CC BY
10УДК 517.98+517.97
Исключение уравнения Якоби в многомерных вариационных задачах
И. В. Орлов, А. В. Цыганкова
Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 95007.
E-mail: igor_v_orlov@mail.ru, tsygankova_a_v@mail.ru
Аннотация. Показано, что экстремальная задача для вариационного функционала Эйлера-Лагранжа в многомерной области в принципе может быть решена без использования уравнения Якоби. При этом один из двух возможных случаев не требует ограничения на меру области, во втором случае возникает ограничение на меру те-мерного прямоугольника, содержащего данную область. Задача рассмотрена как в классическом C"'"-случае, так и в случае пространств Соболева W1p. Рассмотрены некоторые приложения.
Ключевые слова: вариационный функционал, уравнение Якоби, условие Лежандра, локальный экстремум, пространства Соболева, ^-экстремум.
Введение
Классическая схема исследования на локальный экстремум одномерного вариационного функционала, как хорошо известно [5], [19], предполагает решение уравнения Эйлера-Лагранжа и проверку для найденной экстремали усиленного условия Лежандра и условия Якоби отсутствия сопряженных точек для уравнения Якоби.
Последний шаг является наиболее трудоемким; при этом требуется решить достаточно сложное уравнение для получения сравнительно небольшой информации о необращении в нуль его решения.
В многочисленных работах (см. например, [1], [17]) исследовались условия, позволяющие исключить уравнение Якоби из схемы исследования на экстремум в одномерных вариационных задачах. Как правило, это дополнительные условия на функцию эксцесса Вейерштрасса, сами по себе также не очень простые. Недавно в работах первого из авторов ([24], [26]) были получены достаточные условия другого типа, содержащие только оценку длины промежутка. Показано, что в одном из двух теоретически возможных случаев, определяемых формой интегранта на экстремали, усиленное условие Лежандра fy'y' (X,V,V') =0 является достаточным условием экстремума без каких-либо дополнительных ограничений, во втором же возможном случае возникает дополнительное ограничение на длину промежутка.
Целью настоящей работы является перенос результатов [24], [26] на многомерный случай. Мы рассматриваем вариационный функционал
D
где у G C 1(D), D — компактная область в Мга с липшицевой границей.
© И. В. ОРЛОВ, А. В. ЦЫГАНКОВА
Отметим, что перенос условия Якоби на случай многомерного уравнения Якоби
у А [у Jf ,VU + \у А ( d2f N + df
dxj Ozidzj ^ dxj\ dydzj) dy2
j—1 i—1 j —1
U = 0 (U \dv = 0)
(а именно, переход к условию отсутствия сопряженной подобласти в В, в которой при нулевом граничном условии уравнение Якоби имеет ненулевое решение) оказался трудной задачей. Эта задача была окончательно решена только в 60-х—70-х годах XX века усилиями ряда выдающихся математиков (обзор теории см. например, в [6], [12]—[15]). При этом, в отличие от одномерного случая, многомерное условие Якоби приняло неал-горитмичную форму, делающую его практическое применение крайне затруднительным. Таким образом, вопрос об исключении уравнения Якоби в многомерном случае ещё более актуален, чем в одномерном.
1. Многомерное неравенство Фридрихса с оценкой меры области
Через В мы обозначим ограниченную область в пространстве Мга с липшицевой границей Г. Обозначим для краткости через М линеал функций и(х), непрерывных со своими частными производными 1-го порядка включительно в В (т.е. множество С 1(В)). Хорошо известно классическое неравенство Фридрихса в многомерной области.
Теорема 1 ([10], с. 186). Пусть В — область в Мга, обладающая липшицевой границей. Тогда существуют неотрицательные постоянные с1, С2, зависящие от рассматриваемой области, но не зависящие от функций из М, такие что для любой функции и € М
^ и2 (х)йх < С1^ У (^Х^ ^х + с2 ! и2(1)й\. П к=1 П г
(а) Рассмотрим одномерный случай: п = 1. В этом случае неравенство Фридрихса может быть записано в любой из следующих форм:
ь ь ь ь
i и2(х)Лг < с11 ^^ + с2и2(п), i < с11 и:2{х)Лх + С2и'(Ь),
а а а а
ь ь
< С11и2(х)*х + С21и» + Лад. (ч
аа
Постоянные в приведенных выше неравенствах обозначены одними и теми же символами С1, С2. Конечно, С1, С2 могут иметь различные значения в каждом из этих неравенств. Например: С1 = 4(Ь — а)2/п2; С2 = 2(Ь — а)/п.
Следствие 1. Если функции линеала М удовлетворяют дополнительным условиям, а именно условиям и(а) = 0, или и(Ь) = 0, или одновременно и(а) = 0, и(Ь) = 0, то для
этих специальных случаев получаются соответствующие частные случаи приведенных выше оценок. В частности, если мы обозначим через Мх линеал таких функций
из М, которые удовлетворяют условию и(а) = 0, и(Ъ) = 0, то с помощью (1) можно ь ь
- а)2 Л./2,
(Ь) Рассмотрим многомерный случай: п > 1. Теорема 2. В условиях теоремы 1 верна следующая формула:
и2
Б
< ci
D
j ••• J u2(xl,... ,xn)dxl ...dxn <
D
(du \ ^ i du \ ^ f
g^J +-----+ ( oxr) dxi ...dxn + C2 Ф u2(l)dl
В случае, когда область I содержится в некотором п-мерном прямоугольнике: I С [ах; Ъ\] х ■ ■ ■ х [ап; Ъп] = I С Мп, при условии и |г= 0, неравенство Фридрихса может быть записано в следующей форме:
/[¿(
D k=l К
öu\ 2
öxk)
dx = C(D) • j \\4u\\2dx.
D
(2)
J и2(х)йх < С(Б) ■
Б О
Постоянная С (О) в приведенном выше неравенстве может иметь различные значения.
п
Например, можно взять С(Б) = 1/(п2А), где А = ^ (1/(Ъ^ — )2). Тогда неравенство Фридрихса (2) принимает вид:
1
k=l
u (x)dx <
n2A
D
D
i du \
dx.
В этом случае
C(D) = 1/n2^ (l/(bk - ak)2) .
(3)
(4)
k=l
(с) Покажем теперь, как можно выразить константу (4) через меру прямоугольника
п
I э I. Поскольку I = ;), то шевЩ) = (Ъх — ах)2 х ■ ■ ■ х (Ъп — ап)2. Приме-
k=i
няя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим, из (4), нетрудно найти:
1 2
C(D) < (meSn(D)) " .
(5)
2. Исключение условия Якоби в гладком случае
Рассмотрим классический вариационный функционал Эйлера-Лагранжа
Ф(У) = 11(х,у, Уу)йх (у € С 1(В)), (6)
в
где у \аю = 0, И € С2(М™ х Му х МП), V?¡у € С 1(МП х Му х МП), В - компактная область
И
ду'
Мы собираемся показать, что при выполнении уравнения Эйлера-Лагранжа д И д (дИ \
— (х, 0, 0) — > ——( ——(х, 0,0)1 =0, и усиленного условия Лежандра в нуле
ду дхЛ дг< )
д 2 И
И(х, 0, 0) > 0, (х € В), функционал (6) всегда достигает строгого локального экстремума в нуле при возможном дополнительном условии . При этом, возникают два различных возможных случая, определяемых формой интегранта : один из случаев предполагает ограничение на меру В, во втором случае нет каких-либо ограничений. Разобьем интегрант (х, у, г) на два слагаемых:
с липшицевой границей, где V?¡у - градиент по г от ¡у = —
-^ f (x, 0,0) ■ y2 + 2(Vz fy(x, 0,0) ■ z)y + Л ■ V2Z f (x, 0, 0) ■ (z)2} ; (0 < Л < 1)
+- fy2 (x, 0,0) ■ y2 + 2(Vzfy(x, 0,0) ■ z)y + Л ■ V2zf (x, 0,0) ■ (z)2]
¡1(х, у, г) = И(х, у, г) — И(х, 0,0) — [¡у(х, 0,0) • у + V?И(х, 0,0) • г] —
1 2
И2(х, у, г) = И(х, у, г) — Ь(х, у, г) = И(х, 0,0) + И(х, 0,0) • у + V?И(х, 0,0) • г] + 1 2
дИ д 2 И
где Иу = —, = ду2 , V? - градиент по г, V2, - гессиан по г. Соответственно, обозначим
Фг(у) = У Мх,у, Vy)dx (г = 1,2); Ф(у) = Ф1(у)+ Ф2(у). в
1) Вначале исследуем Ф1 на локальный экстремум (минимум, для определенности) в нуле с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа, условия Лежандра и условия Якоби.
(1) Уравнение Эйлера-Лагранжа. Нетрудно проверить, что уравнение Эйлера-Лагранжа для Ф1 в нуле И 1,у(х, 0, 0)—ё1уж [V?И1(х, 0, 0) = 0, выполняется автоматически, т.е. у0(х) = 0 является экстремалью функционала Ф1.
(п) Усиленное условие Лежандра. Также нетрудно проверить, что при дополнительном требовании
К(х):= V2И(х, 0, 0) > 0, (х € В) (7)
имеет место усиленное условие Лежандра в нуле ^2И1(х, 0, 0) > 0,х € В) .
(ш) Уравнение Якоби и условие Якоби. Уравнение Якоби для Ф1 в нуле примет вид
—div7
(1 - Л) -Vif (x, 0,0) ■VU
+ [-divx (Vz fi,y(x, 0,0))+ fhy2 (x, 0,0) ■ U =
= — div7
(1 - Л)R(x) ■ VU
= 0, (U \sd =0).
Окончательно искомое уравнение принимает вид
divx
R(x) • VU
0,
(8
где К(х) » 0 (х € Б), т. е. (Я(х) • Щ,Щ) > 72 • Щ2 (УЩ € М£). Таким образом, мы пришли к задаче Дирихле с положительно определенным матричным коэффициентом К(х). Как известно (см. например [16]), такая задача при нулевом граничном условии имеет только нулевое решение. Аналогично, в любой подобласти Б' С Б при нулевом граничном условии: и \дю' = 0 задача (8) имеет единственное решение. Следовательно, условие отсутствия сопряженных областей (см. введение) выполнено.
Таким образом, при условии (7) Ф1 достигает строгого локального минимума в нуле.
2) Исследуем теперь непосредственно Ф2 на локальный экстремум в нуле. Отметим сначала, что Ф2(0) = Ф(0).
(1) Предположим, что уравнение Эйлера-Лагранжа для Ф в нуле справедливо:
fy(x, 0, 0) - div,(V,f (x, 0, 0)) = 0 (x € D).
(9)
Тогда, интегрируя по частям, получим
Ф2У = $2(0) +
D
(y • fy(x, 0, 0) - div, [V, f (x, 0,0)]) dx + у (V, f (x, 0, 0) • y, dl)
dD
4_
Ii
I2
+
+
2 J (fy2 (x, 0,0) - div, [V, fy(x, 0, 0)]) • y2dx + (V, fy(x, 0,0) • y2,dl) d av
13
+
+2J R(x) • (Vyfdx.
(10)
D
Заметим, что здесь 11 =0 в силу (9), 12 = 0, 13 = 0 в силу граничного условия у = 0 (см. (6)). Введем обозначение: Q(x) := /у2 (х, 0, 0) — ё1уж [Уг/у(х, 0, 0)] . Тогда (10) примет вид:
Ф2(у) = Ф2(0) + 1 У [Л • Е(х) • (Уу)2 + Q(x) • у2] dx. (11)
Б
Отсюда, в достаточно малой окрестности нуля в С 1(Б) верно:
Ф(у) — Ф(0) > Ф2(у) — Ф2(0) = 2 / [Л • Я(х) • (Уу)2 + Q(x) • у2] dx. (12)
D
(п) Обозначим через
r :=min(max{72 > 0 \ R(x)(z)2 > y'2 • ||z||2 (Vz € R™)}) > 0, q := minQ(x). (13)
x£D x£D
Заметим, что максимум в определении r конечен в силу ограниченности сверху отношения R(x)(z)2/\\z\\2 (z = 0); при этом он непрерывно зависит от x в силу непрерывности R(x). Таким образом, оба минимума в (13) существуют в силу теоремы Вейерштрасса. Рассмотрим сначала случай q > 0. Тогда при всех x € D имеем:
XR(x)(Vy)2 + Q(x)y2 > Xr -\\Vy\\2 + q ■ y2 > 0 при y(x)=0, (14)
откуда, в силу (11) и (14), следует неравенство
ыу) - ы0) > \j [Xr -\\Vy\\2 + q ■ y2] dx> 0 при y(x)=0. (15)
D
Таким образом, в этом случае Ф2 достигает строгого абсолютного минимума в нуле. Следовательно, с учетом неравенства (12), Ф достигает строгого локального минимума в нуле (без какого-либо ограничения на меру D).
(iii) Рассмотрим теперь случай, когда q < 0. Тогда, используя неравенство Фридрих-са (2), получаем:
1 2
> 2
Ф2(у) - Ф2(0) > Ц [X ■ r ■ \\Vyf - \q\ ■ y2] dx >
D
j[x ■ r ■ \\Vy\\2 - C(D) ■ \q\ ■ \\Vy\\2] dx = 1 (x ■ r - C(D) ■ \q\) ■ j \\Vy\\2dx. (16)
в в
Потребуем, чтобы коэффициент перед последним интегралом в (16) был строго положи-
тельным:
(X ■ r - C(D) ■ \q\ > 0) & (C(D) <Xq^j . (17)
Отсюда, используя оценку (5) для константы C(D), получаем:
1 ( n Xr
meSn(D) n (18)
п2 ■ п V ) \д\
то тем самым выполнена оценка (17).
Из (16) и (17) следует, что Ф2(у) > Ф2(0) при у = 0, т.е. Ф2 достигает строгого абсолютного минимума в нуле. Следовательно, в силу доказанного в пункте 1, Ф достигает строгого локального минимума в нуле при ограничении (17) на меру прямоугольника
I э в.
Наконец, переходя к пределу в (18) при Л ^ 1 — 0, последнее утверждение можно распространить на случай оценки меры В, не зависящей от Л: тв8га(В) < (п2тп/\д\). Таким образом, доказана следующая
Теорема 3. Пусть вариационный функционал (6) удовлетворяет в нуле уравнению Эйлера-Лагранжа (9) при граничном условии у \дv = 0. Тогда, в обозначениях (13), имеем:
1) при г > 0, д > 0, Ф(у) достигает строгого локального минимума в нуле (без каких
либо ограничений на меру В);
2) при т > 0, д < 0, и при ограничении на меру Б:
ше8„(Б) < (п2ти/\д\)п/2 , (19)
Ф(у) также достигает строгого локального минимума в нуле.
Следствие 2. В одномерном случае оценка (19) в теореме 3 принимает следующий вид:
Ь — а < п ч/ (20)
V \д\
(Гу) Рассмотрим дополнительно, в случае д > 0, одно преобразование, вытекающее из (11) и (15), которое будет использовано в следующем разделе работы:
Ф(у) — Ф(0) = 1 У [Л • К(х) • (Уу)2 + Q(x) • у2] dx >
Б
> Ш1П(2ЛТ,д) / [1|Уу||2 + у2] dx = 1ш1п(Лт,д) •ЦуС 112. (21)
Б
Переходя к пределу при Л ^ 1 — 0 в неравенстве (21), получаем:
Ф(у) — Ф(0) > 2 Ш1п(т, д) •Ы^ 12. (22)
Заметим, что переход к случаю ненулевой экстремали у = у0(х) класса С3(Б) легко осуществляется с помощью введения вспомогательного вариационного функционала
Ф (у) = ^ / (х, у — уо, У у — Ууо^х.
Б
3. Квадратичные оценки снизу стремления Ф к минимуму в нуле
Нетрудно видеть, что оценка (20) в теореме 3 не является оптимальной. Рассмотрим, например, при n = 1, обобщенный гармонический осциллятор
T
Ф(у) = f(r(x)y'2 - q(x)y2)dx (y(0) = y(T) = 0), (23)
о
где r(x) и q(x) — непрерывные положительные функции при 0 < x < T. Непосредственные выкладки показывают, что уравнение Эйлера-Лагранжа в данном случае принимает d ( )
вид dT (r(x)y') + q(x)y = 0, и, таким образом, y0(x) = 0 — экстремаль. Уравнение Якоби, в силу чистой квадратичности интегранта по у', имеет аналогичный вид:
d ( ) ( ) — (r(x) • U') + q(x) • U = 0 (U(0) = 0, U'(0) = 1) . (24)
С учётом начальных условий, будем искать его решение в виде
U(x) = ащ • sin ^ J a(t)dtj (0 < x < T, a(x) > 0), (25)
при этом U(0) = 0, и непосредственные вычисления показывают, что уравнение (24) приводится к системе уравнений
Íа" ■ а2 — 2а ■ (а')2 \ а п
-4--—---а ■ r — ■ r + а ■ q = 0
\ а ) а
—а ■ r+r'=о
откуда следует
( 3(а' )2 а'' \
r = c ■ а, q = е[а +--5---„ . (26)
V а3 а2
Положим, например, а(х) = х + £, с = 1. Неравенство (20) в данном случае, с учетом (26) принимает вид
T<nJ^ = или T ■VT+e (27)
V T + е
В то же время, решение (25) уравнения Якоби принимает вид
dt \ . . , x + е
U (x) = (x + е) ■ sin í J ^ + I = (x + e) ■ sin ln ■
г + в
о
и не обращается в нуль при х > 0, 1п ^ <п) ^ (0 < х < (еп — 1) • в), что приводит к условию
Т < (еп — 1) • в. (28)
-—2 1
Очевидно, при 1 < в ^ Т условие (27) имеет порядок Т < п з • вз и является существенно более жестким, чем условие (28).
Однако, как легко можно видеть, преимущество оценки (20) состоит в возможности получить полезную квадратичную оценку снизу скорости стремления Ф(у) к минимуму посредством нормы у в пространстве Соболева Н 1(Б).
1) Вначале рассмотрим случай т > 0, д > 0. Из неравенства (22) следует
1 I 1
Ф2(у) — Ф2(0) > 2 ™1п(т, д) у (||Уу||2 + y2)dx = 2 Ш1п(т, д) • \\у\\2н 1{в) .
Б
Поскольку Ф(у) — Ф(0) > Ф2(у) — Ф2(0) в достаточно малой окрестности нуля, то неравенство Ф(у) — Ф(0) > 2 тш(т, д) • ||у |Н1 (Б) верно.
2) Перейдём к случаю т > 0, д < 0. Неравенства (14) и (5) приводят к оценке
Ф2(у) — Ф2(0) > 2
(mes,n(D))П
r--2-\q\
п2 ■ n
■ J \Wv\\2dx
D
Поскольку из неравенства Фридрихса легко следует
/\Wyfdx > (теап(° ^ 2 • \\у\\ш чп) , (29)
В п2 • п + (тввп(О)) п
то из двух последних неравенств и неравенства (16), в достаточно малой окрестности нуля получаем
Ф(у) - Ф(0) > П • П • Г • (meSn(D) n - (meSn[D))n ^ • \\yfH HD. . ' 2(n4 • n2 + n2 • n • (mesn(D))n)
3) Заметим, что оценка (29) может быть применена также и в случае, когда г > 0, д > 0, что приводит к неравенству:
Ф(у) - Ф(0) > 2I \\Vyfdx. (30)
В
Теперь из неравенств (29) и (30) сразу следует
ф(у) - Ф(0) > , !(т№;п(б»:„ > -ыш 1 бу
2(п2 •п + (твЯп(О)) п) [ '
Таким образом, доказана следующая
Теорема 4. В условиях и обозначениях теоремы 3, справедливы следующие утверждения:
1) при г > 0, д > 0, в достаточно малой окрестности нуля в С 1(О) справедлива оценка: 1
Ф(У) - Ф(0) > 2т1п{г,д) • \\У\\Ш 1 (В);
2) при г > 0, д > 0, в достаточно малой окрестности нуля в С 1(О) справедлива оценка:
■—• 2
Фу - Ф(0) > 2,' \y\Hi (В);
2(п2 •п + (шв8п(В))п) [ '
3) при г > 0, д < 0, в достаточно малой окрестности нуля в С1 (О) и при дополнительном ограничении (19) на меру И, справедлива оценка:
Ф(У) - Ф(0) > ^ ^^ (ШвМЗ)) ^ - (ШвМЗ )2) ^ ^ • \\У\\Ш1Ш).
' 2(п4 •п2 + п2 •п• (Шв8пт П) (В)
4. Исключение уравнения Якоби: соболевский случай.
Перенесем предыдущие результаты на случай компактных экстремумов вариационных функционалов в пространствах Соболева Ш1р(О), где О — компактная область
в Rn с липшицевой границей. Вначале напомним понятие компактного экстремума и приведем необходимую информацию о компактных экстремумах вариационных функционалов в W1 p(D).
В гильбертовом пространстве Соболева Wl'2 (D) = H1(D) с нормой
\\v\\2H 1(D) = f(y2 + \\Vy2\\)dx, (31)
D
в силу известной теоремы И. В. Скрыпника ([11], Гл.11) вариационные функционалы крайне редко имеют неабсолютные локальные экстремумы. В работах И.В.Орлова [26], [23]-[8] и в работах Е. В.Божонок [20]-[4] введено и изучено общее понятие компактного экстремума (K-экстремума) функционалов (см. также [27]). Было показано, что классические, как необходимые так и достаточные, условия локального экстремума вариационного функционала в C 1[a,b] можно распространить на случай K-экстремума в W 1,2[a; b]. В этом случае теория K-экстремумов сохраняет основные свойства теории локальных экстремумов и может быть распространена на случай вариационных функционалов в W1 p[a; b], [22]. Недавно в работах Е. М. Кузьменко [7] построено обобщение теории компактных экстремумов вариационных функционалов на случай произвольного пространства Соболева W1 p(D),p € N, над многомерной компактной областью D С Rn,n € N, с липшицевой границей.
Итак, мы будем рассматривать вариационный функционал
Ф(у) = У f (x,y, Vy)dx (y € W 1p(D),p € N), (32)
D
где D—компактная область в Rn с липшицевой границей. Однако вводимые ниже понятия (определения 1-5) относятся к произвольным функционалам в банаховых пространствах.
Определение 1. Пусть вещественный функционал Ф : E ^ R определен в некотором вещественном банаховом пространстве E. Говорят, что Ф имеет компактный минимум (или K-минимум) в точке yo € E, если для каждого абсолютно выпуклого (а.в., т.е. выпуклый и симметричный) компакта C С E сужение f на подпространство (yo+spanC), (spanC - линейная оболочка множества C) имеет локальный минимум в точке yo по отношению к банаховой норме \\ • \\с в spanC , порожденной множеством C.
Определение 2. В обозначениях определения 1 скажем, что функционал Ф компактно непрерывен (компактно дифференцируем, дважды K-дифференцируем и т.д. (см. [3], опр. 2)) в точке y € E, если для любого абсолютно выпуклого компакта C С E сужение Ф на (y + spanC), непрерывно (дифференцируемо по Фреше, дважды дифференцируемо по Фреше и т.д.) в точке y относительно нормы \\ • \\с.
Определение 3. Пусть X,Y,Z — вещественные банаховы пространства: Dx С X, Dy С Y, Dz С Z — открытые области; Z£ — банахово пространство fc-линейных непрерывных форм на Z, f : Dx х Dy х Dz ^ R; (p = 0,1, 2 ...). Назовем функционал f
K-псевдополиномом порядка p, если f допускает представление вида
p
f (x,y,z) = ^2 Rk(x,y,z)(z)k, (33)
k=0
где коэффициенты Rk : Dx х Dy х Dz ^ Z(k = 0,p) — борелевские отображения, удовлетворяющие условию доминантной по x, у смешанной ограниченности, (z)k = (z,..., z). В этом случае примем обозначение: f € Kp(z).
k раз
Определение 4. Пусть, в обозначениях определения 3, интегрант f непрерывен и принадлежит классу Kp(z), p € N. Назовем f вейерштрассовским K-псевдополиномом порядка p (f € WKp(z)), если коэффициенты Rk в K-псевдополиномиальном представлении (33) можно выбрать таким образом, что коэфффициенты Rk доминантно по x, y смешанно непрерывны. В этом случае примем также обозначения Rk € Wk(z).1
Определение 5. Пусть, в обозначениях определения 3, f € Kp(z). Скажем, что f принадлежит классу Вейерштрасса WnKp(z), если возможно такое K-псевдополиномиаль-ное представление f вида (33), для всех коэффициентов Rk которого все компоненты джетов n-го порядка по y, z
(Rk, Vyz Rkvn* Rk) (k =0p (34)
принадлежат классу Вейерштрасса Wk(z). В этом случае примем обозначение: Rk € WK(z), (здесьУ^ - n-ая степень оператора Vyz).
Следующее обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского ([3], §1.) служит для поиска K-экстремума функционала (32) в пространстве W1 p(D) аналогом классического необходимого условия локального экстремума вариационного функционала в C 1(D).
Теорема 5. Пусть интегрант f вариационного функционала (32) принадлежит классу Вейерштрасса W 1Kp(z). Предположим также, что:
(i) функционал (32) имеет K-экстремум в точке y(■ ) € W1 p(D);
(ii) Vz f (x,y, Vy) € W 1'1(D).
Тогда, при граничном условии y \dv = y0, выполнено обобщенное уравнение Эйлера -Остроградского:
L(f)(y) = f (x,y, Vy) - £ d^if (ХУ ^У)) п= 0 (на D). (35)
i=l
Решения уравнения (35), удовлетворяющие условию (ii) теоремы 5, называются K-экстремалями функционала (32) в пространстве W1 p(D). Перейдём к доказательству основного результата работы.
Теорема 6. Пусть вариационный функционал (32) удовлетворяет в нуле обобщенному уравнению Эйлера-Остроградского (40) при граничном условии y \dv = 0, f € W2Kp(z), Vzf (x, 0, 0) € W 1'1(D). Тогда, в обозначениях (44) и (39), имеем:
1) при r > 0, q > 0, Ф(у) достигает строгого K-минимума в нуле (без каких либо ограничений на меру D);
хНапомним (см. [3], опр. 4), что отображение g(x,y,z) называется доминантно по x, y смешанно непрерывным, если для любых компактов Cx С R™, Cy С Ry, отображение g равномерно непрерывно и ограниченно на Cx х Cy х RJ.
2) при г > 0, д < 0, в > 0, и при ограничении (19) на меру I, Ф(у) также достигает строгого К -минимума в нуле.
Доказательство. Т.к. нам не известно на настоящий момент обобщение уравнения Яко-би и условия Якоби на случай соболевских пространств Ш1 р, мы будем опираться на другое достаточное условие К-экстремума вариационного функционала, полученное в
([3], §3).
Теорема 7. Пусть интегрант вариационного функционала (32) принадлежит классу Вейерштрасса Ш 2Кр(г), у(-) — К -экстремаль функционала (32), У( f (х,у, Уу) € Ш 1'1(1). Если на К -экстремали у(-) при всех х € I выполнены условия:
!) (0) (х, У, У У) > 0; 2) (V2f )(х,у, У у) » 0;
3) (0) (х,у, Уу) - Уг(%) (х,у, Уу( ■ ((У¡))х,у, Уу))-1 ■ (У((д)))Т (х,у, Уу) > 0;
4) (0) (х, у, Уу) ■ У2 f )(х,у, Уу) - (У((§У))Т (х,у, Уу) ■ У((Ц) (х,у, Уу) » 0, то вариационный функционал (32) имеет строгий К -минимум в точке у().
Мы собираемся показать, что, как и в С 1-случае, при выполнении обобщенного уравнения Эйлера-Остроградского и усиленного условия Лежандра в нуле, функционал (32) всегда достигает строгого К-экстремума в нуле, при возможном дополнительном условии на меру I Э I.
Разобьем интегрант f (х, у, г) на два слагаемых (разложение несколько меняется по сравнению с С 1-случаем):
Мх, у, г) = f (х, у, г) - f (х, 0,0) - ^(х, 0,0) ■ у + У( f (х, 0,0) ■ г] -
-1 №У2 (х, 0,0) ■ у2 + 2(У( fy(х, 0,0) ■ г)у + Л ■ V2f(х, 0,0) ■ (г)2] ; (0 < Л < 1)
Ь(х, у, г) = f (х, у, г) - Ь(х, у, г) = f (х, 0,0) + ^(х, 0,0) ■ у + У( f (х, 0,0) ■ г] +
1 2
+- f (x, 0, 0) • y2 + 2(Уг fy(x, 0,0) • z)y + Л • У2 f (x, 0, 0) • (z)2]
Соответственно, обозначим Фг(у) = J fi(x,y, Vy)dx (i = 1, 2); Ф(у) = Ф^у) + Ф2(у).
D
1) Вначале исследуем Ф1 на К-экстремум (К-минимум, для определенности) в нуле с помощью обобщенного уравнения Эйлера-Остроградского, условия Лежандра и теоремы 7 ("условия гессиана").
(i) Обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского. Нетрудно проверить, что обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского для Ф1 в нуле
fi,y (x, 0, 0) - div, [V,fi (x, 0, 0)] п= 0,
выполняется автоматически, т.е. yo(x) = 0 является К-экстремалью функционала Фь
(ii) Усиленное условие Лежандра. Также нетрудно проверить, что при дополнительном требовании
R(x) := V2zf (x, 0, 0) » 0, (x € D) (36)
имеет место усиленное условие Лежандра для строгого ^-минимума в нуле ([3], т. 12)
{vZfi(x, 0, 0) » 0,x е D) . (37)
(iii) Условие гессиана. Имеем:
{Vz fi,y(x, y, z) = Vz fy(x, y, z) - Vz fy(x, 0,0)) ^ (Vz fiy(x, 0,0) = 0);
fi,y2 (x, y, z) = fy2 (x, y, z) - Xfy2 (x, 0,^ f,y2 (x, 0,0) = (1 - X)fy2 (x, 0, 0) > 0)
y
при дополнительном условии Обозначим
fy2 (x, 0, 0) > 0.
s := min fy2 (x, 0, 0) > 0.
x£D
(38)
(39)
Поэтому матрица Гессе для ¡1 в точке (х, 0, 0) по переменным (у, г) имеет вид:
Hyz(fi)(x, 0, 0) = (
(1 - X)fy2 (x, 0,0)
0
0
(1 - X)V2zf (x, 0,0)
0 ^
Следовательно, в силу теоремы 6, при выполнении условий (38) и (37), вариационный функционал (32) достигает строгого ^-минимума в нуле.
2) Исследуем теперь непосредственно Ф2 на ^-экстремум в нуле. Отметим сначала, что Ф2(0) = Ф(0).
(1) Предположим, что обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского для Ф в нуле справедливо:
¡У (х, 0, 0) - &ух(Ч2 ¡ (х, 0, 0)) п=. 0 (х е Б). (40)
Тогда, интегрируя по частям, получим
Ф2(У) = Ф2(0) +
(у • fy(x, 0, 0) - divx [Vz f (x, 0,0)]) dx + У (Vz f (x, 0, 0) • y, dl)
D
dD
Ii
I2
+
+
(Xfy2 (x, 0,0) - divx [Vz fy(x, 0,0)]) y2dx + (Vz fy(x, 0,0) • y2,dl)
D
&D
Is
+
+2 J R(x) • (Vy)2dx.
(41)
D
Заметим, что здесь Д = 0 в силу (40), 12 = 0, 1з = 0 в силу граничного условия у = 0 (см. (32)). Введем обозначения:
Q(x) := fy2 (x, 0, 0) - divx [Vz fy (x, 0, 0)] , Qx(x) := Xfy2 (x, 0, 0) - divx [Vz fy (x, 0, 0)] .
Тогда (41) примет вид:
Ф2(у) = Ф2(0) + 2 / [А • R(x) ■ (Vy)2 + Qx(x) ■ y2] dx. (42)
D
Отсюда, в достаточно малой окрестности нуля в W1 p(D), верно:
Ф(у) - Ф(0) > Ф2(у) - Ф2(0) = 2 I [А ■ R(x) ■ (Vy)2 + QÄ(x) ■ y2] dx. (43)
D
(ii) Положим:
r := min (max{72 > 0 | R(x)(z)2 > j2 ■ \\z\\2 (Vz € R™)}) > 0,
x£D
qÄ := minQÄ(x), q := minQ(x). (44)
x£D x£D
Заметим, что максимум в определении r конечен в силу ограниченности сверху отношения R(x)(z)2/\\z\\2 (z = 0); при этом он непрерывно зависит от x в силу непрерывности R(x). Таким образом, оба минимума в (50) существуют в силу теоремы Вейерштрасса.
Рассмотрим сначала случай q > 0. Заметим, что тогда qÄ > 0 при А достаточно близком к 1. Тогда при всех x € D имеем:
AR(x)(Vy)2 + QÄ(x)y2 > Ar ■ \\Vy\\2 + qÄ ■ y2 > 0 при y(x) ф 0, (45)
откуда, в силу (42) и (45), следует неравенство
1
Ф2(у) - Ф2(0) > 2 У [Ar ■ \\Vy\\2 + qÄ ■ y2] dx> 0 при y(x) = 0. (46)
D
Таким образом, в этом случае Ф2 достигает строгого абсолютного .^-минимума в нуле. Следовательно, с учетом неравенства (43), Ф достигает строгого ^-минимума в нуле (без какого-либо ограничения на меру 1Э).
(111) Рассмотрим теперь случай д < 0. Заметим, что тогда дл < 0 при Л, достаточно близком к 1. Тогда, используя неравенство Фридрихса (2), получаем:
1 2
> 2
Ф2(у) - Ф2(0) > 2 I [А ■ r ■ \\Vy\\2 - ы ■ y2] dx
D
j[A ■ r ■ \\Vy\\2 - C(D) ■ IqÄl ■ \\Vy\\2] dx = 2 (a ■ r - C(D) ■ ^äQ -J \\Vy\\2dx. (47)
Б Б
Потребуем, чтобы коэффициент перед последним интегралом в (47) был строго положи-
тельным:
(А ■ r - C(D) ■ IqÄl > 0) ^ ^C(D) < ) . (48)
Из полученной выше оценки (5) для меры 1) находим: если выполнена оценка
^ \2/п Лг
2 ,^1)1 <1л-г, (49)
п2 • п V ) |дл|
то тем самым выполнена оценка (48). Из (47) и (48) следует, что Ф2(у) > Ф2(0) при y = 0, т.е. Ф2 достигает строгого абсолютного K-минимума в нуле. Следовательно, в силу доказанного в пункте 1), Ф достигает строгого K-минимума в нуле при ограничении (49) на меру прямоугольника D D D.
Наконец, переходя к пределу в (49) при А ^ 1 - 0, последнее утверждение можно
распространить на случай оценки меры D, не зависящей от А: mesn(D) < (n2n ■ r/lql)n/2 .
□
Заключение
В настоящей работе метод исключения уравнения Якоби и условия Якоби, разработанный недавно для одномерного случая [24], [26], перенесён на многомерный случай [18]. Многомерная задача об исключении уравнения Якоби решена как в гладком случае, так и в случае пространств Соболева W. В качестве приложения получены квадратичные оценки снизу скорости стремления вариационного функционала Ф(у) к минимуму.
Список цитируемых источников
1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М, Фомин С. В. Оптимальное управление. — М: Наука, 1979. — 429 с.
2. БожонокЕ. В., Кузьменко Е. М. Обобщенное уравнение Эйлера-Остроградского для K-экстремалей в w 1'p(d) // Ученые записки ТНУ им. В.И.Вернадского. Серия "Физ.-мат. науки". —2012. — Т. 25(64), №2. — С. 161-175.
3. БожонокЕ. В., Кузьменко Е. М. Условия компактного экстремума основного вариационного функционала в шкале пространств Соболева над многомерной областью // Нелинейные граничные задачи. — Донецк: ИПММ НАНУ, 2012. — Т. 21. — С. 9-26.
4. Божонок Е. В., Орлов И. В. Условия Лежандра и Якоби для экстремумов вариационных функционалов в пространстве Соболева // Зб. праць 1н-ту математики НАНУ. — Кшв: 1н-т математики НАНУ, 2006. — Т. 3, №4. — C. 282-293.
5. ГельфандИ. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Физматлит, 1961. — 228 с.
6. ЗеликинМ.И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал,1998. — 351 с.
7. Кузьменко Е. М. Компактно-аналитические свойства вариационных функционалов в пространствах Соболева w1,p функций многих переменных // Динамические системы. —2012. — Т. 2(30), №1-2. — C. 89-120.
8. Орлов И. В. Нормальная дифференцируемость и экстремумы функционалов в локально выпуклом пространстве // Кибернетика и системный анализ. — 2002. — №4. — C. 24-35.
9. Орлов И. В. K-дифференцируемость и K-экстремумы // Украшський математичний в1с-ник. — 2006. — Т. 3, №1. — C. 97-115.
10. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М.: Мир, 1985. — 590 с.
11. СкрыпникИ. В. Нелинейные эллиптические уравнения высших порядков. — Кшв: Наукова думка. — 1973. — 217 с.
12. Супрун Д. Г. К теории минимизации кратного интеграла: Дис. ..канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 — Москва, 1984.
13. Супрун Д. Г. Обобщение преобразования Каратеодори // Вестн. МГУ. Cерия. матем., мех. — 1984. — JS3. — С. 82-85.
14. Супрун Д. Г. О решениях систем уравнений, связанных с задачей минимизации кратного интеграла // В сб.: Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятности. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — C. 95-102.
15. Супрун Д. Г. Условие Каратеодори и существование решения задачи минимизации кратного интеграла // В сб.: Методы исследования сложных систем. М., 1984. — C. 45-52.
16. Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 5-е издание, 1977. — 742 с.
17. ЦлафЛ. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. — М.: Наука, 1966. — 176 с.
18. Цыганкова А. В. Исключение уравнения Якоби в экстремальных вариационных задачах // Ученые записки ТНУ им. В.И.Вернадского. Серия "Физ.-мат. науки". —2012 — Т. 25(64), №2. — C. 161-175.
19. ЭльсгольцЛ. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
20. BozhonokE. V. On solutions to "almost everywhere"Euler-Lagrange equation in Sobolev space H1. // Methods of Funct. Anal. and Top. —2007. — Vol. 13, no. 3. — P. 262-266.
21. BozhonokE. V. Some existence conditions of compact extrema for variational functionals of several variables in Sobolev space H1 // Operator Theory: Adv. and Appl. —2009. — Vol. 190. — P. 141155.
22. OrlovI. V. Compact-analytical properties of variational functional in Sobolev spaces W1p // Eurasian Mathematical Journal. —2012. — Vol. 3:2. — P. 94-119.
23. OrlovI. V. Compact extrema: general theory and its applications to the variational functionals // Operator Theory: Adv. and Appl. — 2009. — Vol. 190. — P. 397-417.
24. OrlovI. V. Elimination of Jacobi equation in extremal variational problems // Methods of Funct. Anal. and Top. — 2011. — Vol. 17, no. 4. — P. 341-349.
25. OrlovI. V. Extreme Problems and Scales of the Operator Spaces // North-Holland Math. Studies. Funct. Anal and Appl. — 2004. — Vol. 197. — P. 209-228.
26. OrlovI. V. Inverse extremal problem for variational functionals // Eurasian Mathematical Journal. — 2011. — Vol. 1, no. 4. — P. 95-115.
27. Rocha E. A. M, Torres D. F. M. First integrals for problems of calculus of variations on locally convex spaces // Applied Sciences. — 2008. — Vol. 10. — P. 207-218.
Получена 19.11.2013
