CC BY
6Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 31-44.
УДК 517.972
Е. В. Божонок, Б. Ы. КузьмЕнко
КЛАССЫ ВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ, ИМЕЮЩИХ НЕЛОКАЛЬНЫЙ КОМПАКТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В WНАД МНОГОМЕРНОЙ
ОБЛАСТЬЮ
В данной статье разработана схема исследования вариационного функционала на нелокальный компактный экстремум в нуле в пространстве Соболева Ш 1'Р(0), р € М, над .многомерной компактной областью О С , N € N. Приведен ряд классов вариационных функционалов, имеющих нелокальных К -экстремум.
Ключевые слова: вариационный функционал, пространства Соболева, К-экстре-мум.
Введение. Предварительные сведения
Начиная с работы Л.Тонелли [1], вариационные задачи в пространствах Соболева привлекают внимание многих математиков. В большинстве случаев (см., например, [2]-[5]) исследование экстремальных вариационных задач в пространствах Соболева было связано с так называемыми прямыми методами вариационного исчисления.
Недавно был разработан новый метод исследования вариационного функционала в пространстве Соболева в одномерном случае (см. наши работы [6]-[8]). Он основан на исследовании так называемых компактно-аналитических (или, К -аналитических) свойств и компактных экстремумов (К-экстремумов) вариационных функционалов. Впоследствии этот метод был перенесен на многомерный случай ([9]-[12]).
В настоящей работе на основе полученных ранее как необходимых так и достаточных условий компактного экстремума разработана схема исследования вариационного функционала на нелокальный К-экстремум в нуле в пространстве Соболе-
N
ва Ш 1,2(Б), где Б = П [0; Т]. Приведен ряд классов вариационных функционалов,
г=1
имеющих нелокальных К-экстремум.
1. К-АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И УСЛОВИЯ К-ЭКСТРЕМУМА ВАРИАЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА В Ш1,Р
В данном пункте в обзорном порядке приведем некоторые вспомогательные определения и результаты (см. [8], [11], [12]), необходимые для дальнейшего исследования вариационного функционала на нелокальный компактный экстремум в нуле в пространстве Соболева Ш1,р(Б), р € М, над многомерной компактной областью Б С МN, N € N.
Пусть Е — произвольное вещественное локально выпуклое пространство, С(Е) — система всех абсолютно выпуклых компактов в Е. Для каждого С € С(Е) обозначим через Ее линейную оболочку С, снабженную банаховой нормой || • Ус, порожденной множеством С.
Определение 1. Функционал Ф : Е ^ М называется К -непрерывным (К -дифференцируемым, дважды К -дифференцируемым и т.д.) в точке у € Е, если все сужения Ф на (у + Ее) непрерывны (дифференцируемы по Фреше, дважды дифференцируемы по Фреше и т.д.) в у относительно нормы || • ||е. Аналогично скажем, что Ф имеет компактный экстремум (К-экстремум) в у, если все сужения Ф|у+Ёс имеют локальный экстремум в у относительно соответствующих норм.
В наших работах [9]-[10], на базе понятия доминантной смешанной гладкости, были введены широкие классы допустимых интегрантов, названных вейерштрас-совскими К -псевдополиномами, для которых вариационный функционал
Ф(у) = У /(х,у, Чу)йх (1)
Б
в пространстве Соболева Ш1,р(Б), р € М, где Б — компакт в Мга с липшицевой границей, обладает соответствующими К-аналитическими свойствами.
Определение 2. Пусть / € Ст П Кр(г). Отображение / называется вейерштрас-совским К-псевдополиномом класса ШтКр(г), если оно может быть представлено в виде
р
/(х,у,г) = ^ Кк(х,у,г)(г)к , (2)
к=0
где коэффициенты Як (к = 0,р), принимающие значения в пространстве к-линей-ных форм на Мга, являются борелевскими отображениями и все джеты порядка т
(Кк , УухКк, ■ ■ ■, Кк) коэффициентов Кк удовлетворяют условию доминантной по х, у смешанной непрерывности (см. [13]).
Условие / € ШтКр(г) обеспечивает т-кратную К-дифференцируемость функционала (1).
Теорема 1. Если интегрант / вариационного функционала (1) принадлежит классу ШтКр(г), т € М, то функционал (1) т 'раз К -дифференцируем в пространстве Ш 1,р(О). При этом классическая формула вариации т-го порядка сохраняется и для К-вариации т-го порядка, т.е.
ф{т](у)(ь)т=/
т дт /
ду/ (ху уу)кт~1 • (уь) .1=0 у
йх ■ (3)
Б
Для нахождения К-экстремума вариационного функционала был выведен аналог классического необходимого условия локального экстремума — обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского (см. [11]).
Здесь мы рассматриваем вариационный функционал (1) с дополнительным граничным условием
у\дБ = Уо, (4)
где у0 € Ш 1,р (дО), О — компакт в Мга с липшицевой границей дО.
Теорема 2. Пусть / € Ш 1Кр(г). Предположим, что функционал (1) при граничном условии (4) достигает К-экстремума в точке у( ) € Ш 1'р(О) и отображение (д//дг)(х,у, Уу) принадлежит пространству Соболева Ш 1'1(О). Тогда п.в. на О имеет место обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского
% (х,у, уу>- Ё ¿( I ^ ■ (5)
В частности, условие теоремы выполнено, если
д% € С 1(М™ х Му х М") и у(^) € Ш2р(О) ■
Решения обобщенного уравнения Эйлера-Остроградского (5) названы К-экст-ремалями вариационного функционала (1).
Далее, в работе [12] получено достаточное условие К-экстремума вариационного функционала (1) в Ш1,р (О) в терминах гессиана подынтегральной функции.
Теорема 3. Пусть у(^) — К -экстремаль функционала (1) в Ш 1,р(О) (р > 2) при граничном условии (4). Предположим, что
(I) интегрант / принадлежит вейерштрассовскому классу Ш2Кр(г); (и) (д//дг)(х,у, У у) € Ш 1'1(О).
Если на К -экстремали у(^) при всех х € О выполнены условия 1)( д2//ду2) (х,у, У у) > 0;
2) (д2//дг2) (х,у, У у) » 0;
3) {д2//ду2) (х,у, У у) - (д/дг) (д//ду)(х,у, У у) • ({д2//дг2) (х,у, У у))- •
• (д/ду) (д//дг)(х,у, У у) > 0;
4) {д2//ду2) (х, у, У у) • (д 2//дг2) (х, у, У у) - (д/ду) (д//дг)(х, у, У у)
• (д/дг) (д//ду)(х,у, У у) » 0, то вариационный функционал (1) имеет строгий К -минимум в точке у().
2. Классы вариационных функционалов, имеющих нелокальный
КОМПАКТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В Ш1,р
Теперь перейдем к рассмотрению классов вариационных функционалов в пространстве Соболева Ш1,р(Б), р € М, над многомерной компактной областью Б С МN, N € М, которые будут иметь нелокальный компактный экстремум в нуле.
Нами разработана следующая схема исследования вариационного функционала на нелокальный К-экстремум. Сначала мы проверяем тот факт, что уо() = 0 является К-экстремалью соответствующего функционала, т.е. удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера-Остроградского (5). Далее на К-экстремали уо(^) = 0 мы проверяем достаточное условие компактного минимума в терминах гессиана подынтегральной функции (теорема 3). На последнем этапе мы проводим исследование найденного К-минимума уо() = 0 на нелокальность.
Обобщая пример, рассмотренный Орловым И.В. и Божонок Е.В. (см. [8], пример 5.1.4) на случай пространства Соболева над многомерной областью рассмотрим т.н. "соболевскую квазинорму"
Пример 1.
Ф(у) = ! [у2 + ф(Уу) •ЦУуЦ2] Лх,
Б
N
у() € Ш 1,2(Б), ф(.) € Ш2К(г), Б = Д[0;Т], (6)
г=1
при дополнительном граничном условии
у1эп = 0. (7)
В нашем случае интегрант имеет вид
/(х,у,г) = у2 + ф(г) • ЦгЦ2. Найдем частные производные интегранта
д/ д2 / д2/ д2/ д/ = 2у; = 2; / / -
ду ' ду2 ' дудгг дггду '
г
д2/ д2ф(г)
дгг дг,
дХг дг,
М2 + 2
дф(г) дгг
г, +2
дф(г) дг,
гг (г = 1^, г = ])■
Очевидно, что / принадлежит вейерштрассовскому классу Ш2К2(г).
1. Вариационное уравнение Эйлера-Остроградского (5) для функционала (6)
N
2у "Е
г=1
д дхг
дф(г) дгг
•||г||2 + ф(г) • 2гг
п.в.
0-
(8
Таким образом, при граничном условии (7) функция уо(^) = 0 удовлетворяет уравнению (8), то есть является К-экстремалью функционала (6); при этом Ф(уо) = 0.
2. Проверим теперь достаточное условие строгого К-минимума в нуле в терминах гессиана подынтегральной функции для данного вариационного функционала в пространстве Соболева Ш1,2(О) (теорема 3). Отметим вначале, что на К-экстре-мали у0(х) = 0 функция ( д//дг)(х,у0(х), Уу0(х)) € Ш1,1 (О).
Проверим выполнение условий (1)-(4) теоремы 3:
1)( д2//ду2
2) (д2//дг2)
(х,0,0)
= 2 > 0;
(х,0,0)
( 2ф(0)
0
2ф(0)
)
» 0 при требовании ф(0) > 0;
д//ду2) - (д/дг) (д//ду) • ((д2//дг2)) 1 • (д/ду) (д//дг)
(х,0,0) = 2 > 0;
4) [(д2//ду2) • (д2//дг2) - (д/ду) (д//дг) • (д/дг) (д//ду)] ( 4ф(0) 0 \
(х,0,0)
» 0 при требовании ф(0) > 0.
V 0 4ф(0) )
Таким образом, все условия достаточного условия в терминах гессиана подынте-
N
гральной функции выполняются всюду на О = Л [0; Т] при дополнительном тре-
г=1
бовании ф(0) > 0. Имеем, что функционал (6)-(7) имеет строгий К-минимум при ф(0) > 0 в точке у0(•) = 0.
3. Покажем, что функционал (6)-(7) не имеет локального экстремума в точке
N
строгого К-минимума у0(х) = 0 в пространстве Ш1,2(О), где О ^ П [0; Т] с учетом
г=1
введенного требования ф(0) > 0.
Потребуем дополнительное условие перемены знака для ф:
ф(го) < -го < 0
(9)
0
для некоторого г0 = (г0,... ) € МN. Рассмотрим
N _ _
е( \ . Ег0(хг - е), Б = {х € Б | хг < е, г =1N};
y£(Xl,...,XN) = { =1 гУ
0 , в остальных точках Б
для достаточно малого е > 0.
Очевидно, что у£ € Ш1'2(Б). Кроме того,
£ £ Г / N \ 2 N
иу£и1у 12 = ••• I £ г0(хг - е) \ +^(г0)2 0 0 ^^ ' г=1 при е — 0.
Интегрант / вдоль функции у£ принимает вид
/(х,у£, Уу£) =
N (N )2 _
Ф(г0,-А)^(г°)2 + £ г0(хг - е)) , Б;
г=1 \г=1 /
0 , в остальных точках Б.
Лх1.. .dxN — 0
Отсюда следует
££
N Г г
Ф(у£) = ф(г0,-Л) • ^(г0? • у • • ] Лх1... dxN+
г=1 0 0
£ £ / N \ 2 N
•• [Ег0(хг - е)\ Лх1 ...dxN = ф(г°°, ...г%) ^(гЦ)2 •еN+
0 0 \г=1 / г=1
/••• /(£ г0 (хг - е)) 0 0 \г=1 /
00
£ £ / ы \ 2
0
+ ' гг (хг - е^ Лх1... dxN <
00 N
< -г0 • £(г°)2 • еN + а^) < 0 для достаточно малого е > 0.
г=1
Таким образом, вариационный функционал (6)-(7) не достигает локального мини-
N
мума в нуле в пространстве Ш1,2(Б), где Б ^ П [0; Т]. Полученные выше резуль-
г=1
таты можно описать в следующей
Теорема 4. Рассмотрим вариационный функционал ("соболевскую квазинорму")
N
2 2 1,2
Ф(у) = У [у2 + ф(Уу) •ЦУуЦ2] лх, у(•) € Ш 1,2(Б), Б = Д[0;Т],
Б г=1
где ф(•) € ШК(г), при дополнительном граничном условии у1дП = 0.
Тогда, в предположении ф(0) > 0 и при условии перемены знака для ф: < < 0 для некоторого z0 = (z0,.. .z°N) € RN, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального K-минимума в нуле.
Простейшим примером соболевской квазинормы может быть
N
Ф(У) = [У2 + cos(divxy) ■ \\Vy\\2] dx, у(-) € W 1,2(D), D = J][0; T]. D i=1
Здесь функция ф^) = cos(z1 + ... + zN), ф € W^(z) в силу периодичности и гладкости, ф(0) = cos(0 + ... + 0) = 1 > 0, ф^0) = -1 < 0 для z0 = ((n/N),(n/N)). Теперь можно обобщить пример 1, введя зависимость ф от у.
Пример 2. Рассмотрим
Ф(у) = j [у2 + ф(у, Vy) ■ Ш\2] dx,
D
N
у(-) € W 1,2(D), ф(-) € W2K(z), D = Ц[0;T], (10)
i=1
при дополнительном граничном условии
уU ^ (11)
Отметим, что в данном и в последующих примерах схема исследования на нелокальный компактный экстремум в нуле повторяет схему примера 1. В этой связи, мы будем формулировать окончательные условия на интегрант в каждом из отдельно взятых случаев.
Теорема 5. Рассмотрим вариационный функционал (10), где ф(-) € WK(z), при дополнительном граничном условии (11).
Тогда, в предположении ф(0, 0) > 0 и при условии перемены знака для ф:
ф(0, zo) <-ro < 0
для некоторого z0 = (z0,... zN) € RN, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального K-минимума в нуле.
В качестве конкретного примера можно рассмотреть
N
Ф(у) = J [у2 + cos(у + divxу) -\\Чу\\2] dx, у(-) € W1,2(D), D = Д[0; T] .
D i=1
В данном случае функция ф^) = cos^ + z1 + ... + zn ); очевидно, что ф € W2(z). Кроме того, выполнены условия теоремы 5, а именно ф(0, 0) = cos(0 + 0 + ... + 0) = 1 > 0, ф(0, zo) = -1 < 0 для zo = ((n/N),..., (n/N)).
Таким образом, функционал Ф(у) в нуле достигает строгого нелокального К-минимума.
Дальнейшие классы примеров, как и оговаривали, будем оформлять в виде теорем. Обобщим последний пример и рассмотрим
Теорема 6. Имеем вариационный функционал
N
Ф(у) = ] [у2 + ф(у, Vу) •\\VyW2] •Ф(х)йх, у(•) € W 1,2(Б), Б = Д[0; Т], (12)
п г=1
где ф(у,г) € W'2(г), ф(• ) — некоторая положительная непрерывная весовая функция, при дополнительном граничном условии
у\ди = 0- (13)
Тогда, в предположении ф(0, 0) > 0 и при условии перемены знака для ф:
ф(0, го) <-го < 0
для некоторого г0 = (г0,... zN) € МN, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального К -минимума в нуле.
В качестве весовой функции можно взять ф(х) = ехра1Х1+-+акхм, где аг € М, г = 1, N, и одновременно не равны нулю. В этом случае, при условии выполнения остальных требований теоремы 6, функционал вида
Ф(у) = I [у2 + ф(у, Vy) • ^у\\2] • ехра1Х1+-+а*х" йх, Б
N
,2/
у(•) € W 1,2(Б), Б = Ц[0; Т] ,
г=1
достигает строго нелокального К-минимума в нуле. Теорема 7. Рассмотрим вариационный функционал
N
,2 I ИУ7л,1|2\ Л™ „,/ \ тхг1,2/
Ф(у) = I ф (у2 + ^у\\2) йх, у( •) € W1•2(D), Б = Д[0; Т], (14)
Б г=1
где ф(у2 + \\г\\2) € W¿(г), ф(0) = 0, при дополнительном граничном условии
у\дв = 0- (15)
Тогда, в предположении (дф/дЬ)(0) > 0 и при условии перемены знака для ф:
ф(и1) <-го < 0
для некоторого и0 € М, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального К-минимума в нуле.
Отметим, что условия на функцию ф
ф € C2([0; +<х>]), ф(Ь + h) - ф(Ь) = O(h) для \h\ ^ ж
являются достаточными для принадлежности ф(у2 + ||z||2) к классу W^ (z). В качестве конкретного примера такой функции можно рассмотреть
{t, 0 < t < 1 - 5;
2 - t, 1 + 5 < t < ф, сглажена на [1 — 5; 1 + 5].
Данная функция удовлетворяет всем требованиям теоремы 7, а именно ф(0) = 0, (дф/сдЬ)(0) = 1 > 0 и для любого и0 > V2 ф(и0) < 0. Обобщим данный пример.
Теорема 8. Рассмотрим вариационный функционал
N
Ф(у)= ф{у2 + ЦЧуЦ2) • Ф(x)dx, yt) € W 1,2(D), D = Ц[0;T], (16)
D г=1
где ф(у2 + ||z||2) € W^(z), ф(0) = 0, ф() — некоторая непрерывная положительная весовая функция, при дополнительном граничном условии
уU ^ (17)
Тогда, в предположении (дф/д^(0) > 0 и при условии перемены знака для ф:
ф(и1) <-ro < 0
для некоторого и0 € R, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального K-минимума в нуле.
Отметим, что в качестве весовой функции можно взять любую непрерывную положительную функцию, в частности, ф(х) = expaiXl+-+aNXN, где ai € R, i = 1,N, и одновременно не равны нулю.
Теорема 9. Рассмотрим вариационный функционал (т.н. "квазигармонический осциллятор")
N
Ф(у) = f [ф(Уу) • ЦУуЦ2 + Ф(у) - у2] dx, у(^) € W 12(D), D = Д[0; T], (18)
D i=1
где ф(^) € W\(z), ф(^) € C2, ф(0) = 0, при дополнительном граничном условии
У\дв = (19)
Тогда, в предположения ф(0) > 0, ф'(0) =0 и ф"(0) > 2 и при условии перемены знака для ф:
ф(го) < -го < 0
для некоторого z0 = (z0,... z°N) € RN, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального K-минимума в нуле.
Простейшим примером квазигармонического осцилятора может служить функционал
Ф(у) = j [cos(divxy) ■ \\Vy\\2 + 2 sin2 у — y2] dx,
D
N
y(■) € Ж 1,2(D), D = Ц[0; T].
i=1
Здесь <f(z)=cos(zi + ... + zn ), ф € W¿ (z), ф(y) = 2sin2 y, ф( ■) € C2, ф(0) = 0. Проверим требования теоремы 9 на функции ф, ф. Действительно, ф(0) = cos(0 + ... + 0) = 1 > 0, ф'(0) = 2 sin 2y\y=o = 0, ф''(0) = 4 cos 2y\y=o = 4 > 2, ф^0) = —1 < 0 для z0 = ((n/N),..., (n/N)). Таким образом, вариационный функционал Ф(у) в нуле достигает строгого нелокального K-минимума.
В рассмотренных выше примерах никаких ограничений на меру области D не налагается. Сейчас рассмотрим пример вариационного функционала, для которого наличие K-экстремума возможно только при некотором ограничении на меру D. Для этого сформулируем следующую теорему для проверки достаточных условий K-минимума (см. [14]).
Теорема 10. Пусть вариационный функционал (1) удовлетворяет в нуле уравнению Эйлера-Остроградского (5) при граничном условии y\dD = 0, f € W2Kp(z), (df/dz)(x,y, Vy) € W 1'1(D). Введем следующие обозначения:
r =: minmax{Y2 > 0\R(x)(z)2 > y2 ■ \\z\\2 (Vz € R™)}, R(x) = df 0) ; x £ d dz
д2f (x, 0, 0) s =: min ■ •
x
£D dy
2
q =:mn Q(x) = — E If*).
Тогда
1) при г > 0, д > 0, Ф(у) достигает строгого К -минимума в нуле (без каких-либо ограничений на меру Б).
2) при г > 0, д < 0, в > 0 и при ограничении на меру Б
N
шввм (Б) < N , (20)
Ф(у) достигает строгого K-минимума в нуле.
Теорема 11. Рассмотрим вариационный функционал ("обобщенный квазигармонический осциллятор")
Ф(у) = I [ф(Уу) • \№у\\2 + ф(х,у, Уу) - у2] йх,
Б
N
У^) € Ш 1,2(Б), Б = П[0;Т], (21)
г!,2/
Б), Б =
г=1
где ф( ) € (г), ф € Ш2К1(г), ф(х, 0, 0) = 0, при дополнительном граничном условии
У\дп = 0■ (22)
Введем следующие обозначения
г = штшах{72 > 0\Е(х)(г)2 > • \\г\\2 (Уг € MN)}
где
( 2ф(0) + д2-ф(х,0,0) д2ф(х,0,0) \
2ф(0) + дг2 • • • дгпдг\ У
Е(х) = ••• •••
. д2ф(х,0,0) 2ф(0) + д2ф(х,0,0)
\ дх\дхп • • • 2ф(0) + дг2 )
(д2ф(х, 0, 0) \ в = шт ; - 2
хеБ \ ду2 )
= ( д2ф(х, 0 0) - 2 - / д2ф(х, 0 0) \ \ х&б \ ду2 \ дудг ))
Тогда, в предположении ф(0) > 0, г > 0, в > 0 и д < 0, и при условии перемены знака для ф:
ф(го) < -го < 0
для некоторого г0 = (г0, ■ ■ ■ zN) € MN, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального К -минимума в нуле при дополнительном ограничении на меру области Б
N
mesN (Б) <Мт • I
n ( 1п2т\
IV му
В вариационном функционале (21) в качестве функции ф можно взять ф(х, у, г) = 2 йш2 (у + г1 + ■ ■■ + ZN) + 3(х1 + ■ ■■ + XN) • у • (г1 + ■ ■■ + ZN )■ Тогда можно рассмотреть функционал
ф(у) = ]
Б
соъ(йтху) •\Уу\2 + 2 йш2(у + йтху) + 3 Е хг • у • йюху - у
N
хг
г=1
2
N
у(■) € Ж1,2(Б), Б = Ц[0;Т].
г=1
Данный функционал будет удовлетворять всем требованиям теоремы 11. Действительно, ф € Ж^(г), ф € Ж2К1(г), ф(х, 0, 0) = 0. Для функции ф выполняется условие перемены знака ф(0) = 1 > 0, а для г0 = ((п/N),..., (п/N)) ф(г0) = —1 < 0. Осталось проверить неравенства г > 0, в > 0 и д < 0. В нашем случае
(б 4 ■■■ 4 \ 4 б ■■■ 4
Е(х) =
\ 4 4 ■■■ б )
тогда имеем
г = штшах{^2 > 0\К(х)(г)2 > ^\\г\\2(Уг € )} = 2 > 0;
в = 2 > 0; д = 2 — < 0 (У^.
Таким образом, Ф(у) имеет строгий нелокальный К-минимум в нуле при дополнительном ограничении на меру области Б:
N
Отметим, что в случае размерности N = 1 получаем ограничение на длину отрезка
[0; т ]
Т <л/2п.
Обобщим предыдущий пример — введем весовую функцию. Теорема 12. Рассмотрим вариационный функционал
Ф(у) = I [ф(Чу)^ Ш\2 + ф(х,у, Чу) — у2] ■т(х)йх,
Б
N
у(■) € Ж 1,2(Б), Б = Ц[0;Т], (23)
г=1
где ф(■ ) € Ж2(г), ф € Ж2К1(г), ф(х, 0, 0) = 0, т( ■ ) — некоторая положительная непрерывная весовая функция, при дополнительном граничном условии
у\ди = 0. (24)
Введем следующие обозначения
г = штшах{72 > 0\Е(х)(г)2 > ■ \\г\\2 (У г € )} ,
где
( + • т(x)
R(x) =
dz2
Э2ф(х,0,0) dz\dzn
д2ф(х,0,0) т (x) Oznßz! Т (X)
• т (x)
(2ф)
+
Э2ф(х,0,0)
dz2
) • т(x)
s = mm
xeD
ö2^(x, 0, 0) dy2
q = min
xeD
д2ф(x, 0, 0)
y2
— 2 — divx
- 2) •т(x)
32^(x, 0,0) dy dz
т (x)
Тогда, в предположении ф(0) > 0, г > 0, в > 0 и д < 0, и при условии перемены знака для ф:
ф(го) < -го < 0
для некоторого г0 = (г0, ■ ■ ■ zN) € MN, вариационный функционал Ф(у) достигает строгого нелокального К-минимума в нуле при дополнительном ограничении на меру области Б
mesN (D) < Nт • W—-
Ш)
N
Авторы выражают благодарность И.В.Орлову за полезные обсуждения и замечания.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Tonelli L. Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. — Bologna: Zanichelli, 1921-23. — 466 p.
[2] Dacorogna B. Introduction to the calculus of variations. — London: Imperial College Press, 2004. — 228 p.
[3] Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С. В., Магарил-Ильяев Г. Г. и др. Оптимальное управление. / под ред. Н. П. Осмоловского, В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2008. — 320 с.
[4] Giaquinta M., Hildebrandt S. Calculus of Variations I. — New York: Springer Verlag, 1996. — 474 p.
[5] Giusti E. Direct Methods in the Calculus of Variations. — Singapore: World Scientific Publishing Co., 2003. — 403 p.
[6] Bozhonok E. V. Some existence conditions of compact extrema for variational junctionals of several variables in Sobolev space H1 // Operator Theory: Advances and Applications, Basel: Birkhauser. — 2009. — Vol. 190. — P. 141-155.
[7] Orlov I. V. Compact extrema: general theory and its applications to the variational functionals // Operator Theory: Advances and Applications, Basel: Birkhauser. — 2009. — Vol. 190. — P. 397-417.
[8] Орлов И. В., Божонок Е. В. Дополнительные главы современного естествознания. Вариационное исчисление в пространстве Соболева H1: учебное пособие. — Симферополь: ДИАЙПИ, 2010. — 156 с.
[9] Кузьменко Е. М. Условия корректной определенности и компактной непрерывности вариационных функционалов в пространствах Соболева W// Ученые записки ТНУ, серия "Физико-математические науки". — 2011. — Т. 24(63), № 1. — С. 76-89.
[10] Кузьменко Е. М. Условия K-дифференцируемости и повторной K-дифференцируемости вариационных функционалов в пространствах Соболева W1,p функций многих переменных // Ученые записки ТНУ, серия "Физико-математические науки". — 2011. — Т. 24(63), № 3. — С. 39-60.
[11] Орлов И. В., Божонок Е. В., Кузьменко Е. М. Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью // Доповщ НАН Укра'ни. — 2014. — № 4. — С. 19-24.
[12] Божонок Е. В., Кузьменко Е. М. Условия компактного экстремума основного вариационного функционала в шкале пространств Соболева над многомерной областью // Нелинейные граничные задачи. — 2012. — Т.21. — С. 9-26.
[13] Schmeisser H.-J., Triebel H. Topics in Fourier Analysis and Function Spaces. — Chichester: Wiley, 1987. — 300 p.
[14] Орлов И. В., Цыганкова А. В. Исключение уравнения Якоби в многомерных вариационных задачах // Труды ИПММ НАН Украины. — 2013. (в печати)
Класи вар1ацшних функцюнал1в, що мають нелокальний компактний
екстремум у Wl'p(D) над багатовим1рною областю
У дангй статтг розроблена схема дослгдження варгацгйного функцго-нала на нелокальний компактний екстремум у нулг в просторг Соболева W 1'P(D), p € N, над багатовимгрною компактною областю D С RN, N € N. Наведено ряд класгв варгацгйних функцгоналгв, що мають нело-кальних K -екстремум.
Ключов1 слова: варiацiйний функцюнал, простори Соболева, K-екстремум.
Classes of variational functionals having nonlocal K—extremum in Wl'p(D)
on multi-dimensional domain
In this paper the investigation scheme of nonlocal compact extremum at zero for variational functional in Sobolev space W 1,p(D), p € N, on multi-dimensional compact domain D С RN, N € N, is derived. Some examples of variational functionals having nonlocal K-extremum are considered.
Keywords: variational functional, Sobolev spaces, K-extremum.
