Компактно-аналитические свойства вариационных функционалов в пространствах Соболева w 1,p функций многих переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012), 89-120 УДК 517.98:517.972

Компактно-аналитические свойства вариационных функционалов в пространствах Соболева W1,p функций многих переменных

Е. М. Кузьменко

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: [email protected]

Аннотация. Обобщаются понятия классов Вейерштрасса WKp(z), W1 Kp(z) и W2Kp(z), введенные ранее И. В. Орловым и Е. В. Божонок для одномерного случая. Вводится понятие общего класса Вейерштрасса WnKp(z) над областью D с Rn. Доказано, что принадлежность K-псевдо-полиномиального интегранта вариационного функционала подходящему классу Вейерштрасса WnKp(z) гарантирует п-кратную K-дифференцируемость данного фунционала в пространстве Соболева W 1p(D). Вычислена п-я K-вариация вариационного функционала. Рассмотрен ряд примеров и частных случаев.

Ключевые слова: индуктивный предел, вариационный функционал, компактная непрерывность, пространство Соболева.

Введение. Предварительные сведения

Известно (см., например, [1]), что вариационные функционалы в пространствах Соболева, как правило, не обладают обычными аналитическими свойствами. В работах И. В. Орлова и Е. В. Божонок [2]-[5] исследованы общие условия корректной определенности вариационных функционалов в гильбертовом пространстве Соболева Wl'2[a, b] = Hl[a, b]. При этом от классической жесткой оценки интегранта f (x,y,z) < a + /3z2 классического вариационного функционала

Ф(у) = i f (x,y,y')dx, y() E W 1,2[a,b]

J a

был совершен переход к значительно более общему классу псевдоквадратичных по z интегрантов. Было показано, что псевдоквадратичность гарантирует корректную определенность функционала ф(у) в данном пространстве Соболева [3]. Также для интегранта f (x,y,z) одномерного вариационного функционала f (x,y,y')dx, действующего в гильбертовом пространстве Соболева W 1,2[a,b], были введены так называемые классы Вейерштрасса W1 Kp(z) и W2Kp(z). Эти классы содержат псевдоквадратичные по z интегранты (f E K2(z)), коэффициенты которых обладают доминантной по z смешанной гладкостью нужного порядка (см. общее определение доминантной смешанной гладкости в [6]).

© Е. М. КУЗЬМЕНКО

Оказалось, что принадлежность интегранта f подходящему классу Вейерштрасса гарантирует компактную дифференцируемость (К-дифференцируемость) соответствующего порядка для вариационного функционала. Заметим, что хотя К-дифференцируемость и слабее сильной дифферен-цируемости (она занимает промежуточное место между дифференцируемостью по Фреше и дифференцируемостью по Гато), но позволяет решать вариационные экстремальные задачи в пространствах Соболева [2], [5].

В работе упомянутые результаты обобщаются по следующим направлениям:

1) Вводится класс К-псевдополиномиальных по г интегрантов порядка р, для которых функционал

Ф(у)= / f (х,у, ^у)йх (у(0 е У 1р(О))

также корректно определен.

2) Условие компактной непрерывности вариационных функционалов в Н 1(О) переносится на случай пространств Соболева У 1'р(О), О С ММп функций многих переменных.

3) Обобщаются понятия классов Вейерштрасса ШКр(г), У 1Кр(г) и У2Кр(г), введенные ранее для одномерного случая, и вводится понятие общего класса Вейерштрасса УпКр(г) над областью О С ММп.

4) Доказано, что принадлежность К-псевдополиномиального интегранта вариационного функционала подходящему классу Вейерштрасса ШпКр(г) гарантирует п-кратную К-дифференцируемость данного вариационного фунцио-нала в пространстве Соболева У1р. Вычисляется п-я К-вариация вариационного функционала.

Таким образом, обобщается построенная указанными авторами теория компактных экстремумов вариационных функционалов в гильбертовом пространстве Соболева У 1'2[а, Ь] на случай произвольного пространства Соболева У 1р(О), р е N над произвольной компактной областью О С ММп, п е N с липшицевой границей.

Приведем общее определение компактной непрерывности, компактной дифференцируемости и кратной компактной дифференцируемости функционала в полном ЛВП.

Определение 1. [2] Пусть Е — полное вещественное ЛВП, Ф : Е ^ М. Скажем, что функционал Ф компактно непрерывен, компактно дифференцируем (дважды К-дифференцируем и т.д.) в точке у е Е, если для любого абсолютно выпуклого компакта С С Е сужение Ф на (у + врапС) [2], дифференцируемо по Фреше (дважды дифференцируемо по Фреше и т.д.) в точке у относительно нормы || • ||с в пространстве Ес = врапС, порожденном С.

Далее обозначим через С(Е) систему всех абсолютно выпуклых компактов в Е и через Ьк (Е) — пространство к-линейных непрерывных форм на Е. Выпишем в явной форме важное для нас в дальнейшем определение п-ной К-производной:

(Ф(п-1)(у + кг) - Ф(п-1)(у)) • (к2,...кп) =

= фК (у) • (кг,к2,..., кп) + 0(11^0! • ... • \\кп\\оп) (0.1)

для любых абсолютно выпуклых компактов С г... ,С,п

1. Псевдополиномиальность. Условия корректной определенности вариационных функционалов в пространствах Соболева Wфункций многих переменных

Корректная определенность вариационных функционалов в пространствах Соболева W1р(Б), Б С Кп:

ф(у)= I /(х,у, Ш е W1,р) (1.1)

•Уд

тесно связывается, как известно [7], с оценкой интегранта / через \\Vyp. Однако классическое достаточное условие корректной определенности

/(х,у,г) > а + в\\г\р, (в> 0)

жестко ограничивает класс допустимых интегралов. Мы введем здесь значительно более обширный класс К-псевдополиномиальных по г интегрантов порядка р, для которых функционал (1.1) также корректно определен. Далее, для произвольного вещественного банахова пространства X обозначим через Хк — банахово пространство всех к-линейных симметричных непрерывных вещественных форм, действующих в х, к е N0, = к.

Определение 2. Пусть Х,У, X — вещественные банаховы пространства; Бх С X, Бу

С У, Бх С X — открытые области; / : Бх х Б, х Бх ^ К; р е N0. Назовем функционал / К-псевдополиномом порядка р, если / допускает представление вида

f (x,y,z) = Y, Rk(x,y,z)(z)k , (1.2)

к=0

где коэффициенты Як : Бх х Бу х Бх ^ (к = 0,р) — борелевские отображения, удовлетворяющие условию доминантной по х,у смешанной ограниченности (см. общее определение пространств с доминантной смешанной гладкостью [6]): для любых компактов Сх С Бх, Су С Бу коэффициенты Як ограничены на Сх хСу х Бх независимо от выбора г е Бх. В этом случае примем обозначение: / е Кр(г).

Пример 1. В случае Z = К имеем Zl = К (к = 0,р) и представление (1-2) примет вид

p

f (X, V,Z) = Y; Rk(x, У, z) •

k=0

Пример 2. В случае Z = Кт (т > 1) Як(х,у,г) • (г)к есть однородные К-псевдополиномы к-ого порядка по г = (г1... гт) и представление (1-2) примет вид

¿( £ rk (x, V, z)zk1 • Zk2 ...zt] k=0 \ki+...+km=k )

/(х,у,г) = ^Л Е гк(х,у,г)гк • ... гк \к-1+...+кт=к

что может быть переписано в виде К-псевдополинома

f (x,y,z i,..-zm)= aki...km (x,y,zi,..-zm )zk

m <p

ki k2 km

... z

m

Пример 3. Пусть функционал / сильно дифференцируем р раз по г- Рассмотрим его многочлен Тейлора р-го порядка по г:

РР(х,у,г) = Е 10(х,у,г)(г)к . (1-3)

к=0 '

Здесь ^(х,у,г) : Бх х Бу х ^ (к = 0,р)- Если частные производные / по г удовлетворяют условию доминантной по х,у смешанной ограниченности (например, если непрерывны по совокупности переменных и периодичны по г), то многочлен Тейлора (1-3) является К-псевдополиномом порядка р : Р; £ Кр(г)-

Замечание 1. Представление (1-2) интегранта / можно, не меняя общности, упростить:

/(х,у,г) = Яо(х, у, г) + Пр(х,у, г)(г)р . (1-4)

Покажем, что К-псевдополиномиальность порядка р интегранта / гарантирует корректную определенность основного вариационного функционала в соответствующем пространстве Соболева Ш1 р -

Теорема 1. Если интегрант / : Бх х Ега х К™ ^ М принадлежит классу Кр(г), где Бх = Б — компактная область в К™ то вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Ф(у)= I /(х,у, ^у)йх Ш £ Ш 1,р(Б) ,р £ N (1-5)

JD

корректно определен всюду в пространстве Ш 1'р(Б). При этом для любого компакта Сд С Ш1;(Б) справедлива следующая оценка по норме ||у||:

|Ф(у)| < «сд + всд • ЬС1, (у() £ Сд) , (1-6)

где коэффициенты аСд > 0, вСд > 0 зависят только от выбора компакта С д.

Доказательство. Фиксируем у(-) Е Ш 1р (Б) и обозначим Су = у(Б) — компакт в К. Тогда, в соответствии с определением 2, найдутся такие константы Мк, к = 0,р, что Ух Е Б:

\Яо(х,у, Уу)\< Мо , \\Як(х,у, Уу)\\ < Мк , (к = 1Р). (1.7)

Используя для f К-псевдополиномиальное представление (1.2), имеем

ф(у) = Е / R(x,y, Vy) • Vy)k)dx-k=0J D

:i.s)

Используя (1.7), с учетом свойств к-линейных непрерывных форм и неравенства Гельдера-Минковского [2]), имеем: а) при к = 0,

Ro(x, y, Vy)dx

D

< \Ro(x,y, Vy)\dx < M0 • mes(D).

D

b) при 1 < к < p,

D

Rk(x,y, Vy) • (Vy)k) dx

< \(Rk(x,y, Vy) • (Vy)k)| dx <

D

:i.9)

< / (|\Rk(x,y, Vy^HVyf) dx < Mk • \\Vy\\k dx <

DD

< Mk

k dx

D

(dx)

D

p — k P

p — k , < Mk [mes(D)]~r \y\kw

Из (1.7)-(1.10) получаем:

\ф(у)\

J] / (Rk(x,y, Vy) • (Vy)k) dx k=oJ D

<

:i.io)

<

E

k=0

(Rk(x,y, Vy) • (Vy)k)dx

D

p— k

Mk [mes(D)]~r \y\Wi,p < ro. (1.11)

k=o

Таким образом, \Ф(у)\ < то, т.е. функционал (1.5) корректно определен всюду на Ш1р. Получим теперь оценку по норме (1.6), коэффициенты которой зависят лишь от выбора компакта Сд С Ш 1,Р(Б). Так как Сд С Ш 1,Р — компакт, то множество Су = {у(х) \ х Е Б,у(-) Е Сд} — компакт. Поскольку коэффициенты Як(х,у, У у), представления (1.8) ограничены локально компактно по х,у и глобально по г, то на множестве Б х Су х К также выполнены оценки типа (1.7):

Wx Е D : \Ro(x,y, Vy)\ < Mo , R(x,y, Vy)\\ < Mk , (1 < к < p). (1.12)

k

p

Воспользовавшись оценками (1-12), где константы Мк зависят только от выбора компакта Сд С Ш 1'р(Б,Г) ) и оценкой (1-11), мы получаем:

|Ф(у)| < АС + АСМт* + ■■■ + АЫт* , (1-13)

где коэффициенты АС, АС,... АС — константы, зависящие только от выбора компакта Сд С Ш 1'р- Средние члены (1-13) при малой норме ||у||ж1 * поглощаются увеличением свободного члена АС ^ АС, а при большой норме ||у||ж 1,* поглощаются увеличением старшего коэффициента АС ^ АС - Таким образом мы переходим к оценке (1-6)- □

Итак, К-псевдополиномиальность интегранта вариационного функционала в пространстве Соболева Ш 1'р, р £ N кроме корректной определенности функционала, гарантирует степенную оценку порядка р по соболевской норме ||у||ж 1,* на любом компакте из данного пространства Соболева-

2. Условия компактной непрерывности вариационных

функционалов в пространствах Соболева Ш1,р функций многих переменных

Перейдем к условиям К-непрерывности вариационных функционалов в пространствах Соболева- С этой целью введем подходящий класс гладкости ШКр(г) К-псевдополиномиальных интегрантов порядка р-

Определение 3. Пусть, в обозначениях определения 2, интегрант / непрерывен и принадлежит классу Кр(г), р £ М- Назовем / вейерштрассовским псевдополиномом порядка р (/ £ ШКр(г)), если коэффициенты Як в К-псевдополиномиальном представлении (1-2) можно выбрать таким образом, что при любом выборе компактов Сх С Бх , Су С Бу коэффициенты Як (к — 0,р) равномерно непрерывны и ограничены на Сх х Су х (независимо от выбора г £ )-

В этом случае введем также обозначения для соответствующего класса доминантной смешанной непрерывности: Як £ (г) - Заметим, что здесь также представление (1-2) можно заменить упрощенным представлением (1-4) (см- замеч- 1), где Я0, Як £ (г)- Докажем теперь важную лемму, на которую будет опираться доказательство последующих теорем о К-непрерывности и К-дифференцируемос-ти вариационного функционала в Ш1,р -

Лемма 1. Пусть заданы отображения ф : Бх х —> К и ф : Бх —> К (V = ф(х,и), у = ф(х), — банахово пространство) такие, что:

I) ф(х,и) = о(ЦиЦк), 0 < к < р, при и ^ 0 равномерно по х £ Бх;

И) ф £ Ь1(Бх,К);

iii) отображение x(h) = ■ ф — непрерывное отображение компакта

C С Lp(D,Fi), 1 < p< ж, в Li(D, R).

Тогда

X(h)(x)

' Dx

y>(x,h(x)) • ф(х) dx = o (j|h||Lpj при \\h\\Lv — 0, равномерно по h Е С. (2.1)

Доказательство. Ввиду непрерывности отображения х, множество х(С) С Ь1(Б, К) компактно- Поэтому к интегралу (2-1) можно применить усиленное свойство абсолютной непрерывности интеграла Лебега на функциональном компакте [8]- С этой целью обозначим, для всякого N > 0,

Ем = {х £ Бх\ф(х)1 < N}, ем = {х £ Бх\ф(х)1 > N}.

Поскольку ф £ Ь1, то тев(еN) ^ 0 при N ^ ж- Следовательно, согласно упомянутому свойству, найдется такое N > 0, для которого:

x(h)dx

'e-N

< \x(h)\dx.

J Dx

(2.2)

Поскольку Dx = En U eN, то из (2.2) легко следует:

x(h)dx

Dx

<

1

1 1

1 - 2 Jen

\x(h)\dx = 2 • \x(h)\dx.

(2.3)

IEn

2)Фиксируем h £ (7, и для произвольного S > 0 положим:

ENs = {x £ EN\\\h(x)\\ <S} ,eNs = {x £ EN\\\h(x)\\> S} .

Очевидно, EN = ENsU eNs. Кроме этого, проверим, что

p+i \

ILp < S p J ^ (mes (eNs) < S) (2.4)

Действительно, допуская противное, имеем:

(l|h|lL,y

/ Wh^dx >/ ЦЦРdx > öp • mes(eNs) > öp+1

'Dx JeNr

что противоречит оценке слева в (2-4)- Воспользуемся теперь вновь, уже для интеграла справа в (2-3), усиленным свойством абсолютной непрерывности интеграла Лебега- С учетом (2-4), найдется такое 81 > 0, что при всех 8 < 8^

(HhUbp < SР+Ч ^ (meseN < S) ^ (

\x(h)\dx < 1 •/ \x(h)\dx

'eNs 2 j En

i \x(h)\dx) jen j

(2.5)

Из (2.5), аналогично рассмотренному в п.1) случаю, легко следует:

[ \х(Шх < 2[ \х(Шх. (2.6)

^ ЕN ^

3) Фиксируем теперь е > 0 и , используя свойство 1) отображения ф, найдем такое 8(е) > 0, что при всех Ц^ < 8(е) и х Е Бх:

\ф(х,и)\< е ■\\и\\к.

В частности, при х Е , 8 > 8(е) имеем:

\ф(х, Н(х))\< е ■\\Н(х)\\к . (2.7)

4) Наконец, из (2.3), (2.6), (2.7) находим такое 8 < 81(е) = шт^^е)), что:

/ \хЩЛх < 2 \хЩЛх < 4 \хЩЛх < Ш ■ \ф(х, Н)\йх < < Ше ■ [ щ\кдхх < Ше ■ [ Щ\кйх,

¿Ещ ¿О

откуда, применяя неравенство Гельдера-Минковского, получаем:

ч к

\Ьр

ip(x, h(x)) • ф(x)dx

D

<

4N • (mes(D))^] • е • \h\\Lp)

p+i

при \ Ii\l < (81(е)) р ,Н Е С. Из последней оценки вытекает утверждение леммы.

Р □

Теорема 2. Если интегрант вариационного функционала

ф(у) = ! У(х,у, yy)dx,

О

где Б — компактная область в Кга, принадлежит классу Вейерштрасса ШКр(г), р Е N 'то (функционал Ф(у) К-непрерывен всюду в пространстве Ш1'р(Б).

Доказательство. 1) Фиксируем у(-) Е Ш 1'р и произвольный абсолютно выпуклый

компакт Сд С Ш1,р. Воспользуемся каноническим представлением интегранта f:

р

f (х,у,г) = ^ Як(х,у,г)(г)к , (2.8)

к=0

где коэффициенты Як : Т := Б х Ку х К ^ К*, согласно условию f Е ШКр(г), равномерно непрерывны и ограничены доминантно по х, у (т.е. локально компактно по х,у и глобально по г). Заметим, что в силу компактности множества Сд в пространстве Ш1,р, множество:

КуА := и (У + К)(Б) (КД = К0д)

кесА

также компактно. Следовательно, на множестве Ту'д = Б х Ку'д х Б (Тд := Т°'д) все коэффициенты Як ограничены и равномерно непрерывны. Отсюда, в частности, следуют оценки

\\Як(х,у, г)\\< Мк < то (к = Ор; (х,у,г) Е Ту,д) . (2.9)

Подставляя теперь в (1.5) представление (2.8), найдем приращение вариационного функционала Ф в точке у(-) при к Е Сд:

Ф(у + к) - Ф(у)= f (х, у + к, У у + Ук)йх - f (х,у, Уу)йх = Зв </ в

= В (С Як (х, у + к, Уу + Ук)(Уу + У кйх-^ кС Як (х, у, Уу)(Уу)к^ йх =

p " ^

= [Як(х,у + к, Уу + Ук)(Уу + Ук)к - Як(х,у, Уу)(Уу)к] йх. (2.10)

к=0') в

Фиксируем к и преобразуем выражение Ак:

Ak = Rk(x, y + Vy, h + Vh) • ^ Ck(Vy)l(Vh)k- Rk(x,y, Vy)(Vy)k k-1

= V Ck Rk (x, y + h, Vy + Vh)(Vy)1 (Vh)k- +

to --7--

Akl

ARk

+ [Rk(x,y + Vy, h + Vh) - Rk(x,y, Vy)](Vy)k . (2.11)

2) Проведем вначале оценку для интегралов от Акг (I = 0, к - 1). Поскольку ввиду (2.9),

\Aki\< Mk • \Vy\l\Vh\k-1

то

( Akl) dx D l=0

k-1

<£Ck • Mk • I ||Vy||l||Vh||k-ldx. (2.12)

l=0 D

Применяя к интегралам справа в (2.12) неравенство Гельдера-Минковского [3]:

при pi = kpri, получаем:

D Ak^J dx

k—l p—k+l < Ck • Mk ^y\Vh\p'dxj • ^J ||Vy||p-^1 dxj <

k-1

<

Eck • Mk ■

l=0

i pl W 'p-k+l •

W

'P)

kl

(2.13)

Поскольку p—l+Ti < P, то

I 1 Pl < Nkl ■

W 'p-k+l

W

'P),

(2.14)

где Ыкг — константы, связывающие соответствующие соболевские нормы. Окончательно, из (2.13) и (2.14) находим:

J (е Ak^j dx

k—1

Ck • Mk • (Nki)l • (\\y\\w 1'P)l

W

,P)

kl

l=0

при 11^11^1,р — 0, Ь е Од. (2.15)

3) Теперь проведем оценку интегралов от Б к, используя основную лемму. Име-

ем:

Bk dx

D

< / \ARk • (Vy)k\dx < \\ARk\\^\\Vy\\kdx,

D

D

что позволяет, в рамках леммы, положить:

ф(х,и) = \\Кк(х,у(х) + щ, Уу(х) + щ) - Ки(х,у(х), Уу(х))\\ ,

(и = (щ,щ) е Жу х ЖП = Бг), ф(х) = \\Уу(х)\\к.

Пусть т(Ь) = (Ь, УЬ) : Ш 1'Р(Б) — Ьрф^г), т — изометрия. Тогда т(Од) — компакт в ЬР(Б, Гг). Проверим выполнение условий основной леммы на множестве

т д

г) В силу равномерной непрерывности Кк на множестве ту'д, ф(х,и) = о(1) = о(\\и\\0) при и = (щ,щ) — 0, (и\,и2) е т(Од), равномерно по х е Б.

гг) Функция ф = \\Уу\\к е Ь\(Б), ввиду У у е Ьр, к < р. ггг) Отображение

х(Ь) = \\Кк (•, у + Ь, Уу + УЬ) - Кк (•,у, Уу) \\ • \\Уу\\к (Ь = (Ь, УЬ) е т (Од))

— непрерывное отображение из т(Од) в Ьг(Б) ввиду непрерывности и ограниченности Кк и суммируемости \\Уу\\к. Таким образом, основная лемма применима, откуда

У ф(х, П)ф(х)сЬ = I \\АКк\М\Уу\\к¿х = о((\\ЦЬр)°) = о(1)

Б Б

1,р — 0, равномерно по Ь е Од . (2.16)

при \\Ь\\Ь

0

4) Наконец, из тождеств (2.10) и (2.11) и оценок (2.15) и (2.16) получаем:

р к—1 „ р

у 1 р 1 Г

ф(у+h) - Ф(у) = Yl /Akidx+S /Вкdx

7„_n 7_n V 7„_П V

->• 0

k=0 l=0 D k=0 D

при ||к||ж1, Р — 0, к е СА. (2.17)

Поскольку С а — компакт в Ш 1'р(П), то норма У • ||сд мажорирует норму У • ,р, поэтому условие (2.17) тем более выполнено при ||к||сд — 0. В силу произвольности выбора Сд, это означает К-непрерывность вариационного функционала (1.5) в произвольной точке у(^) е Ш 1'р(В). □

Замечание 2. Таким образом, К-непрерывность вариационного функционала (1.5) гарантируется принадлежностью интегранта к классу вейерштрассовских псевдополиномов. Отметим, что в действительности, в теореме доказано более сильное утверждение — классическая непрерывность всех сужений функционала (1.5) на подпространства врап(СА), СА е С(Ш 1'р(В)), с индуцированной топологией. Однако эти подпространства, в бесконечномерном случае, незамкнуты, что делает более удобным использование именно К-непрерывности (и далее, К-дифференци-руемости).

В заключение, проведем более детальное сравнение условия полиномиальности (1.2) с классическими оценками роста интегранта вариационного функционала в пространствах Соболева.

Корректная определенность Ф(у) в Ш1,р в задачах на абсолютный экстремум либо условный абсолютный экстремум обеспечивается, как правило степенной оценкой по г сверху:

/(х,у,г) > а + 13ЦгЦр (в > 0). (2.18)

В псевдополиномиальном же случае подобная оценка должна выполнятся лишь локально компактно по у.

Теорема 3. Если, в обозначениях теоремы 1, / е Кр(г), р е N то для любого компакта Су С Жу справедлива оценка

\/(х,у,г)\ > а + вЦгЦр ((х,у,г) е Бх х Су х Ж?) , (2.19)

где коэффициенты а > 0, в > 0 зависят только от выбора компакта Су С Жу.

Доказательство. Воспользуемся К-псевдополиномиальным представлением (1.2) интегранта /:

\f (x,y,z)\

Y,Rk (x,y,z)(z)k

k=0

P

<Y,\Rk(x,y,z) • (z)k\< k=0

< £ sup \\Rk(x,y,z)t\\z\\k =: £mk • \\z\\k . (2.20)

k=0 x&Dx ,y&Cy ,z&n k=0

Далее, как уже отмечалось в аналогичной ситуации в доказательстве теоремы 1, средние члены в оценке (2.20) при \\z\\ < 1 поглощаются увеличением свободного члена m0 ^ а, а при \\z\\ > 1 поглощаются увеличением старшего коэффициента mp ^ ß, что приводит к оценке (2.19). □

Рассмотрим несколько конкретных примеров (везде n =1).

Пример 4. Интегрант fi(x,y,z) = ey•zp+sin(x+y+z) локально по y удовлетворяет двухсторонней оценке:

(y е m M]) ^ (em\z\p - 1 < fi(x,y,z) < eM\z\p + 1) ,

при этом глобальная оценка отсутствует.

Пример 5. Интегрант f2(x, y, z) = ey • zp • sin(xyz) также локально по y удовлетворяет оценке по модулю:

(y е [m; M]) ^ (\ f2(x,y,z)\ < eM\z\p) ,

при этом глобальная оценка также отсутствует.

Отметим, что оба рассмотренных примера интегрантов принадлежат классу WKp(z).

3. Класс Вейерштрасса W1 Kp(z). Условия K-дифференцируемости вариационных функционалов в пространствах Соболева W1p функций многих переменных

Здесь мы переходим от введенного ранее начального класса Вейерштрасса WKp(z) к следующему классу WlKp(z), попадание интегранта в который гарантирует K-дифференцируемость вариационного функционала.

Определение 4. Пусть, в обозначениях определения 2, функционал f : М™ х Ry х МП —^ R является K-псевдополиномом по z порядка p (f е Kp(z)). Скажем,что f — вейерштрассовский псевдополином класса WlKp(z), p е N, если

f допускает K-псевдополиномиальное представление вида

p

f (x, y,z) = E Rk(x, У, z)(z)k , k=0

коэффициенты Rk которого удовлетворяют условию доминантной (по x,y) смешанной гладкости первого порядка: при любом выборе компактов Cx С МП и Cy С Ry, и без каких-либо ограничений на z е МП, отображения Rk(x,y,z) вместе с градиентами ~WRk = VyzRk, k = 0,p, равномерно непрерывны и ограничены в CX х Cy х Rn.

Приведем простейший пример.

Пример 6. Пусть f (z) = Rp(z) • (z)p, z е Rn, p е N, причем Rp е C1 и :

lim Rp (z) = lim R'(z) = 0

Тогда Rp и R'p — непрерывные функции с нулевыми пределами на бесконечности, откуда следует их равномерная непрерывность и ограниченность глобально по z. Следовательно, f е W 1Kp(z). Очевидное обобщение:

f (x, y, z) = Rp(x, y, z) • (z)p z е Rn,p е N ,

где Rp е C i и:

lim Rp(x,y,z) = lim VyzRp(x,y,z) = 0

локально по x, y.

Отметим, что в определении 4, как и в случае классов Kp(z) и WKp(z), можно ограничиться представлением вида

f (x,y,z) = Ro(x,y, z) + Rp(x, y, z) • (z)p (Ro,Rp е WlK(z)) .

Приведем примеры интегрантов класса WlKp(z). Пример 7. Пусть

p

f (x,y,z) = E Rk(x,y,z)(z)k, где Rk е CXy (k = 0,p). k=0

Тогда независимость Rk от z автоматически влечет Rk е W 1 (z), откуда f е WlKp(z).

Пример 8. Обобщим предыдущий пример: Пусть

f (x, y,z) = J2 Rk(x, y)(z)k +J2 Rk(x, y, z)(z')k (xOx' = Ö~p),

k£x k'£x'

где Rk е CXy при k е x, Rk е WK(z) при k е x. Тогда f е WlKp(z). Пример 9. Пусть

f (x,y,z) = Е Фк\rk(x,y,z))(z)k фк e C ,rk e WlK(z). k=0

Тогда, очевидно, Rk = фк(rk) e Wk(z) и VyzRk = ^u, Vyzrk e Wk(z), откуда f e WKKp(z).

Докажем теперь K-дифференцируемость в пространстве WK'p (D) основного вариационного функционала с интегрантом из класса WKKp(z) . В доказательстве мы вновь будем опираться на основную лемму 1.

Теорема 4. Пусть интегрант f вариационного функционала (1.5) в пространстве Ш 1'(Б) принадлежит классу Вейерштрасса Ш 1Кр(г), р Е N. Тогда вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Чу) = ! (х,у, Уу)<1,х

JD

К-дифференцируем всюду в пространстве Ш 1'р(Б). При этом сохраняется классическая формула первой вариации:

Ф'к (y)h

D

df df

dy (x> У, Vy)h + dZy,Vу) •Vh

dx (h G W 1'P(D)) . (3.1)

В обозначениях псевдополиномиального представления (1.2) интегранта f равенство (3.1) принимает вид:

Ф'к (y)h

D

№

VyzRk(x,y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k+

+k • Rk (x,y, Vy) • (Vy)

k1

h

dx.

(3.2)

Доказательство. 1) Фиксируем у(^) Е Ш1 'р(Б) и произвольный абсолютно выпуклый компакт Са в данном пространстве. Воспользуемся К-

псевдополиномиальным представлением (1.2) для интегранта f:

р

f (х,у,г) = ^ Як(х,у, г)(г)к, (Як : Т = Бх х Еу х Щ ^ (О*), (3.3) к=0

где, для коэффициентов Як, согласно условию f Е Ш 1Кр(г), джеты первого порядка (Як, ^ухЯк) равномерно непрерывны и ограничены в Т локально по х,у и глобально по г (т.е. доминантно по х,у).

Как уже отмечалось(в аналогичной ситуации) в доказательстве теоремы 2, в силу компактности множества у + С а, числовое множество

Ку'А := и (У + Ь)(В)

кесА

есть компакт. Следовательно, на множестве Ту'А = Б х Ку'А х (ТА := Т°'А)

все джеты (Як, Як) ограничены и равномерно непрерывны. Отсюда, в частности, следуют оценки:

|Rk(x,y,z) • (()k| < Mko < то, (k = 0,p; (x,y,z) G TyßA,( G R?) ,

\\VyZRk(x,y,z) • (h, Vh)\\< Ик1 < ж, (к = 0,p; (x,y,z) е Ty,A,h e CA) .

(3.4)

Воспользуемся представлениями (2.8)-(2.11) из нашего доказательства теоремы о К-непрерывности :

Ф(у + h) - Ф(у)= í f (x, y + h, Vy + Vh)dx - í f (x,y, Vy)dx = V I Акdx, (3.5)

J D JD k=QJ D

где

k-1

Ak = E °kRk(x, y + h, Vy + Vh)(Vy)1 (Vh)k-l+ l=0

+ [Як(х, у + к, Чу + Чк) - Rk(х, у, Чу)](Чу)к . (3.6)

Преобразуем последнее выражение учитывая, что

Rк(х, у + + щ) - Rk(х,у) =

= ЧХуRk(х,у) • (щ,щ) + Гк(х,у,г; щ,щ) • (щ,щ), (3.7)

где \\тк(х, у, г; щ,и2) || ^ 0 при || (и\,и2) || ^ 0 равномерно по (х, у+щ,г+и2) Е Ту'А.

Таким образом подставляя (3.7) в (3.6) и выделяя в (3.6) последний член суммы (при к > 2), получаем:

k-2

Ak = V CkRk(x, y + h, Vy + Vh)(Vy)1 (Vh)k-1 + ' * \__/

' ч

l=0

Ak

+ к^к(х,у + к, Чу + Чк) - Rk(х,у, Чу)](Чу) (Чк) +

4-V-'

вк

+ ЧхуRk(х, у, Чу) • (к, ЧН)(Чу)к + Гк(х, у, Чу; к, Чк) • (к, ЧН)(Чу)к +

4-V-' 4---'

Ск ок

+ kRk(x,y, Чу) • (Чу)к-1(Чк) . (3.8)

4-V-'

Ек

Теперь дадим оценку интегралов от каждого из слагаемых в этом выражении. 2) Используем оценку (2.15) для интегралов от Акг (I = 0,к — 2) полученную в нашем доказательстве теоремы о К-непрерывности:

/ ^ Y Ak^j dx

k-2 „

Ck • Mk0 • (\\Vy\\ w) • (\\Vh\\w) dx . (3.9) i=o D

Применяя к интегралам справа в (3.9) неравенство Гельдера-Минковского при Pki = kpl , получаем:

» /к-2 \ к-2 / „ J ($>и) ^^ Ск • Мк0 • П \\Vh\\

D \ l=0 / l=0 \D

k-l p

p-k+l p

\\Vy\\

<

\D

к-2

Ск • Мк0 • (NP)l • (\\y\\w 1 p p )l • (\\h\\w 1 p p )к-1,

(3.10)

l=0

где Np — константы, связывающие соболевские нормы (с учетом p^

р-к+l'

Ii p < Nh • Mw1 pp •

w p-k+l

(3.11)

Из (3.10) следует к-2

У, / Ак1 dx

l=0 D

= o (\\h\\wipp) при\h\ \wipp ^ 0,h e СА • (3.12)

3) Проведем оценку интеграла от Вк в (3.8) с помощью основной леммы. Имеем, прежде всего:

Bk'dx

D

ARk

< к • J \\ Як(x,y + h, Vy + Vh) - Як(x,y, Vy) \\^\\Vy\r^\\Vh\\dx^

D

Это позволяет, в рамках леммы 1, положить

ф(х; u) = \\Як(x,y(x)+ui, Vy+u2)-Rk(x,y, Vy)\l\\u2\\, (u = (щ,щ) e RyxR™ = Fi)

ф(х) = k • \\Vy(x)\\k-1.

Проверим выполнение условий основной леммы.

i) В силу равномерной непрерывности Як на множестве Tу'д,

p(x; u) = о(\\щ\\) = o(\\(ui,u2)\\) при \\u\\ = \\(щ,щ)\\ ^ 0

равномерно по x e B, u e J(Сд).

ii) Функция ф = k • \\Vy(x)\\k-1 e L1(B, R), ввиду Vy e Lp и k - 1 < p.

iii) Отображение (далее h = (h, Vh) e J(Cд))

x(h)= \\Rk(,y + h, Vy + Vh) - Rk(;y, Vy)\\ • \\Vy\\k-1 • \\Vh\\

p

— непрерывное отображение из .](Сд) в Ь1(Б, К), ввиду непрерывности и ограниченности , непрерывности отображения Н М- |^Н|| и суммируемости произведения \№у\\к-1 • ||УН||. Таким образом, основная лемма 1 применима, откуда

Bk dx

D

<J ф(х, h) • x)dx = к J \\ARk || • \\Vy\\k-1 • \\Vh\\dx

DD

(3.13)

= 0(Ц(Н, ЧН)Цьр) = от* )

при |Н|*1>р м 0, Н е Сд.

4) Теперь проведем оценку интеграла от Ск в (3.8) с помощью неравенства Гёльдера-Минковского. Имеем, используя оценку (3.3):

Ck dx

D

< J \VyZ Rk (x,y, Vy) • (h, Vh)\^\\Vy\\kdx < Mki •J \\Vy\\k dx <

DD

p-k ..._ -- -p-k

< Мк1 • (шезБ• (Ц^уЦьр)к < [Мк1 • шевБ]^ • (ЦуЦ^р)к < ж. Таким образом, J Скdx — ограниченный линейный функционал от Н на

Б

подпространстве враи(Сд) относительно нормы || • ||сд. В силу произвольности выбора Сд е С(Ш 1'Р(Б)), это означает К-непрерывность функционала / Скdx, что,

Б

ввиду его линейности, равносильно его обычной непрерывности в пространстве Ш 1'Р(В).

5) Проведем оценку интеграла от / Екdx в (3.8) с помощью основной леммы 1.

Б

Имеем, прежде всего:

Dk dx

D

< J \rk(x,y, Vy; h, Vh) • (h, Vh)\^\Vy\\kdx.

D

Заметим также, что ввиду непрерывной дифференцируемости Rk и компактности Сд,

\Tk(x,y, Vy; h, Vh)\ = o(\\(h, Vh)\\) (3.14)

равномерно по x £ D. Это позволяет, в рамках леммы , положить

ф(х; u) = \Tk(x,y, Vy; Ui,U2) • (ui,u2)\, (u = (Ui,U2) £ Ry x R™x = Fi),

ф(х) = \\Vy(x)\\k.

Проверим выполнение основной леммы. i) Из оценки (3.14) следует непосредственно

p(x; u) = o(\\u\\) при \\u\ —^ 0

равномерно по х £ D .

ii) Функция ф(х) = \\Vy(x)\\k £ Li(D, R), ввиду Vy £ Lp и k < p.

iii) При h = (h, Vh) £ J(Ca) отображение

X(h) = \rk(;y, Vy; h, Vh) • (h, Vh)\ • \\Vy\\k (3.15)

— непрерывное отображение из J(Ca) в Li(D, R), ввиду непрерывности и ограниченности первого сомножителя справа в (3.15) и суммируемости второго множителя. Таким образом, основная лемма 1 применима, откуда

Dk dx

D

< ф(х, h) • x)dx = \rk(x,y, Vy; h, Vh) • (h, Vh)\^\\Vy\\kdx

D

D

= о(\\(К Vh)\\Lp) = о(\\ЦШ1 р) (3.16)

при \\h\w 1 ,р ^ 0, h Е Са .

6) Наконец, оценим интеграл от Ек в (3.8), используя первую оценку в (3.4) и неравенство Гельдера-Минковского. Имеем, учитывая \\VhW • \^у\\к_1 Е Ь1:

J Ek dx

D

< k \\Rk(x,y, Vy)\\^\\Vy\\k-1\\Vh\\dx < k • Mko • \\Vy\\k-1\\Vh\\dx <

< к • Мко • \Vh\Lp (\^у\\)к_1 < [к • Мко • М^} • \h\wip . Таким образом, J Екdx — ограниченный линейный функционал от h на под-

D

пространстве враи(СА) относительно нормы \\ • \\№ 1 ,р, и тем более, относительно нормы ||- \\сд. Отсюда, аналогично п.4) доказательства, вытекает К-непрерывность функционала / Екdx , что ввиду его линейности равносильно его обычной непре-

D

рывности в пространстве Ш 1'р(0) .

7) Итак, из полученных оценок (3.12)-(3.16) и результатов пунктов 4), 6) доказательства вытекает

р

Ф(у + h) - Ф(у) = ^ Akdx

k=0 D

I [VyzRk(x, y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)kdx + k • Rk(x, y, Vy) • (Vy)k-1 • Vh] ) dx+ n \k=0 J

+o(\\h\\wi,), (3.17)

где интегральный функционал справа в (3.17) непрерывен. Поскольку, ввиду компактности Ca , норма \\ • \\сд мажорирует норму \\ • \\wi,p в span(C1A), то малый член справа в (3.17) есть o(\\h\\cA).

Поэтому, суммируя равенства (3.17) по k = 0,p, мы приходим к K-дифференци-руемости Ф и равенству (3.2):

Ф'к (y)h

D

№

vk=0

VyzRk(x,y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)kdx+

+k • Rk(x,y, Vy) • (Vy) •Vh

dx.

(3.18)

8) Покажем, наконец, что равенство (3.18) можно преобразовать к стандартному виду (3.1). Из К-псевдополиномиального представления (3.3) получаем:

д f дRo р л дР^

ду (х,у' Чу)к = (х,у> Чу)к + кС (х,У) Чу) •к • (Чу)к;

д f дRo

д^ (х' у' Чу)Чк = (х' у' Чу)Чк+

(х, у' Чу) • Чк • (Чу)к + к • Rk(х, у, Чу) • Чк • (Чу)

p

k=l

отсюда следует :

dRk

kl

dz

df df Vyzf (x,y, Vy)(h, Vh) = dy (x,y, Vy)h + dz(x,y, Vy)Vh

d0(x,y> Vy)h + d0(x,y> Vy)Vh

+ П (dT(x,y, Vy) • h • (Vy)k+

k=1

dy

dRk

dz

(x, y, Vy)Vh (Vy)k) +k •Rk (x, y, Vy)Vh (Vy)k-1] = VRo(x, y, Vy) • (h, Vh)+

+ £ [VRk(x, y, Vy)(h, Vh) • (Vy)k + k • Rk(x, y, Vy) • Vh • (Vy)k-1}

k=1

p

E [VRk(x, y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k + k • Rk(x, y, Vy) • Vh • (Vy)k-1]

k=0

что совпадает с подинтегральным выражением в (3.18).

Теорема доказана. Случай р = 1 может быть рассмотрен аналогичным образом.

□

4. Классы Вейерштрасса WnKp(z). Условия кратной K-дифференцируемости вариационных функционалов функций многих переменных

Для перехода к K-производным высших порядков вариационных функционалов нам понадобится соответствующее обобщение классов Вейерштрасса.

Определение 5. Пусть, в обозначениях определения 2, функционал f : Бх х Бу х —у Е является К-псевдополиномом порядка р : f Е Кр(г), р Е N причем f Е Сп(Вх х Бу х ), и Е N0. Скажем, что f принадлежит классу Вейерштрасса ШпКр(г), если возможно такое К-псевдополиномиальное представ-ление f:

f (x, y,z) = Y, Rk(x, У, z) • (z)k (Rk : Dx x Dy x Dz Z*k), (4.1)

Rk(x,y,z) • (z)k k=0

для всех коэффициентов Rk которого джеты n-го порядка по y,z

(Rk, Vyz Rk,... V?z Rk) (k = 0Р (4.2)

принадлежат классу Вейерштрасса Wk(z). В этом случае примем обозначение: Rk G WS (z).

Другими словами, коэффициенты Rk(x,y,z) представления (4.1) принадлежат пространству отображений доминантной по x,y смешанной гладкости n-го порядка. Более подробно: для любых компактов Cx С Dx, Cy С Dy джеты (4.2) равномерно непрерывны и ограничены на Cx x Cy x Dz.

Замечание 3. Очевидно, WoKp(z) = WKp(z), WnKp(z) С Wn-1Kp(z); WO(z) = W K(z), W'S(z) С W?-1(z). Кроме того, в определении 5, аналогично случаю классов WKp(z) и W 1Kp(z), можно ограничиться вейерштрассовскими псевдополиномами вида

f (x,y,z) = Ro(x,y,z) + Rp(x,y,z) • (z)p (R0, Rp G W?(z)).

Приведем простейший пример (обобщающий пример 6) интегранта класса W nKp(z).

Пример 10. Пусть f (z) = Rp(z) • (z)p, z G Rm, причем Rp G Cn, и

lim Rp(z) = lim R'p(z ) = ... = lim R[n)(z) = 0 . (4.3)

Тогда Rp, R'p(z),... Rp? (z) — непрерывные отображения с нулевыми пределами на бесконечности, откуда следует их равномерная непрерывность и ограниченность глобально по z. Следовательно, f G WnKp(z). В частности, любая быстро убывающая функция Rp G S(Rm) удовлетворяет условиям (4.3). Очевидное обобщение:

f (x, y, z) = Rp(x, y, z) • (z)p, (z G Rm,h G N),

где Rp G Cn и lim Rp(x, y, z) = lim VyzRp(x, y,z) = ... = lim V™ Rp(x, y,z) = 0

z—y^o z—O z—O y

доминантно по x, y.

Нетрудно также обобщить на данный случай примеры предыдущего пункта. Рассмотрим примеры интегрантов класса WnKp(z).

Пример 11. Пусть

f {x,y,z) = E Rk(x,y)(z)k , где Rk e СПу (k = 0,p)

k=0

Тогда независимость V™Як (т = 0,п) от г автоматически влечет Rk Е Ш'К(г), откуда f Е ШпКр(г).

Обобщим предыдущий пример:

Пример 12. Пусть

f (х, у, г) = Е Як(х,у)(г)к + ^ Як(х,у,г)(г')к, (хиX = 0Р)

к&х к'ех'

где Як Е СХу при к Е х, Як Е (г) при к' Е х'.Тогда f Е ШпКр(г). Пример 13. Пусть

f (x,y,z) = E Vk (rk(x,y,z))(z)k (<fik e СП, rk e wn(z)) .

k=0

Тогда, очевидно, Як = фк(гк) Е Шк(г).

Далее, как известно, формула производной т-го порядка от композиции имеет вид

ф(Ф){т)

Отсюда

aloh...lm • Ф(10)(ф) • W)l1 • (ГУ2 ... (Фт)1т] (li e N0).

o=0,m;h+...lm=m

W™ Rk

lo=0,m;li+...lm=m

al0ll...lm ^ ^^k (x,y,z))

U^yzrk (x,y,z))l

s=1

(4.4)

Поскольку ф{т\гк) Е Шк(г) и VsyzГк Е Шк(г), то из (4.4) следует V™Як Е Шк(г) при т = 0,п, т.е. Е ШП(г) (к = 0,р), откуда f Е ШпКр(г).

Пример 14. Отметим еще один очевидный пример: пусть f (х,у,г) = Яр(х,у,г) • (г )р, где Ир Е Cnyz и отображение Ир периодично по г (с периодом, не зависящим от х,у). Тогда также f Е ШпКр(г).

Покажем теперь, что попадание интегранта в класс Вейерштрасса ШпКр(г) гарантирует п-кратную К-дифференцируемость основного вариационного функционала.

s

Теорема 5. Пусть интегрант f вариационного функционала (1.5) принадлежит классу Вейерштрасса ШпКр(г) (и Е N р Е Тогда (функционал Эйлера-Лагранжа (1.5) и раз К-дифференцируем всюду в пространстве Ш 1'р(Б). При этом справедлива формула и-ой вариации:

Ф{к(У) • (hi,...hn)

D

^ дnf ( _ )

l=0

dyn-ldzl

£ (ht ),ьр2),...,ьпг))

,i=(ii,...in):\i\=l

dx. (4.5)

В частности, на диагонали ^ = h2 = ... = ^ = h К-производная (у)

принимает вид:

*Р(у) • (h)

D

,l=0

дn f

(x,y, Vy) • (h)n-l(h)1

dyn-ldzl

dx.

(4.6)

При этом подстановка в (4.6) К-псевдополиномиального представления (1.2) приводит к формуле:

р п_1

*№(*) • (Ь)п = £ / [£с1а-1^ух ЯП~1-1'1(х, у, Vy) • (^ Vh) • (VУ)к+

7„_Г\ V 7_С\

k=0 D l=0

+k • Rnk-1-l'l(x,y, Vy) • (Vh) • (Vy)k-1) • (h)n-1- • (Vh)

dx .

(4.7)

Доказательство. Проведем доказательство по индукции.

При и = 1 формула (4.5) приводит к уже доказанной ранее формуле первой К-вариации (3.1) с её К-псевдополиномиальным вариантом (3.2)

Ф'к (y)h = £ /

k=0 D

Vy,zRk(x, y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k+

+k • Rk (x,y, Vy) • (Vy)k-1 •Vh dRk

dx

£ / [(

k=0 D v

'dRk дУ

(x,y, Vy) • (h) • (Vy)k+

+

dz

)

(x, y, Vy) • (h) • (Vy)k) + k • Rk(x, y, Vy) • (Vy)

k1

h

dx .

Допустим, по предложению индукции, что при заданном и формула (4.7) в условиях теоремы доказана, и докажем аналогичное равенство для порядка и + 1, в предположении, что f Е Шп+1Кр(г). Напомним, что симметричная и-форма однозначно восстанавливается (с сохранением непрерывности) по своему значению на диагонали.

1) Как и в доказательстве теоремы 4, фиксируем у() Е Ш 1'р(В) и произвольный абсолютно выпуклый компакт Сд в данном пространстве. При этом, согласно предположению f Е Шп+1Кр(г), джеты (п + 1)-ого порядка по (у, г) коэффициентов : Т = Бх х Щу х Еп — (Щп)*

{Rk, VyZ RkV^1 Rk) (k = 0,p)

(4.8)

равномерно непрерывны и ограничены в Т локально компактно по х,у и глобально по г.

Как уже отмечалось ранее (в доказательствах теорем 2 и 4), в силу компактности множества у + Сд , числовое множество

КУА := и (у + Ъ)(П)

кесА

есть компакт. Следовательно, на множестве Ту'д = Б х Ку'д х (ТД := Т°'д) все джеты (4.8) ограничены и равномерно непрерывны. Отсюда, в частности, следуют оценки:

д ^Як

-(x,y,z) • (h)s • (Vh)

< Mkt < ~

дysдzt

((х, у, г) Е ТуА, к Е Сд, в + г < п + 1, к = 0,р). (4.9)

2) Отметим, до начала основного преобразования, еще одно важное свойство классов Вейерштрасса:

dn f

mrs (™ ■> г- литп—l

еслиf e WnKp(z), то

dyn-ldzl

e W Kp(z).

Действительно, используя формулу Лейбница, имеем:

dnf ( ) = dyn-ldzl (x,y,z) = dz

d1 dzl

k=0

дП lRk t \ t \k -T (x,y,z) • (z)k

lp

Ле

k=0

) = Y dz (

k=0

Rk(x,y,z) • (z)k

dyn—

ЕТ.СГ • k(k - 1) • ... • (k - m +1)

du! ^^П-т (x,y,z) •(z )T)

k=0 m=0

dy

d n-mR dyn-ldzl

— (x,y,z) • (z)

km

откуда перегруппировкой слагаемых по степеням г приходим к выражению вида:

d nf

Qyn-l Qzl

(x,y,z) = E K-1'1 (x,y,z)iz)k, где R^1'1 e WnK-1 (z) (k = 0,p). (4.10

k=0

При этом из оценок (4.9) следуют оценки

\\Rn-l'l(x,y,z) • (h)n- • (Vh)К Mk_u <

\VRnk-hl (x,y,z) • (h, Vh) • (h)n- • (Vh)l\\ < Mkl_u < то ,

(4.11)

((х,у,г) Е Ту'А, h Е Са, 0 < I < и, к = 0,р).

3) Используя предположения индукции и представление (4.5), запишем приращение функционала Ф^ (у) на диагональном поливекторе (К)п в виде:

Ф(К](У + h) - Фк (у) • (h)

A(f "-l>l)

Ее

l=0

dnf dnf

-(x,y + h, Vy + Vh) - l (x, y, Vy)

D

dyn—dzl

dyn—dzl

(h)n- (Vh) dx.

(4.12)

Преобразуем выражения под знаком интегралов справа в (4.12), используя представление (4.11) и разложение на главную и малую часть:

Япк~1'1(х, у + к, Vy + Vh) - Япк~1'1 (х, у, Vy) =

= VЯn~l'l(x, У, Vy) • (К, Vh) + Vrkк~l'l(x, У, Vy; К, Vh) • (К, Vh),

где V — градиент по переменным у, г. Имеем:

р

я

А(Г-Ц) = R-1'1(x,y, Vy) • (Vy)k) • (h)n-l • (Vh)

k=0

p / k-2 \ Y/[Rn—l(x,y+h, Vy+VhW (Vy)k + k(Vy)k-1(Vh) + £ Cm(Vy)m(Vh)k-m

k=0 \ m=0 )

—Щ-1'1 (x,y, Vy) • (Vy)k • (h)n-i • (Vh)

m=0 n l l

p[

Y, [VRn—1 (x, y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k + Vrnk-hl(x, y, Vy; h, Vh) • (h, Vh) • (Vy)k+

k=0

+k • AR™—1 (x,y, Vy) • (Vy)k-1(Vh) + k • rt1'1 (x,y, Vy) • (Vy)k-1(Vh)+ +ЩГ1'1 (x, y + h, Vy + Vh) • Cm(Vy)m(Vh)k-m] • (h)n-l • (Vh)1 =

Aki

г -\

Y [vRV1'1 (x, y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k • (h)n-l • (Vh)1 +

k=0

Bkl

+ k • Rl- (x,y, Vy) • (Vy)k-1(Vh)l+1(h)'

+

n

Cki

Г -\

+ £ [k • ARI-1'1 (x, y, Vy)(h, Vh) • (Фу)т-1(ФК)1+1(К)п-1 + k=0

оы

+ Vr'n-l'l(x, y, Vy; h, Vh) • (h, Vh) • (Vy)k(Vh)t (h)n-l +

k-2

Ekln

+ E CTRT1'1 (x,y + h, Vy + Vh)(h)n-(Vh)l+k-m(Vy)m

(4.13)

m=0

Здесь в первых скобках справа собраны главные члены разложения — Акг ,Бкг, во вторых — малые члены разложения — С кг ,Бкг ,Екгт. Оценим интегралы от каждого из слагаемых.

4) Вначале оценим интегралы от Акг, В кг. а) Заметим, что функционал от к

Akldx = I VRn-l'l(x,y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k • (h)n-L • (Vh)ldx

k /u\n—l

D

D

— однородный (п + 1)-го порядка. Проверим его непрерывность, используя оценки (4.11) и неравенство Гельдера-Минковского (поскольку |^у||к Е Ь1 при к < р):

Akl dx

D

<

VRn-l'l(x, y, Vy) • (h, Vh) • (h)п-1 • (Vh)1 • \\Vy\\kdx <

D

< Mk1 lll • I \\Vy\\kdx < [MT1 lll • (mesü)^] • (\\y\\wi„)k приh e CA

k1

n

p-k

D

откуда следует ограниченность данного функционала на подпространстве врап(Сд) относительно нормы || • ||Сд. В силу произвольности выбора Сд Е 1'р(П) это означает К-непрерывность функционала, а ввиду его однородности — непрерывность данного функционала в Ш 1'р.

Ь) Аналогичным образом оценивается однородный функционал от к (п + 1)-го

порядка

Имеем:

Bkl dx = k • Rtl'l(x,y, Vy) • (Vy)k-1(Vh)l+1(h)n-ldx.

D

Bkl dx

D

k

D

Rl-1'1 (x,y, Vy) • (Vh)l(h)n-1 • \\Vy\\k-1 • \\Vh\\dx <

lnl

k1

D

< k • Mk-• \\Vy\\k-1 • \\Vh\\dx < k • Mk-m • \\Vh\\Lp • (\\Vy\\L )k-1 <

D

p-i

<

k • Mk-ц •\\Уу\\w 1 ^J •\\Vh\\w 1,р ,

откуда следует непрерывность по норме \\ • \\w 1,, а значит, и непрерывность по норме \\ • \\сд в подпространстве span(C\). Повторяя рассуждения п.а), приходим к непрерывности данного функционала в Wl'p(D).

5 ) Приступим к оценке интегралов от малых членов разложения Cki, Dki, Ekim . Здесь мы будем опираться на основную лемму 1. а) Оценка

J Ckidx

D

< k • i (\\ARnk-l\xy yy)\\(h, УК)\\ • \\yh\\l • \\yh\\ • \\h\rl) \\Vy\\k-ldx

D

позволяет в рамках леммы, использовать функции

и

ф(х; и) = \\АЯпк-Ц(х,(¿Ст)) • ып-1 • (щ)1\\ • \\т\\, ((щ,т) е К, х ЕП = л)

ф = \\Уу\\к-1 е ь1(Б,К).

Проверим выполнение условий г)-ггг) леммы 1 для ф,ф. г) Ввиду равномерной непрерывности Як 1'1 на ТУ'А,

\\АЯк-1'1 (х,и)\\ ^ 0 при \\и\\ ^ 0 равномерно по х е Б. Поэтому из оценки

и

Ф(х; и) < \\АКГЦ(х,и)\\ • \\щ\\к-1 • \\и2\\ 1+1\ < \\АЩГ1 '1 (х,и)\\ • \\\\п+1 следует

ф(х; и) = а(\\ик+1\\) при \\и\\ ^ 0 равномерно по х е Б.

гг) Функция ф = \\Уу(х)\\к-1 е Ь1 , поскольку У у е Ьр и к — 1 < р. ггг) Отображение х(К) = ф(-,(К, УК)) • ф =

= \(Як-11 (•, у + К, Уу + УК) — Як-11 (•, у, У у)) • (К)п-1 • (УК)1 \\ • (\\Ук\\ • \\Уу\\к-1),

очевидно, есть непрерывное отображение из .](Са) в Ь1(П, К) , ввиду непрерывности по К и ограниченности на С а первого множителя и суммируемости второго множителя (вытекающей из \\Уу\\, \\УК\\ е Ьр; 1 + (к — 1) = к < р). Таким образом, основная лемма 1 применима, откуда при К е С а ■

Ck dx

D

< J ф(х; (h, yh)) • ^(x)dx = o ((\\(h, yh)\\Lp)n+l) = o ((\\h\\wip)

D

n+l

(4.14)

Ь) Оценка

<j \Vrr'l(x,y, Vy; h, Vh) • (h, Vh) • (Vhy (h)n-t\\^\\Vy\\kdx

D

Б кг дьх

Б

позволяет, в рамках леммы, использовать функции

ф(х; и) = №тпк~1' (х,у, Vy; (п^Ми^УЫ1^-11| (и = (ищ) Е ЕухЕп = Р^,

Ф = №уЦк.

Проверим выполнение условий г)-ггг) леммы 1 для ф,ф. г) Ввиду равномерной непрерывности Vтn 1'1 на Ту'д, оценка

о(1)

ф(х; и) < || Vтk (х, у, Vy, и) || • Ц(и1,и2)Ц • ЦщГ-1 • ||п2|г|

<№тпк-г'г(х,у, Vy,и)||•||и|Г1 = о(ЦиЦп+1)

равномерно по х Е Б показывает выполнения условия г).

гг) Функция ф = |^у(х)||к Е Ь1, поскольку Vy Е Ьр и к < р. ггг) Отображение

х(к) = ?(•; (к, Vh)) • ф = №тпк-г г(•, у, Vy; к, Vк) • (к, Vк) • (к)п-г • (Vк)г || • №уЦк ,

очевидно, есть непрерывное отображение из .](Сд) в Ь1(Б, Е), ввиду непрерывности по к и ограниченности на Сд первого множителя и суммируемости второго множителя.

Таким образом, основная лемма 1 применима, откуда при к Е Сд :

J Dkldx

D

<j Ф(x; (h, Vh)) • ф(x)dx = o ((\\(h, Vh)\\Lp)n+1) = o ((\\h\\wip)nt1

D

(4.15)

с) Оценка

< cm • j \\K-t'l(x,y + h, Vy + ФК)(К)п-1 (Vh)l\\^\\Vh\\k-m • \\Vy\\mdx

D

УЕкгт(1х

Б

позволяет, в рамках леммы, использовать функции

ф(х; и) = ЦЯпк-1'1 (х,у + Vy + и2)(Щ)п-г(и2)г|| • Ци2Цк-т, (и = (и1,и2) Е Еу х Еп = Р1), ф(х) = №у(х)Цт Е Ь1(Б, Е).

Проверим выполнение условий г)-ггг) леммы 1 для ф,ф. г) Используя оценку (4.11) для Яп 1'1 на Ту,д, получаем

ф(х; и) =< ЦЯПк-1\х,у + иЪ Vy + и2~) || • Ц(щ)п-11| • Ц(и2)г+к-тЦ <

< М— г • (ЦщЦ + Ци2Ц)п+к — т = 0((ЦиЦ)п+2) = о((||(и||)п+1)

при ||и|| — 0 равномерно по х Е Б .

гг) Функция ф(х) = |^у(х)||т Е Ь1, поскольку Vy Е Ьр и т < р. ггг) Отображение (далее к = (к, Vк) Е ■■(Сд))

Х(к) = ф^ ; (к, Vк))• ф = (•, у+к, Vy+Vк)(к)n-г(Vк)гЦ • (№кЦк-т • ^уЦ*

очевидно, есть непрерывное отображение по к Е ■■ (Сд) в Ь1(Б, Щ), ввиду непрерывности по к (вытекающей из равномерной непрерывности 1'1 на Ту'д) первого множителя и суммируемости второго множителя (вытекающей из Vy, Vк Е Ьр и (к — т) + т < р).

Таким образом, основная лемма 1 применима, откуда при к Е Сд :

Eklmdx

D

< Cm Ф(x; (h, Vh^(x)dx = o {(\\(h, Vh)\L)n+1) = o ((\\h\\wiP)

n+1

D

(4.16)

6) Итак, из разложений (4.12)-(4.13), полученных оценок (4.14)-(4.16) и результатов п.4) вытекает

(ф(кп\у + к) — Ф(К\у)) • (к)п = £ Сп • [(х,у, Vy) • (к, Vк) • (Vу)к+

l=0 D k=0

+кЯпк-ц(х,у, Vy) • ^к)^у)к-1\ • (к)п-г • (Vк)г]йх + о ((ЦкЦ№1,Р)п+1) , (4.17)

где интегральный функционал справа в (4.17) непрерывен.

Поскольку, ввиду компактности Сд , норма || • ||сд мажорирует норму || • Цщ 1 ,р в врап(Сд) , то малый член справа в (4.17) есть о ((||к||Сд)п+1). Таким образом, мы приходим к (п + 1)-кратной К-дифференцируемости Ф и равенству:

ФК+1)(У) • (h)n+1 = £ C4(J2 [vRn-1-l'l(x,y, Vy) • (h, Vh) • (Vy)k+

l=0 D k=0

+к • ЯЧ-1-Ц(х, у, Vy) • V) • (Vу)к• (к)п-г • (Vк)г) йх. (4.18)

7) Покажем, наконец, что равенство (4.18) можно преобразовать к виду (4.6) (при переходе п — п +1).

а) Докажем вначале равенство

д'п+1 у

dyn+l-ldzl

Qn+l f

(x,y, yy) •(h) + dyn-ldzl+i (x— yy) •(yh)

Y [yRn-1-1'1 (x,y, yy) • (h, yh) • (yy)k + k • Rnk-l-l'l(x,y, yy) • (yh) • (yy)

k=0

k1

(4.19)

Имеем:

д n+l f dyn+l—dzl

(x,y, yy) • (h) = 7Г-

д ( dnf \ \dyn-ldzl)

dy \dyn-ldzl

(x,y, yy) •(h)

д

(£ Rn--\k=0

= dy\y^Rnk '(x,y,z) •(z)

Аналогичным образом,

z=Vy

P dRn-l-l'l (h) = £ kdy (x, y, yy) • (h) • (yy)k

k=0

dy

(4.20)

dn+lf д ( дп f \

1 -(x,y, yy) • (yh) = ^[g-n-dl) (xy yy) • (yh)

dyn—dzl+l

\k=0

(E RTU

\k=0

dz\y^Rnk1 t,t(x,y,z) •(z)

)

z=Vy

(yh)

д Rn-l-l>l

dRk (x, y, yy) • (z)k + k • Rnk~l~1'1 (x, y, yy) • (z)k-1

дz

z=Vy^j

(yh)

p -дяп-i-l'l

k (x,y, yy) • (yy)k • (yh)+

p

n

k=0

дz

+k • Rkk-l-l'l(x,y, yy) • (yy)k-1 • (yh)

(4.21)

ем:

Складывая почленно равенства (4.20) и (4.21), получаем (4.19).

Ь) Теперь пользуясь равенствами (4.19), преобразуем правую часть (4.18). Име-

Ф^ (у) • (Ь)п+1 = ! (Е СП [ дТ^д* (ху Уу) • (К) +

D

l=0

дп+i f

дyn-lдz l+l

n „

E/ck

7_Г\ J

(x,y, yy) • (yh)] • (h)n- • (yhdx =

Qn+l f

(x,y, yy) • (К)п+1-1 (yh)ldx +

l=0

D

дyn+l-lдzl

+/Сп • ду^/1ш+1 (ху V) • (к)(п+1)-(1+1)т+1йх. (4.22)

В

Проводя, в заключение, в последних интегралах справа в (4.22) замену обозначений (I + 1) — (I), получаем:

Ф(п+1)(у) • (к)п+1 = • I Ш (х,у, Vy) • (к)(п+1)-(г)^к)г йх,

г=0 С1 в

Сп+1

что соответствует формуле (4.6) при переходе от п к п + 1. Таким образом, по

индукции, формула (4.6), как и ее псевдополиномиальный вариант (4.7), доказана.

□

В качестве полезных примеров рассмотрим частные случаи теоремы 5 при п = 2 и п = 3.

Пример 15. При п = 2 формула (4.6) принимает вид:

Ф"к (у)(к)2 = [ [0 (х,у, Vy)(к)2 + 2 (х,у, Vy)(к)(Vк)+

D

д 2f 2Т

dx .

+dzf (x, У, Vy)(Vh)2

Соответственно, аналог равенства (4.5) принимает вид: С г д2 f д2 f

Ф'К(у)(к, к) = I [дф(х, у, Vy)(к, к) + 2дудг(х, у, Vy)((Vк, к) + (Vк, к))+

D

2

йх.

Пример 16. При п = 3 формула (4.6) принимает вид:

д2 f

Vd^(x, y, Vy)(Vh, Vk)

ф'К(y)(h)3 = i [0(x,y, Vy)(h)3 + 3df (x,y, Vy)(h)2(Vh)+

Б

д3 f д3f ] +3дф?(х, у, Vy)(к)(Vк)2 + (х, у, Vy)(Vк)3 йх.

Соответственно, аналог равенства (4.5) принимает вид:

ф'К (у)(к, к, I) = ! (х, у, Vy)(к,k,l) + Б

д3f д3f +дфь(х,у, Vy)[(Vк, к, I) + (к, Vk, I) + (к, к, VI)] + (х,у, Vy)•

д3 f

■ [(Vh, Vk, l) + (h, Vk, Vl) + (Vh, k, Vl)] + (x, y, Vy)(Vh, Vk, Vl)

z3

dx .

Можно получить также вариант формулы (4.6), в котором подинтеграль-ное выражение представлено непосредственно через коэффициенты исходного К -псевдополиномиального представления f.

Замечание 4. Равенства (4.5)-(4.6) можно преобразовать к следующему виду:

фК (уШп = ¿/[Е СП • к • (к - 1)... • (к - I + 1У к=0 р 1=0

•Vn-lRk(x,y, Vy)(h, Vh)n-1 • (Vy)k-t

dx. (4.23)

В частности, при п = 1 получаем равенство (3.2), при п = 2 получаем равенство р Г г

ф'к(уШ2 = ^ I У2Як(х, у, Уу)(к, ЧЬ)2(Чу)к + 2кУКк(х, у, Уу)(к, УЬ)(Уу)к-1+ к=0

+к(к - 1)Як(х,у, Чу)(ЧЬ)2(Чу)п-2

при п = 3 получаем равенство р

Ф'К(y)(h)3 = ^ / y3Rk(x, y, Vy)(h, Vh)3(Vy)k+3kV2Rk(x,y, Vy)(h, Vh)2(Vy)k-1+

k=o d

+3k(k - l)VRk(x,y, Vy)(h, Vh)(Vy)k-2 + k(k - l)(k - 2)Rk(x,y, Vy)(Vy)n-3

dx .

Разумеется, число ненулевых слагаемых в сумме под знаком интеграла в (4.23) не превосходит к.

Выводы

Вводится понятие общих классов Вейерштрасса ШпКр(г) над областью Б С Кп, обобщающее введенные ранее в одномерном случае И. В. Орловым и Е. В. Божонок классы Вейерштрасса ШКр(г) 1 Кр(г) и Ш2Кр(г). Доказано, что принадлежность К-псевдополиномиального интегранта вариационного функционала подходящему классу Вейерштрасса ШпКр(г) гарантирует п-кратную К -дифференцируемость данного вариационного фунционала в пространстве Соболева Ш 1'р(П). Вычислена п-я К-вариация вариационного функционала. Рассмотрен ряд примеров и частных случаев. Автор выражает благодарность И. В. Орлову и Е. В. Божонок за полезные обсуждения и замечания.

Список цитируемых источников

1. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. — К.: Нау-кова думка, 1973. — 219 с.

2. Орлов И.В., Божонок Е.В. Условия существования K-непрерывности и K-дифференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева W1 // Ученые записки ТНУ. — 2006. — Т. 19(58), № 2. — C. 121-136.

3. Орлов И.В. Дополнительные главы современного естествознания. Вариационное исчисление в пространстве Соболева H1: учебное пособие — Симферополь: ДИАЙПИ, 2010 — 156 с.

4. Божонок Е.В. Компактные экстремумы и компактно-аналитические свойства основного вариационного функционала в пространтсве Соболева H1: дисс... канд.физ. -мат.наук: 01.01.02 - дифференциальные уравнения. — Симферополь, 2009. — 161 с.

5. Orlov I.V. Compact-analytical properties of variational functionals in Sobolev spaces W1,p // Eurasian Mathematical Journal. — 2012. — Vol.3, №2 (в печати).

6. Schmeisser H.-J. Recent developments in the theory of function spaces with dominating mixed smoothness. — Mathematical Institute, Praha, 2007. — pp.145-204.

7. Кузьменко Е.М. Условия корректной определенности и компактной непрерывности вариационных функционалов в пространствах Соболева W1,p // Ученые записки ТНУ, серия Физико-математические науки.Ё— 2011. — T. 24(63), №1. — C.76-89.

8. Богачев В.И. Основы теории меры / Том 1 — Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2003. — 544с.

9. Кузьменко Е.М. Условия K-дифференцируемости и повторной K-дифференцируемости вариационных функционалов в пространствах Соболева W1,p функций многих переменных // Ученые записки ТНУ, серия Физико-математические науки. — 2011. — T. 24(63), №3. — C. 39-60.

10. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г. и др. Оптимальное управление; под ред. Н.П.Осмоловского, В.М.Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2008. — 320 с.

Получена 17.03.2012