Простые достаточные условия К-гладкости основного вариационного функционала в пространстве Соболева w2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика» Том 22(61) № 1 (2009), с. 26-35.

Е. В. Божонок

ПРОСТЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ К-ГЛАДКОСТИ ОСНОВНОГО ВАРИАЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

Получены простые достаточные условия К-гладкости основного вариационного функционала в пространстве Соболева W21■ Исследована их связь с классическими условиями на рост интегранта. Рассмотрены примеры.

Введение. Предварительные сведения

Активно ведущиеся в последние десятилетия исследования по экстремумам вариационных функционалов в пространствах Соболева показали, что в пространствах с гильбертовой интегральной метрикой основной вариационный функционал обладает значительно худшими аналитическими свойствами, чем в случае банаховых пространств типа Ск■ Так, в частности, в ([1]) установлено, что вариационный функционал не является дважды дифференцируемым по Фреше в пространстве Соболева W21 ■ В работах ([2], [3], [4]) установлены некоторые варианты слабой непрерывности и слабой дифференцируемости в пространствах с интегральной метрикой. В работах ([5], [6]) было показано, что в пространстве Соболева W21 вариационный функционал обладает более сильным свойством повторной компактной дифферен-цируемости.

В работе [7] введено понятие псевдоквадратичного функционала и показано, что требование псевдоквадратичности по у' интегранта обеспечивает корректную определенность вариационного функционала в пространстве Соболева . Далее введены вейерштрассовские классы псевдоквадратичных функционалов WK2(z), W 1К2(г), W2K2(г) и показано, что попадание интегранта в подходящий вейерштрассовский класс гарантирует, соответственно, К-непрерывность, К-дифференцируемость и повторную К-дифференцируемость основного вариационного функционала в пространстве W21■

В данной статье установлены простые достаточные условия принадлежности ин-тегранта подходящим вейерштрассовским классам и исследована их связь с классическими оценками роста интегранта. Рассмотрены конкретные примеры. Приведем необходимые определения и результаты ([5]—[8]).

Определение 1. Говорят, что борелевское отображение / : П х У х 2 =: Т ^ ¥, где П—компактное пространство с конечной борелевской мерой, У, 2, ¥— вещественные банаховы пространства, псевдоквадратичное по г (/ € К2(г)), если / можно представить в виде:

/(ж, у, г) = Р(ж, у, г) + ф(ж, у, г) ■ ||г|| + К(ж, у, г) ■ ||г||2, (1)

где для любого компакта С = Су С У борелевские отображения Р, ф, и К существенно по ж € П ограничены на Тс = П х Су х 2.

Определение 2. Говорят, что отображение / вейерштрассовское псевдоквадратичное: / € если представление (1) можно выбрать таким образом, что для любого компакта С = Су С У отображения Р, ф и К равномерно непрерывны и ограничены на Тс.

Определение 3. Говорят, что отображение / принадлежит классу Ш:К2(г), если представление (1) можно выбрать таким образом, что для любого компакта С = Су С У не только Р, ф и К, но также и градиенты УР := Уу,гР, Уф := Уу,гф, УК := УугК равномерно непрерывны и ограничены на Тс.

Определение 4. Говорят, что отображение / принадлежит классу Ш2К2(г), если представление (1) можно выбрать таким образом, что для любого компакта С = Су С У не только Р, ф, К, их градиенты УР, Уф, УК, но и гессианы Н(Р) := Нуг(Р), Н(ф) := Нуг(ф), Н(К) := Нуг(К) равномерно непрерывны и ограничены на Тс.

Замечание 1. Отметим, что представление / = Р + ф ■ ||г|| + К ■ ||г||2 функции / € К2(г) (/ € ШК2(г), / € Ш:К2(г), / € Ш2К2(г)) можно, не меняя общности рассуждений, заменить представлением

/ = Р + К ■ ||г||2 (2)

при сохранении требований определений 1, 2, 3, 4.

Определение 5. Пусть Е—вещественное банахово пространство, Ф : Е ^ М— функционал на Е. Говорят, что функционал Ф компактно непрерывен (К-непрерывен) в точке у € Е, если для любого абсолютно выпуклого компакта С С Е сужение Ф на (у + зрапС) непрерывно в у относительно банаховой нормы || ■ ||с в зрапС, порожденной С.

Аналогично, говорят, что Ф компактно (дважды) дифференцируем (K -дифференцируем, дважды K-дифференцируем) в точке у £ E, если для любого абсолютно выпуклого компакта C С E сужение Ф на (y + span C) (дважды) дифференцируем по Фреше в y относительно || ■ Ус•

Обозначим через Ф'к(у) и Ф''(у) первую и вторую K-производные Ф, соответственно.

В [7] были получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть Q = [a; b], E—банахово пространство, u = f (x,y,z), f : Q x E2 ^ R. Тогда при f £ K2(z) вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Ф(у) = j f (x,y,y')dx, y(-) £ W1(Q,E),

(3)

определен всюду на W),(Q,E).

Теорема 2. Пусть О = [а; Ь], Н —вещественное гильбертово пространство, и = f (х,у,г), f :О х Н2 ^ М. Если f £ ШК2(г), то функционал Эйлера-Лагранжа (3) К-непрерывен всюду на Ш2^(О,Н).

Теорема 3. Пусть О = [а; Ь], Н —вещественное гильбертово пространство, и = f (х,у,г), f : О х Н2 ^ М. Если f £ Ш 1К2(г), то функционал Эйлера-Лагранжа (3) К-дифференцируем всюду на Ш2(О,Н); при этом

Ф'к (y)h = j

df df — (x, у, y')h + — (x, у, у')h'

dx

(4)

Пусть Q = [a; b], H —вещественное гильбертово пространство, f : Q x H2 ^ R. Если f £ W2K2(z), то функционал Эйлера-

Теорема 4.

u = f (x, у, z),

Лагранжа (3) дважды K -дифференцируем всюду на W2(Q, H); при этом

Ф'К (у)(Кк) =

д2 f д2f

-f (x, у, у')(h, к) + -¿f- (x, у, у'Ш', к) + (h, k'))+

1ду

-у-z

д2 f

+ Qf[ (x^^'Kh^k')

dx. (5)

Замечание 2. Отметим, что К-аналитические свойства слабее классических. В [9] рассмотрен пример интегрального функционала, который является К— непрерывным в Щ^1, но при этом разрывным в нуле в обычном смысле. Кроме того, в [1] было впервые доказано, что вариационный функционал (3) в пространстве в общем случае не является дважды сильно дифференцируемым (за исключением чисто квадратичного случая по у'). Нами получено в теореме 4 условие более слабого свойства повторной К-дифференцируемости для более широкого класса псевдоквадратичных интегрантов (см. примеры 1, 2).

1. Достаточные условия принадлежности интегранта классам ШК2(г), Ш^(г), Ш2К2(г)

Как было выяснено выше, достаточными условиями К—непрерывности, К— дифференцируемости, повторной К—дифференцируемости функционала Эйлера— Лагранжа (3) являются условия попадания интегранта /(ж, у, г) в классы ШК2(г), Ш 1К2(г), Ш2К2(г) соответственно. В данном пункте мы опишем условия на коэффициенты Р и К в представлении / = Р + К ■ ||г||2, при которых / попадает в указанные классы.

Сначала выясним необходимые и достаточные условия попадания функции / в класс ШК2(г). Для этого введем вспомогательное понятие.

Определение 6. Борелевское отображение С : П х У х 2 =: Т ^ ¥, где П— компактное пространство с конечной борелевской мерой, У, 2, ¥—вещественные банаховы пространства, назовем вейерштрассовским по у (С € Ш к(у)), если для любого абсолютно выпуклого компакта С = Су С У С равномерно непрерывно и ограничено на Тс = П х Су х 2.

Из определения 1 немедленно следует

Предложение 1. Пусть, в обозначениях определения 1 функция / представима в виде

/ = Р + К ■ ||г||2. (6)

Тогда / € ШК2(г) в том и только в том случае, когда Р € Ш к(у), К € Шк(у).

Для описания достаточных условий попадания функции / в класс Ш1 К2(г), введем следующее

Определение 7. Пусть, в обозначениях определения 6, У, 2—гильбертовы пространства и функция С непрерывно дифференцируема в П х У х 2 по (у, г). Будем говорить, что С € (у) (С1 -вейерштрассовская по у), если (С, УугС) € Шк(у), или, что равносильно, С € Шк(у), к = 0,1; г = у, г.

Справедливо следующее

Предложение 2. Пусть, в обозначениях определения 1, функция / представлена в виде (6). Если Р, К € (у), то / € Ш^(г).

Доказательство. Из определения 7 следует, что (у) С Ш к (у), откуда, по предложению 1, / € ШК2(г).

Непосредственные вычисления показывают, что

Ууг/ = УугР + [2(0, К) ■ (г, •) + УуХК ■ ||г||2]. (7)

Пусть 1 = ^(ЦгЦ) + -02(||г||)—разложение единицы в М, ■фi равномерно непрерывны и ограничены, 0 < ^ < 1 (г = 1, 2), зирр^ С [0; М], зирр^ С [М — те) (М < те).

Перепишем (7) в виде: Уух /

У ухр + 2(0,я) ■ ^хСП^П) -<г, •)

+

+

2(0, Я) ■ ^(||г||) -<Г4 + Я

|г||2 =: Р + Я ■ ||^П2.

При этом

a) У ух Р € Wк (у), (0, Я) € Жк (у), ^(ЦгЦ) равномерно непрерывна и ограничена, ||<г, -)|| < М при ||г|| € откуда Р € Жк(у).

b) (0, Я) € Жк(у), ^2(||г||) равномерно непрерывна и ограничена, <г, -)/||г||2 равномерно непрерывна и ограничена при ||г|| € [М — те), УухЯ € Жк(у), откуда Я € Жк(у).

Следовательно, по предложению 1, Уух/ € откуда, по определению 1,

/ € Ж ^(г). □

Теперь рассмотрим достаточные условия попадания функции / в класс Ж2К2(г). Для этого введем следующее

Определение 8. Пусть, в обозначениях определения 6, У, 2—гильбертовы пространства и функция О дважды непрерывно дифференцируема в О х У х 2 по (у, г). Будем говорить, что О € (у) (С2-вейерштрассовская по у), если (О, УухО, НухО) € Жк(у), или, что равносильно, д-О € Жк(у), к = 0,1, 2;

г,; = у, г.

Справедливо следующее

Предложение 3. Пусть, в обозначениях определений 1, функция / представлена в виде (6). Если Р, Я € (у), то / € Ж2К2(г).

Доказательство. Из определения 8 следует, что (у) С (у), откуда, по предложению 2, / € Ж 1К2(г).

Непосредственные вычисления показывают, что

Нух/ = [ЯухР + 2(0, Я) ■ <■, ••)] + [4(0, УухЯ) ■ <г, ■) + ЯухЯ ■ ||г||2]. (8)

Используем снова разложение единицы в М : 1= ^(ЦгЦ) + ^2(||г||), где ^ равномерно непрерывны и ограничены, 0 < ^ < 1 (г = 1, 2), зирр^ С [0; М], ««рр^ С [М — те) (М < те). Тогда (8) перепишется в виде:

Нух /

+

НухР + 2(0, Я) ■ <■, ••) + 4(0, УухЯ) ■ ^(||г||) ■ <г, ■)

+

Л

4(0, УухЯ) ■ ^(||г||) ■ ^ + ЯухЯ

1212 =: Р + Я ■ ||г||2.

При этом

a) НугР £ Шк(у), (0,К) £ Шк(у), Ф^НгН) равномерно непрерывна и ограничена, ||<-, -)|| < 1, (0, К) £ Шк(у), ||<г, -)|| < М при ||г|| £ виррфъ откуда Р £ Шк(у).

b) (0, УугК) £ Шк(у), ф2(|^|) равномерно непрерывна и ограничена, <г, -)/||г||2 равномерно непрерывна и ограничена на ||г|| £ [М — 5; ж), НухК £ Шк(у), откуда К £ Шк(у).

Следовательно, по предложению 2, Нухf £ ШК2(г), откуда, по определению 1, f £ Ш2К2(г). □

Пример 1. Рассмотрим, как частный случай, интегрант вида f (х,у,г) = р(г) ■ ||г||2 + ф(х,у). Если р,ф £ (у), то, в силу предложения 3, f £ ш2К2(г). Эти достаточные условия легко записать на языке джетов второго порядка функций р и ф :

a) джет 32р(г) = (р(г),р'(г),р''(г)) равномерно непрерывен и ограничен на %,

b) джет 3у2ф(х,у) = (ф(х,у),ф'у(х,у),фу2(х,у)) равномерно непрерывен и ограничен на О х Су для любого абсолютно выпуклого компакта Су С У.

Пример 2. Рассмотрим интегрант вида f (х, у, г) = р(х, у) ■ ||г||2 + ф(х, у, г). Тогда f £ ш2К2(г), если джеты второго порядка функций р и ф :

3 2р(х,у) = (р(х,у),р'у (х,у),р'у2 (х,у))

и

4:ф(х,у,г) = (ф.(фууфг))

равномерно непрерывны и ограничены на О х Су для любого абсолютно выпуклого компакта Су С У.

Замечание 3. Отметим, что в приведенных примерах отсутствует, вообще говоря, чистая квадратичность интегранта по г. Тем самым, по теореме Скрыпника (см. [1]), отсутствует повторная сильная дифференцируемость Ф(у). В тоже время, в силу теоремы 3, Ф(у) является дважды К-дифференцируемым.

2. Сравнение полученных условий с классическими оценками роста

интегранта

Во многих работах по абсолютным экстремумам вариационных функционалов в пространствах Соболева Шр,([а; Ь], М) на интегрант f (х, у, г) налагается так называемое условие роста по г ([10], [11])

f (х, у, г) > ф|р + в, где а > 0, в £ М.

В частности, при р = 2 условие роста принимает вид:

f (x,y,z) > az2 + в.

Напомним, что классическая теорема Тонелли ([10]) утверждает, что, в предположениях гладкости по x и у, гладкости и выпуклости по z интегранта, выполнении условия р-роста и корректной определенности всюду в Wp([a; b], R) основной вариационный функционал

b

Ф(у) = J f (x,y(x),y'(x))dx, где у(-) = Wp1([a; b], R), (9)

a

достигает абсолютного минимума в Wp([a; b],R). При этом Ф(у) слабо полунепрерывен снизу (проверка чего является ядром доказательства теоремы).

Условие же корректной определенности Ф(у) в Wp обеспечивается, как правило, ограничением на рост сверху (условием роста не выше р-ой степени) ([10], [12], [13]):

f (x,y,z) < y|z|p + 5, где y> 0,5 е R.

Таким образом, условие р-роста вместе с условием роста не выше р-ой степени приводит, в случае W21, к условию двойной оценки:

az2 + в < f (x,y,z) < yz2 + 5 (10)

(как правило, вместе с условием выпуклости по z).

Сравним найденные в теоремах 1, 2, 3 и 4 условия на интегрант f с условием (10) (в случае Ж£([а; b], R)).

1) Условие f е K2(z) в теореме 1 о корректной определенности Ф(у) в W2 означает, по определению 1, представимость f в виде

f (x, у, z) = P(x, у, z) + R(x, у, z) ■ z2, (11)

где для любого компакта C = Cy С R отображения P, R существенно по x е [a; b] ограничены на [a; b] х CY х R. Следовательно, оценка сверху f (x, у, z) < yz2 + 5 требуется лишь локально по у, квадратичная оценка снизу из (10) вообще не требуется.

2) Условие f е WK2(z) в теореме 2 о K-непрерывности Ф(у) выполнено, согласно предложению 1, если в представлении (11) P, R е Wk(у).

Здесь также, переходя к супремумам на каждом компакте по у, мы получаем локальное по у условие роста не выше квадратичного:

f (x, у, z) < sup P(x^, z)+l sup R(x^, z)l ■ z2,

xS[a;b], \ xe[a;b], /

zeR,yeCy zeR,yeCy

где ö = sup P(x, y,z) и y = sup R(x, y, z) зависят от компакта Су. Сформу-

xE[a;b], xE[a;b],

zER,yECY zER,yECY

лируем полученный результат в виде предложения.

Предложение 4. Если f (x, y, z) = P(x, y, z) + R(x, y, z) ■ z2, где P,R G WK(y) на [a; b] x Ry x Rz, то f локально по y имеет рост по z не выше квадратичного: для любого абсолютно выпуклого компакта Су С Ry существуют такие y > 0, ö G R, зависящие от Су, что

f (x,y,z) < yz2 + ö,

для любых x G [a; b], z G Rz •

Условие квадратичного роста (квадратичная оценка снизу) будет иметь место локально лишь при R > r^ > 0 и P > pcY на каждом компакте Су:

f(x,y,z) > inf P(x,y,z)+[ inf R(x,y,z)\ ■ z2.

xE[a;b], \ iE[a;i], I

zER,yECY zER,yECY /

В частности, если R и P не зависят от z, и R положительно, то по теореме Вей-ерштрасса, для любого абсолютно выпуклого компакта Су С Ry inf R(x, y) > 0,

xE [a;b], yECY

inf P(x,y) > —те.

xE [a;b], yECY

Сформулируем полученный результат в виде предложения.

Предложение 5. Если f (x,y,z)= P(x,y) + R(x,y) ■ z2, где P,R G WK(y) на [a; b] x Ry и R(x, y) > 0, то для любого абсолютно выпуклого компакта Су С Ry существуют такие а > 0, ß G R, зависящие от Су, что

f (x,y,z) > az2 + ß,

для любых x G [a; b], z G Rz •

Заметим, что в условиях последнего предложения f является выпуклой по z для любых x G [a; b], y G Ry.

Рассмотрим некоторые конкретные примеры

Пример 3. Функция

fi(x, y, z) = ey ■ z2 + sin(x + y + z) локально по y удовлетворяет оценке (10):

(y G [m; M]) ^ (em ■ z2 — 1 < fi(x,y,z) < eM ■ z2 + 1). Пример 4. Функция

f2(x, y, z) = ey sin2(x + y + z) ■ z2

локально по y удовлетворяет только верхней оценке (10):

(y G [m; M]) ^ (/2(x,y,z) < eM ■ z2), так как при любом y G R : /2(x, y, z) = 0 при некоторых x, z G R.

Отметим, что обе рассматриваемые функции принадлежат классу WK2(z) (и даже W2K2(z)), при этом ни одна из них не удовлетворяет оценкам (10) глобально по y. Заметим также, что как /i(x,y,z), так и /2(x,y,z) не являются выпуклыми по z. Таким образом, полученные условия на / являются более общими, чем соответствующие классические двухсторонние оценки роста интегранта в W21.

Замечание 4. Условие / G WK2(z), разумеется, не гарантирует слабой полунепрерывности снизу функционала Ф(у). Однако, согласно теореме 2, Ф(у) будет при этом условии K-непрерывным. В случае же / G W2K2(z) (как в рассмотренных выше примерах) Ф(у) будет дважды K-дифференцируемым. Кроме того, можно отметить, что Ф может достигать компактного минимума ([5]), который при этом не является локальным (а тем более, абсолютным), без двойной квадратичной оценки (10) и без условия выпуклости по z.

Выводы

В работе получены простые достаточные условия принадлежности интегранта вейерштрассовским классам WK2(z), W1K2(z), W2K2(z), что, в свою очередь, гарантирует, соответственно, K-непрерывность, K-дифференцируемость и повторную K-дифференцируемость вариационного функционала в пространстве Соболева W21. Исследована их связь с классическими условиями на рост интегранта. Рассмотрены примеры.

Автор выражает благодарность И.В. Орлову за полезные обсуждения и замечания.

Список литературы

[1] Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. - К.: Наукова думка, 1973. - 219 C.

[2] Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечномерными системами. - К.: Наукова думка, 1999. - 630 C.

[3] Hencl S., Kolar J., Pangrac O. Integral junctionals that are continuous with respect to the weak topology on W01,p(0; 1) // Preprint submitted to Elsevier Science 3 May 2005. - 8 P.

[4] Marcellini P., Sbordone C. Semicontinuity Problems in the Calculus of Variations // Nonlinear Anal. - 1980. - Vol. 4. - P. 241-257.

[5] Орлов И.В. K-дифференцируемость и K-экстремумы // Украинский математический вестник. - 2006. - Т. 3, № 1. - С. 97-115.

[6] Orlov I. V. Extreme Problems and Scales of the Operator Spaces // North-Holland Math Studies., Functional Analysis and its Applications. — Amsterdam-Boston-...: Elsevier. -2004. - Vol. 197. - P. 209-228.

[7] Орлов И.В., Божонок Е.В. Условия существования, K-непререрывности и K-дифференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева W2 // Ученые записки ТНУ, серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". - 2006. - T. 19(58), № 2. - С. 63-78.

[8] Орлов И.В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2008. - Т. 29. -C.165-175.

[9] Божонок Е.В. Пример K-непрерывного, разрывного вариационного функционала в пространстве Соболева // Динамические системы (межвед. науч. сб.). - Симферополь: ТНУ, 2007. - Вып. 22. - С. 140-144.

[10] Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Существование 'решений экстремальных задач. -http://lib.mexmat/ru/books/9645. - 39 C.

[11] Dacorogna B. Direct methods in the calculus of variations. - New York: Springer-Verlag, 1989. - 228 P.

[12] Ambrosio L., Fonseca I., Marcellini P. and Tartar L. On a volume-constrained variational problem // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1999. - Vol. 149(1). - P. 21—47.

[13] Mosconi S., Tilli P. Variational problems with several volume constraints on the level sets // Calc. Var. Partial Differential Equations. - 2002. - Vol. 14. - P. 233-247

Отримано прост1 достатш умови К-гладкост1 основного вар1ацшного функщона-ла в простор! Соболева W21. Дослщжений ix зв'язок i3 класичними умовами на picT штегранта. Розглянуто приклади.

The simple sufficient conditions of K-smoothness of the basic variational functional in Sobolev space Wl are obtained. The connection between these conditions and the classical growth conditions for integrand is investigated. The examples are considered.