Условия существования нелокальных компактных экстремумов вариационных функционалов в пространстве Соболева H1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 40-51.

УДК 517.972

Е. В. Божонок

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ КОМПАКТНЫХ ЭКСТРЕМУМОВ

ВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА Н1

Найдено минимальное псевдоквадратичное представление интегранта класса Ш2К2(г) вариационного функционала в Н1. Описан общий вид вариационного функционала, удовлетворяющего стационарной форме условий Лежандра-Якоби. Получены условия существования нелокального К -экстремума в нуле вариационного функционала в пространстве Н1. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: вариационный функционал, К-экстремум, пространство Соболева.

Введение. Предварительные сведения

Начиная с 20-х годов прошлого века и вплоть до настоящего времени, основное внимание математиков, исследовавших чрезвычайно важные для приложений вариационные задачи в пространствах Соболева, уделялось задачам на абсолютный экстремум и условный абсолютный экстремум (см. [1], [2]). Однако такой подход жестко ограничивает класс допустимых интегральных функционалов.

Глубинные причины отсутствия неабсолютных локальных экстремумов у вариационных функционалов в пространствах Соболева были вскрыты в замечательной теореме И.В. Скрыпника ([3]), которая исключает (в неквадратичном случае) применение традиционных аналитических методов нахождения локального экстремума и по сути свидетельствует об отсутствии неабсолютных локальных экстремумов в рассматриваемой ситуации.

Дальнейшее исследование экстремальных задач в классическом пространстве Соболева Н 1([0; Т ]) с нормой

(т т \ 1/2

У |у(х)|2 йх + 1|у'(х)|2йх 0 0

привело в работах И.В. Орлова ([4], [5]) к введению понятия компактного экстремума (К-экстремума), а также понятий компактной непрерывности (К-непрерывности), компактной дифференцируемости (К-дифференцируемости) и т.д., основанному на переходе к соответствующим свойствам в банаховых подпространствах, порожденных всеми абсолютно выпуклыми компактами в исходном пространстве. В работах ([4], [6]) было показано, что в пространстве Соболева Н1 вариационный функционал для широкого класса интегрантов обладает свойством повторной компактной дифференцируемости. Кроме того, в ([7], [8]) перенесены на случай К-экстремума классические необходимые условия и достаточные условия локального экстремума для вариационного функционала в пространстве С1.

В настоящей статье найдено минимальное псевдоквадратичное представление интегранта вариационного функционала класса Ш2К2(г) (попадание ин-тегранта в данный класс является достаточным условием повторной К-дифференцируемости вариационного функционала в Н1). Получены условия существования К-экстремума в нуле вариационного функционала в пространстве Н1, найден общий вид интегранта, удовлетворяющего данным условиям. Проведено исследование на нелокальность К-экстремума в нуле вариационного функционала. Рассмотрены конкретные примеры.

Приведем необходимые определения и результаты ([4]-[8]).

Определение 1. Пусть Н — вещественное сепарабельное гильбертово пространство, Ф : Н ^ М. Говорят, что функционал Ф имеет компактный экстремум (К-экстремум) в точке у € Н, если для любого компактного эллипсоида Се С Н сужение Ф на (у + зраиСе) имеет в точке у локальный экстремум относительно гильбертовой нормы || ■ || с, порожденной Се.

Определение 2. Говорят, что отображение / : [0; Т] х М х М ^ М принадлежит классу Ш2К2(г), если представление

/(х, у, г) = А(х, у, г) + В(х, у, г) ■ г + С(х, у, г) ■ г2, (1)

можно выбрать таким образом, что для любого компакта Су С М отображения А, В, С € (г), т.е. равномерно непрерывны и ограничены на Тс = [0; Т] х Су х М, с аналогичным требованием на градиенты и гессианы Нух отображений А, В и С (в этом случае говорят, что отображения А, В, С € (г)).

В [6] было получено следующее достаточное условие повторной К-дифференци-руемости вариационного функционала в пространстве Соболева Н 1([0; Т]).

Теорема 1. Если У € Ш2К2(х), то функционал Эйлера-Лагранжа

т

Ф(У) = ! f (х,у,у')йх, у() € Н 1([0; Т]), (2)

о

дважды К -дифференцируем всюду на Н1 ([0; Т]); при этом т

Фк (у)(Ь,к) = 0 (Ы,к) + Цд^ ((Ы ,к) + (МО) + 0 (Ы,к')]йх. (3)

о

Аналогом классического необходимого условия локального экстремума вариационного функционала для нахождения К-экстремума (2) в пространстве Н 1([0; Т]), является обобщенное уравнение Эйлера-Лагранжа ([5]).

Теорема 2. Если, в предположениях теоремы 1:

(1) функционал (2) имеет К -экстремум в точке у(^) € Н 1([0; Т]); (п) функция (х,у,у') абсолютно непрерывна на [0; Т]; то выполнено обобщенное уравнение Эйлера-Лагранжа:

А

йх

В частности, условие (гг) выполнено, если (0]/0х) € С 1([0; Т] х у(0 € Ш2'2([0; Т]).

Решения уравнения (4), при выполнении условия (п) теоремы 2, называются К-экстремалями функционала (2) в пространстве Н1([0; Т]).

Приведем также обобщенное достаточное условие Лежандра-Якоби ([7]) строгого К-экстремума в случае пространства Соболева Н 1([0; Т]).

Теорема 3. Пусть f : [0; Т] х М2 ^ М, f € Ш 2К2(х), у() — К -экстремаль функционала (2) в Н([0; Т]) и функции (х,у(х),у'(х)) и -щ^(х,у(х),у'(х)) абсолютно непрерывны на К -экстремали у(). Если на К -экстремали у():

1) выполнено усиленное условие Лежандра, т.е.

с)2 у

тгт(х,у(х),у'(х)) > 0 всюду на [0;Т]; ох2

2) выполнено обобщенное условие Якоби, т.е. любое 'решение уравнения Якоби

_А (дИ( — —— ^ Г й ( д2-,

Щ)(у) = ду (х, у, у') - (х,у,у')) = 0 п.в. на [0; Т]. (4)

\ Г й ( д21' \

(х,у(х),у'(х))и'j + - йхудудХ (х,у(х),у'(х))) +

йх \дх2

I]

ду

+^ (х,у(х),у (х))

и п=. 0 (5)

в классе Н 1([0; Т]), удовлетворяющее начальным условиям и(0) = 0, и'(0) = 1, не обращается в нуль при 0 < х < Т, то функционал Эйлера-Лагранжа (2) имеет строгий К -минимум в точке у( ■ ).

1. МИНИМАЛЬНОЕ ПСЕВДОКВАДРАТИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕГРАНТА

вариационного функционала класса Ш2К2(г)

Рассмотрим / е Ш2К2(г), т.е.

/(х, у, г) = А(х, у, г) + В(х, у, г) - г + С(х, у, г) ■ г2,

где А, В, С е Шк(г), с аналогичным представлением для градиента / и гессиана Н^ /.

Так как функция / дважды непрерывно дифференцируема в О х М х М по (у, г), то применяя в точке (х, у, 0) формулу Тейлора 2-го порядка по г, получаем:

д/ д2/ г2 /(х, у, г) = /(х, у, 0) + — (х, у, 0) - г + ^(х, у, 0) ■ у + <р(х, у; г), (6)

где <^(х, у; г) = о(г2) при г ^ 0 локально равномерно по х, у. Положим:

Е(х, у, г) = д-| (х, у, 0) + у; при г = 0; Е(х, у, 0) = 0. дг2 г2

Тогда Е е (г), и обозначая Р(х, у) = /(х,у, 0), ^(х,у) = Ц(х,у, 0), из (6) получаем:

¿2

/(х, у, г) = Р(х, у) + ф(х, у) - г + Е(х, у, г) ■ у, (7)

где Р, Q е С2; Е е Шк(г). Теперь, используя равенства:

д/ = др + ^ г + дЕ ^ / = Q + Е г + дЕ ^

ду ду ду ду 2 ' дг дг 2 '

_д/_дд дЕ д2д г2 д2/_

дудг ду ду дудг 2 ' ду2 ду2 ду2 ду2 2 ' д2/ „ дЕ д2Е г2

в? = Я + 2ёТ1 + Л2-2- (8)

из условий / е ШК2(г), Нух/ е ШК2(г) получаем, что Е е (г), Ну-гЕ е (г), т.е. в представлении (7) Е е (г).

Обратно, если выполнено представление (7), где Р, Q е С2; Е е Ш2(г), то / е Ш2К2(г). Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 4. Представление (7) функции /, где Р, Q е С2; Е е (г), является необходимым и достаточным для принадлежности / классу Ш2К2(г).

2. Условия СУЩЕСТВОВАНИЯ К—ЭКСТРЕМУМА В НУЛЕ ВАРИАЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ Н1

Рассмотрим вариационный функционал т

Ф(у) = | (я(х,у,у')-у- + !(х,у)-у' + Р(х,у)) йх, у() е Но1([0;Т]), (9)

где Р, Q е СД е Ж-(г).

Отметим, что, согласно теореме 4, интегрант

г-

/(х, у, г) = Д(х, у, г) ■ у + !(х, у) - г + Р(ж, у)

принадлежит классу Ж-К-(г). Отсюда, по теореме 1, введенный выше функционал определен всюду и дважды К-дифференцируем в Нд ([0; Т]).

Рассмотрим теперь условия существования К-экстремума в нуле вариационного функционала (9).

1) Из равенств (8) получаем:

д/ дР д/

ду (х, 0, 0) = — (ж, 0), ^(ж, 0, 0) = !(х, 0). (10)

Тогда, подставляя (10) в вариационное уравнение Эйлера-Лагранжа (4) на К-экстремали уо(х) = 0 (0 < х < Т) для функционала (9) и учитывая, что, в силу / е С-, (й/йх)[/(х,0,0)] = (й/йх)[!(х,0)], получаем

ду <х-0 - д! <х-0)=0 (11)

2) Изучим теперь условия выполнения достаточного условия Лежандра-Якоби строгого К-экстремума для функционала Ф(у) в пространстве Соболева Нд (теорема 3) на К-экстремали уо( ■ ). Отметим вначале, что необходимо наложить на К-экстремали уо (х) = 0 дополнительное требование абсолютной непрерывности функций

д/ д- / д! — (х,уо (х),уо (х)) = !(х, 0) и ду^ (х,уо (х),уо (х)) = (х, 0).

1) Усиленное условия Лежандра, в случае К-минимума, всюду на [0; Т] для функционала (9) принимает вид

д- /

—4 (х, 0, 0) = Д(х, 0, 0) > 0. (12)

дг-

п) Условие Якоби: из равенств (8) уравнение Якоби для функционала (9) на К-экстремали у ( )

А

йх

д-/

ё/ (x, 0 0)и

+

й

йх (ду/г(x, 0,0)) + ду- (x, 0,0)

п.в.

и = 0

принимает вид:

й (оЛ д2 Р

йх \ду ' ) ду2 или, с учетом f £ С2,

й

-йх ^0' М +

п.в.

и = 0,

й

- dХtR(x, 0 °)и'] +

°2р (х, 0) - (х, 0)

и П=. 0, (13)

у2 х у

с начальными условиями и(0) = 0, и'(0) = 1.

Рассмотрим теперь достаточные условия выполнимости условия Якоби. Примем следующие дополнительные условия:

R(x, 0, 0) з г> 0, (14

д2Р д2Я _

1 (х, 0) = р. (15)

у2 х у Тогда уравнение (13) примет вид:

ту" - ри = 0, и(0) = 0, и'(0) = 1. (16)

Рассмотрим различные возможные случаи: р = 0, р > 0, р < 0.

а) р = 0. Уравнение (16) принимает вид: и" = 0, откуда решение и(х) = х удовлетворяет условию Якоби: и(х) =0, 0 < х < Т, при любом Т > 0.

б) р > 0. Уравнение (16) принимает вид: и" = ри, где р > 0, откуда решение

и(х) = ^/р х удовлетворяет условию Якоби: и(х) = 0, 0 < х < Т, при любом Т> 0.

в) р < 0. Уравнение (16) принимает вид: и" = - I р I и (при этом р < 0), откуда

решение и(х) = р вт 1 р |х удовлетворяет условию Якоби: и(х) = 0, 0 < х < Т,

лишь при Т < п

Назовем условия (11)-(14)-(15) (обеспечивающие выполнение достаточных условий Лежандра-Якоби в нуле) стационарной формой условий Лежандра-Якоби (в нуле), или условиями (БЬЛ).

3. Овщий вид интегранта, удовлетворяющего условиям (БЫ) в нуле

Наша задача в этом пункте — описать все интегранты f (х,у,х) вариационного функционала (9) класса Ш2К2(х), удовлетворяющие условиям (11)-(14)-(15):

дР дО /д2Р д20\

ау(х'0 - 03 0' [аур - 03 * К*00 3 т> 0 (17)

где Р, О, К — коэффициенты минимального представления (7) интегранта f; Р, О £ С2; К £ Ш2К(х).

1) Выберем Р(х,у) е С- произвольно. Тогда первое из уравнений (17) дает:

^Х N

0) = 1 % ^ 0)й^ + С1

откуда

Х

Р

!(х,у)^ (*, 0)й^ + <5(х,у), где <5(х, 0) = С1. о

2) Из второго уравнения в (17) получаем:

х у

Подставляя (18) в (19), получаем:

д-! / гЛ д-Р

(х, 0) = ^уу (х, 0) - р.

(18)

(19)

д-! дх ду

д-!

-Р

(х, 0) = тттт(х, 0) = (х, 0) - р ^

х у

Х

£ (х- 0)= /

д-Р

у-

у-

(*, 0) - р

й* + С- I ,

откуда

Х

(х,у) = / о

-Р

"дуР 0) - Р.

й£ + <?(х,у), где <?(х, 0) = С-.

(*, 0) - р

Интегрируя теперь по у, получаем:

У х

!(х,у) = ^ йв J о о

Подставляя (20) в (18), получаем:

У х

д-Р

у-

й£ + у <?(х,в)йв + С1, где <?(х, 0) = С-. (20) о

!(х,у) = I ^ (*, йв I

-Р

ауР0) - р

У

(М+J д(х,в)йв+С1, где д(х, 0) = С-,

о оо о

или, обозначая <?(х,у) = 9(х,у) - д(х, 0) + С-, после несложных преобразований:

У

Г дР д-Р

!(х,у) =

у у

о

о

й* + У [д(х, в) - д(х, 0)]йв + (С1 + С-у - р ■ ху),

(21)

где следующая функция д е С- и константы С1 и С- произвольны. 3) Полагая

Д(х, у, г) = г(х, у, г) - г(х, 0,0) + г,

(22)

У

мы также получаем последнее из условий (17): К(х, 0, 0) з т, Подставляя, наконец, (21)-(22) в (7), получаем искомый результат:

х у

( ( ГдР д2Р 1 (

f (х, у, х) = Р(х, у) + у ду (*' 0) + У • дУ2 0) М + ] [«(х, в) - 9(х, 0)]^+

о о

1 х2 +(С1 + С2у - р • ху)> • х + [т(х, у, х) - т(х, 0,0) + т] • 2, (23)

где следующие функции и константы Р(х,у) £ С2, д(х,у) £ С2, т(х,у,х) £ (х); С1 и С2 — произвольны.

4. Свойства отображений класса (х)

Для практического применения формулы (23) необходимо иметь в своем распоряжении достаточно обширные классы отображений К(х, у, х) £ Ш2(х). С этой целью рассмотрим некоторые легко проверяемые свойства таких отображений.

Обозначим вначале через Ш2(х) класс отображений ^>(х), для которых ^>(х), ^>'(х) и <р"(х) равномерно непрерывны и ограничены при -те < х < те. Тогда справедливы следующие утверждения

Предложение 1. Если

п

К(х, у, х) = ^ ак(х, у) • вк(х), где ак £ С2, вк £ Ш2(х), к= 1

то К £ (х).

Предложение 2. Если К1,...,Кт £ (х); (р(и1,и2,...,ит) £ С2, то ^(К1(х,у,х),..., Кт(х,у, х)) £ Ш"2 (х).

Следствие 1. Из условии К1,..., Кт £ (х), ак(х, у) £ С2 (к = 1, т) следует, что

т

^ ак(х,у)Кк(х, у, х) £ (х). к= 1

Последнее следствие 1 обобщает предложение 1, так как

вк £ Ш2(х) ^ вк £ (х).

Следствие 2. Если К1,..., Кт £ (х), то К1 • К2 • ... • Кт £ (х).

Предложение 3. Если К(х,у,х) £ (х), ф(х) £ Ш2(х), то

К(х,у,ф(х)) £ Ш2 (х).

Отметим также некоторые свойства класса Ш2(х), используемого в предыдущих конструкциях.

Обозначим через СП(х) — класс функций ^>(х) £ Сп, имеющих ограниченные производные до п-го порядка.

Свойство 1. Справедливы вложения: С^(г) С Ш-(г) С С-(г). Свойство 2. Если у е С-, у периодическая, то у е Ш-(г).

Свойство 3. Если у е С-, (±гс>) существуют и конечны при к = 0,1, 2, то у е Ш-(г).

5. УСЛОВИЯ НЕЛОКАЛЬНОСТИ К-ЭКСТРЕМУМА В НУЛЕ ВАРИАЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ Н1

Вначале отметим, что если функционал (9) достигает строгого К-минимума в нуле, то в любой окрестности и(0) С Н1 найдутся значения у, для которых Ф(у) > Ф(0). Таким образом, Ф не может достигать локального максимума в нуле.

Рассмотрим теперь условия, при которых функционал (9) не имеет локального минимума в нуле.

Пусть интегрант функционала (9) удовлетворяет условиям (17), т.е. имеет вид (23) и Ф достигает строгого К-минимума в нуле. Предположим для удобства, что Ф(0) = 0. В силу (23), это означает, что

т

/Р (х, 0)йх = 0.

0

Последнее условие заведомо выполняется, если потребовать, чтобы

Р(х, 0) = 0. (24)

Введем также дополнительные условия:

!(0, 0) = 0, (25)

что, в силу (23), равносильно условию С1 =0, а также условие знакопеременности Е: при некотором г0

Е(х, 0,го) < -го < 0 (V х е [0; Т]). (26)

Покажем, что при выполнении условий (24)- (26) Ф(у) не достигает локального минимума в нуле.

Положим, при достаточно малых е > 0,

£/ ч I г0(х - е), при 0 < х < е; у (х) [ 0, при е < х < Т.

Очевидно, у£ е Н0([0; Т]), при этом

£

\\у£\\Н 1 = J (г-(х - е)- + г-) йх = г0 ^е + ^ 0 при е ^ 0.

Интегрант / на функции у£ принимает вид:

/(ж,у£, (у£)) =

{¿2

Д(ж, го(ж — в), го) ■ -20 + ^(ж, ¿о(ж — в)) ■ го + Р(ж, го(ж — в)), 0 < ж < в;

0, в < ж < Т.

Отсюда

£ £ £

Ф(у£) = УR(x,zo(x—в),zo)dx+zo-УQ(x,zo(x-Р(ж, zo(x—в)^ж. (27) o

При этом

из (24) вытекает, что P(ж, zo(x — в)) = o(1)

из (25) вытекает, что Q(x, zo(x — в)) = o(1) при в ^ 0. (28)

из (26) вытекает, что Д(ж, zo(x — в), zo) = —ro + o(1)

Из (27)-(28) получаем:

Ф(у£) < о(в) + zo • о(в) + Z2 • [о(в) — П)в] = — ^рв + о(в) < 0

при достаточно малых в > 0.

Таким образом, функционал (9) не может достигать локального минимума в нуле, и, следовательно, не достигает локального экстремума в нуле. Следовательно, произвольный вариационный функционал Ф(у) с интегрантом, удовлетворяющим условиям (17) и (24)-(26), достигает в нуле нелокального K-минимума. Итак, подведем итоги нашего рассмотрения.

Теорема 5. Рассмотрим функционал вида T

' y.

2

T /2

Ф(у) = У (д(ж,у,у')- У22 + Q(x,y) •y' + P(x,y)) dx, y( • ) e Ho1([0;T]),

о

где Р, Q е С2; Д е (г). В предположениях:

дР дQ /д2Р д^ \

9У(ж-0) — 0) 30 (вуР — а*^) (ж'0) "й(ж'00) "г> 0'

Р (ж, 0) = 0, Q(0,0)=0, а также при условии знакопеременности Д: при некотором г0

Д(ж, 0, го) < —го < 0 (V ж е [0; Т]); вариационный функционал Ф(у) имеет нелокальный К -минимум в нуле при любом Т е (0; если р > 0, и при 0 < Т < п

если p < 0.

Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

Пример 1. Рассмотрим функционал вида:

1/3

I f„J\2 i ^1 \ i „.2 i „,2\ л™ „,/ \ ^ z

Ф(у) = / (V)2 (W+cos y') - 0+ y' sin y2 + y2) dx, y() e Ho1([0;1/3]).

2

o

В данном случае имеем

P(y) = y2, Q(y) = sin y2, R(z) = 2 sin(1 + cos z) - 1.

Непосредственные вычисления показывают, что условия (17) и (24)-(26) для функционала Ф(у) выполнены, при этом имеем:

R(0) з r = 2 sin 2 - 1 > 0,

а при z = п R(n) = —1 < 0.

Таким образом, так как в нашем случае p з 2 > 0 и T = 1/3, то в силу теоремы 5 функционал Ф(у) имеет нелокальный K-минимум в нуле.

Пример 2. Рассмотрим функционал вида:

(

2(1 +(y')2)

1

Ф(у) = J (y3 lg(x2 + 4)+ y' sin xy + 2((y1'+^jQ dx, y(0 e H01([0;1]).

o

В данном случае имеем

P(x, y) = y3 lg(x2 + 4), Q(x, y) = sin xy, R(z) =

1 + х2

Непосредственные вычисления показывают, что условия (17) и (24)-(26) для функционала Ф(у) выполнены, при этом имеем:

К(0) з т = 1 > 0,

а при х = п К(п) = -1/(1 + п2) < 0.

Таким образом, так как в нашем случае р з -1 < 0, а Т = 1 < п, то в силу теоремы 5 функционал Ф(у) имеет нелокальный К-минимум в нуле.

Выводы

В статье найдено минимальное псевдоквадратичное представление интегранта вариационного функционала класса Ш2К2(х). Получены условия существования К-экстремума в нуле вариационного функционала в пространстве Н1, найден общий вид интегранта, удовлетворяющего данным условиям. Проведено исследование на нелокальность К-экстремума в нуле вариационного функционала. Рассмотрены конкретные примеры.

Автор выражает благодарность И.В. Орлову за полезные обсуждения и замечания.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Оптимальное управление / [ Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г. и др. ]; под ред. Н.П. Осмоловского, В.М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2008. — 320 с.

[2] Dacorogna B. Direct methods in the calculus of variations. — New York: Springer-Verlag, 1989. — 228 p.

[3] Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. — К.: Науко-ва думка, 1973. — 219 с.

[4] Орлов И.В. K-дифференцируемость и K-экстремумы // Украинский математический вестник. — 2006. — Т. 3, № 1. — С. 97-115.

[5] Orlov I.V. Compact extrema: general theory and its applications to the variational functionals // Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser, Verlag Basel/Switzerland, 2009. — Vol. 190. — Р. 397-417.

[6] Орлов И.В., Божонок Е.В. Условия существования, K-непререрывности и K-диф-ференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева W2, // Ученые записки ТНУ, серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". -2006. - T. 19(58), № 2. - С. 63-78.

[7] Божонок Е.В., Орлов И.В. Условия Лежандра и Якоби для компактных экстремумов вариационных функционалов в пространстве Соболева // Зб. праць 1н-ту математики НАН Украши. — Кшв: 1н-т математики НАН Украши, 2006. — Т. 3, № 4. — С. 282-293.

[8] Bozhonok E.V. Some existence conditions of compact extrema for variational functionals of several variables in Sobolev space H1 // Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser, Verlag Basel/Switzerland, 2009. — Vol. 190. — Р. 141-155.

Умови юнування нелокальних компактних екстремум1в вар1ацшних функцюнал1в у простор! Соболева H1

Знайдено мгнгмальне псевдоквадратичне зображення гнтегранта кла-су W2K2(z) варпацгйного функцгонала в H1. Описано загальний вид ва-ргацгйного функцгонала, що задовольняе стацгонарну форму умови Ле-жандра-Якобг. Отримано умови гснування нелокального K-екстремуму в нулг варпацгйного функцгонала в просторг H1. Розглянуто приклади.

Ключов1 слова: вар1ацшний функцюнал, K-екстремум, прост1р Соболева.

Conditions of existence of nonlocal compact extrema of variational functionals in Sobolev space H1

The тгпгта1 pseudoquadraUc representaUon of W2K2(z) class гntegrands of variation funcUonals гn H1 гs derived. A general form of variational functional satгsfyгng stationary form of Legend^-JamM condгtгon гя described. The condгtгons of exгstence of nonlocal K-extremum at zero of variation functional гn space H1 are obtaгned. Some examples are consгdered.

Keywords: variational functional, K-extremum, Sobolev space.