CC BY
25
прикладная информатика /-
' № 6 (54) 2014
А. А. Александров, аспирант Московского государственного гуманитарного университета
им. М. А. Шолохова, [email protected] И. А. Шилин, канд. физ.-мат. наук, доцент Московского государственного гуманитарного университета
им. М. А. Шолохова, [email protected]
Программно-вычислительный комплекс для решения задач с конечными группами1
С целью оптимизации учебного времени при изучении курса общей алгебры, спецкурсов «Введение в теорию представлений» и «Симметрические функции» в Научно-образовательном центре «Математические исследования» МГГУ им . М . А . Шолохова в 2013 г . создан программно-вычислительный комплекс для решения задач с конечными группами, позволивший существенно сократить время для вспомогательных вычислений, тем самым увеличив его для обсуждения более общих моментов .
Ключевые слова: программно-вычислительный комплекс, конечная группа, группа подстановок, подгруппа, нормальная подгруппа, нормализатор, централизатор, Т-группа, с-нормальная группа .
введение
В Московском государственном гуманитарном университете им. М. А. Шолохова существует «негуманитарный» факультет точных наук и инновационных технологий. Студенты, обучающиеся по направлению «математика», изучают в необходимом объеме курс общей алгебры, а также могут выбрать в числе прочих такие курсы с алгебраическим уклоном, как «Введение в теорию представлений групп», «Элементы группового анализа дифференциальных уравнений», «Симметрические функции». Кроме того, студенты этого факультета, обучающиеся по направлению «Прикладная информатика», изучают курс «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры». Во всех указанных дисциплинах большую
1 Работа выполнена в 2012-2013 гг. в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», аспирантский проект 2012-1.3.2-12-000-1005-001.
роль играют теоретико-групповые задачи, решение которых вручную порой занимает много времени.
В Научно-образовательном центре «Математические исследования» МГГУ им. М. А. Шолохова в 2013 г. с целью оптимизации учебного времени создан программно-вычислительный комплекс для решения задач с конечными группами, позволивший существенно сократить время для вспомогательных вычислений, тем самым увеличив его для обсуждения более общих моментов. Создание комплекса, а также разработка методики его использования в образовательном процессе были поддержаны аспирантским грантом Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» в 2012-2013 гг.
описание возможностей комплекса
Комплекс имеет встроенную библиотеку из 77 групп, в которую входят все группы
No. 6 (54) 2014
journal qf appued informatics
до порядка 25 включительно (39 абелевых и 38 неабелевых). Перечислим эти группы.
Группы порядка 2: циклическая группа Ъ 2.
Группы порядка 3: Ъ 3.
Группы порядка 4: Ъ 4 и Ъ|.
Группы порядка 5: Ъ 5.
Группы порядка 6: Ъ6 -Ъ2 хЪ3 и ди-эдральная группа D6.
Группы порядка 7: Ъ 7.
Группы порядка 8: Ъ8, Ъ|, Ъ2 х Ъ4, D8, Q8 =< s,t I s2 = t2, t4 = е, tst = s).
Группы порядка 9: Ъ 9 и Ъ3.
Группы порядка 10: Ъ10 и D10.
Группы порядка 11: Ъ11.
Группы порядка 12: Ъ12, Ъ2 х Ъ6, знакопеременная группа А4, D12,
Т = Ъ3 X Ъ4 I s4 = t4 = e, tst = s).
Группы порядка 13: Ъ13. Группы порядка 14: 214 Группы порядка 15: 215 Группы порядка 16: Ъ16, Ъ^, Ъ4,, Ъ2 х Ъ
■ Z2 хZ7 и D14.
• ^ з X ^ 5.
.Z4 =<s,tI s4 = t5 = e, tst = s),
Группы порядка 22: Ъ22, D22.
Группы порядка 23: Ъ23.
Группы порядка 24: Ъ3Х Ъ8, Ъ24, й^(2,3),
Z3 X <08, Ъ4 хS3, D24, Ъ2 х(Ъ3 XЪ4), (Ъ6 хЪ2)XЪ2, Ъ12 хЪ2, Ъ3 хDв, Z3 х<08, S4,
Ъ2 х А4, Ъ2 х Ъ2 х Sз , Ъ6 х Ъ2 х Ъ2.
Группы порядка 25: Ъ25, Ъ5 х Ъ5.
Каждая группа должна быть задана своей таблицей Кэли, описывающей групповую операцию, причем описание каждой группы хранится в отдельном М-файле, записанном в специальной папке жесткого диска компьютера. Например, кватернионная группа 0>8 = (s,t I s2 = t2, t4 = e, tst = s), заданная здесь своим генетическим кодом, т. е. указанием порождающих элементов s и t и определяющих соотношений s2 = t2, t4 = e, tst = s, имеет следующее описание в соответствующем txt-файле:
Ъ 4 х K -Ъ 4 X Ъ22,
где K = И (12)(34), (13)(24), (14)(23)} - подгруппа Клейна в симметрической группе S4,
D16, D8 хЪ2, <08 х22,
M = <s,t I s8 = t2 = e, ts = s5t>,
=<s,t I s8 = V2 = e, tst = s3, ts = s3t),
C = {s,tI s4 = t4 = e, ts3t3 = s, s3ts3 = 0, G4l4 = ^^ I s4 = t4 = e, sts = t3, tst = s3, st = t3 s3, ts = s3t3, t3 s = s3t), B = <a,b,c I aA = Ь2 = с2 = e, cb = baгc, ba = ab).
Группы порядка 17: Ъ17 Группы порядка 18: 218 2 х 29, D18, S3 х23 = D6 х23,
Ъ23 X Ъ2 = <х, у, г и2 = у3 = г3 = e,
уг = гу, уху = х, гхг = х).
Группы порядка 19: Ъ19.
Группы порядка 20: 220 = 24 х 25, D20,
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 5 8 7
3 4 2 1 7 8 6 5
4 3 1 2 8 7 5 6
5 6 8 7 2 1 3 4
6 5 7 8 1 2 4 3
7 8 5 6 4 3 2 1
8 7 6 5 3 4 1 2
F = { I s4 = t5 = е, ts = st2 >. Группы порядка 21: Ъ 7 X Ъ 3, Ъ 21.
Это описание означает, что групповая операция в группе 0!8 описывается таблицей Кэли (табл. 1).
Библиотека может быть легко пополнена новыми группами путем добавления в отмеченную выше папку жесткого диска новых txt-файлов.
В настоящее время комплекс способен предложить пользователю 8 опций, которые на практике оказываются наиболее востребованными при решении теоретико-групповых задач, относящихся как к общей алгебре, так и к другим математическим разделам, использующим алгебраические методы. Перечислим эти опции:
• представление элементов группы подстановками;
48
№ 6 (54) 2014
Таблица 1
Таблица Кэли для группы
1 -1 \ - \ 1 Ч к -к
1 1 -1 \ - \ 1 Ч к - к
-1 -1 1 - \ /' Ч / - к к
/ \ - \ -1 1 к - к - ]
- \ - \ \ 1 -1 - к к / Ч
1 1 Ч - к к -1 1 \ - \
ч Ч ] к - к 1 -1 - \ \
к к - к 1 -] - \ \ -1 1
- к - к к Ч 1 \ - \ 1 -1
• разложение подстановок в «произведение независимых циклов»;
• представление подстановок в виде композиции транспозиций;
• представление подстановок в виде композиции транспозиций специального вида, т. е. в виде транспозиций (I}), где I фиксировано;
• вычисление всех подгрупп (с выделением нормальных делителей);
• построение левых и правых смежных классов по подгруппам;
• вычисление нормализаторов и централизаторов подгрупп;
• проверка Т- и С-условий.
О каждой опции будет подробно рассказано ниже.
Работа комплекса начинается с предложения пользователю выбрать интересующую опцию (рис. 1).
Опция 1: Представление конечной группы в виде группы подстановок.
Как известно, всякая конечная группа G порядка п вкладывается в симметрическую группу Sn путем сопоставления каждому элементу д е Sn подстановки фд группы G, заданной, например, формулой а ^ да. Но каждая подстановка о может быть задана матрицей
о =
1 2 о(1) о(2)
п о(п)
Рис. 1. Список опций программно-вычислительного комплекса
49
No. 6 (54) 2014
Если пользователем выбрана опция 1, то комплекс предлагает выбрать номер группы, после чего на экране появляется представление элементов выбранной группы подстановками, причем для удобства указывается только вторая строка матрицы подстановки. Так, например для группы
В = {а,Ь,с I а4 = Ь2 = с2 = е, сЬ = Ьагс, Ьа = аЬ)
программа выдает результат, показанный на рис. 2.
Опция 2: Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
Всякая подстановка может быть представлена как произведение независимых циклов, причем может изменяться порядок записи циклов, порядок записи внутри циклов, но длины циклов и их количество не меняются. Например,
'1 2 3 4 56789 10\ ,7 3 2 10 1 6 5 9 4 8
= (23)(175)(41089) = = (32)(751)(89410) =
Всего существует 11 12... 1кк! разложений конкретной подстановки в произведение независимых циклов, где к - число циклов
и 11,12.....1к — их длины. Выбрав опцию 2
и указав номер группы, пользователь получит для каждого из элементов группы одно из разложений в циклы. Рисунок 3 иллюстрирует результаты, которые приводит комплекс для диэдральной группы D8.
Опция 3: Представление подстановок в виде композиции транспозиций (общего вида).
Определим, что (/у )-транспозицией называется подстановка о,у множества {1, 2.....п},
у которой о(/) = у, а все числа, не равные I или у, являются неподвижными точками. Всякая подстановка может быть представлена в виде композиции транспозиций. Выбрав опцию 3 и определившись с группой, пользователь получит запись элементов группы в виде композиции по формуле
в которой числа а1,
индуктивной схемой а1 := о(1),
ап определяются
Рис. 2. Результаты работы программы для группы В
50
№ 6 (54) 2014
1 = tfl
Файл Правка Вид Программа Сервис Помощь
- complex. wt1h_e_aims, pas |
2 -
PLEASE CHOOSE k GROOP11
Permutation 1 (1j(2 )(3 )(* )<5 ){6 I{1 )(8 ) п
11111111
order - 1
power la llimillllllill =
Permutation 2 (12 3 4){5768)
4 4
order ^ 4
paver is 4 141
Pernitation 3 (1 3 ((2 4 |<5 6 )(7 e )
2 2 2 2
order = 2
power ia 212 F2121
Permutation 4 (1432){5 867)
4 4
order - 4
Ваш данные Г
Строка:! Столбец:! ¡Программа выполняется
Рис. 3. Результаты работы программы для группы D8
и из которой выбрасываются подстановки скак в случае, если они оказываются
не транспозициями, а тождественными подстановками. В качестве примера на рис. 4 указан результат для группы <0, хй2.
Рис. 4. Результаты работы программы для группы
х Z,
51
No. 6 (54) 2014
Опция 4: Представление подстановок в виде композиции транспозиций специального вида.
Некоторые комбинаторные задачи, задачи о симметрических функциях, задачи о вычислении орбит и стабилизаторов требуют представления подстановок в виде композиции транспозиций о, у, в которых I или у фиксировано. Пользователю, выбравшему опцию 4, необходимо указать не только номер нужной ему группы, но и зафиксировать число /. Пример диалога с пользователем и предоставляемые комплексом результаты для группы Ъ2 х Ъ8 показаны на рис. 5.
Опция 5: Вычисление подгрупп и нормальных делителей.
Одной из важнейших задач является нахождение всех подгрупп в заданной группе и выделение среди них нормальных делителей. Выбрав опцию 5, пользователь получает перечисление подгрупп либо в терминах образующих элементов группы, либо в терминах какой-нибудь удобной реализации (в частности, естественные реализа-
ции используются комплексом для всех ди-эдральных групп, для группы кватернионов или (полу)прямого произведения этой группы с другими, для групп ип := {г е ZI г" = 1}. На рис. 6 представлен результат для группы D8 х Ъ2, в котором все данные записаны в терминах образующих элементов р, q и г группы D8 х Ъ2. Напротив, на рис. 7 приведены результаты для группы D12 — они выражены в терминах конкретной реализации диэдральной группы D12, а именно: эта группа реализована как группа преобразований плоскости, переводящих в себя правильный шестиугольник А1А2 А А4 А5 А6 и, следовательно, состоящая:
• из тождественного преобразования ^
• поворотов г60, г120.....г300 на углы соответственно 60, 120, ..., 300 градусов относительно центра шестиугольника;
• симметрий э1, s2, s3 плоскости относительно прямых, проходящих через противоположные вершины шестиугольника, т. е. соответственно прямых А1А4, А2А5
и А А6;
• симметрий s1*, s2, относительно прямых, проходящих через середины про-
Рис. 5. Результаты работы программы для группы Ъ2 х Ъ8
№ 6 (54) 2014
Рис. 6. Результаты работы программы для группы D8 х Ъ2
Рис. 7. Результаты работы программы для группы D1.
тивоположных сторон шестиугольника, т. е. соответственно прямых М1М4, М2М5 и М3М6, где М; — середина стороны А А
(/+1) mod6■
Опция 6: Вычисление смежных классов группы по подгруппе.
Эта опция предусмотрена для вычисления левых и правых смежных классов вы-
No. 6 (54) 2014
journal of appued informatics
fffl Pascal ABC X 1
1 Файл Правка Вид Программа Сервис Помощь
н & в е J а % a J»*> | $- ф |
• compleK_wi<h_e_ aims, pas |
subgroup 2£ -
left соsets
J(l,id),(l, (12) (34) } I
i(l, (13) <24)),<1,{14)(23)П
((i,id)),Ji,(12)(34))}
((i,(13)(24))r(ir(14)(23)))
right соsets
((1,id),(1,(12)(34)1)
(d, (13) (24)1,(1,(14) (23)))
Ш,Wl), И, (12) (341)}
{(1,(13)(24)),(iH(14)(23)))
subgroup 23
left cosets
( (1, id), (1,(13)(24))1 □
fd, (12) (34)), (1,{14) (23)))
1(1,id)),(l,(13|(24|))
((1,(12)(34)1,(i,(14)(23)))
.1« ; ►
Ввод данных: |"
| Строка:! Столбец:! ¡Программа выполняется
Рис. 8. Результаты работы программы для группы ЪА х К
бранной пользователем группы по всем ее подгруппам. На рис. 8 приведены результаты, которые дает комплекс для группы
Z4 х K.
Опция 7: Вычисление нормализаторов и централизаторов групп.
Нормализатором подгруппы Н группы G называют подгруппу в G, состоящую из всех элементов д е G, для которых внутренними автоморфизмами уд :а ^ д~1ад подгруппа Н переводится в себя. Централизатором для Н является подгруппа, состоящая из всех элементов группы G, коммутирующих со всеми элементами подгруппы Н. Для пользователя, выбравшего опцию 6 и указавшего номер нужной ему группы, комплекс выдает список подгрупп с их нормализаторами и централизаторами. На рис. 9 показано, как выглядит этот список для двадцатиэлементной группы Фробениуса F.
Опция 8: Проверка Т- и С-условий.
В решении некоторых теоретико-групповых задач заметную роль играет в последнее время понятие Т-группы. Так называ-
ется группа G, в которой «отношение нормальности транзитивно, т. е. для любых подгрупп Н1 и Н2, где Н1 является нормальным делителем в Н2, а Н2 — нормальным делителем в G, подгруппа Н1 нормальна в G. С другой стороны, активно изучаются свойства конечных групп, близких к нормальным делителям. Появились понятия, например, перестановочных подгрупп, с-нормальных, s-квазиперестановочных, cs-нормальных подгрупп. В частности, подгруппу Н в G называют с-нормальной, если в G существует такой нормальный делитель N, что HN = G и подгруппа N п Н лежит в подгруппе С, являющейся пересечением образов подгруппы Н, получающихся при всех внутренних автоморфизмах группы G.
Опция 8 позволяет проверить, во-первых, является ли интересующая пользователя группа Т-группой, и во-вторых, найти в этой группе все с-нормальные подгруппы. При решении первой задачи комплекс либо пишет а Т-дгоир», либо указывает пары (Н1, Н2) подгрупп, на которых нарушается отношение транзитивности. При решении второй задачи для каждой подгруп-
54
№ 6 (54) 2014
Рис. 9. Результаты работы программы для группы F
пы указывается ее ядро и, если подгруппа с-нормальна, сообщается об этом и указывается дополнение подгруппы. Например, для знакопеременной группы A4 запись
Core of subgroup 5 is subgroup 1 Subgroup 5 is c-normal (N=9),
в которой 5, 1 и 13 суть номера подгрупп (детальное описание которых можно получить, используя опцию 5), означает, что подгруппа, состоящая из тождественной подстановки id и подстановок (1 5 9)(2 8 11)(3 6 12)(4 7 10) и (1 9 5)(2 11 8)(3 12 6)(4 10 7), с-нормальна, причем ее ядром является тривиальная подгруппа, а дополнением — подгруппа N = {id, о, т, у}, где
о := (1 2)(3 4)(5 6)(7 8)(9 10)(11 12), т := (1 3)(2 4)(5 7)(6 8)(9 11)(10 12), Y := (14)(2 3)(5 8)(6 7)(9 12)(10 11).
Некоторые особенности комплекса
Отметим три важные особенности комплекса. Во-первых, он легко может быть пополнен новыми опциями. Во-вторых, библи-
отека групп, с которыми он работает, также легко пополняется добавлением нового М-файла в специальную папку на жестком диске компьютера. В-третьих, результаты, которые выдает комплекс при реализации опций 1-7, представлены в удобном для пользователя виде: либо в терминах образующих элементов групп, либо в терминах какой-нибудь наглядной реализации группы (в таком виде результаты приводятся, например, для диэдральных групп).
Остановимся подробнее на некоторых новых опциях, которые легко могут быть добавлены к настоящему комплексу.
Вычисление группы гомоморфизмов групп. Известно, что для всякой группы G и любой абелевой группы Н множество Нот^, Н) гомоморфизмов GIH является группой относительно бинарной операции (ф, у) ^ ф* у на множестве Нот^,Н), в результате которой из гомоморфизмов ф и ^ получается новый гомоморфизм ф*у, действующий по формуле [ф*у](а) = ф(а)у(а). Новая опция может быть посвящена вычислению групп гомоморфизмов. Подробнее о компьютерном решении этой задачи можно прочитать, например, в работе [6].
No. 6 (54) 2014
journal of appüed informatics
Проверка гомоморфной устойчивости упорядоченных пар групп. Для всякого гомоморфизма ф: GI H группы G в группу G множество
1тф := {ф(а) I a е G}, называемое образом гомоморфизма ф, является подгруппой группы H. Известно, что для всякого семейства {H, I/ е /} подгрупп
группы H их пересечение f>|H/ также яв-
/ е/
ляется подгруппой в H. Для пересечения UH это не всегда является верным. Упо-
/ е
рядоченная пара групп (G, H) называется гомоморфно устойчивой, если объединение всех гомоморфных образов группы G в группу H является подгруппой в H. В работе [1] показано, что если H — абелева группа, а группа G периодична (все ее элементы имеют конечный период), то пара (G, H) гомоморфно устойчива. Поскольку всякая конечная группа периодична, то все пары (G, H) с абелевой группой H оказываются гомоморфно устойчивыми. Другие случаи пар (G, H) требуют проверки.
Гомоморфная устойчивость называется сильной, если объединение гомоморфных образов является нормальным делителем.
Соответствующая опция комплекса призвана определять, является ли пара введенных пользователем групп гомоморфно и сильно гомоморфно устойчивой. Подробно об этой задаче см. в [5, 6].
Вычисление групп автоморфизмов и внутренних автоморфизмов групп. Как известно, множество преобразований произвольного множества M (т. е. множество взаимно однозначных отображений M ^ M) образует группу Symm M относительно композиции преобразований. Для произвольной группы G подмножество автоморфизмов в группе Symm G является подгруппой, которую принято обозначать Aut G. Особую роль, как известно, играют внутренние автоморфизмы фд : а ^ g~1ag, которые образуют подгруппу Inn G в Aut G. Еще одна добавленная к комплексу опция может вычислять
группы Aut G и Inn G для заданной пользователем группы G.
Вычисление подгрупп, близких по-своим свойствам к нормальным делителям. Опция 8 позволяет, в частности, выделить в заданной пользователем группе с-нормальные подгруппы. Однако в последнее время в научных статьях (авторами которых в большинстве случаев являются представители гомельской научной школы по теории конечных групп, их коллеги из университетов Гонконга, московские математики В. А. Ведерников, В. Н. Княгина, В. С. Монахов) рассматриваются другие важные обобщения нормальных делителей: квазинормальные, cs-нормальные, с*-нормальные и т. д. подгруппы [12-17, 20, 21]. Так, подгруппа называется квазинормальной, если перестановочна со всякой подгруппой. Ядром подгруппы H группы G называют максимальный нормальный делитель N группы G, удовлетворяющий включению N с H. Обычно ядро обозначают CoreH. Для вычислений более пригодно другое определение ядра: CoreH :=f]фд(H), где под фд понимается внутренний автоморфизм а ^ д группы G и под фд(H) — образ подгруппы H при таком автоморфизме. Так как всякий нормальный делитель сопряжен себе относительно любого внутреннего автоморфизма, то ядром нормального делителя является он сам. Подгруппа H группы G называется с-нормальной, если существует такая нормальная подгруппа N в G, что G = HN и N n H с CoreH. Абелевы группы представляют собой наиболее простой случай из описанных выше: все они суть Т-группы и все их подгруппы квази- и с-нормальны.
Сформулированные выше некоторые обобщения понятия нормального делителя, оказывается, позволяют описывать строение конечных групп и тесно связаны с такими свойствами, как разрешимость, нильпотентность, суперразрешимость. Приведем примеры. Хорошо известно, что произведение двух нильпотентных подгрупп есть также нильпотентная группа, а для суперразрешимых групп аналогичное утверждение
56
№ 6 (54) 2014
Рис. 10. Работа пакета MAGMA
не является верным. В 70-х годах XX века показано, что для того чтобы произведение НН нормальных суперразрешимых подгрупп Н и Н было суперразрешимой подгруппой, должно выполняться хотя бы одно из условий: 1) коммутант группы НН ниль-потентен; 2) индексы ^: Н) и ^: Н) подгрупп Н и Н взаимно просты. В конце 80-х получено достаточное условие суперразрешимости произведения НН нормальных суперразрешимых подгрупп сформулировано уже в терминах перестановочности: достаточно, чтобы всякая подгруппа из Н была перестановочной с любой подгруппой из Н. Еще один критерий суперразрешимости в терминах перестановочности подгрупп найден совсем недавно: группа G суперразрешима в том и только том случае, если ее можно представить в виде G = АВ, где А перестановочна со всякой максимальной подгруппой в В, а В удовлетворяет тому же условию относительно А (т-перестановочность. Аналогичный критерий в терминах перестановочности р-подгрупп установлен для р-нильпотентности]. Отметим, что группы, в которых все подгруппы перестановочны, связаны с так называемыми локально градуированными группами. Аналогичные примеры, связанные с с-нормальностью и ее обобщениями, можно увидеть, в частности, в [18].
Добавление к комплексу новой опции, реализующей вычисление таких подгрупп
в заданной пользователем группе, позволяет перейти к решению самых современных задач, рассматриваемых в наше время специалистами в теории конечных групп.
Отметим, что некоторые из идей, использованных при создании комплекса, а также идеи по его применению в образовательном процессе можно найти в работах [3, 4, 19] и книге [2].
Заключение
В настоящее время существует несколько специализированных вычислительных пакетов для решения теоретико-групповых задач: CAYLEY, Magma, GAP, FGB, ESG и др. Часть из них является свободно распространяемыми (например, GAP), другая часть приобретается у производителя. К таким пакетам относится, в частности, Magma, созданная в Университете Сиднея под руководством Джона Кэннона. На рис. 10 запечатлена работа пакета Magma; снимок сделан одним из авторов этой статьи в лаборатории вычислительной алгебры Университета Сиднея.
Перечисленные пакеты могут применяться и в образовательном процессе (об использовании специализированных вычислительных пакетов CAYLEY, Magma и FGB при изучении теоретико-групповых тем в алгебре можно прочитать в работах [7-11]), однако наиболее пригодны они все-таки для профессиональных исследователей. Описанный в этой статье программно-вычислительный комплекс хотя и обладает более скромными возможностями, хорошо подходит именно для использования в образовательном процессе, позволяя визуализировать наиболее фундаментальные понятия и факты теории (конечных) групп, обычно представляющиеся студентам высоко абстрактными.
Список литературы
1. Гриншпон С. Я. Гомоморфная устойчивость абе-
левых групп // Фундаментальная и прикладная
математика. 2008. Т. 14. № 5.
NO. 6 (54) 2014
journal of applied informatics
2. Шилин И. А. Введение в алгебру. Группы. СПб.: Лань, 2012.
3. Шилин И. А., Александров А. А. Нормализаторы и централизаторы подгрупп в неабелевых группах малого порядка // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. № 3.
4. Шилин И. А., Александров А. А. Применение программирования и вычислительных пакетов при изучении теории групп // Информатизация образования и науки. 2012. № 4.
5. Шилин И. А., Китюков В. В. Гомоморфная устойчивость пар групп малого порядка // Прикладная дискретная математика. 2011. Т. 4. № 4.
6. Шилин И. А., Китюков В. В., Александров А. А. Вычисление групп гомоморфизмов и проверка гомоморфной устойчивости пар конечных групп // Прикладная информатика. 2012. № 1.
7. Boston N. A use of computers to teach group theory and introduce students to research // Journal of Symbolic Computations, 1997, vol. 23, no. 5-6.
8. Cannon J. J., Playoust C. E. Magma: a new computer algebra system // Euromath Bulletin, 1996, vol. 2, no. 1.
9. Cannon J. J., Playoust C. E. Using the Magma computer algebra system in abstract algebra courses // Journal of Symbolic Computations, 1997, vol. 23, no. 5-6.
10. Cannon J. J., Richardson J. Cayley: teaching group theory by computer // ACM SIGSAM Bulletin, 1984, vol. 18, no. 4.
11. Ceppelman E, Webb B. Learning beginning group theory with Finite Group Behavior // Innovations in teaching abstract algebra. MAA Notes, vol. 60, 2002.
12. Chao F., Guo H. Finite groups with some ss-quasinormal and c-normal subgroups // Frontiers of Mathematics in China, 2010, vol. 5, no. 2.
13. Jaraden J. J., Skiba A. N. On c-normal subgroups of finite groups // Communications in Algebra, 2007, vol. 35, no. 11.
14. Kong Q. Finite groups with s-quasinormally embedded or ss-quasinormal subgroups // Acta Mathe-matica Hungarica, 2014, vol. 142, no. 2.
15. Li S. R. On s-quasinormal and c-normal subgroups of a finite group // Acta Mathematica Sinica, English Series, 2008, vol. 24, no. 4.
16. Long M. On c-normal subgroups in finite groups // Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 2001, vol. 25.
17. Shen Z., Li S. R., Zhang J. On ss-quasinormal and s-quasinormally embedded subgroups of finite groups // Mathematical Notes, 2014, vol. 95, no. 1-2.
18. Wang Y., Wei H. C#-normality of groups and its properties // Algebras and Representation Theory,
2013, vol. 16, no. 1.
19 Shilin I. A. Some programming problems for teaching group theory // International journal of Mathematical Education in Science and Technology,
2014, vol. 45, no. 3.
20. Wei H. Q, Gu W. P., Pan H. F. On c*-normal subgroups in finite groups // Acta Mathematica Sinica, English Series, 2012, vol. 28, no. 3.
21. Zhao Z. Finite groups with weakly s-quasinormal subgroups // Mathematica Slovaca, 2012, vol. 62, no. 3.
References
1. Grinshpon S. Ja. Gomomorfnaja ustojchivost' abelevyh grupp. Fundamental'naja i prikladnaja matematika, 2008, vol. 14, no. 5.
2. Shilin I. A. Vvedenie valgebru. Gruppy. Spb.: Lan', 2012.
3. Shilin I. A., Aleksandrov A. A. Normalizatory i cen-tralizatory podgrupp v neabelevyh gruppah malo-go porjadka. Komp'juternye issledovanija i mode-lirovanie, 2012, no. 3.
4. Shilin I. A., Aleksandrov A. A. Primenenie program-mirovanija i vychislitel'nyh paketov pri izuchenii teo-rii grupp. Informatizacija obrazovanija i nauki, 2012, no. 4.
5. Shilin I. A., Kitjukov V. V. Gomomorfnaja ustojchivost' par grupp malogo porjadka. Prikladnaja diskretnaja matematika, 2011, vol. 4, no. 4.
6. Shilin I. A., Kitjukov V. V., Aleksandrov A. A. Vy-chislenie grupp gomomorfizmov i proverka go-momorfnoj ustojchivosti par konechnyh grupp. Prikladnaja informatika, 2012, no. 1.
7. Boston N. A use of computers to teach group theory and introduce students to research. Journal of Symbolic Computations, 1997, vol. 23, no. 5-6.
8. Cannon J. J., Playoust C. E. Magma: a new computer algebra system. Euromath Bulletin, 1996, vol. 2, no. 1.
58 j
№ 6 (54) 2014
9. Cannon J. J., Playoust C. E. Using the Magma computer algebra system in abstract algebra courses. Journal of Symbolic Computations, 1997, vol. 23, no. 5-6.
10. Cannon J. J., Richardson J. Cayley: teaching group theory by computer. ACM SIGSAM Bulletin, 1984, vol. 18, no. 4.
11. Ceppelman E., Webb B. Learning beginning group theory with Finite Group Behavior. Innovations in teaching abstract algebra. MAA Notes, volume 60, 2002.
12. Chao F., Guo H. Finite groups with some ss-quasinormal and c-normal subgroups. Frontiers of Mathematics in China, 2010, vol. 5, no. 2.
13. Jaraden J. J., Skiba A. N. On c-normal subgroups of finite groups. Communications in Algebra, 2007, vol. 35, no. 11.
14. Kong Q. Finite groups with s-quasinormally embedded or ss-quasinormal subgroups. Acta Mathemat-ica Hungarica, 2014, vol. 142, no. 2.
15. Li S. R. On s-quasinormal and c-normal subgroups of a finite group. Acta Mathematica Sinica, English Series, 2008, vol. 24, no. 4.
16. Long M. On c-normal subgroups in finite groups. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 2001, vol. 25.
17. Shen Z., Li S. R., Zhang J. On ss-quasinormal and s-quasinormally embedded subgroups of finite groups. Mathematical Notes, 2014, vol. 95, no. 1-2.
18. Wang Y., Wei H. C#-normality of groups and its properties // Algebras and Representation Theory,
2013, vol. 16, no. 1.
19. Shilin I. A. Some programming problems for teaching group theory. International journal of Mathematical Education in Science and Technology,
2014, vol. 45, no. 3.
20. Wei H. Q., Gu W. P., Pan H. F. On c*-normal subgroups in finite groups. Acta Mathematica Sinica, English Series, 2012, vol. 28, no. 3.
21. Zhao Z. Finite groups with weakly s-quasinormal subgroups. Mathematica Slovaca, 2012, vol. 62, no. 3.
A. Alexandrov, Postgraduate of Sholokhov Moscow State University for the Humanities (MSUH), [email protected]
I. Shilin, PhD in Physics & Mathematics, Associate Professor of Sholokhov Moscow State University for the Humanities (MSUH), [email protected]
One the computing complex for solving problems related to finite groups1
In this article we describe the special computing program created at The Center for Research and Education in Mathematics of Sholokhov Moscow State University for the Humanities. This program is created for university students learning an important part of abstract algebra course known as group theory. It is well known that teaching and learning group theory have a lot of difficulties related to very abstract level of group theory concepts. It means, in particular, that students need any methods to visualize these concepts. Nowadays universities have good software for group theoretical researches (for instance, GAP, Magma, Cayley, etc.), but all these computer algebra systems are very useful for namely for researches and almost useless for students because they want to see how to solve a problem step by step. The main goal of our program is to help students to take part in solving of the most typical problems arising in finite group theory. By using this program, the student can find all subgroups of a given group, separate all normal divisors, obtain the normalizer and centralizer for a subgroup, compute left and right cosets with respect to a given normal divisor, represent a given group as a group of permutations (to embed a group to appropriate symmetric group), represent a permutation as a product of independent cycles and a composition of transposition (of general and special forms), compute the order and power of a permutation. This program contains the library of more than 50 finite groups. It is easy to add new options to our program for example, (to compute the automorphism and homomorphism groups for a given group of pair of groups, where the second group is Abelian).
Keywords: computing complex, finite group, permutation group, subgroup, normal subgroup, normalizer, centralizer, T-group, c-normal subgroup.
1 This work had done in 2012-2013 and was supported by the grant 2012-1.3.2-12-000-1005-001 of Ministry of Education and Science of the Russian Federation.
