УСЛОВИЯ K-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ И ПОВТОРНОЙ K-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА W1p ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 39-60.

УДК 517.972

Е. М. Кузьменко

УСЛОВИЯ К-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ

И ПОВТОРНОЙ К-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В

___________-I и

ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА W1'p ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Для интегрантов f (х,у,г) вариационных функционалов f (х,у,уг)(1х, действующих в пространстве Соболева Ш 1'Р(В), р > 1, над компактной областью Б С Мга, вводятся классы Вейерштрасса Ш 1Кр(г) и Ш2Кр(г), изучавшиеся ранее в случае пространства Соболева Ш1,2 над отрезком. Показано, что попадание интегранта в подходящий класс Вейерштрас-са гарантирует компактную дифференцирумость соответствующего порядка для вариационного функционала.

Ключевые слова: вариационный функционал, пространства Соболева,ком-пактная дифференцируемость, классы Вейерштрасса, доминантная смешанная гладкость .

Введение.

Хорошо известно (см.например [1]), что вариационные функционалы в пространствах Соболева, как правило, не обладают обычными аналитическими свойствами. В работах И.В.Орлова и Е.В.Божонок [2], [3] для интегранта f (х,у,г) одномерного вариационного функционала f (х,у,у')(х, действующего в гильбертовом пространстве Соболева Ш 1,2[а, Ь], были введены так называемые классы Вейерштрасса Ш 1Кр(г) и Ш2Кр(г). Эти классы содержат псевдоквадратичные по х, у интегранты (/ £ К2(г)), коэффициенты которых обладают доминантной по г смешанной гладкостью нужного порядка (см.общее определение доминантной смешанной гладкости

в [4]).

Оказалось, что попадание интегранта f в подходящий класс Вейерштрасса гарантирует компактную дифференцируемость (К-дифференцируемость) соответствующего порядка для вариационного функционала. Заметим, что хотя К-дифференцируемость и слабее сильной дифференцируемости (она занимает промежуточное место между дифференцируемостью по Фреше и дифференцируемостью по Гато), но позволяет решать вариационные экстремальные задачи в пространствах Соболева [2], [3].

Естественной поэтому представляется постановка задачи о получении сходных условий компактной дифференцируемости в общих пространствах Соболева Ш1,р, р > 1, над многомерной областью путем введения соответствующих классов Вейерштрасса Ш1 Кр(г) и Ш2Кр(г). Решению этой задачи и посвящена данная работа.

Отметим, что в нашей работе [5] недавно был введен в многомерном случае нулевой класс Вейерштрасса ШКр(г) и показано, что при f е ШКр(г) вариационный функционал

Ф(у) = У f (х,у,у')йх {Б С Мп, у(-) е Ш 1р(Б), р > 1)

Б

является К-непрерывным.

1. Предварительные сведения.

Приведем общее определение компактной непрерывности, компактной диффе-ренцируемости и кратной компактной дифференцируемости функционала в полном локально выпуклом пространстве (ЛВП).

Определение 1. Пусть Е-полное вещественное ЛВП, Ф : Е ^ М . Скажем, что функционал Ф компактно непрерывен, компактно дифференцируем (дважды К -дифференцируем и т.д.) [2] в точке у е Е, если для любого абсолютно выпуклого компакта С С Е сужение Ф на (у + зраиС), дифференцируемо по Фреше(дважды дифференцируемо по Фреше и т.д.) в точке у относительно нормы || ■ ||с в пространстве Ес = зраиС, порожденной С.

Обозначим далее через С(Е)- систему всех абсолютно выпуклых компактов в Е и через Ь(Е)- пространства к-линейных непрерывных форм на Е. Выпишем в явной форме важные для нас в дальнейшем определения первой, второй и и-ной К — производных:

Ф(у + ¡1) — Ф(у) = Ф'к(у) ■ ¡ц + 0(||Ь1 ||С1) , (1)

(Ф К (у + ¡1) — Ф'к (у)) ■ ¡2 = Ф'К (у) ■ (¡1, ¡2) + 0(|М|С1 ■ 11 ¡2 11С2 ) , (2)

(Ф(п-1)(у+Ь1)-Ф(п-1)(у))-(Ь2, ...Кп) = ФРШЬЪЬ2,..., Нп)+а(\\Н1\\с1 •.. .-\Ы\сп)

(3)

(для любых абсолютно выпуклых компактов С\ ..., Сп € С(Е)).

2. Условия компактной дифференцируемости вариационных

функционалов в Ш 1,р(О).

В работах Орлова И.В. и Божонок Е.В. [2], [3] был исследован вопрос об условиях К-непрерывности вариационного функционала Эйлера-Лагранжа

ь

Ф(у) = ! /(х,у,у')йх

а

в гильбертовом пространстве Соболева Ш 1'2[а,Ъ] = Н1 [а,Ь]. Оказалось, что достаточным условием К-непрерывности Ф(у) служит принадлежность интегранта / к введенному в этих работах, классу Вейерштрасса ШК2(г). В нашей работе [5] этот результат был обобщен на случай произвольного пространства Соболева Ш 1,р(О), где р € М, над многомерной компактной областью О С МП. Было показано, что принадлежность интегранта / вариционного функционала

Ф(у) = I /(х, у, Уу)йх (у(-) € Ш 1,р(Б), р € М) (4)

Б

к классу Вейерштрасса ШКр(г) является достаточным условием К-непрерывности функционала (4). Приведем определение класса ШКр(г).

Определение 2. Пусть функция и = /(х, у, г), / : МП х Му х МП ^ М непрерывна. Скажем, что / принадлежит вейерштрассовскому классу ШКр(г), р € М, если /

допускает псевдополиномиальное представление порядка p:

р

/ (х,у,г) = £ Кк (х,у,г)(г)к, (5)

к=0

коэффициенты Як : Мх х Му х МП ^ Ьк (МП) которого удовлетворяют условию доминантной (по х, у) смешанной непрерывности (С-гладкости) (см. общее определение пространств с доминантной смешанной гладкостью [4]): при любом выборе компактов Сх С МП, Су С Му и без каких-либо ограничений на г € Мг, отображения Як (0 < к < р) равномерно непрерывны и ограничены в Сх х Су х МП.

Выражение вида (5) с приведенными выше условиями на коэффициенты Яk мы назовем К-псевдополиномом порядка р.

Напомним также, что более слабое условие доминантной (по х, у) смешанной ограниченности коэффициентов Як в представлении (5), т.е. их ограниченности

в областях Сх х Су х МП, является достаточным условием корректной определенности функционала (4) в пространстве Соболева Ш 1'Р(В). Для получения достаточного условия компактной дифференцируемости функционала (4) введем более узкий класс Вейерштрасса Ш1Кр(г). Здесь мы также обобщаем определение класса Ш1 К2(г) введенное в работах Орлова И.В. и Божонок Е.В. в случае одномерной области [2].

Определение 3. Пусть функция и = f (х, у, г), / : МП х Му х МП ^ М непрерывно дифференцируема. Скажем, что отображение f принадлежит вейерштрассовско-му классу Ш1КР(г), р € М, если f допускает представление (5), коэффициенты Кк которого удовлетворяют условию доминантной (по х, у) смешанной С1 -гладкости: при любом выборе компактов Сх С МП, Су С Му и без каких-либо ограничений на г € МП, отображения Кк(х,у,г) вместе с градиентами УКк = УухКк, к = 0,р, равномерно непрерывны и ограничены в Сх х Су х МП, независимо от выбора г.

Замечание 2. Отметим, что представление (5) функции f € Ш 1Кр(г) можно, не меняя общности рассуждений, заменить представлением

f (х, у, г) = Ко + Кр ■ (г)р (6)

при сохранении требований определения 3.

Доказательство. Рассмотрим разложение единицы в МП класса С1: 1 = <р1(г) + <р2(г), где, при некотором Ыг > 0, малом е > 0, зирр^1(г) С (|г| < Ыг), вирр<р2(г) С (|г| > Ых - е); 0 < ^(г) < 1, 0 < (р2(г) < 1; <р1(г),<р[(г),<р2(г),<р'2(г) равномерно непрерывны и ограничены. Положим

Ко = £ Кк ■ (г)Ч ■ Мг), \к=0 '

Кр = (£ Кк ■ (г)р-А ■ Ыг). \к=0 )

Прямые вычисления показывают, что Кк, УКк, к = 0,р, равномерно непрерывны и ограничены в Т = М^ х Му х М£. . □

Теорема 1. Пусть и = f (х,у,г) есть отображение f : Б х Му х МП ^ М; х € Б, у € Му, г € МП, где Б — компактная область в М^. Если f принадлежит классу Ш 1Кр(г), р € М, то вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Ф(у) = ! f (х, у, Уу)дх, (у() € Ш 1,р(Б))

Б

К -дифференцируем всюду в пространстве Ш 1,р(Б); при этом

ф'к (у)Н = у

Б

д/ д/ ду (х, у, Уу)Ь + (х, у,

йх (Н е Ш 1'р(Б)) . (7)

Доказательство. Проведем доказательство при р > 1. 1) Фиксируем у(-) е Ш 1'р(Б) и произвольный абсолютно выпуклый компакт Са С С(Ш 1гР(Б)). Воспользуемся каноническим представлением (5) для функции /:

р

/ (х,у,г) = ^ Як (х,у,г)(г)к, к=0

где коэффициенты Як : То = Б х Му х М? ^ Ьк(То; М), согласно условию / е Ш 1Кр(г), таковы, что Як и V ухЯк = УЯк равномерно непрерывны и ограничены в То локально по х,у и глобально по г.

Как уже отмечалось (в аналогичной ситуации) в доказательстве теоремы 7 в [5], в силу компактности множества (у + С а) в Ш 1гР(Б), числовое множество

Ку,А ■.= и (у + Н)(О)

несА

есть компакт. Следовательно, на множестве ТуА = Б х Ку'А х М? все коэффициенты Як вместе с матричными градиентами VЯк ограничены и равномерно непрерывны. Отсюда, в частности, следуют оценки:

Як (х, у, г) ■ (()к|< Мко -УС 1|к ,(Мко < те, к = 0Р; (х,у,г) е ТУуА,( е М?)

VЯk (х, у, г) ■ (()к|| < Мк1 -УС 1|к ,{Мк1 < те, к = 0Р; (х,у,г) е ТууА,( е М?) .

(8)

Воспользуемся представлениями (25)—(26) из нашего доказательства теоремы о К-непрерывности Ф(у) в Ш 1,р(В) ([5], теор.7):

Ф(у + Н) - Ф(у) = ! /(х, у + Н, Vy + Vh)dx - ^ /(х, у, Vy)dx = >Г ^ Акйх , (9)

Б Б к=0Б

где

к-1

Ак = ^ СкЯк(х, у + Н, Vy + Vh)(Vy)l(VН)к-+ 1=0

+[Як(х,у + Н, Vy + Vh) - Як(х,у, Vy)](Vy)k . (10)

Преобразуем последнее выражение, учитывая, что

Як(х, у + Н, г + к) - Як(х, у, г) = VЯk(х, у, г) ■ (Н, к) + Гк(х, у, г; Н, к) ■ (Н, к), (11)

где \\rk(x,y,z; h,k)\\ ^ 0 при \\(h, k)\\ ^ 0. Таким образом, подставляя (11) в (10) и выделяя в (10) последний член суммы (при k > 2) получаем:

к—2

= V CkRk(x, y + h, Vy + Vh)(Vy)1 (Vh)k—l +

1=0 А

Aki

+ k[Rk(x, y + h, Vy + Vh) — Rk(x, y, Vy)](Vy)k—1Vh + 4-*-'

Bk

+ VRk(x, y, Vy) • (h, Vh)(Vy)k + rk(x, y, Vy; h, Vh) • (h, Vh)(Vy)k +

"V "V

Ck Dk

+ kRk(x,y, Vy) • (Vy)k—1Vh. (12)

4-*-'

Ek

Теперь дадим оценку для интегралов от каждого из слагаемых в этом выражении. 2) Используем оценку (31) для интегралов от Aki (l = 0,k — 2) полученную в нашем доказательстве теоремы о К-непрерывности Ф(у) в W 1iP(D) ([5], теор.7):

k2

£ Aki) dx

D Vl=0

k—2

< VCk • Mk0 • (Nki)1 • (\\y\\w 1p)l • (\\h\\w 1p)k—l , (13)

l=0

где Nki — константы, связывающие соболевские нормы:

\\y\\ < Nki • |y|wi>p.

W 'p-k+i

Поскольку, ввиду компактности С а в Ш 1гР(В), \\Н\\щ 1,р < Р ■ \\Л,\\сд при некоторой константе Р > 0, то из (13) следует, с учетом ограниченности \\Л,\\сд:

I (е Аы) Лх

б \г=о /

<

< Ск ■ Мко ■ (Мк1 )1 ■ (\\у\к 1,р)1 ■ Рк-1 ■ ■ ЩЦд = о(Щ\од) . (14)

3) Проведем оценку интеграла / ВкЛх в (12) с помощью е-процедуры, примененной

Б

в доказательстве теоремы 7 о К-непрерывности Ф(у) в Ш 1гР(П) [5]. Был получен следующий результат:

Для всякого е > 0 найдется такое 5 = 5(е) > 0, что

(\М\Сд < S) ^ П \\Vy\\kdx < Mk • J \\Vy\\kdx + e • j \\Vy\\kdx I , (15)

\D eg

где

J

D = es U ег, J \\Vy\\pdx<ep . (16)

eg

Замена в этой оценке ^у)к —> (Vу)к-1 ■ Vh оставляет результат в силе с переходом |^у||к —> |к 1 ■ IVНУ в неравенстве (15). Таким образом, в нашем случае получаем при ||Н||сд < $(£):

/ Вк йх = ||

| Б

к I АЯк(х, у, Vy)(Vy)k-1(Vh)dx

Б

<

< к ■ Мк0 I №уЦк-1 ■ ^НЦйх + к ■ £ ■ I №уЦк-1 ■ ^НЦйх . (17

е«

Отсюда, применяя к каждому из интервалов справа в (17) при к > 1 неравенство

р-

Гёльдера-Минковского при р = к-1, 4 = р-р+1, получаем, с учетом оценки (16):

Вк йх

Б

к — 1

< к ■ Мко ■ (У №уЦрйх\ ■ (У V« ) V«

к —1

) Т(/

р-к + 1 Р

||^ГН| р-к+1 йх

+

р-к + 1 Р

I I ^уЦРйх е«

<

к-1

< к^Мко^ [£Р) Р <к

к

№4

Щ1' р-к + 1

к —1

Мко ■£ к + £

к — 1

Мко ■£ к + £

| к— 1

р—к+1 йх + к ■ £ ■ ЦуЦи—1 ■ ,,..,, 1_

1 11У11Щ1,р и ||щ1,р—к+1

IЩ—11р ■ МкЛЦщ 1,р <

1 ■Р) ||Н||сд = о(ЦНЦсА)

<

(18)

при ||Н||сд < $(£). Отметим, наконец, что при к = 1 оценка правой части (17), ввиду отсутствия |^у||, проводится очевидным образом, с учетом малости меры множества е$.

4) Теперь проведем оценку интеграла от Ск в (12). Заметим сначала, что оператор

VЯk(х,у, Vy)■(h, Vh)(Vy)h

йх

J Ск йх = J

Б Б

— линейный относительно Н. Проверим его непрерывность. Заметим, что ввиду

эквивалентности обычной нормы Ц(Н, Vh)|| в Мга+1 и нормы Ц(Н, Vh)||p = (\Н\Р +

1

|^Н||Р)р, выполнено неравенство

Ц(Н ^ Ц(Н Vh)||p,

где ^-некоторая константа. Имеем:

Ск йх

Б

< ! IVЯк(х,у, Vy)■(h, Vh)(Vy)k\йх <

Б

<у \\^к(х,у,^)\\\\^у)\\кйх < В ■ (|Л|р + \\Vh\nр\\^у)\\кйх.

Б Б

(19)

Применяя к интегралу справа в (19) неравенство Гёльдера-Минковского при _р

р-

р' = р, д' = рр1, получаем:

/ Ск йх < в ■ Мк1 [/( Л|р + \\Vh\n) йх р / (WVvWk) р-1 йх

-О и -О

р-1 р

<

< в ■ Мк1 -\\hHw 1,

ж 1,р

кр < (в ■ Мк1 ■ (Бк)к -\\у\\Ж 1-) ЧМк 1,р, (

20)

где Бк -константы, связывающие соболевские нормы:

1М1 1 кр < Бк -\\vWw 1,р

ж 1,р-1

. Оценка (20) означает ограниченность линейного оператора / Скйх в Ш 1р(^).

5) Аналогично проводится оценка интеграла от Ек, который также является линейным оператором относительно Л:

Ек йх

и

< к^ |Дк(х,у, Vv) ■ ^у)к-1(^)|йх < к ■ Мко \^у\\к-1\\^\\йх <

< к ■ Мко ■ | / \\^\\рйх ^ )

\ р / \ р—1 \ / (к-1)р \ Р

I ■ м^у\\ р-1 ^ <

< к ■ Мко -\\Л\\ж 1,р •\у\к"1 (к-1)р <

ж11 р-1

к ■ Мко •\у\Ж"11р ' (Бк- 1)к-1 -\\hHw 1,р, (21

к1

что означает ограниченность оператора / Ек йх в Ш 1,р(^).

в

6) Наконец, оценку интеграла от Вк в (12), мы можем провести совершенно аналогично оценке интеграла от Вк (в пункте 3 доказательства), поскольку для "е-процедуры"существенен лишь факт стремления к нулю Гк(х,у, г; Л, Vh) ^ 0 при \\(Л, ^)\\ ^ 0. Итак, для всякого е > 0 найдется такое 5 = 5(е) > 0 , что

(\\Л\\Сд < 5) ^

Гк(х,у, Vy;Л, ■ (Л,

йх

<

< ^ ■ \\VvWk-\\(Л, ^)\\йх + е ■ \\VvWk-\\(Л, ^)\\йх

е«

где

£ = ей и ей, J \^у\\рйх < ек,

(22) (23)

е«

к

ук — некоторая постоянная. Отсюда, применяя к каждому из интервалов справа

_р

р-

в (22) неравенство Гёльдера-Минковского при р = р,4 = рр^ , получаем, с учетом

оценки (41):

Бк йх

Б

р— к р

< Ук ■ II №уЦРйх

е«

Ц(Н Vh)||р—кйх

+

е«

р — к р

\^уЦРйх

||(h, Vh)|| р—к йх) < (ук ■£ + £■ Ы^р )||h||Wl,p-k <

< (Ук + ЦуЦЩ 1,р) ^■Тк^ ЦНЦщ 1,р < [(Ук + ЫЩ 1,р) ■Тк ■ Р] ■£■ ||Н|сд (24) при ||Н|сд <§(£). Здесь Тк — константы, связывающие соболевские нормы:

1Щ1-р—к < Тк ■ Мщ1*■

Отсюда получаем

Бк йх

Б

о(Щсд ).

7) Резюмируя оценки, полученные выше в пунктах 2)-6), имеем:

Р (

Ф(у + Н) - Ф(у) = ^ Акйх

к=0 Б

VЯk(х, у, Vy) ■ (Н, Vh) ■ (Vу)кйх + к ■ Як(х, у, Vy) ■ (Vу)к—1 ■ Vh

йх+

Б

\к=0

+отсд) , (25)

причем, интеграл справа в (25) является линейным непрерывным оператором от Н(■ ) е Ш 1,Р(Б). Таким образом, функционал Ф(у) К-дифференцируем в Ш 1,Р(Б), и его К-дифференциал вычисляется по формуле:

Ф'к (у)Н =

= \ (Е IVЯк (х, у, Vy) ■ (Н, Vh) ■ (Vу)к йх + к ■ Як (х, у, Vy) ■ (Vу)к—1 ■ Vh]

Б

\к=0

йх . (26)

8) Покажем наконец, что равенство (26) можно преобразовать к стандартному виду (7). Из К-псевдополиномиального представления (5) получаем:

д/ дЯ Р дЯ — (х, у, Vy)h = -Я(х, у, Vy)h + ^ -Я(х, у, Vy) ■ Н ■ (Vу)

к

+Е

к=1

дЖк

дг

я / яд

/ (ж, у, Уу)УЬ = (ж, у, Уу)УЬ+ (ж, у, Уу) ■ УЬ ■ (Уу)к + к ■ Як(ж, у, Уу) ■ УЬ ■ (Уу)

к1

отсюда:

д/ д/ У/(ж, у, Уу)(Ь, УЬ) = яу (ж, у, Уу)Ь + д- (ж, у, Уу)Уй =

дЯо (ж, у, Уу)Ь + (ж, у, Уу)УЬ

ду

дг

+ ЕС К(ж, у, Уу) ■ ь ■ (Уу)к+

=1 ду

д Д

+-Я(ж, у, Уу) ■ УЬ ■ (Уу)к) + к ■ Як(ж, у, Уу) ■ УЬ ■ (Уу)

к1

= УЯо(ж,у, Уу) ■ (Ь, УЬ)+

р

+ Е [УДк (ж, у, Уу)(Ь, УЬ) ■ (Уу)к + к ■ Як (ж, у, Уу) ■ УЬ ■ (Уу)к-1

к=1

Р

Е УЯк (ж, у, Уу) ■ (Ь, УЬ) ■ (Уу)к + к ■ Як (ж, у, Уу) ■ УЬ ■ (Уу)

к1

к=о

что совпадает с подинтегральным выражением в (26). Итак, формула (26) принимает вид

Ф'к (у)ь =

д/ д/

ду (ж, у, Уу)Ь + д- (ж, у, Уу)(УЬ)

^ж.

Теорема доказана. Случай р = 1 может быть рассмотрен аналогичным образом.

3. Условия повторной комплктной дифференцируемости вариационных функционалов в Ш 1,р(^).

Для получения достаточного условия повторной компактной дифференцируемости введем следующий класс Вейерштрасса Ш2КР(г), более узкий, чем класс Ш1 Кр(г), рассматриваемый в п.2. Здесь мы также обобщаем определение класса Ш2Кр(г), введенное в работах Орлова И.В. и Божонок Е.В. в случае одномерной области [2].

Определение 4. Пусть функция и = /(ж, у, г), / : МП х Му х МП ^ М дважды непрерывно дифференцируема. Скажем, что / принадлежит вейерштрассовско-му классу Ш2КР(г), р € М, если / допускает представление (5), коэффициенты Як : М х х Му х М^" ^ ¿к(М^) которого удовлетворяют условию доминантной (по ж, у) смешанной С2-гладкости: при любом выборе компактов Сх С Мх Су С Му и без каких-либо ограничений на г € МП, отображения Як (ж, у, Уу) вместе с градиентами УЯк = Як и гессианами Н(Як) = Ну-г(Як), к = 0,р, равномерно непрерывны и ограничены в Сх х Су х МП, независимо от выбора г.

Теорема 2. Пусть и = /(х,у,г) есть отображение / : Б х Му х М? ^ М; х е Б, у е Му, г е М?, где Б — компактная область в М?. Если / принадлежит классу Ш2КР(г), р е М, то вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Ф(у) = ! /(х,у, Vy)dx, (у(■) е Ш 1,Р(Б))

О

дважды К -дифференцируем всюду в пространстве Ш 1,Р(Б); при этом

Ф'К(у)(Н, к) = I [0(х, у, Vy)(h, к) + (х, у, Vy)[(h, Vk) + V, к)] +

Б

д2 / ] +дф(х, у, Vy)(Vh, VkЦ йх (Н е Ш 1,Р(Б)). (27)

Доказательство.

1) Фиксируем у(■) е Ш 1'Р(Б) и произвольный абсолютно выпуклый компакт Са С Ш 1гР(Б). Воспользуемся, как и в теореме 1, К-псевдополиномиальным представлением для функции /:

Р

/ (х,у,г) = ^ Як (х,у,г)(г)к, к=0

где коэффициенты Як : То = Б х Му х М? ^ Ьк(То ; М), согласно условию / е Ш2КР(г), таковы, что Як, V ухЯк и Нух(Як) равномерно непрерывны и ограничены локально по х,у и глобально по г на То.

Как уже отмечалось в доказательстве теоремы 1 и теоремы 7 в [5], в силу компактности множества (у + С а) в Ш 1гР(Б), числовые множества

КУнА := и (У + Н)(Б) ,

ьесд

КУуА := и (У + к)(Б)

кесд1

также компактны. Следовательно, на множествах ТрА = Б х К^'А х М? и Т^ = Б х КУ'А х М? все коэффициенты Як вместе с матричными градиентами VЯk и блок-матричными гессианами Н(Як) ограничены и равномерно непрерывны. Отсюда, в частности, следуют оценки к

Як(х, у, г) ■ (()к| < Мко ■ |К||к, (-Мко < те, к = 0,р; (х,у,г) е Т0'А, ( е М?) VЯk(x,y,г)■(Z)k| < Мк1■ ||СМк, (Мк1 < те, к = 0Р; (х,у,г) е ТУуА, ( е М?)

Н(Як(х,у,г))^(Ок| < Мк2 ■ |С||к, (Мк2 < те, к =0,Р; (х,у,г) е ТУуА, ( е М?) .

(28)

Вычислим приращение вариационного функционала Ф^ в точке у(-) при Ь € Сд, к € Сд,, используя равенство (26):

Р Г

(ф'к (у + в) - Ф'к (у))Ь = Е [у У Як (ж, у + Уу + Ув)(Ь, УЬ)(Уу + У*)к

к=0 д

Е

к=о

+к у Як (ж, у + 8, Уу + Ув)(УЬ)(Уу + Уй)к—^ ь

УЯк(ж, у, Уу)(Ь, УЬ)(Уу)к^ж + к ■ ^ Як(ж, у, Уу)(УЬ)(Уу)к—1 ^ж

ь

/р / к \

Е [УЯк(ж, у + в, Уу + Ув)(Ь, уь) Е Ск(Уу)1 (Ув)к-М + Ь к=0 \1=0 /

+к ■ Як (ж, у + 8, Уу + Ув)(УЬ) Е Ск-1(Уу)г(У^)к-1-^ -

1=0

к1

-УЯк (ж, у, Уу)(Ь, УЬ)(Уу)к - к ■ Як (ж, у, Уу)(УЬ)(Уу)к—1 ^ж =: / Е Дк, (29

Ь к=0

где Дк — выражения в квадратных скобках в предпоследнем выражении в (29) Фиксируем к и преобразуем выражение Дк:

/ к \ Дк = (УЯк(ж, у + 8, Уу + Ув)(Ь, УЬ) ( Е Ск(Уу)г(Ув)к-1

1=0

к

-УЯк (ж, у, Уу)(Ь, УЬ)(Уу)к +

+к ■ (Як(ж, у + в, Уу + Ув)(УЬ^Е Ск-1(Уу)г(Ув)к-1-1^

-Як (ж, у, Уу)(УЬ)(Уу)к-1

(из каждой суммы выделяем последний элементы, к-й и (к - 1)-й соответственно) к—1

= Е Ск УЯк (ж, у + 8, Уу + Ув)(Ь, УЬ)(Уу) (Уз)к—Ч 1=0

+УЯк(ж, у + 8, Уу + Уй)(Ь, УЬ)(Уу)к - УЯк (ж, у, Уу)(Ь, УЬ)(Уу)к+ к—2

+к Е Ск — 1Як (ж, у + 8, Уу + У8)(УЬ)(Уу)1 (У8)к—1—1 + 1=0

+к (Як (ж, у + 8, Уу + У8)(УЬ)(Уу)к—1 - к Як (ж, у, Уу)()к—1(УЬ^ =

к1

СкVЯk(х, у + 8, Vy + Vs)(h, Vh)(Vy)l(Vs)k—l + *—'ч----'

С^О. с™ I - I Т7„\ги Т7и\ГТ7„.\1ГТ7„\к — 1

1 = 0 ^

+ [VЯк(х, у + 8, Vy + Vs) - VЯk(х, у, Vy)] (Н, Vh)(Vy)k +

Ак1

к

к—2

+к ■ £ Ск —1Як(х, у + 8, Vy + V8)^К)^у)1 (V8)к—1—1 +

1=о т>/

Ак — 1,1

+ к [Як(х, у + 8, Vy + Vs) - Як(х, у, Vy)]

к1

ск

Преобразуем Вк и Ск, учитывая, что

Як(х, у + Н, г + - Як(х, у, г) = VЯk(х, у, г) ■ (Н, ,з) + Гк(х, у, г; Н, s) ■ (Н, ,з),

где Цтк(х, у, г; Н, s)|| ^ 0 при Ц(Н, s)|| ^ 0. Таким образом,

Вк = Н(Як(х, у, Vy))(s, Vs) + Тк(х, у, Vy; s, Vs) ■ ^, Vs),

Ск = VЯk(х, у, Vy) ■ ^, Vs) + дк(х, у, Vy; s, Vs) ■ Vs).

/к—1 \ /к—2 \

Выделяя из £ АкЛ последний (к- 1)-й член, аи^ ^ Ак—1>Л последний (к-2)-

\1=о ) \1=о ' )

член, получаем:

к-2

Ак = ^2 СкVЯk(х, у + s, Vy + Vs)(h, Vh)(Vy)l(Vs)k—l+ 1=0

+к ■ VЯk(х, у + s, Vy + Vs)(h, Vh)(Vy)k—1(Vs)+

к—3

+к ■ £ Ск—1Як(х, у + к1, Vy + Vs)(Vh)(Vy)l(Vs)k—l—1 + 1=0

+к ■(к - 1)Як (х, у + s, Vy + Vs)(Vh)(Vy)k—2(Vs) +

+ [Н(Як(х, у, Vy))(s, Vs) + Тк(х, у, Vy; s, Vs) ■ ^, Vs)] (Н, Vh)(Vy)k+ +к \^Як(х, у, Vy) ■ Vs) + дк(х, у, Vy; s, Vs) ■ Vs)] ^Н)^у)к—1. (30) Вычитая и добавляя слагаемые:

к■ VЯk(х,у, Vy)(h, Vh)(Vy)k—1(Vs) и к■ (к- 1)Як(х,у, Vy)(Vh)(Vy)k—2(Vs), получим:

к-2

Ак = V СкVЯk(х, у + s, Vy + Vs)(h, Vh)(Vy)l(Vs)k—l +

С^О. - I - Т7„. I Г7Ъ\ГТ7„.\1ГГ7„\к—I

1=0 ^ Ак

к-3

+к ■ Ск —1Як(х, у + s, Vy + Vs)(Vh)(Vy)l(Vs)k—l—1 + 1=0

Ак-

1.1

+k [Rfc(x, y + s, Vy + Vs) - VRk(x, y, Vy)](h, Vh)(Vy)k-1(Vs) + 4-*-'

vfc

+k(k - 1) R(x, y + s, Vy + Vs) - VRk(x, y, Vy)](Vh)(Vy)k-2(Vs) + 4-*-'

Wk

+ H(Rk(x, y, Vy))(s, Vs)(h, Vh)(Vy)k +

Fk

+ [rfc(x, y, Vy; s, Vs) ■ (s, Vs)] (h, Vh)(Vy)k +

Ek

+k ■ VRfc(x, y, Vy) ■ (s, Vs)(Vh)(Vy)k-1 +

"V

Sk

+k ■ qfc(x, y, Vy; s, Vs) ■ (s, Vs)(Vh)(Vy)k-1 +

"V

Hk

+k VRfc(x, y, Vy) ■ (h, Vh)(Vy)k-1(Vs) +k(k - 1) Rfc(x, y, Vy)(Vh)(Vy)k-2(Vk) .

V "v

Dk Gk

(31)

Теперь дадим оценку для интегралов от каждого слагаемого в этом выражении. 2) Проведем вначале оценку для интегралов от A^ (l = 0, k - 2). Поскольку, ввиду (28),

|АЫ| < Ck ■ Mki ■ ||(h, Vh)(Vy)¿(Vs)k-1y < Ck ■ Mki ■ ||(h, V^HHVyH1||Vs||k-1,

то

k2

E Aki dx

D Vl=0

k—2

< ¿Ck ■ Mki f ||(h, Vh)||Vy|1|Vs|k-1dx. (32)

1=0 D

Применяя к интегралам справа в (32) неравенство Гельдера-Минковского, получаем:

J ||(h,Vh)||Vy|1|Vs|k-1dx

D

<

i k-i p-k+i-i < F ■ \ j (||h||p + ||Vh||p)dxJ ||Vs||pdxj ■ ||Vy||P-^- dx) <

(условие 1 + p-k-1-1 + k- = 1 выполняется)

< F ■ (||s||wi,p)k-1 '(НуН i^p« ) '|h|wi,p , (33)

1 W P-k+i-i

где Е — некоторая константа. Далее, элементарно проверяется неравенство р—к+1-1 — Р, откуда следует неравенство для соответствующих соболевских норм:

Щ 1'р-й + 1-1

где — постоянные. Отсюда получаем:

рг_ — £к1 ■ ||у||щ 1,р

(34)

к2

Е Ак1 ¿ж

д

1=0

к2

— Е Ск ■ Мк1 ■ Е ■ (5к1)1 ■ (||у||щ 1,р)1 ■ ||Ь||щ 1,р ■ (|И|щ 1,р)к-1. (35

1=0

Поскольку

то из (35) следует:

щ1,р — ШЬ||Сд, ||в|щ1.р — ^ЫМЬд,

к2

Е Ак1 ¿ж

д

1=0

<

— (ЕСк ■ Мк1 ■ Е ■ (5к1)1 ■ (||у||щ 1,р)1 ■ Р^ ■ Ркк1-1 ■ ||а||£д1-2) ' УЬУсд • РНСд =

= о(УЬ|сд ФНСд).

(36)

3) Аналогично пункту 2) доказательства теоремы о К-дифференцируемости оценим интегралы от Ак-1;1 (1 = 0, к - 3):

|Ак-1,11 — 1 ■ Мк0 ■ ||(УЬ)(Уу)1 (У*)к-1-1|| — С[_ 1 ■ Мк0 ■ ||(УЬ)||Уу|1 УУ^Ук-1-1,

откуда

д

'к-3

Е Ак 1=0

-1,1

^ж

к—3

— Е С1 -1 ■ Мк0 •/ 11 (УЬ) ||Уу У1 УУ|к-1-1^ж. (37 1=0 д

Применяя к интегралам справа в (37) неравенство Гельдера-Минковского, получаем:

КУ^ННУу^НУзН к-1-1йж

д

— | у (|УЬ|)р^ж^ ^у ||У5||р^ж

рг

р-^+г р

||Уу|| ¿ж 1 — (Ув|щ1,р)к-1-1 ■ (^к-1,1)

Щ1,р)1 ■ ||Ь|щ1,р . (38)

д

й-г-1

р

Отсюда:

к3

о

к3

< ^ Ск—1 ■ Мк0 ■ (Бк—1,1)1 ■ (ЦуЦщ 1,р) ■ ЦНЦщ 1.р ■ тщ 1,р)

к-1-1

1=0

(39)

^^Ак—1,1 йх 1=0 )

Поскольку то из (35) следует:

< (е Ск—1 ■ Мк0 ■ (Бк—1,1)1 ■ (ЦуЦщ 1,р )1 ■ Ри ■ Ркк—1—1 ■ |М|сд1—31 ■ ||Н|сд ■ |М|сд =

щ 1,р < Ри ■ ||Н|сд, ||sМw 1,р < Рк1 ■ МsМсд ,

/ (е Ак—1,г) йх

О \1=0 /

I

<

,1=0

= отсд чи^).

(40)

4) Оценку [ Укйх проведем с помощью £-процедуры уже применявшейся нами в О

доказательстве теоремы о К-дифференцируемости, пункт 3. Итак, для всякого £ > 0 найдется такое 5 = 5(£) > 0 , что

(Ысд <5, Исд <5) ^

Ук йх

О

<

где

< Мк1 ■ у КН vh)М■МVyМk—1■ I|Vs||dx + £■ у КН vh)М■МVyМk—1■ I|Vs||dx

е« е«

Л

Б = ег и ег, jМ|VyМ|pdx<£к .

(41)

е«

Применяем неравенство Гельдера-Минковского и учитывая, что М(Н, Vh)МР = (\Н\Р + М^НЦ^р и М^, Vs)Мp = (\s\p + ||Vs||p)р, получаем:

Ук йх

О

< Мк1 ■ ( I (МНМР + М^НЩйх)р у МШРйх

е« е«

к — 1 р

М^Мр—кйх) р +

е«

к — 1 р

р — к р

+£ ■

Р + М^НМ^ )йх

М^уМ^йх

||Vs М р—к йх ) <

| к— 1

|Щ1,р ■ ||8||w1.pp

Щ 1,р ■ ^^ 1,р—к + МЩ^р ■ Д^ ■ Шщ 1,р <

< Мк1 ■ (е-к) р

к — 1 , 1

< Мк1 ■ £ р ■Тк1■ |И|щ 1,р ■ ЦНЦщ 1,р + £ ■ I|yМW-l.p ■ ЦНЦщ 1,р ■ Тк1 ■ |И|щ 1,р <

к — 1 , < [Мк1 ■ £-1Т ■Тк1 ■Рн^ Рк^ЛМНМсАМ^Мсд) + [£■ ЦуЦ^.р ■Ты ■Ри ■Рк1]<ЦНЦсд ФМсд)

к

V

к1

= о(||Ь||Сд ■ ||й||Сд)

щие соболевские но

5) Аналогично рассуждая, с помощью е-процедуры получаем оценку / Шк^ж:

где Тк1 — константы связывающие соболевские нормы: ||й|| — Тк1 ■ р||щ 1,]

д

Шк ^ж

д

— Мк0 ■ П ||УЬ||р-^+1 ^ж

р

^ —2 р

||Уу||р ^ж

||У5Нр^ж 1 +

p-fe+1 £ — 2

+е ■ | У ||УЬ|^ж | ■ | У ||Уу||р^ж | ■ | У V / V / V

||У8|р ^ж 1 —

— ... — [Мк0■ Е■ е р ■ Р^■ Рк1]-(||Ь|ЫИ|сд) + [е-Е-НуНЩй■ Р^ Рк1]• (||Ь||Сд-|И|сд) =

= о(||Ь||Сд ■ ||й||Сд),

где Р — некоторая константа.

6) С помощью этой же процедуры проведем оценку / Ек¿ж. Итак, для всякого е > 0 найдется такое 5 = 5(е) > 0 , что

д

(1|Ь||сд < 5) ^

Гк(ж, у, Уу; 8, У в) ■ (8, Ув)(Ь, УЬ)(Уу)к

^ж

д

<

— ^ ^ ||УуУк ■ ||(Ь, УЬ)||-||(в, Ув)|Иж + е у ||Уу||к ■ ||(Ь, УЬ)||-||(в, Ув)|Иж), (42)

е« в5

где

£ = вг и вг, У ||Уу||р^ж < ер

(43)

в«

^к — некоторая постоянная. Применяя неравенство Гельдера-Минковского и учитывая, что

11(Ь, УЬ)|р = (|Ь|р + ||УЬ||р)р и ||(в, Ув)||р = (|й|р + ||Уй|р)р,

получаем:

Ек ¿ж —

— ^к

+е

((||Ь|| + ||УЬ||))^ж

е«

д

е«

((||Ь|| + ||УЬ||))^ж

|в|| + ||Ув||))Жк

И| + ||Ув||))Жж

||Уу у р-2 ¿ж

е«

р-2 р

+

рА:

||Уу|| Р-2 ¿ж

р-2 р

<

р

р

р

р

<

< ук ■ £■ ЦНЦщ 1,р ■ МИМщ 1,р + £■ ЦНЦщ 1,р ■ МsМw 1,р ■ МуМщ 1,р < (Ук + МуМщ 1,р) ^■Рн ■ Рк1] (МНМсд ■ |М|сд) = о(МНМсд ■ МsМсд)

7) Аналогично получим оценку [ Нкйх:

О

дк(х, у, Vy; ,з, Vs) ■ (,з, Vs)(Vh)(Vy)

к-1

йх

О

<

< VкЦНЦщ 1,р ■ М^Мщ 1,р ■ £к + £ ■ ЦНЦщ 1,р ■ М^Мщ 1,р ■ рк ■ нум^р <

<

(Vк + Рк ■ цуцщъ)£ ■ Рн ■ Рк1 (МНМсд ■ |И|сд) = отсд ■ |М|сд)

8) Теперь проведем оценку интеграла от Ек. Докажем непрерывность билинейного оператора

[Н(Як(х,у, Vy)) ■ (Н, Vh) ■ ^, Vs)(Vy)k

Екйх = .1

О О

йх.

Имеем:

Ек йх

О

< I \Ек\ йх < ! |н(Як(х,у, Vy))■(h, Vh)■(s, Vs)(Vy)k

О О

<! МН(Як(х,у, Vy))||■||(h, Vh)||■||(s, Vs)М ■ М^уМкйх <

О

< Мк2 ■ I М(Н, Vh)||■||(s, Vs)М ■ М^уМкйх <

О

йх

(применим неравество Гельдера-Минковского)

< Мк2 ■

+ М^НЦР)йх

VО

^^ + ||Vs||p)dx

1о

рк

М^уЦр—2 йх

1о

р—2 р

<

< Мк2 ■ ЦНЦщ 1,р ■ ||sМw 1,р ■

щ1. р—к —2

рк < Мк2 ■ ЦНЦщ 1,р ■ ММщ 1,р ■ МуМкщ 1,р <

<

Мк2 ■ МуМ щ 1,р ■Рн ■ Рк1\ (МНМсд ФМсд).

Отсюда следует,что оператор / Екйх непрерывен. Аналогично рассуждая, дадим

О

оценку интегралов / Бкйх, / Бкйх, / Скйх ООО

9) Оператор

I Бк йх = ! VЯk (х, у, Vy)■(s, Vs)(Vh)(Vy)k—1dx

О О

Р

к

билинейный. Имеем:

£к ^ж

д

— I |5к| ¿ж — I |УЯк(ж, у, Уу) ■ (8, Ув)(УЬ)(Уу)

к1

^ж <

д

д

<

У Як (ж, у, Уу)| ■ У8)У ■ УУЬУ ■ |Уу|

к1

^ж <

д

г р

— Мк1 ■ / ||УЬ||р^ж

Ь

|йПр + ||УвУр)^ж

д

p(fe-1) ||Уу|| р-2 ^ж

д

р—2 р

<

<

Мк1 •УуУЩ-11р ■ Р/ ■ Рк^ (УЬУсд Ф||сд) .

Отсюда следует, что билинейный оператор / ¿ж непрерывен.

д

10) Оператор

к-Ь

дд также билинейный. Имеем:

^ж = ^ УЯк(ж,у, Уу) ■ (Ь, УЬ)(Уу)к-1(Ук1)^ж

д

— у ||УЯк (ж, у, У у) | ■ ||(Ь, УЬ)||||Уу||к-1||У5|^ж — д

...

Мк1 ■ УуУЩ-1р ■ Р/ ■ Рк^ (||Ь||сд ф||сд)

Отсюда следует, что билинейный оператор / ^к^ж непрерывен.

д

11) Оператор

I Ск ^ж = I Як (ж, у, Уу)(УЬ)(Уу)к-2(Ук)^ж дд

также билинейный. Имеем:

Ск ^ж

д

...

— ] УЯк (ж, у, Уу)||||УЬ||||Уу||к-2||Ув||^ж — д

к2

Мк0

1,р

■ Р/1 ■ Рк1

(УЬУсд■1И|Сд) .

Отсюда следует, что билинейный оператор / Ск^ж непрерывен.

д

12) В итоге получаем:

р

ф'К(у)(Ь,8) = Е / Дк¿ж =

к=0 Ь

р г

Е\ \н(Як(ж,у, Уу)) ■ (Ь,УЬ) ■ (8,Ув)(Уу)к

к=0

в

+к ■ У VЯk(х, у, Vy)■(s, Vs)(Vh)(Vy)k—1dx+ 00

+к ■ у VЯk(х, у, Vy) ■ (Н, Vh)(Vy)k—1(Vs)dx+

О

+к ■(к - 1)^ у Як (х,у, Vy)(Vh)(Vy)k—2(Vs)dx\ + оШсд |М|сд) (44)

О

Покажем, что данное равенство можно преобразовать к стандартному виду:

Ф'К (y)(h,s) = I [ 0 (х,у, Vy)(h,s) +

О

д2/ д2 / ] +дудг (х, у, Vy)[(h, Vs) + ,з)] + дф(х, у, Vy)(Vh, Vs)J йх . (45)

Из К-псевдополиномиального представления

Р

/ (х,у,г) = Е Як (х,у,г)гк к=0

находим:

/(х^ Vy) = £ дЯ^ (х^ Vy)■(Vy)k,

/(х, у, Vy) = £ дЯк(х, у, VУ) ■ (Vу)к + к ■ Як(х, у, Vy)(Vy)k—1, к=0

д2 / Р -2я

дф(х, у, Vy)(h, s) = Y, (х, у, Vy) ■ ^у)к(Н, ,з), д2/

1 (х, у, Vy)(Vh, Vs) =

к=0

дг2

Е [1Я(х, у, Vy) ■ (Vу)кVs) + кдЯк(х, у, Vy)(Vy)k—1(Vh, Vs) +

+кдЯ(х, у, Vy)(Vy)k—1(Vh, Vs) + к(к - 1) ■ Як(х, у, Vy)(Vy)k—2(Vh, Vs)

д2/

1 -(х, у, Vy)(h, Vs) =

дудг

р кп л \ ,7 дЯк

= Е ^у^(х, у, Vy)(Vy)k(Н Vs) + к-ф(х, у, Vy)(Vy)k—1(h, Vs).

Отсюда находим гессиан:

Н(/(х,у, Vy))(h, Vh)(kl, Vkl) =

д2/ д2 / д2/

дф(х, у, Vy)(h, ,з) + дф-^ (х, у, Vy)[(h, Vs) + s)] + -дф(х, у, Vy)(Vh, Vs)

р г д2 Я д2 Я

Е Ьот(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(Ь, 8) + ¿Як:(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(Ь, у*)+

к=0

ду2

ду ■ дг

+кддук(ж, у, Уу) ■ (Уу)к-1(Ь, Ув) + ду2^(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(УЬ, й)+

+кддЯк(ж, у, Уу) ■ (Уу)к-1(УЬ,в) +

+д2^(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(УЬ, Ув) + к^(ж,у, Уу)(Уу)к-1(УЬ, Ув)+ дЯк,

(ж, у, Уу)(Уу) (УЬ, У в) + к(к - 1) ■ Як (ж, у, Уу)(Уу) (УЬ, У в)

р

г д2 Я д2 Я

Е I (ж, у, Уу) ■ (Уу)к(Ь, в) + т^Я(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(Ь, Ув) +

к=0 д2Я,

ду2

ду ■ дг

д2 Я

+^у^(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(УЬ,в) + ^(ж, у, Уу) ■ (Уу)к(УЬ, Ув)

+

+к

+к

дЯук(ж,у,Уу) ■ (Уу)к-1(Ь,Ув) + ддЯк(ж,у,Уу)(Уу)к-1(УЬ,Ув)

Ьй

дЯук(ж,у,Уу) ■ (Уу)к-1(УЬ,в) + ддЯк(ж,у,Уу)(Уу)к-1(УЬ,Ув)

+

+

+к ■ (к - 1) Як (ж, у, Уу)(Уу)к-2(УЬ, У в)

Теорема доказана.

□.

Автор выражает благодарность И.В.Орлову и Е.В.Божонок за полезные обсуждения и замечания.

Список литературы

[1] Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптическиие уравнения высшего порядка / [И.В.Скрыпник]. — К.: Наукова думка, 1973. — 219 с.

[2] Орлов И.В. Дополнительные главы современного естествознания.Вариационное исчисление в пространстве Соболева Н1: учебное пособие / [И.В. Орлов, Е.В. Божонок]. — Симферополь:ДИАЙПИ, 2010. — 156 с.

[3] Орлов И.В. Условия существования, К-непререрывности и К-дифференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева Ш / [И.В. Орлов, Е.В. Божонок] // Ученые записки ТНУ, серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". — 2006. — Т. 19(58), № 2. — С. 63-78.

[4] Schmeisser Hans-Jurgen. Recent developments in the theory of function spaces with dominating mixed smoothness. / [Hans-Jurgen Schmeisser]. — Mathematical Institute, Praha, 2007. — PP.145-204.

[5] Кузьменко Е.М. Условия корректной определенности и компактной непрерывности вариационных функционалов в пространствах Соболева W 1,p(D) / [Е.М. Кузьменко] // Ученые записки ТНУ, серия "Физико-математические науки". — 2010. — T. 23(62), № 1. — C. 1-15.

[6] Оптимальное управление / [Э.М. Галеев, М.И. Зеликин, С.В. Конягин, Г.Г. Магарил-Ильяев и др. ]; под ред. Н.П. Осмоловского, В.М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2008. — 320 с.

[7] Березанский Ю.М. Функциональный анализ. / [Ю.М. Березанский, Г.Ф. Ус, З.Г. Шеф-тель]. — К.: Вища школа, 1990. — 600 с.

[8] Гельфанд И.М. Вариационное исчисление / [И.М. Гельфанд, С.В. Фомин]. — М.: ФМ, 1961. — 230 с.

[9] Картан А. Дифференциальное исчисление / [А. Картан]. — М.: Мир, 1971. — 383 с.

Умови К-диференцтовност та повторной К-диференцтовност вар1ацшних функционал1в в простор! Соболева W1,p функцш ба-гатьох змшних.

Для гнтегрантгв f (x,y,z) варгацгйних функционалгв jD f (x,y, що

дгють в просторг Соболева W 1,p(D), p > 1, над компактною областю D С Rn, вводяться класи Вейерштрасса W 1Kp(z) та W2Kp(z), якг до-слгджувалися рангше у випадку простору Соболева W1,2 над вгдргзком. Визначено, що попадання гнтегранту до вгдповгдного класу Вейерштрасса гарантуе компактну диференцгйовнгсть вгдповгдного порядку для варга-цгйних функционалгв.

Ключов1 слова: вар1ацшний функцюнал, простар Соболева, компактна диферен-цшовшсть, класи Вейерштрасса, домшантна м1шана гладюсть.

Conditions of compact differentiability and repeated compact differentiability of variational functionals in Sobolev spaces W1,p of functions of several variables.

ШегетвЬтазв classes W 1Kp(z) and W2Kp(z) wMch have been ргеуго^1у researched for the occasгon of Sobolev space W1,2 over segment are гntтoduced for the гntegтands f (x,y,z) of variational functionals JD f (x,y, acting

wгthгn of Sobolev space W1,p(D), p > 1 over the compact area D С Rn. Belongгng the гntegтant to the correspondent WeAerstrass class г.з shown to guarantee compact dгffeтentгabгlгty of correspondent order for the variational functional.

Keywords: variational functional, Sobolev space, compact differentiability, Weierstrass classes, dominating mixed smoothness.