УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ И КОМПАКТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА W 1,p(ü) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 1 (2011), с. 76-89.

УДК 517.972

E. М.Кузьменко

УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

И КОМПАКТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА W 1p(Q)

Понятие псевдоквадратичного интегранта вариационного функционала обобщается на случай произвольных банаховых пространств. На компактные области Q в Rn распространено известное ранее для отрезка утверждение о корректной определенности и условие компактной непрерывности в гильбертовом пространстве Соболева W1,2 (Q) вариационнно-го функционала с псевдоквадратичным интегрантом. Полученные результаты обобщены на случай вариационных функционалов с псевдополиномиальным интегрантом и соответствующих пространств Соболева W 1iP(Q) при произвольном p £ N и произвольной компактной области Q С Rn.

Ключевые слова: вариационный функционал, псевдоквадратичность, пространства Соболева, псевдополиномиальность, корректная определенность, компактная непрерывность

e-mail: [email protected]

Введение

В работах И.В.Орлова и Е.В.Божонок [1]- [3] исследовались общие условия корректной определенности вариационных функционалов в гильбертовом пространстве Соболева W 1,2[a,b] = H 1[а,Ь]. При этом, от классической жесткой оценки интегранта f (x, y, z) < a + fiz2 классического вариационного функционала Ф(y) =

!а /(х, У, у')Лх, у(-) Е Ш 1,2 [а, Ь], был совершен переход к значительно более общему классу псевдоквадратичных по г интегрантов. Было показано, что псевдоквад-ратичность гарантирует корректную определенность функционала Ф(у) в данном пространстве Соболева [2].

В настоящей работе упомянутые результаты обобщаются по следующим направлениям:

1) Понятие псевдоквадратичного отображения переносится на случай произвольных банаховых пространств.

2) Теорема о корректной определенности вариационного функционала Ф(у) с псевдоквадратичным интегрантом переносится на случай пространства Соболева Ш1,2(О) над произвольной компактной областью О С Мп.

3) Вводится более общее понятие К-псевдополиномиального отображения (Vр Е М) и теорема о корректной определенности вариационного функционала Ф(у) переносится на случай вариационного функционала с К-псевдополиномиальным инте-грантом в пространстве Соболева Ш 1,Р(О), О С Мп.

4) Условие компактной непрерывности вариационных функционалов в Н 1(О) переносится на случай пространств Соболева Ш 1,Р(О), О С Мп.

Таким образом, создается база для обобщения построенной указанными авторами теории компактных экстремумов вариационных функционалов в гильбертовом пространстве Соболева Ш1,2 [а, Ь] на случай произвольного пространства Соболева Ш 1,Р(О), р Е N над произвольной компактной областью О С Мп, п Е N.

1. Предварительные сведения

Исследования вариационных функционалов в классах Соболева было начато в 20-х годах прошлого века в работах Тонелли и других авторов. Классическая теорема Тонелли связывает существование абсолютного экстремума вариационного функционала в пространстве Ш 1,Р(О), с р-степенной оценкой снизу по старшей производной, так называемое „условие роста". Дополнительно на интегрант накладывается условие квазирегулярности.

Напомним более подробно классические результаты [4]. Далее О-компакная область в Мп.

Определение 1. Интегрант /(х,у,г),(х,у,г) Е О х М х Мп, называется квазирегулярным, если V(x,y) Е О х М функция / является выпуклой по г.

Сформулируем теорему Тонелли, доказанную вначале для одномерного случая и позднее обобщенную на п-мерный случай [4].

Теорема 1. Пусть интегрант / : О х М х М в задаче

ф(у) = / /(х,у, ^ о^»,.

п

(у е W 1,Р(П), П С Мп, 1 <р< ж, у\дп = 0) (1)

непрерывен по всем переменным, непрерывно дифференцируем по г, квазирегулярен и удовлетворяет следующему „условию роста":

/(х,у,г) > ф\\р - 5, (5> 0,7 > 0) (2)

Тогда задача (1) имеет 'решение в пространстве W 1,Р(П).

Коректная определенность функционала (1) гарантируется посредством р-степенной оценки сверху.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 при выполнении неравенства:

\/(х,у,г)\< а\\г\\р + в, (а > 0,в> 0) (3)

вариационный функционал (1) определен всюду в пространстве W 1,Р(П).

Возникает естественный вопрос: можно ли от оценок (2) и (3) перейти к оценкам, в которых константы заменяются функциями от х, у, г (вообще говоря неограниченными)? Достаточно общий ответ на этот вопрос, как упоминалось, был получен в работах Орлова И.В. и Божонок Е.В.

Приведем соответствующие результаты. Базисным в дальнейшем является понятие псевдоквадратичной функции [1], [3].

Определение 2. Борелевская функция / : Мх х Му х ^ М называется псевдоквадратичной по г (/ е К2(г)), если / допускает представление в виде

/(х, у, г) = Р(х, у, г) + д(х, у, г)г + Е(х, у, г)г2 (4)

где, при любом выборе компактов Сх С Мх, Су С Му коэффициенты Р, д, И ограничены независимо от выбора г е Мг.

Заметим, что средний член в псевдоквадратичном представлении (4) может быть исключен. Отметим также, что псевдоквадратичность влечет за собой квадратичную оценку

|/(х,у,г)\ < а(х,у)\\г\\2 + в(х,у),

коэффициенты а, в которой ограничены лишь локально по х и у, в отличии от глобальной ограниченности коэффициентов в классической оценке. Имеет место следующая теорема существования.

Теорема 3. Пусть П = [а; Ь]. Если / е К2(г), то вариационный функционал Эйлера-Лагранжа Ф(у) = /п /(х,у,у')йх, (у(-) е W 1,2(П)) всюду определен в пространстве W1,2 (П).

Свойство К-непрерывности функционала Ф(у) = /п /(х,у,у')б,х в Н1 требует более сильных условий для /, чем псевдоквадратичность.

Определение 3. Пусть, в обозначениях определения 2, функция / Е К(г) и непрерывна в Мх х Му х Мг. Отображение / назовем вейерштрассовским псевдоквадратичным (/ Е ШК(г)), если представление (4) можно выбрать таким образом, что функции Р, д, К равномерно непрерывны и ограничены на Сх х Су х Мг при любом выборе компактов Сх С Мх Су С Му.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть и = /(х, у, г), / : О х М2 ^ М. Если / Е ШК2(г), то вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Ф(у) = ^ /(х,у,у')йх

п

К - непрерывен всюду на Н 1(О).

2. Общее понятие псевдоквадратичности. Корректная определенность функционала на Ш 1,2(О) в многомерном случае

Перейдем к изложению основных результатов. Вначале обобщим понятие псевдоквадратичного интегранта на случай банаховых пространств. Далее, для произвольного банахова пространства Z,через Z* обозначено банахово пространство всех линейных непрерывных функционалов на Z, через Z)* банахово пространство всех билинейных непрерывных симметричных функционалов на Z.

Определение 4. Пусть X, У, Z— вещественные банаховы пространства; О С X, Ду С У,Дг С Z - открытые области. Борелевская функция / : О х Ду х Дг ^ М псевдоквадратична по г (/ Е К2(г)), если / допускает представление в виде

/ (х, у, г) = Р (х, у, г) + д(х, у, г)г + К(х, у, г)г2 (5)

где,

1) Р : О х Ду х Дг ^ М

2) д : О х Ду х Дг ^ Z*;

3) К : О х Ду х Дг ^ (Z, Z)* := ; М),

причем при любом выборе компактов Сх С О, Су С Ду коэффициенты Р, д, К ограничены независимо от выбора г Е Дг (иначе говоря,Р, д, К ограничены локально по х, у и глобально по г).

Заметим, что из представления (5), как и в одномерном случае, следует квадратичная оценка:

|/(х,у,г)| < а(х,у)||г||р + в(х,у),

коэффициенты а, в которой ограничены локально по х и у. Далее, справедлива теорема о корректной определенности вариационного функционала, обобщающая на п-мерный случай приведенную ранее теорему 3.

Теорема 5. Пусть О - компактная область в Мга. Пусть и = /(х, у, г), интегрант / : О х Ку х М*П ^ К. Тогда, если / € К2(г), то вариационный функционал Эйлера--Лагранжа

Ф(У) = / /(х, у, Уу)^х, (у(-) € W 1,2(О), О С Яга)

(6)

всюду определен в пространстве W 1,2(О). При этом для любого компакта С С W 1,2(О) справедлива квадратичная оценка по норме ||у||:

|Ф(у)|< Ас + ВС||у||^ 1,2 (У € С),

(7)

где коэффициенты Ас, Вс зависят только от выбора компакта С.

Доказательство. Фиксируем у(-) € W 1,2(О) и обозначим Су = у(О) -компакт в Ку. Тогда, в соответствии с определением 4, найдутся такие константы Мр, М<<, Мд при любом фиксированном х € О:

|Р(х,у, Уу)|< Мр, ||^(х,у, Уу)||< М< ||Я(х,у, Уу)||< Мд. (8)

Используя для / псевдрквадратичное представление (5), имеем:

Ф(у) = / Р(х, у, Уу)^х + У (£(х,у, Уу) -Уу) ^х + I (Я(х,у, Уу) ■ (Уу)2) ^х (9) п п п

Используя (8), получаем (с учетом свойств непрерывных линейных и билинейных функционалов и неравенства Коши-Буняковского): А)

Р (х, у, Уу)^х

< ^ |Р(х, у, Уу)|^х < Мр ■ швв(О). (10)

В)

(ф(х, у, Уу) ■ Уу) ^х

<у №,у, Уу) -Уу|^х ||д(х,у, Уу)|Н|Уу||^х <

пп

< М< у ||Уу|^х < М< п

\

J ||Уу||2йх у ^х =

пп

\

|Уу|2^х < М^Шв^О) -||у||^ 1,2

(11)

С)

(Я(х,у, У у) ■ (Уу)2) йх

< I \(Я(х,у, У у) ■ (Уу)2)\йх <

< / ЦЯ(х,у, Уу)\\-\\Уу\\2йх < Ып ■ \\Уу\\2йх < Ып -\\у\\2ш 1>2

(12)

Из (9) и (10)- (12) получаем:

|ф(у)1 <

Р(х, у, Уу)йх

+

(Я(х,у, Уу)Уу)йх

+

К(х, у, У у) ■ (У у)2йх

<

< Ыр ■ шев(О) + Ыд Vшев(О) ■ ЦуЦ^1,2 + Ып ■ ЦуЦ^ 1,2 < то. (13)

Таким образом, из (9) следует что |Ф(у)| < то, при любом у() е Ш 1,2(О), т.е. функционал (6) определен всюду на Ш 1,2(О).

Получим теперь квадратичную оценку по норме (7), коэффициенты которой зависят лишь от выбора компакта С С Ш1,2(О).

Так как у(-) е С С Што множество С = {у(х) | х е О,у() е С} -компакт в М. Поскольку Р, Л, вместе с /, ограничены локально по х, у и глобально по г, то на множестве О х С х М^ также выполнены оценки типа (8):

|Р(х,у, Уу)|< Ыр, цд(х,у, Уу)\\< Ыд, \\К(х,у, Уу)\\< Ып. (14)

Воспользовавшись оценками (14) (где константы Ыр,Ыд,Ып зависят только от выбора компакта С С Ш 1,2(О)) и оценкой (13), мы получаем:

|Ф(у)| < Ас + БоЫУ1,2 + Вс\\у\221,2,

(15)

где Ас, Бс, Во-константы зависящие только от выбора компакта С. Средний член поглощается старшей степенью переменной и мы получаем оценку (7). □ Заметим, что предположение о симметричности функционалов из класса ¿2(МП, М), было введено только для упрощения доказательства и может быть опущено. Итак, псевдоквадратичность интегранта вариационного функционала в пространстве Соболева Ш 1,2(О), где О С Мп, кроме корректной определенности функционала гарантирует квадратичную оценку |Ф(у)| по норме ЦуЦ на любом компакте из данного пространства Соболева.

3. К-псЕвдополиномы. Корректная определенность вариационного

функционала на Ш 1,р(О)

Обобщим конструкцию предыдущего пункта на случай произвольного пространства Соболева Ш 1,р(О), где О С Мп-компактная область, р > 1. Далее, для

произвольного вещественного банахова пространства 2, обозначим через 2* его сок

пряженное, через (2, ~. 2) * -банахово пространство всех к-линейных симметричных непрерывных функционалов на 2.

Определение 5. Пусть X, У, 2 — банаховы пространства; О С X, Бу С У, С 2-открытые области. Назовем борелевскую функцию / : О х х ^ М К-

псевдополиномом по г (/ € Кр(г)),если / можно представить в виде

р

/ (ж,у,г) = £ Д (х,у,г)(г)к (16)

к=0

где:

1) Е0 : О х х ^ М,

2) Ек : О х х ^ (2,... 2)* := £к(2; М) (к = 1,р); причем при любом выборе компактов СХ С О, Су С Ду коэффициенты Дк ограничены независимо от выбора г € Дг.

Справедлива теорема о корректной определенности вариационного функционала в пространстве Соболева Ш 1,р(О), О С Мп, обобщающая приведенную ранее для случая р = 2 теорему 5.

Теорема 6. Пусть О-компактная область в Мп. Пусть и = /(ж, у, г),интегрант / : О х Му х МП ^ М. Тогда, если / € Кр(г), то вариационный функционал Эйлера--Лагранжа

Ф(У) = / /(ж, У, Уу)йж, (у(-) € Ш 1,р(О)) (17)

п

всюду определен в пространстве Ш 1,р(О). При этом для любого компакта С С Ш 1,р(О) справедлива оценка |Ф(у)| по норме ||у||:

|Ф(у)|< А°с + А°° ||у||р^ 1,Р, у € С. (18)

где коэффициенты А°°, А°° зависят только от выбора компакта С.

Доказательство. Фиксируем у(-) € Ш 1,р(О) и обозначим Су = у(О) - компакт в Му. Тогда, в соответствии с определением 5, найдутся такие константы Мк, к = 0,р, что :

Уж € О: |До(ж,у, Уу)|< Мо, ||Дк (ж, у, Уу)|| < Мк, (1 < к < р). (19) Используя для / К-псевдополиномиальное представление (16), имеем

р (

Ф(у) = Е / (Дк(ж, у, Уу) ■ (Уу)к) йж. (20)

к=0п

Используя (19), получаем (с учетом свойств к-линейных непрерывных форм и неравенства Гельдера-Минковского [2]): А) при к = 0

До (ж, у, Уу)йж

<у |Д0(ж,у, Уу)|^ж < М0 ■ Шв5(О).

п

(21)

В) при 1 < к < р

Дк(ж, у, Уу) ■ (Уу)к) ^ж

(Дк(ж, у, Уу) ■ (Уу)к) <У (|Д(ж,у,Уу)||-||Уу||к) ¿ж < Мк ■ I ||Уу||кАс <

^ж <

< Мк

||Уу||

р

к\ к

^ж

р г

/ (^ж)

О п

р р — к

р

< Мк [швв(П)] р—к ||у||^

(22)

Из (20) - (22) получаем:

|ф(у)1 <

р /•

(Дк(ж, у, Уу) ■ (Уу)к) ^ж

к=0 о

<

Р

< £

к=0

(Дк(ж, у, Уу) ■ (Уу)к)^ж

<

Мк [швв(П)] р—к ||у||^ 1,р < (23)

к=0

Таким образом, |Ф(у)| < то, т.е. функционал (17) определен всюду на Ш 1,Р(О). Проведем теперь аналогично соответствующему пункту доказательства теоремы 5 оценку по норме (18), коэффициенты которой зависят лишь от выбора компакта С С Ш 1р(П). Так как у(-) е С С Ш 1>р, то множество С = {у(ж) | ж е П,у(-) е С}--компакт в М. Поскольку Дк (0 < к < р), вместе с /, ограничены локально по ж, у и глобально г, то на множестве О х С х М^ также выполнены оценки типа (19):

Уж е О: |Д0 (ж, у, Уу)|< М0, ||Дк (ж, у, Уу)|| < Мк, (1 < к < р). (24)

Воспользовавшись оценками (24) (где константы Мк зависят только от выбора компакта С С Ш 1,Р(О) ) и оценкой (23), мы получаем:

|Ф(у)| < АС + АС||у|^ 1,р + ... + АС||у||^ 1,р, (25)

где АС, А,С,... АС -константы зависящие только от выбора компакта С. Средние члены поглощаются старшей степенью переменной, и мы получаем оценку (18). □ Заметим, что предложение о симметричности функционалов из классов £к(М*П, М) было введено только для упрощения доказательства и может быть опущено.

к

Итак, К-псевдополиномиальность интегранта вариационного функционала в пространстве Соболева Ш 1,р(О) (р € М) , кроме корректной определенности функционала гарантирует степенную оценку порядка р по норме | у| на любом компакте из данного пространства Соболева.

4. Условие компактной непрерывности вариационного функционала в пространствах Соболева Ш 1,р(О), О с Мп

Напомним вначале определение К-непрерывности функционала.

Определение 6. Пусть Е- произвольное полное локально выпуклое пространство, Ф : Е —у М. Для всякого абсолютно выпуклого компакта С С Е обозначим через Ее -банахово пространство (зрапС, || ■ 11 р), где норма || ■ 11 р есть функционал Мин-ковского множества С. Функционал Ф называется компактно непрерывным (К-непрерывным) в точке у(-) € Е, если все сужения Ф на подпространства (у + Ер) непрерывны в точке у.

Наша цель обобщить теорему 4 на случай произвольных пространств Соболева Ш 1,р(О). Для этого введем подходящий класс гладкости К-псевдополиномиальных интег-

рантов ШКр(г).

Определение 7. Пусть, в обозначениях определения 5, функция / € Кр(г) и непрерывна в О х Ду х Дг по (у, г). Назовем отображение / вейерштрассовским К-псевдополиномом (/ € ШКр(г)), если представление (16) можно выбрать таким образом, что при любом выборе компактов СХ С О, Су С Ду коэффициенты Дк(к = 0,р) равномерно непрерывны и ограничены на СХ х Су х Дг.

Теорема 7. Пусть интегрант и = /(ж, у, г) есть отображение / : О х Му х МП ^ М; ж € О, у € Му, г € МП, где О-компактная область в М£. Тогда, если / принадлежит вейерштрассовскому классу ШКр(г), то вариационный функционал Эйлера-Лагранжа (17) К -непрерывен всюду в пространстве Ш 1,р(О).

Доказательство.

1)Фиксируем у(-) € Ш 1,р(О) и произвольный абсолютно выпуклый компакт

Сд С Ш 1,р(О). Воспользуемся каноническим представлением (16) для функции /:

р

/ (ж, у, г) = £ Дк (ж, у, г)(г)к, к=0

где коэффициенты Дк : ТП = О х Му х МП ^ ¿к (ТП; М), согласно условию / € ШКр(г), равномерно непрерывны и ограничены локально по ж,у и глобально по г.

Заметим, что в силу компактности множества (у + Сд) в Ш 1,р(0), числовое множество

Ку,д := У (У + Н)(0

ь,еоА

есть компакт. Следовательно, на множестве все коэффи-

циенты Як ограничены и равномерно непрерывны. Отсюда, в частности, следуют оценки

Як (ж, у, г) ■ (С)к|< Мк -УС ||к, Мк < то (к = ОТр; (ж, у, г) е туд, ( е М?)

(26)

Подставляя теперь в (17) представление (16),получим приращение вариационнного функционала Ф в точке у(-) при Н е Сд:

Ф(у + Н) - Ф(у) = J /(ж, у + Н, У у + УН)^ж - ^ /(ж, у, Уу)^ж = п п

= / (^к=0 Як (ж, у + Н, Уу + УН)(Уу + УН)к) ^ж (я^Як (ж, у, Уу)(Уу)к) ^ж =

^ / [Як (ж, у + Н, Уу + УН)(Уу + УН)к - Як (ж, у, Уу)(Уу)к] ^ж (27

к=о;

Фиксируем к и преобразуем выражение Дк:

Ак = Як (ж, у + Уу, Н + УН) ■ ^ Ск (Уу)г(УН)к-^ - Як (ж, у, Уу)(Уу)

к-1

1=0

V Ск Як (ж, у + Н, Уу + УН)(Уу) (УН)к-1 + [Як (ж, у + Уу, Н + УН) - Як (ж, у, Уу)](Уу)к

А; Вк

(28)

2) Проведем вначале оценку для интегралов от (1 = О, к - 1). Поскольку ввиду (26),

|АЫ| < Ск ■ Мк ■ Ц(Уу)г(УН)к-г| < Ск ■ Мк ■ ||Уу| ||УН||к-1,

то

к1

АкН ¿ж

ч1=0

к— 1

< Ск ■ Мк ■ [ ||Уу|г||УН|к—1 ¿ж (29)

г=0 п

Применим к интегралам справа в (29) неравенство Гельдера-Минковского [5]:

^(ж)^(ж)^ж < ¡J |^>(ж)|р^ж| ■ ¡J |^(ж)|9^ж \п / \п

к

11

1 < р', д' < те; — + — = 1 р' д'

Получаем при р' = к—, д' = р-к+1:

||Уу||г||У^||к-гйж

к-1 Р

р-к+1 Р

< \ / ||УЛ|рйж

п

||Уу|| р-к+ ^ж

ж !>Р )

к-г

I 1 р1 ж 'р-к+1

рг

(30)

Далее, элементарно проверяется неравенство р—к+г < р, откуда следует неравенство для соответствующих соболевских норм:

Ну N < ^кг ■ ||у|^1.р,

Ж 1'р-к + 1

где Жкг-постоянные. Из неравенств (30), (31) следует:

||Уу||г ||УЛ|к-гйж

< №)г ■ (||у||ж 1,р)г ■ (||Ь||^ 1,р)

к-г

Наконец, подставляя оценки (32) при I = 0, к — 1 в (29), получаем:

к1

£ Акг ^ж

,г=о

к1

<

г=о

Поскольку(||^||сд —^ 0)

ж 1,р —^ 0) , то из (33) следует:

к1

£ Акг йж

а=о

0 при ||Ь||сд —^ 0

3)Теперь проведем оценку для интеграла от В. Для любого фиксированного 5 > 0 обозначим

„г

ег = {ж € О |^|р + |У^|р > 5р} , ег = {ж € О |Ь| < 5, |УЬ| < 5} Заметим, что

(Н^С 1,р < 5р+1) ^ (тег < 5) Действительно, в противном случае имеем:

1,Р = I(Ир + |У^|р)йж > I (|^|р + |Уй|р) ^ж > 5р ■ тег > 5р+1

е«

Очевидно также, что

О = ег и ег

(31)

(32)

£ Ск ■ Мк ■ (Жкг)г ■ (||у||ж 1,р)г ■ (Иж 1,р)к-г (33

(34)

(35)

(36)

(37)

Фиксируем теперь е > О (е < 1) и выберем 5 = 5(е) > О так, чтобы, с учетом абсолютной непрерывности интеграла Лебега и равномерной непрерывности Як на множествеТуД , были выполнены условия:

5 < е,

||Уу||^ж < ек

(38)

е«

(|Н| < 5, ||УН|| < 5) ^ ((|ДЯк|| < е), к = О,р, (Уж е 0)) (39)

Далее, выберем такое п > 0,чтобы

(||Н||Сд < п) ^ (||Н||Ж 1,Р < 5^) (40)

Тогда при ||Н||сд < П, используя неравенства (26), (37)- (40), получаем:

Вк ^ж

п

<1 |Вк|^ж = I |ДЯк ■ (Уу)кМж <1 ||ДЯк|| ■ ||Уу||к¿ж <

п

п

п

<У ||ДЯк||-|Уу|к¿ж + у ||ДЯк|| ■ ||Уу|к¿ж < Мк ^ ||Уу|к¿ж + е ^ ||Уу||к^ж (41)

е« е« е« е«

тгтлтт „V — _ к

Применяя вновь неравенство Гельдера-Минковского, при р/ = Р к интегралам спра-

ва в (41), находим:

У Вк ^ж < ... < Мк ■ Жк ■ (У ||Уу||Р^ж | + Жк ■ е ■ (У ||Уу||^ж) <

П \е« / Чей /

< Мк ■ Жк ■ (ек)р + Жк ■ (||у||ж 1.Р)к ■ е = Мк ■ Жк + Жк ■ (||у||ж 1,р)к • е (42)

где

Жк = [ш(вг)] р < [т(0)] Р Таким образом, из (42) следует

Вк ^ж

п

О при ||Н|сд О

(43)

4) Наконец, из тождеств (27), (28) и оценок (34), (43) получаем:

/к-1 \

Р г Р ||

|Ф(у + Н) - Ф(у)| < ^ / Дк¿ж < £

к=0 | | п к=0 |

^ Ак1 ¿ж

п

,1=0

Р || г

+£ / Вк ^ж

к=0 | | п

при ||Н||сд —> О. В силу произвольности выбора абсолютно выпуклого компакта Сд С Ш 1,Р(0), это означает К-нерерывность вариационного функционала Ф в произвольной точке у(-) е Ш 1,Р(0). □

к

О

Таким образом,К-непрерывность вариационного функционала гарантируется принадлежностью интегранта к классу вейерштрассовских псевдо-р-адичных отображений. Заметим, что предположение о симметричности функционалов из классов ¿к (Тп, М) было введено только для упрощения доказательства и может быть опущено.

Выводы

В статье введено понятие К-псевдополиномиального интегранта в пространствах Соболева Ш 1,р(О),1 < р < те, где О-компактная область в Дп. Получены утверждения о корректной определенности вариационного функционала с таким интегран-том и о компактной непрерывности вариационнного функционала с вейерштрас-совским К-псевдополиномиальным интегрантом в данных пространствах Соболева. Автор выражает благодарность И.В.Орлову и Е.В.Божонок за полезные обсуждения и замечания.

Список литературы

[1] Орлов И.В., Божонок Е.В. Условия существования, К-непререрывности и К-диф-ференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева // Ученые записки ТНУ, серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". -2006. - Т. 19(58), № 2. - С. 63-78.

[2] Орлов И.В. Дополнительные главы современного естествознания.Вариационное исчисление в пространстве Соболева Н1: учебное пособие /[Орлов И.В., Божонок Е.В.].—Симфергполь:ДИАЙПИ,2010—156 с.

[3] Божонок Е.В. Компактные экстремумы и компактно-аналитические свойства основного вариационного функционала в пространтсве Соболева Н1: дисс... канд.физ. -мат.наук:01.01.02 "Дифференциальные урвнения "/[Божонок Е.В. ]; — Симферополь, 2009.-161 с.

[4] Оптимальное управление / [ Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г. и др. ]; под ред. Н.П. Осмоловского, В.М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2008. — 320 с.

[5] Березанский Ю.М. Функциональный анализ./[ Березанский Ю.М.,Ус Г.Ф.,Шефтель З.Г.]; — К.: Вища школа,1990.—600 с.

[6] Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева./[Мазья В.Г. ]; — Л.: ЛГУ,1985.—416 с.

[7] Гельфанд И.М.Вариационное исчисление./[Гельфанд И.М.,Фомин С.В. ]; — М.: ФМ,1961.—230 с.

Умови коректноТ визначенност та компактно!' неперервност вар1ацшшх функщонал1в у просторах Соболева Ш 1р(О).

Поняття псевдоквадратичного гнтегранта варгацгйного функцгонала уза-гальнюеться на випадок довгльних банахових просторгв. На компактнг об-ластг в Rn поширюеться вгдоме рангше для вгдргзка твердження про ко-ректну визначенгсть г умова компактног неперервностг у ггльбертовому просторг Соболева W1,2 варгацгйного функцгоналу гз псевдоквадратичним гнтегрантом.

Отриманг результати узагальнено на випадок К-псевдополгномгального интегранта (Vp £ N) г просторгв Соболева W1,p.

Ключов1 слова: вар1ацшний функцюнал, псевдоквадратичшсть, простар Соболева, К-псевдополшом1альшсть, коректна визначешсть, компактна неперервшсть.

Conditions of well-posedness and compact continuity of variational functionals in Sobolev spaces W1,p(Q).

The concept of pseudoquadraUc гпЬедтапА of variational functional гз generaUzed to the case of an arM^ry Banach spaces. The known statements on well-posedness and compact continmty of the variational functionals havгng pseudoquadratic гntegrand гn the HUbert-Sobolev space W1,2 over an гnterval are extended to the case of an arM^ry compact domaгn гn Rn. The obtaгned results are generatised to the case of the variational functionals havгng a К-pseudopolynomial гntegrand гn the correspondгng Sobolev space W1,p for an arM^ry p £ N

Keywords: variational functional, pseudoquadraticity, Sobolev space, K-pseudopolynomial, well-posedness, compact continuity.