CC BY
2MEXANIKA
UDK 677.01.022
QOVUSHOQ-ELASTIK TAYANCHLARGA O'RNATILGAN VALNING DINAMIKASI
MASALALARI
Teshayev Muhsin Xudoyberdiyevich Buxoro muhandislik-texnologiya instituti
Nematov Erkinjon Hamroyevich I.Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti
Qalandarov Navro'zbek Olimbeyevich I.Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti
Annotatsiya. Qovushqoq-elastik tayanchlarga o'rnatilgan vallarning erkin va maburiy tebranishlarini o'rganish, garmonik tebranishlar vaqtida hisoblashning asosiy munosabatlari, val sirtlarida bir jinsli chegaraviy shartlari o'rganildi. Qovushqoq-elastik materiallarning fizik xossalari Bolsman-Volter integrali orqali chiziqli irsiy munosabatlari bilan, tizimning majburiy turg'un yoki garmonik tebranishlarida sistemaning dissipativ xususiyatlari rezonans rejimlari va rezonans amplitudalarining cheklangan qiymatlari, statsionar bo'lmagan tebranishlarda ham mexanik tizimning kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlashda dissipativ xususiyatlari ta'sirlari o'rganilgan. Mexanik tizimning dissipativ xususyatlari darajasi tizimning geometrik va fiziko-mexanik parametrlariga bog'liqligini tadqiq qilish, ushbu ishning asosiy maqsadini tashkil etadi.
Аннотация. Исследованы однородные граничные условия на поверхностях валов, основные соотношения расчета при гармонических колебаниях, а также свободные и горизонтальные колебания валов, установленных на вязкоупругих опорах. Изучено, как определить напряженно-деформированное состояние механической системы даже при нестационарных колебательных эффектах, используя диссипативные свойства системы при вынужденных установившихся или гармонических колебаниях, ограниченные значения резонансных мод и резонансных амплитуд, а также физические свойства вязкоупругих материалов с линейными наследственными связями через интеграл Больсмана-Вольтера. Основной целью данной работы является исследование влияния геометрических и физико-механических параметров механической системы на степень ее диссипативных свойств.
Abstract. Homogeneous boundary conditions on shaft surfaces, the primary relations of calculation during harmonic vibrations, and the free and horizontal vibrations of shafts mounted on visco-elastic supports were explored. It has been studied how to determine the stress-strain state of the mechanical system even in non-stationary oscillations effects by using the dissipative properties of the system in forced steady or harmonic oscillations, limited values of resonance modes and resonance amplitudes, and the physical properties of visco-elastic materials with linear hereditary relationships through the Bolsmann-Voltaire integral. The primary objective of this work is to investigate how the geometric and physical-mechanical parameters of the mechanical system affect its degree of dissipative properties.
Kalit so'zlar: erkin va majburiy tebranish, chastota, dissipativlik, tebranish, deformatsiya, kuchlanish-deformatsiya holati, oniy elastiklik moduli, Yung moduli, Puasson koeffitsiyenti, Bolsman-Volter integrali, rezonans amplitudasi, fiziko-mexanik parametr, Fure yadrosi, Dalamber prinsipi, Lagranjning ikkinchi tur tenglamasi.
Ключевые слова: свободные и вынужденные колебания, частота, диссипативный, вибрация, деформация, напряженно-деформированное состояние, мгновенный модуль упругости, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, интеграл Больсмана-Вольтарра,
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024
MEXANIKA
амплитуда резонанса, физико-механический параметр, ядро Фурье, принцип Даламбера, уравнение Лагранжа второго рода.
Key words: free and forced vibration, frequency, dissipative, vibration, deformation, stress-strain state, instantaneous modulus of elasticity, Young's modulus, Poisson's coefficient, Bolsman-Voltarre integral, resonance amplitude, physico-mechanical parameter, Fourier's kernel, Dalamber's principle, Lagrange's second type equation.
Aylanma harakatda bo'lgan rotor va uning asosiy elementi bo'lgan valning aylanma harakati jarayonida tebranishi ikki xil ish rejimda bo'lishi mumkin bu erkin va majburiy tebranishlardir. Erkin tebranishlar deganda valning (yoki rotor sistemaning) barcha nuqtalari bir xil chastotalar va dissipativlik ko'rsatgichlari bilan (lekin turli murakkab amplitudalar bilan) tebranadigan harakatlar o'rganiladi. Erkin tebranishlar deganda tashqi yuklanishlarning ta'siri tugab bo'lgan deb olinadi. Majburiy tebranishlar statsionar (davriy) va statsionar bo'lmagan tashqi ta'sirlar ostida sodir bo'ladi. Tebranish tartibi (barqaror yoki beqaror bo'lmagan) tashqi ta'sirlar ostida bo'ladi. Bu maqolada deformatsiyalanadigan va deformatsiyalanmaydigan vallardan tashkil topgan dissipativ mexanik sistemaning xos tebranishi va tashqi yuklanish ta'sirida kuchlanish-deformatsiya holati masalalarini matematik qo'yilishi va yechish metodikasi ishlab chiqilgan. Mexanik tizim elementlari uchun chiziqli kuchlanish < va deformatsiya
£if larning o'zaro bog'liqligi chiziqli irsiy Bolsman-Volter munosabatlarini qondiradi:
= E0ij
Sj "J Rv (t -T)sv (T)dT
V a
(1)
a = {0 -erkin va majburiy tebranishlarda — да-turg'un tebranishlarda
bu yerda, a. -kuchlanishlar tenzori, s. -deformatsiya tenzori, E0. -oniy elastiklik moduli, Rj (t — t) -kuchlanish va deformatsiyaga mos keluvchi kuchsiz singulyar Rijanitsin
Kaltunov yadrosi R. (t) = Aije—ij • •"1.
bu yerda, Aij, av va ß'y - o'lchamsiz parametrlar bo'lib kvazistatik eksperimentga
asoslangan metodika bilan aniqlanadi. Ko'p hollarda metallarni qovushoqligi Rabotnov yadrosi orqali hisobga olinadi:
Ек = Ек (l - Г'к) ; i? = ^ + 1—2pLr;
2 (2)
t
nf(t) = mK JЭ—$2 (—ßn, t — t)f(T)dT.
bu yerda, Ek, vk-Yung moduli va Puasson koeffitsiyentining oniy qiymatlari, mk, pk -material parametrlari, f (t)- vaqtning ixtiyoriy funksiyasi. Integral operator yadrosi sifatida Rabotnovning kasr-eksponensial funksiyasini ishlatamiz:
тЭК^—ß, t) = mK t "1/2 X
{—ßK)]t]/2 j=o Г[(] + 1)/2]
Erkin tebranishlarni o'rganish jarayonida shunday modalarning (modalar deganda ko'chishlarda yozilgan harakat tenglamalarining erkin sathdagi bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlari tushuniladi) xarakteristikalarini o'rganamizki, bu modalar vaqtning garmonik funksiyasi bo'yicha o'zgarib, (1) va (2) holat munosabatlarni hamda val sirtlarida bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Quyidagicha N qattiq K deformatsiyalanuvchi qovushqoq elastik rotor sistemasidan tashkil topgan mexanik sistema
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024
-!-/j
MEXANIKA
berilgan bo'lsin. Bular S-ta tayanch elementlardan tashkil topgan bo'lsin, ulardan S1 -deforatsiyalanuvchi podshipniklar va S2-massasiz deforatsiyalanuvchi element (prujina)dan tashkil topgan mexanik sistema berilgan bo'lsin. Shu dissipativ mexanik sistemani tebranish jarayonida dinamik xarakteristikalariga, ya'ni dissipativlik xususiyatlariga baho beramiz. Tizimning deformatsiyalanadigan elementlarida qovushqoq-elastik xossalari hisobga olinadi.
Qovushqoq-elastik materiallarning fizik xossalari Bolsman-Volter integrali orqali chiziqli irsiy munosabatlari bilan tavsiflanadi. Deformatsiyalanadigan elementlarning ba'zilari elastik bo'lishi mumkin, unda elementning reologik xossalarini tavsiflovchi relaksatsiya yadrosi nolga teng. Deformatsiyalanuvchi elementlarning reologik xossalari bir xil bo'lgan (elementlarning reologik yadrolari bir-biriga teng) sistema dissipativ-bir jinisli, reologik xarakteristikasi har xil bo'lgan sistema yesa dissipativ-bir jinisli emas deb ataladi. Muayyan holatda, tashqi ta'sirlar bo'lmaganda, tizim o'zining erkin tebranishlarini, tashqi ta'sirlar mavjud bo'lganda-majburiy tebranishlarni o'rganiladi. Asosiy muammo butun tizimning dinamik (energiyaninig bir turdan boshqa turga o'tishi) xususiyatlarini, hamda unga mos keluvchi kuchlanish-deformatsiya holatiga baho berishdan ibrat. Erkin tebranishlarda mexanik sistemani dissipativlik xususyatiga (xos tebranishlarda dekrement so'nishga yoki susayishiga) to'liq baho berishdan iborat. Erkin tebranishda so'nish (dissipatsiya yoki so'nish dekrementi) tezligi tizim (sistema)ning dissipativ xususiyatini aniqlaydi: so'nish tezligi qanchalik yuqori bo'lsa, dissipatsiya shunchalik yuqori bo'ladi.
Tizimning majburiy turg'un yoki garmonik tebranishlarida sistemaning dissipativ xususiyatlari rezonans rejimlarida namoyon bo'ladi va rezonans amplitudalarining cheklangan qiymatlarni qabul qilishga olib keladi. Statsionar bo'lmagan tebranishlarda ham mexanik tizimning kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlashda dissipativ xususiyatlari samarali ta'sir ko'rsatadi. Majburiy garmonik holatdagi tebranishlarda rezonans amplitudalari tizimning dissipativlik xususiyatlarini miqdoriy xarakteristikasi bo'lib hisoblanadi, ularning intensivligi majburiy tebranishlar rezonans amplitudasini pasaytirish orqali namoyon bo'ladi. Butun mexanik sistemaning dissipativ xususiyatlarining miqdoriy tasnifi sifatida ikkita miqdor taklif etiladi: erkin tebranishlarning chastotasining mavhum qismi va maksimal rezonans amplitudasi. Bunday mexanik sistemalar uchun global so'nish koeffitsiyenti va global rezonans amplitudasi tushunchalarini kiritilgan. Bu tushunchalar erkin darajasi chekli va massasiz deformatsiyalanuvchi elementlari bo'lgan mexanik sistemalar uchun kiritilgan. Tizimning dissipativ xususiyatlari birinchi navbatda tizimlarning dissipativlik xususiyatlari bilan belgilanadi, bu dissipativ bir jinisli bo'lmagan mexanik tizimlar uchun mutlaqo o'rinli bo'lmaydi. Mexanik tizimning dissipativ xususyatlari darajasi tizimning geometirik va fiziko-mexanik parametrlariga bog'liqligini tadqiq qilish, ushbu ishning asosiy maqsadini tashkil etadi. Aniqlanishicha, dissipativ-bir jinsli bo'lmagan mexanik tizimning global so'nish xarakteristikalari nafaqat tizim elementlarining qovushoqlik xususiyatlari bilan, balki turli xil shakllardagi erkin tebranishlarning o'zaro ta'siri bilan ham harakterlanadi. Faraz qilaylik, deformatsiyalanuvchi elementlarning reologik xossalarini tavsiflovchi irsiy munosabatdagi (1.1) integral kichik qiymatga ega. Integralning kichik qiymatiga ega ekanligidan biz muzlatish protsedurasini qo'llash imkonyatiga ega bo'lamiz. Bu hol mexanik sistemadagi deformatsiyalanuvchi massasiz elementlar uchun quyidagi munosabatlarni olamiz:
F = -c. Ae = ^ [i - rce (mR ) - trse (œR )A (3)
Deformatsiyalanuvchi massaga ega bo'lgan jism uchun kuchlanishlar va deformatsiya orasidagi munosabat quyidagicha bo'ladi:
V =k£nën + S = Si + S2 > n = S>
bu yerda,
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024
MEXANIKA
\ =\ 1 - r x—R) -1 r sn— )] № № rl,m—) = \Rx,m(t)• cos—Tdr ; r^ —) = JR1^(r)sinaxdz
0 0
bu yerda, Fe - bu i- nuqtaviy element zo'riqishi, A e - berilgan elementni siljishi, Ce,Gi;j,sij - hajmi nolga teng bo'lmagan deformatsiyalanuvchi elementning bikirligi, kuchlanishi
rc T-<s rc T-<s rc T-<s
»a deformatsiyasi, e ,r e ,r „x, 1 „x, 1 1 „^ -i-chi yig'ilgan massali va n- chi tarqalgan parametrli elementning sinus va kosinus tasvir Fure yadrosi, ojr- kompleks chastotaning haqiqiy qismi.
Bunday holda erkin tebranishlar chastotasi va majburiy tebranishlar chastotasini topish murakkab bo'ladi. Birinchi holda, murakkab erkin tebranishlar chastotasining mavhum qismi-mexanik sistemanig chastotaga mos keluvchi energiya dissipatsiyasini beradi.
Qovushqoq elastik sistema uchun erkin tebranishlar chastosini kompleks kattalik bo'lishi ma'lum. Kompleks chastotani mavhum qismi ojj bilan belgilanadi. O'lchamsiz dempfirlash koeffitsiyentlari quyidagicha olinadi :
<^t='—- nisbiy so'nish kleffitsenti; S— k =—— - nisbiy chastotali so'nish
Q —Rk
kleffitsenti; = &—Rk — logarifmik so'nish dekrementi. Huddi shunday logarifmik so'nish dekrementi ketma-ket kelgan chastotasi —Rk bo'lgan amplitudalar nisbati orqali ham baholash mumkin :
e.k_Jj—k>n^ („ = 1,2,...),
Xj (2n—Rk (m + 1)
bu yerda, Q - bazisis (masshtab) chastotasi. Agar so'nish chastotasi —Ik musbat bo'lsa, u
holda Sk va Sek o'suvchi tebranishni ifodalaydi. Chastotani mavhum qismi uchun quyidagi munosabatni olish mumkin:
a — ln Ann.
An
1-rasm. Diskli valning turli holatda bo'lishini hisob sxemasi
Diskli valning ko'rinishi turlicha bo'lishi mumkin. Buning hisob sxemasi 1-rasmda keltirilgan. Eng sodda holda hisob sxemasi 2-rasmda keltirilgan hollarda bo'ladi. Qattiq vallarning tebranma harakat tenglamalar sistemasini olishda, nazariy mexanikaning Dalamber
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali 5-jild, 3-son, 2024
MEXANIKA
prinsipi yoki Lagranjning ikkinchi tur differensial tenglamalaridan foydalaniladi. Egri sterjen bo'lagiga ta'sir etuvchi barcha ichki va tashqi kuchlarning qo'yilishi va yo'nalishi ma'lum bo'lsa, u holda Dalamber prinsipi asosida, ularni koordinata o'qlariga proyeksiyalab (dekart yoki tabiiy) oddiy differensial tenglamalar sistemasi olinadi. Agar kuchlarning qo'yilishi va yo'nalishi noma'lum bo'lsa, Langrajning ikkinchi tur differensial tenglamalaridan foydalaniladi.
2-rasm. Valning hisob sxemasi: N- bo'ylama kuch, q(z)- tarqalgan kuch, h-
bo'lakchalar uzunligi.
Lagranjning ikkinchi tur tenglamalarini qo'llashdan oldin umumlashgan koordinatalarda potensial va kinetik energiyani hisoblashimiz kerak bo'ladi:
Í - \
d_ dt
dT vdqJ J
dT dq¡
= Qpj+QJ ■
RJ-
bu yerda, j=1....n - erkinlik darajasi soni, t-vaqt; qj - umumlashgan koordinata, T-kinetik
energiya, QPj -umumlashgan kuch, QRj- -umumlashgan qarshilik kuchlari. Dalamber prinsipidan foydalanamiz:
N
N
N
Z F +ZRÁ +ZJ, = 0.
(4)
k=i ji =i ji =i
—» _^ _^
bu yerda, F, J va J -mos ravishda tashqi kuchlar, reaksiya kuchlari va inersiya
kuchlari. Bu (4) tenglamadan sterjenning elementar bo'lakchasi uchun olingan tenglamani chiqarish mumkin:
dQ + dJ + qds = 0,
dM + e x Qds + e2 x Jds + pds = 0.
Yoki bu tenglamadan quyidagi vektor ko'rinishdagi differensial tenglamalar sistemasini
olamiz:
dQ dJ _ „ — + — + q = 0, ds ds
dM ds
+ e x Q + e2 x J + fi = 0.
bu yerda, Q -ichki zo'riqish kuchi vektori, Q = Q1e1 + Q2e2 + Q3e3, Qi -o'q bo'yicha yo'nalgan kuch, Q2 va Q3 -kesib o'tuvchi kuchlar; M = M1e1 + M2e2 + M3e3 -ichki moment vektori,
Mx -burovchi moment, M2 va M3 - eguvchi momentlar, q = q1e1 + q2e2 + q3e3 -
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali
5-jild, 3-son, 2024
MEXANIKA
tashqi kuch vektori, ql5 ~ tashqi kuch vektorining koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari.
ADABIYOTLAR
1. Филатов А., Сунчалиев Р.М. О некоторых методах исследования нелинейных задач теории вязкоупругости // ДАН СССР .-1972. -Т.206.-№1.-С. 201-203.
2. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела .-Москва : Наука 1978.-616 с.
3. Mirsaidov, M.M., Safarov, I.I., Teshaev, M.K., Boltayev, Z.I. Dynamics of structural-Inhomogeneous coaxial-multi-layered systems cylinder-shells. Journal of Physics: Conference Series, 2020, 1706(1), 012033
4. Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. СО РАН, Новосибирск, 1996.-188 с.
5. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
6. Fundamentals of the theory of the process of grinding grain into rotary machines. GALAXY international interdisciplinary research journal (GIIRJ) Vol. 11, Issue 09, Sep. (2023). P.201-204. Нематов Э.Х., Каландаров Н.О.
7. Calculation of the torque of therotary shaft. Eurasian journal of research, development and innovation. Volume 24, September 2023. P.1-4. Nematov E.Kh, Kalandarov N.O.
8. Calculating of determining force and speed of rotary shafts for grinding. Механика ва технология илмий журнали. Наманган-2023 йил. №4(13). 69-79 б. Nematov E.Kh, Kalandarov N.O.
9. Seismic vibrations of spherical bodies in a viscoelastic deformable medium. Part 2. AIP Conference Proceedings 2432, 030125 (2022); https://doi.org/10.106375.0091187 Published Online: 16 June 2022. P.1-7. A.O.Umarov, U.Sh.Jurayev, T.O.Zhuraev, Kalandarov N.O., F.F.Khamidov
10. Dynamic stress-strain states in viscoelastic half-spaces from the effects of cylindrical inclusion loads. AIP Conference Proceedings 2467, 060024 (2022); https://doi.org/10.106375.0092396 Published Online: 22 June 2022. P.1-10. Imoil Safarov, Muhsin Teshaev, Sharif Axmedov, Abdurakhim Marasulov, Kalandarov Navruzbek.
11. Параметры рифленого вальца. International conference on modern Science and scientific studies. Vol 2, Issue 10, October 19th France-2023. P.130-134 Нематов Э.Х., Каландаров Н.О.
12. Анализ параметров ротационного вала для измельчения зерновых материалов. Proceedings of International Educators conference 2023. Vol 2. Issie 10. 25th October, Italy-2023. P.41-44. Нематов Э.Х., Каландаров Н.О.
Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali
5-jild, 3-son, 2024
