq-elastik tayanchlarga o'rnatilgan valning dinamikasini hisoblash masalasining yechimlari berilgan.

Аннотация. Приведены сведения о рассеянии энергии, свободных и вынужденных колебаниях механической системы с деформируемой вязкоупругой роторной системой. Определены активные и пассивные силы механической системы. Мы игнорируем внешние силы при анализе свободных колебаний механической системы. Вариационное обрамление проблем не считается автоматически удовлетворяющим граничным требованиям. Приведены решения для задачи использования методов Мюллера, Гаусса и замораживания механической системы для расчета динамики вала, установленного на вязкоупругих опорах.

Abstract. Details are provided on the energy dissipation and free and forced vibrations of a mechanical system with a deformable viscoelastic rotor system. The mechanical system's active and passive forces are identified. We ignore outside forces when analyzing the free vibrations of a mechanical system. The variational framing of issues is not thought to automatically satisfy boundary requirements. Solutions are provided for the problem of utilizing the Mueller, Gauss, and freezing methods of the mechanical system to calculate the dynamics of the shaft mounted on visco-elastic supports.

Kalit so'zlar: tayanch element, deforatsiyalanuvchi element, mexanik sistema, erkin tebranishlar, majburiy tebranishlar, kuchlanish, deformatsiya, ko'chish variatsiyasi, Myuller usuli, Gauss usuli, muzlatish usul,

Ключевые слова: базовый элемент, деформируемый элемент, механическая система, свободные колебания, вынужденные колебания, напряжение, деформация, вариация смещения, метод Мюллера, метод Гаусса, метод замораживания.

Key words: base element, deformable element, mechanical system, free vibrations, forced vibrations, stress, deformation, displacement variation, Mueller's method, Gauss' method, freezing method.

Faraz qilaylik N qattiq K deformatsiyalanuvchi qovushqoq elastik rotor sistemasidan tashkil topgan mexanik sistema berilgan bo'lsin (1-rasm). Bular S-ta tayanch elementlardan tashkil topgan bo'lsin, ulardan Si-deforatsiyalanuvchi podshipniklar va S2-massasiz deforatsiyalanuvchi element (prujina) tashkil topgan mexanik sistema berilgan bo'lsin (2-rasm).

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024

MEXANIKA

Shu rasmda keltirilgan qovushqoq-elastik mexanik sistemaning erkin va majburiy tebranishlar va ulardagi energiya dissipatsiyasi masalalarni ko'ramiz.

1-rasm. Valning hisob sxemasi: N- bo'ylama kuch, q(z)- tarqalgan kuch, h-

bo'lakchalar uzunligi.

Masalani qo'yilishida mumkin bo'lgan ko'chish prinsipidan foydalanamiz. Buning uchun mexanik sistemaga ta'sir etuvchi aktiv va passiv kuchlarni bajargan ishlarining variatsiyasining yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak

8 A = 8Aa + SAj + 8AF = 0, (1)

bu yerda,

8 A, =-£ -tr&e,

n=l

e=l

SAI =-t[ 5 ^ ^T Sñn dV Sñk -± 4 ^ScpJ, ^ = ^ T

k=1

dt2

k=i

N

k dt2

dt

N

saf = —22 / pnf sundv + y^\fn8undv + 2 fndun + z mks(pk

n=1 v n=l v n=l k =1

vn vn

bu yerda, Ssy , SAe -tarqalgan jism deformatsiyasi va yig'ilgan massa elementlarining siljishining variatsiyasi, pn-nuqtaviy yig'ilgan n-chi material yoki element zichligi, mk- k -chi qatiq jisim massa, u, ,Su1 ,Suk - tarqalgan parametrli deformatsiyalanuvchi material nuqtalari va nuqtaviy yig'ilgan elementlarni ko'chish vektori, f,p -tarqalgan parametrli deformatsiyalanuvchi materialga qo'yilgan sirt va massali kuchlar zichligi, V,E - tarqalgan parametrli deformatsiyalanuvchi - n-chi materialning hajmi va sirti, In-n-chi kattiq jismning markaziy inersiya momenti, Fm ,Mk - k - chi kattiq jismning bosh vektori va bosh momenti.

2-rasm. Rotorli mexanik sistema

Agar yuqorida keltirilgan mexanik sistemada massali deformatsiyalanuvchi element yupqa qobiqlardan iborat bo'lsin, u holda (1) tenglamaga qo'shimcha bajarilgan ishlar

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 3-son, 2024

n

MEXANIKA

quyidagicha bo'ladi

- L

SA,=-\^iSsidV, ôAa =-Y^gv-

v l-l

ÔS

l '■>

Q

ÔAm=-ph\U(Xi,X2,t) • ÔUdQMq U(X?,X2,t)ÔU.

q q-i

bu yerda, p, h-qobiqning zichligi va qalinligi, Mq-biriktirilgan massa, L-deformatsiyalanuvchi tayanchlar soni, Q-osilgan massalar soni, V, fi-qobiq hajmi va sirti mos ravishda, cf^,Eij-kuchlanishlar va deformatsiya komponentalari mos ravishda, ay, E1;-mos

ravishda /-chi deformatsimlanuvchi tayanchdagi kuchlanishlar va deformatsiyalar, S-umumlashgan ko'chish variatsiyasi. Tenglamalar sistemasini olishni ikkinchi yo'li differensial yondoshuvdan foydalanish hisoblanadi. Differensial yondoshuv asosan massaga ega fazoviy sterjinli sistema, plastinka va qobiqlar uchun foydalanish mumkin. Bu holatda mexanik sistemani differensial tenglamasi quyidagi ko'rinishni egallaydi:

Z LW -Z \ Rk (t - (?)dr ± P

д 2W _i_

dt2

= ±Pfie

(2)

bu yerda, Wj - j-chi massali elementlarni ko'chish vektori komponentlari, pj - j-chi

massali elementlarini zichligi bo'lib koordinataga bog'liq, f - masali kuch amplitudasi,

Rjk(t -*) - relaksatsiya yadrosi, LJk - fazoviy koordinatalar sistemasidagi differensial operatori.

Ishda yuqorida keltirilgan (1 va 2-rasmlar) mexanik sistemani erkin va majburiy tebranishi o'rganiladi. Erkin tebranishlar o'rganilganda tashqi ta'sir etuvchi kuchlarni hisobga olmaymiz. Chegaraviy shartlar masalalarni variatsion qo'yilishida avtomatik bajarilishini hisobga olib

qo'yilmaydi.

3-rasm.Tarqalgap parametrli deformatsiyalanuvchi valning hisob sxemasi

Majburiy tebranishlar garmonik yoki turg'un kuch ta'siri ostida yuz beradi

F(t ) - F0 e

-Ht

(3)

bu yerda, F0 - tashqi yuklanish amplitudasi, H- tashqi yuklanish chastotasi. Yuqorida olingan (1) tenglamalar sistemasini yechimini quyidagi ko'rinishga qidiramiz

uk{x,t) = Vk{x)e

-¡at

(4)

bu yerda, (o - qidirilayotgan erkin tebranishlarning kompleks chastotasi, bo'lib masalani yechish jarayonida topiladi. Majburiy tebranishda chastota anik haqiqiy kattalik bo'ladi va

berilgan bo'ladi (o - H), V(x)- kompleks kattalik bo'lib tebranishlar formasini beradi. Agar mexanik sistemani erkinlik darajasi chekli mexanik sistemadan tashkil topgan bo'lsa, u holda

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024

MEXANIKA

Lagranjning ikkinchi tur differensial tenglamasidan foydalanib tebranishlarning integro-differensial tenglamasini olamiz

6N

jk <lk (f ) - J Rck (f ~ T ('T T

T.iajkqkXt) + C

= , j = 1,2,...,6N (5)

bu yerda, atj -musbat aniqlangan kvadratik formani beradi 0.5 2 aijqiqj .

i,] =1

Masala (5) tenglamallar sistemasini davriy (periodicheskogo resheniya) yechimini topish talab etiladi. Agar (5) differensial tenglamalar sistemani normal koordinatalar orqali ifodalasak Rij = 0 holat uchun chiqarib, qovushoq-elastik mexanik sistema uchun umumlashtirish mumkin. Quyidagicha umumlashgan koordinatalar sistemasini kiritsak

qj = 2 bik°k , k=1

sistema quyidagi ko'rinishni egallaydi

t

ö + ai 0t - J Rik (t - s)6k (s) ds = Qt0 sin pt, (i=i,_,n)

bu yerda, ök -normal koordinalar, bjk - koeffitsiyentlar yoki matritsa elementlari bo'lib

quyidagi shartni qanootlantiradi det[bjk] ^ 0, ooi-elastik sistemani erkin tebranishlar chastotasi, 0|:;- normal koordinataga mos keluvchi umumlashgan kuch amplitudasi, quyidagi ko'rinishni

n _

egallaydi 0Oi = ^bkjOnk№-ik~ relaksatsiya yadrosi (ta'sir qiluvchi funksiya):

k=1

Rk = 2 Röjk j =1

bu yerda, ajk - simmetrik haqiqiy qiymatli bo'lib, umumlashgan massani ifodalaydi, Cjk -umumlashgan oniy elastiklik modulini ifodalovchi simmetrik matritsa, qk - kompleks umumlashgan koordinatalar, f - kompleks umumlashgan kuch amplitudalari, A -tashqi kuch

chastotasi bo'lib, haqiqiy kattalik. Erkin tebranishlar chastotasi o'rganilganda (5) tenglamani o'ng tomoni nolga teng bo'ladi, u xolda tenglamani yechimi quyidagicha bo'ladi:

q} = A}e , j = 1,...,6 (6)

bu yerda, a = aR + iaI - erkin tebranishlar chastotasi kompleks kattalik. Agar (6) yechimni (5) tenglamaga qo'ysak quyidagicha kompleks koeffitsentli bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz:

6 N _

2 (Cjk (®r ) — a2Cjk )Ak = j = 1,2,...,6 N (7)

k=1

Bir jinisli algebraik tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo'lishi uchun, uning asosiy aniqlovchisi nolga teng bo'lishi kerak. Natijada (7) komples chastotani haqiqiy qismi aR chiziqli bo'lmagan holda kiruvchi transendent tenglamani olamiz

Cjk (aR ) -a2c]k\ = 0 (8)

Yuqorida keltirilgan (8) transendentdent tenglamani sonli Myuller usuli yordamida yechiladi. Boshlangich qiymat sifatida birinchi yaqinlashishda konservativ masalani yechimi olinadi. Bu tenglamani to'liqroq qilib quyidagicha yozish mumkin yoki uni xarakteristik

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024

MEXANIKA

tenglama ham deyiladi

det [ -[M] w 2 + [C(œR )] ] = 0 Yoki ochib yozsak, u holda quyidagi ko'rinishni egalaydi:

m о2 + Ci (œR ) m2о2 + c12 (юя ) ..

(9)

min°2 + C1n (°R )|

m2 о2 + c21 ) m22 о2 + c22 (юк ) ... m2w о2 + с2и (юк )

= О.

mn1°2 + Cn1 (®Л ^ mn2°2 + 2 (®Л ^ ... mnn®2 + Cnn )

Bu transendent tenglama (8)-ni Myuller usuli bilan yechishda har bir iteratsiyada Gauss usuli bilan yechiladi. Shuning uchun (8) aniqlovchini ochish talab etilmaydi. Bu tenglamani ildizlari quyidagicha bo'ladi

°k = °Rk - о, °n-k = о + о , (к = 1,..., n) (10)

bu yerda, о1к > О va aRk > О - haqiqiy sonlar bo'lib, о1к > О so'nish koeffitsiyentini

ifodalaydi. Agar (5) majburiy tebranishlarni ifodalovchi differensial tenglamalar sistemasi yechimi quyidagicha izlanadi

q} = Aje-iH

j = 1,...,6N

(11)

bu yerda, Aj -topilishi kerak bo'ladigan kompleks amplituda. Agar (11) yechim (5)

tenglamaga qo'yilsa, u holda quyidagicha bir jinsli bo'lmagan kompleks koeffitsiyentli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz:

б n

X(Cj-к(Л)-Л2ajk)Ak = fj .

(12)

к=1

Oxirgi tenlamalar sistemasi Gauss usuli bilan yechiladi.

Vallar ko'pincha egri chiziqli bo'ladi, u holda quyidagi noma'luli xususiy hosilali integro-diferensial tenglamalar sistemasini olamiz:

—u N

—s E0F0 -—

t

+ kv + J Roe(t-т)

—u (s,t)

л

- kv

к —s J

dT,

M

—s

—un

—s

J E

J bE о

M

+ J RE(t -r)-—dT

JпЕО -œ

О u/

+ J R E (t -T ) -undT

—u 2Mt

—s JtEо

(1 + v) + Jre (t -T) ——dT

—s —s

—w —s

= un - V J к(s)z(s)ds,

—v 7

— = ub - ku + w i к(s)^(s)ds, —s J

+

0

+

0

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 3-son, 2024

Qn -W - Qbe-V = 0, (13)

MEXANIKA

---kQn-pF—T + Q0te p = a

OS ot

- kN - Qbr-pF 0 - = 0,

05 Ot

Q ^ г д 2 w

6 - Qr-pF -ow - qo.

-Mt- Mnk - Jp p°^ = 0,

а? n ' dt2

^ -Mtk -Mbr - Qbl - = 0,

as от

^b-M r-- Jbp^ = 0.

^ n ^n 1 b / .-s ,2

OS OT

Oxirgi olingan (13) xususiy hosilali integro-differensial tenglamalar (XSIDTS) sistemasi birgalikda 12 noma'lumli 12 yopiq tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Ular uchun sterjenning mahkamlangan chegarasida quyidagi shartlar qo'yiladi: w(w,v,vr) = 0, us(un,ub,ut) = 0.

Ikkinchi erkin turgan tomoniga kuch qo'yilganlik sharti

qo'yiladi Q = P0e M = T0e "y

Bunda Pq,T0 — qo'yilgan kuch va moment vektorlarining amplitudalari. Qo'yilgan masalani

yechishda boshlang'ich shartlar qo'yilmaydi, chunki o'rganiladigan jarayon turg'un bo'lganligi

uchun. Valga ta'sir etuvchi kuchlar q = 0;P = P0e-Vt,-да< t <да bo'lsin. Bu yerda P -ta'sir

etuvchi kuch amplitudasi, V - tebranishlarning majburiy chastotasi.

Majburiy turg'un tebranishlar uchun XSIDTS (13) ni yechimini quyidagi ko'rinishda izlaymiz:

(N ,Qn, Qb ,Mt MMU: VWUt U ,UbL = (N,Qn, Qb ,Mt Mn Mb, U, v, w,u, Un, йь )T e'Vpt, (14)

bu yerda, N, Qn, Qb, Mt, Mn, Mb, U, v, w, Ut, Un, Ub - tebranishlar amplitudasi; segri val yoki sterjen o'q kesim formasining funksiyasi, haqiqiy kattalik hisoblanadi. Agar (14) ni (13) ga qo'ysak, u holda kompleks koeffitsiyentli oddiy differensial tenglamalar sistemasini olamiz:

Integral muzlatish usulini qo'llamasdan analitik yechiladi. Ya'ni yuqorida keltirilgan erkin uchiga chastotasi V bo'lgan garmonik kuch qo'yilgan. Davriy majburiy tebranishlar masalasi yechilganda boshlang'ich shart qo'yilmaydi va muzlatish usuli qo'lanilmaydi. Bu

tenglamadagi AP-vektor tashqi kuchlar amplitudasini va chastotasini funksiyasi. Bu (13) tenglamani yechimi quyidagicha bo'ladi:

b'l

£l J (Rm -2[M ]) d£

J AP(£ei0 d£

£0

4 (№„,]'' -»ЛЩ)

sel и "

Valning muvozanat tenglamasi, ajratib olingan bo'lakka ta'sir etuvchi kuchlarni koordinata o'qlariga proyeksiyalab olingan.

ADABIYOTLAR

1. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: ИМСС УрО РАН, 2003. вестн. моск. ун-та.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024

MEXANIKA

сер. 1, математика. механика. 2012. № 5 69

2. Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Победря Б.Е. Особенности поведения вязкоупругихмоделей // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. № 1. 119-157.

3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

4. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. Вып. 3. М.: Издво МГУ, 1973. 417-428.

5. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругихматериалов. М.: Наука, 1970

6. Козлов В. В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями: I // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1982, № 3, с. 92-100;

7. Козлов В. В. Принципы динамики и сервосвязи// Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. № 1. С. 169-178.

8. Fundamentals of the theory of the process of grinding grain into rotary machines. GALAXY international interdisciplinary research journal (GIIRJ) Vol. 11, Issue 09, Sep. (2023). P.201-204. Нематов Э.Х., Каландаров Н.О.

9. Calculation of the torque of therotary shaft. Eurasian journal of research, development and innovation. Volume 24, September 2023. P.1-4. Nematov E.Kh, Kalandarov N.O.

10. Calculating of determining force and speed of rotary shafts for grinding. Механика ва технология илмий журнали. Наманган-2023 йил. №4(13). 69-79 б. Nematov E.Kh, Kalandarov N.O.

11. Seismic vibrations of spherical bodies in a viscoelastic deformable medium. Part 2. AIP Conference Proceedings 2432, 030125 (2022); https://doi.org/10.1063/5.0091187 Published Online: 16 June 2022. P.1-7. A.O.Umarov, U.Sh.Jurayev, T.O.Zhuraev, Kalandarov N.O., F.F.Khamidov

12. Dynamic stress-strain states in viscoelastic half-spaces from the effects of cylindrical inclusion loads. AIP Conference Proceedings 2467, 060024 (2022); https://doi.org/10.1063/5.0092396 Published Online: 22 June 2022. P.1-10. Imoil Safarov, Muhsin Teshaev, Sharif Axmedov, Abdurakhim Marasulov, Kalandarov Navruzbek.

13. Параметры рифленого вальца. International conference on modern Science and scientific studies. Vol 2, Issue 10, October 19th France-2023. P.130-134 Нематов Э.Х., Каландаров Н. О.

14. Анализ параметров ротационного вала для измельчения зерновых материалов. Proceedings of International Educators conference 2023. Vol 2. Issie 10. 25th October, Italy-2023. P.41-44. Нематов Э.Х., Каландаров Н.О.

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 3-son, 2024