CC BY
22
ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 512.24
ОСОБЕННОСТИ МАШИННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
А.П. Горюшкин1,2
1 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
2 Филиал Дальневосточного Федерального государственного университета, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Тушканова, 11/1
E-mail: as2021@mail.ru
В статье демонстрируются особенности машинного исследования внутреннего строения конечных и бесконечных дискретных групп.
Ключевые слова: группа, подгруппа, порядок подгруппы, свободное произведение
(с) Горюшкин А.П., 2013
INFORMATION AND COPMPUTATION TECHNOLOGIES
MSC 18A32
ON SUBGROUPS OF ALMOST AMALGAMATED FREE PRODUCT TWO GROUPS WITH FINITE AMALGAMATED SUBGROUP
A.P. Goryushkin1,2
1 Kamchatka State University by Vitus Bering, 683032, Petropavlovsk Kamchatskiy, Pogranichnaya st, 4, Russia
2 Branch of the Far Eastern Federal State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Tushkanova st., 11/1
E-mail: as2021@mail.ru
The article demonstrates the features of the machine study of the internal structure of finite and infinite discrete groups.
Key words: group, subgroup, the order of the subgroup, free product
(c) Goryushkin A.P., 2013
Введение
Многие важные для приложений группы порождаются всего лишь двумя элементами. В случае конечности таких групп в отдельных случаях удается использовать при их изучении компьютерную технику.
При исследовании же бесконечных дискретных групп, порожденных двумя элементами, иногда можно использовать свойства свободного произведения групп с объединенной подгруппой. Строение некоторых дискретных групп такого вида обсуждаются в [1] и [2]. В этих работах результаты получены «вручную» без помощи вычислительной техники. Здесь эти результаты проверяются с помощью машинных вычислений и благодаря этому получают некоторые уточнения и обобщения. Кроме того, с помощью техники удается частично ответить на один вопрос из [3].
Группы Gp с представлением < a, b; a2=bp= (ab)3= (brab-2ra)2= 1 >
Рассмотрим 2-порожденные группы
Gp =< a, b; a2 = bp = (ab)3 = (brab-2ra)2 = 1 >,
где r2 +1 = 1(mod p). Существование числа r такого, что r2+ 1 = 1(mod p) для нечетного простого p означает, что p =1(mod 4), и, следовательно, p е {2, 5, 13, 17, 29, ... }.
Для первых двух значений чисел p исследовать группы Gp легко и «вручную». Для p = 2 число r = 1, и таким образом:
G2 =< a, b; a2 = b2 = (ab)3 = (bab-2a)2 = 1 > .
Соотношение (bab-2a)2 = 1 в этой группе превращается в тривиальное. Таким образом:
G2 =< a, b; a2 = b2 = (ab)3 = 1 > .
Однако для демонстрации возможностей техники покажем, что последнее соотношение следует из первых трех, просто вычислив порядок группы до и после удаления из представления этого соотношения. При машинном исследовании группы будем использовать пакет символьных математических вычислений Maple:
> with(group):
> G2: = grelgroup({a, b}, {[a, a], [b, b], [a, b, a, b, a, b], [b, a, 1/b, 1/b, a, b, a, 1/b, 1/b, a]}):
> grouporder(G2);
6
> G20: = grelgroup({a, b}, {[a, a], [b, b], [a, b, a, b, a, b]}); > grouporder(G20);
6
Порядок не изменился, поэтому группа задается не четырьмя, а тремя соотношениями, и порядок этой группы равен шести.
Дальнейшие рассуждения излишни: полученное представление принадлежит симметрической группе S3.
Впрочем, можно убедиться в этом и явно, используя лишь тот факт, что £з порождается двумя транспозициями. Представим группу 02 подстановками правых смежных классов по подгруппе, порожденной элементом а, и в результате получим изоморфную копию группы 02. Эта копия является группой £3:
> H := subgгel({y = Ы}, G2):
> P2:=peгmгep(H);
> gгoupoгdeг(P2);
Р2 := peгmgгoup(3, {а = [[2, 3]], Ь = [[1, 2]]})
6
Группа 02 исследована.
Группа О5 имеет копредставление:
05 =< а, Ь; а2 = Ь5 = (ab)3 = (Ь2аb-4а)2 = 1 > .
Снова покажем сначала, что последнее определяющее соотношение следует из трех первых. Сейчас это уже не так очевидно, как для группы 02, но с помощью техники устанавливается так же легко:
> with(gгoup):
> G5: = gгelgгoup({а, Ь}, {^, a], [Ь$5], [a, Ь, a, Ь, a, Ь], [Ь$2, a, 1/Ь$4, a, Ь$2, a, 1/ Ь$4^]}):
> gгoupoгdeг(G5);
60
> G50: = gгelgгoup({a, Ь}, {^, a], [Ь$5], [a, Ь, a, Ь, a, Ь]}): gгoupoгdeг(G50);
60
Порядок группы после удаления последнего соотношения не изменился, а это и означает, что последнее четвертое является следствием первых трех. Таким образом:
05 =< а, Ь; а2 = Ь5 = ^)3 > .
Покажем, что группа 05 изоморфна знакопеременной группе А5 .
Рассмотрим подгруппу Н в А5, порожденную двумя подстановками:
а = (1 2)(3 4);Ь =(1 2 3 4 5).
Хотя это несложно и «вручную», элемент ab = (1 3 5) вычислим на компьютере. Заодно найдем порядок группы, порождённой элементами а, Ь:
> № = peгmgгoup(5, ^ = [[1, 2], [3, 4]], Ь = [[1, 2, 3, 4, 5]]});
> conveгt([a,b],’disjcyc’,H);
[[1,3,5]]
> gгoupoгdeг(H);
Н = регт#гоир(5,{а = [[1,2], [3,4]],Ь = [[1,2,3,4,5]]})
60
Итак, подгруппа Н группы А5 совпадает со всей группой А5. Кроме того, определяющие соотношения группы 05 выполняются в группе Н. Это значит, что Н -гомоморфный образ группы 05. Однако обе эти группы состоят из одинакового числа элементов, и, следовательно, гомоморфизм является изоморфизмом.
Таким образом, 05 изоморфна А5. Устройство этой группы тоже несложно; группа 05 проста.
Для р = 13 параметр г = ±5, и группа О13 имеет копредставление:
О13 =< а, Ь; а2 = Ь13 = (ab)3 = (Ь^Ь-10^2 = 1 > .
Сначала вычислим порядок группы О13:
> ’шШ^гоир):
> 013: = gгelgгoup({a, Ь}, {[а, а], [Ь$13], [а, Ь, а, Ь, а, Ь], [Ь$5, а, 1/Ь$10, а, Ь$5, а, 1/Ь$10, а]});
> gгoupoгdeг(013):
1092
Для дальнейшего исследования эту группу придется представить подстановками.
В группе О13 возьмем подгруппу Н, порожденную элементом aba-1Ь-1ab. Подгруппа Н не содержит неединичных нормальных подгрупп группы О13, индекс Н в О13 равен 84. Таким образом, группу О13 можно изоморфно представить сдвигами правых смежных классов по Н или, другими словами, подстановками 84-й степени:
> Н : = suЬgгel({y = [а, Ь, 1/а, 1/Ь, а, Ь]}, 013):
> 0: = регтгер(Н);
> gгoupoгdeг(G);
О := peгmgгoup(84 а = [[1, 2], [3, 4], [5, 32], [6, 55],
[7, 34], [8, 44], [9, 15], [10, 19], [11, 54], [12, 31], [13, 60],
[14, 33], [16, 18], [17, 81], [20, 53], [21, 67], [22, 29], [23, 73], [24, 80], [25, 26],
[27, 40], [28, 66], [30, 72], [35, 71], [36, 38], [37, 79], [39, 70], [41, 61], [42, 46],
[43, 56], [45, 62], [47, 57], [48, 50], [49, 82], [51, 58], [52, 68], [59, 69], [63, 65],
[64, 84], [74, 75], [76, 83], [77, 78]],
Ь = [[1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 3], [15, 62, 61, 25, 24, 23, 22, 21, 20,
19, 18, 17, 16], [26, 27, 28, 29, 30, 31, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 77], [32, 33, 69, 68, 67,
66, 65, 64, 63, 40, 41, 42, 43], [44, 71, 70, 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, 46, 45], [55,
56, 57, 58, 59, 60, 72, 73, 74, 76, 75, 80, 8]]).
1092
Покажем, что группа О13 тоже проста. Возможности техники позволяют просто перебрать все ее элементы и проверить, как выглядят нормальные замыкания для каждого элемента. Если окажется, что нормальное замыкание некоторого элемента является нетривиальным нормальным делителем, то исследуемая группа не проста.
Проще всего сделать такой перебор (с большим запасом прочности) случайным образом:
> for i from 1 to 10000 do if grouporder
(Normal Closure( permgroup (84, {RandElement(G)}), G))
< 1092 and grouporder (NormalClosure (permgroup(84, {RandElement(G)}),G))
> 1 then print( "G13 не проста") else fi od;
Работа программы заканчивается, а надпись «G13 не проста» так и не появилась. Это значит, что группа G13 проста.
Теперь пусть p = 17, тогда r = ±4. Копредставление G17 имеет вид:
G17 =< a, b; a2 = b17 = (ab)3 = (b4ab-8a)2 = 1 > .
Группа G17 содержит 2448 элементов, и ее можно изоморфно представить группой подстановок правых смежных классов по подгруппе H = ^(aba):
> G17: = grelgroup({a, b}, {[a, a], [b$17], [a, b, a, b, a, b], [b$4, a, 1/b$8, a, b$4, a, 1/b$8, a]}); grouporder(G17);
2448
> grouporder(pres(subgrel({x=[a,b,a]}, G17)));
17
> H := subgrel({y=[a,b,a]},G17):
G:=permrep(H):grouporder(H);
2448
Отображение, переводящее элемент a из G17 в подстановку:
[[1, 2], [3, 4], [5, 47], [6, 49], [7, 19], [8, 33], [9, 62], [10, 46], [11, 32], [12, 28], [13, 84], [14, 123], [15, 36], [16, 27], [17, 54], [18, 48], [20, 103], [21, 106], [22, 24], [23, 139], [25, 105], [26, 37], [29, 31], [30, 140], [34, 115], [35, 124], [38, 104], [39, 56], [40, 78], [41, 42], [43, 111], [44, 134], [45, 129], [50, 95], [51, 121], [52, 117], [53, 96], [55, 79], [57, 58], [59, 69], [60, 76], [61, 83], [63, 128], [64, 101], [65, 136], [66, 131], [67, 92], [68, 88], [70, 71], [72, 99], [73, 75], [74, 138], [77, 82], [80, 81], [85, 86], [87, 98], [89, 91], [90, 142], [93, 130], [94, 109], [97, 116], [100, 137], [102, 122], [107, 108], [110, 133], [112, 113], [114, 143], [118, 120], [119, 144], [125, 127],
[126, 141], [132, 135]],
а элемент b - в подстановку
[[1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4], [19, 95, 102, 101, 100, 99, 98, 97, 96, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20], [28, 29, 30, 31, 32, 129, 132, 131, 130, 107, 106, 105, 104, 58, 59, 60, 61], [33, 103, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 113, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34], [42, 43, 44, 45, 46, 128, 122, 121, 120, 119, 118, 117, 116, 85, 84, 83, 82], [47, 48, 79, 78, 77, 76, 71, 72, 73, 74, 75, 137, 136, 135, 134, 133, 81], [49, 80, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50], [62, 115, 127, 126, 125, 124, 123, 86, 87, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63]],
реализует этот изоморфизм.
Точно таким же приемом, как и для группы G13, можно установить простоту G17. При p = 29 параметр r±12, и
G29 =< a, b; a2 = b29 = (ab)3 = (b12ab-24a)2 = 1 > .
Введем новый порождающий элемент c = ab. Тогда копредставление группы G29 принимает вид:
G29 =< a, c; a2 = 1, c3 = 1, (a-1c)29 = 1, (ca-1)n(ac-1 )24a(ca-1 )12c(ac-1)24a = 1 >.
Таким образом, группа G29 является фактор-группой свободного произведения
G =< a;a2 = 1 > * < c : c3 = 1 >
двух циклических групп порядков 2 и 3, факторизуемого по нормальному замыканию элементов:
r = (a-1c)29; q = (ca-1)11 (ac-1)24a(ca1)12c(ac-1)24.
Для симметризированного множества R, состоящего из циклических перестановок слов r, q, r-1, q-1, в группе G выполняется условие C (1); поэтому каждый неединичный элемент из нормального замыкания множества N =< r, q >G в группе G содержит в качестве внутреннего сегмента левую половину некоторого элемента из R.
Это означает, в частности, что N имеет единичное пересечение с подгруппой ^(cac), порожденной элементом cac бесконечного порядка. Отсюда следует, что фактор-группа G N = G29 бесконечна.
О группах G(n) с представлением <a, b; an= 1,ab=b3a3 >
Группа G(2) имеет копредставление:
G(n) =< a, b; a2 = 1, ab = b3a3 >=< a, b; a2 = 1, aba-1 = b3 > .
Найдем порядок группы G(2) и представим ее группой подстановок правых смежных классов по подгруппе, порожденной элементом a:
> with(group):
G1 := grelgroup({a,b}, {[a$2],[a,b,1/a,1/a,1/a,1/b,1/b,1/b]}): grouporder(G1);
16
> H := subgrel({y=[a]},G1):
GP:=permrep(H);
> grouporder(GP);
16
> GP := permgroup(8,{[[2, 3], [4, 6], [7, 8]], [[1, 2, 4, 3, 5, 7, 6, 8]]}):
> isabelian(GP);
false
> H:=permgroup(8,{[[2, 3], [4, 6], [7, 8]]})~
> isnormal(GP,H);
false
> grouporder(derived(GP));
4
Итак, группа полупрямым произведение циклической группы порядка 2 и циклической порядка 8. Отметим, что попутно найден порядок и индекс коммутанта группы G(2).
Группа G(3), имеет копредставление:
G(3) =< a, b; a3 = 1, ab = b3a3 > .
Это копредставление легко преобразовать, не обращаясь за помощью к вычислительной технике:
G(3) =< a, b; a3 = 1, ab = b3 >=< a, b; a3 = 1, a = b2 >=< b; b6 = 1 > .
Группа G(3) оказалась циклической порядка шесть.
Компьютерные вычисления это подтверждают:
> with(group):
> G3 := grelgroup({a, b}, {[a$3], [a, b, 1/a, 1/a, 1/a, 1/b, 1/b, 1/b]}):
> E := subgrel({x = [ ]},G3):
> PG3:=permrep(E);
> grouporder(PG3);
6
PG3 := permgroup(6, {a = [[1, 2, 3], [4, 6, 5]], b = [[1, 5, 2, 4, 3, 6]]})
Подстановка b имеет шестой порядок в группе из шести элементов, а это и означает, что группа эта циклическая.
При n = 4 получаем копредставление:
G(4) =< a, b; a4 = 1, ab = b3a3 > .
При машинном вычислении порядка группы G(4) компьютер после нескольких минут работы сообщает, что порядок группы «слишком большой».
Покажем, что в этом случае, когда машина бессильна, порядок группы действительно слишком большой - эта группа бесконечна.
Пусть с = ab, тогда а = ^ !и а 1=bc 1, и группу
0(4) =< а, Ь; а4 = 1, ab = Ь3а -1 >
можно представить в виде:
G(4) =< a, b,с; a4 = 1,a = cb 1, с = b3bc 1 > .
Иначе говоря, представление 0(4) принимает вид:
0(4) =< Ь, с; Ь-1)4 = 1, с2 = Ь4 >.
Это значит, что 0(4) является фактор-группой свободного произведения 0 двух бесконечных циклических групп с объединенной подгруппой,
Фактор-группа О1 группы 0 по нормальному замыканию элемента с2 является свободным произведением
двух циклических групп. Сама же группа 0(4) - это фактор-группа группы 0 по нормальному замыканию N элемента г = (^-1)4. Для симметризованного множества К, состоящего из циклических перестановок слов г и г-1, в группе 0 выполняется
множества N в группе 0 содержит в качестве внутреннего сегмента левую половину некоторого элемента из К.
Ни один из элементов подгруппы Н, порожденной элементом Ь2с, не содержит в качестве внутреннего сегмента левой половины элемента из К. Следовательно, пересечение Н и N единично. Однако элемент Ь2с имеет бесконечный порядок, и, следовательно, фактор-группа 0/^ = 0(4) бесконечна.
Переходим к следующей группе такого вида; п = 5. Группа
конечна, и ее порядок можно вычислить машинным способом, но вычисление это будет небыстрое.
Кроме того, наша цель - исследовать и внутреннее строение этой группы. Поэтому и для ускорения машинных вычислений, и для исследования внутреннего строения группы проведем предварительные преобразования.
Введем в группе 0(5) еще один вспомогательный порождающий элемент с = ^^2. Тогда
Последнее соотношение означает, что подгруппа С нормальна в 0(5). Так как
G =< b, c; c2 = b4 > .
G =< b, c; b4 = 1, с2 = 1 >
условие
поэтому каждый неединичныи элемент из нормального замыкания
G(5) =< a, b; a5 = 1, ab = b3a3 >
0(5) =< а, Ь, с; а5 = 1,ab = Ь3а3,с = ^)2 > .
Из этих соотношений следует, что Ь10 = 1 и 11 = 1; и, кроме того, bcb-1 = с5.
aba 1b 1 = с 2
подгруппа С = гр(с) содержится в коммутанте К группы 0(5). Из того, что факторгруппа
< а, Ь, с; а5 = 1,ab = Ь3а3,с = ^)2,Ь10 = 1,11 = 1, аcа-1 = с9, Ь^-1 = с5,с = 1 > группы
< а, Ь, с; а5 = 1, ab = Ь3а3, с = ^)2,Ь10 = 1,11 = 1, aca-1 = с9, Ь^-1 = с5 > —
абелева, тогда следует обратное включение: С 1Э К.
Итак, коммутант К совпадает с подгруппой С, порядка 11, а факто-ргруппа по коммутанту имеет порядок 10. Следовательно, порядок группы 0(5) равен 110. Посмотрим, как с этой задачей справится вычислительная техника:
> 05: = £ге1£гоир({а, Ь, с},{[а$5], [а, Ь, 1/а, 1/а, 1/а, 1/Ь, 1/Ь, 1/Ь], [1/с, а,Ь, а, Ь]}):
> gгoupoгdeг(05);
110
> А := suЬgгe1({x=[1/а, Ь, с, 1/Ь, с, Ь, с]}, 05):
>А:= р^(А);
> gгoupoгdeг(A);
А := ,§ге1£гоир ({*} > { [л:, х, х, х, х, х, х, х ]})
10
> А := subgгe1({b = [Ь], с = [с]}, 05):
> А: = р^(А);
> gгoupoгdeг(A);
110
Представим группу 6(5) подстановками, заодно проверим её на абелевость и вычислим коммутант:
> Н:= subgгe1({y = [с, Ь, Ь]},05):
Р05:= peгmгep(H);gгoupoгdeг(P05);
PG5 := peгmgгoup(22, {Ь = [[1, 4, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 2, 3], [5, 6], [7, 18, 10, 19, 11, 22, 17, 20, 9, 21]], с = [[1, 2, 13, 17, 15, 6, 7, 8, 9, 10, 11], [3, 18, 4, 5, 22, 16,
19, 20, 21, 14, 12]]})
> Р05 := peгmgгoup(22, { [ [1, 4, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 2, 3], [5, 6], [7, 18, 10,
19, 11, 22, 17, 20, 9, 21] ], [1, 2, 13, 17, 15, 6, 7, 8, 9, 10, 11], [3, 18, 4, 5, 22, 16, 19,
20, 21, 14, 12] ]})
> isabe1ian(PG5);
/а/яе
K1 := penngroup (22, {[ ]})
> K:=derived(PG5):
> grouporder(K):
11
> K1:=deгived(K);
Теперь становится ясно, что группа 0(5) порождается элементами Ь, с и ее можно представить в виде:
0(5) =< Ь, с; Ь = 1,11 = 1, bcb 1 = с5 > .
Отсюда следует, что группа 0(5) является полупрямым произведением циклических групп:
С =< с; 11 = 1 >; В =< Ь; Ь10 = 1 >,
причем первая нормальна в 0(5), а вторая нет.
Переходим к исследованию группы 0(6). С помощью компьютера вычислим порядок этой группы:
> 06^^^^^, Ь}, {[а$6], [а, Ь, 1/а, 1/а, 1/а, 1/Ь, 1/Ь, 1/Ь]});
> grouporder(G6);
9072
Введем новый порождающий с = ab. Группу с новым порождающим обозначим тем же символом 6(6).
Найдем порядки элементов а, Ь, с в группе G(6):
> 06: = £геІ£гоир({а,Ь,с}, {[а$6], [1/е,а,Ь], [а, Ь, 1/а, 1/а, 1/а, 1/Ь, 1/Ь, 1/Ь]}):
> А := subgгel({a=[a]},G6):
> А:=р^(А);
A := grelgrowp({a},{[a,a,a,a,a,a]})
> grouporder(A);
> B := subgrel({b=[b]},G6):
> B:=pres(B): grouporder(B);
24
б
г і і 1 t і 11 Г 1 1 1 1 1 ПЛ
/■*7”VЬ- ь\ Iе’Vе’Ь’е‘ ь_]J
> С:= suЬgгel({c=[c]},06):
C:=pгes(C):
> gгoupoгdeг(C);
84
С помощью машины найдем представление нашей группы в порождающих Ь, с:
> 0:= subgгel({c=[c], Ь=[Ь]},06):
00:= р^(00)^гоиро^г(00);
9072
Подгруппа С = гр(с) имеет индекс 108 в группе 6(6), но изоморфно представить G(6) с помощью подгруппы С подстановками 108 степени не получится.
> Н := subgгel({y = [c]}, 06):
> S0:=peгmгep(H):
> gгoupoгdeг(S0);
432
Неточность представления означает, что в подгруппе С содержится нормальный
9072
делитель N группы G(6), причем порядок N равен ^ = 21. Другими словами, N = гр(с4).
Точное представление группы G(6) подстановками получается с помощью подгруппы гр(Ь), имеющей индекс 378 в группе G(6):
> В := subgгel({y = [Ь]}, 06):
> S1:= peгmгep(B);
> gгoupoгdeг(S1);
9072
Ввиду сравнительно большого размера эти подстановки здесь не приводятся. Читатель сам может проверить эти вычисления. Для работы с группой £1 ее необходимо снова ввести в компьютер, предварительно убрав символы «Ь =» и «c =» в полученном представлении группы £1.
Дальнейшие вычисления имеют вид:
> isabelian(S1);
/а/яе
> DeгivedS(S1):
> K:=deгived(S1):
> gгoupoгdeг(K);
756
> КІ:=бегІуеб(К):
> gгoupoгdeг(K1);
27
> K2:=deгived(K1):
> gгoupoгdeг(K2);
3
Итак, группа Є(6) - не абелева, но разрешима: порядок первого коммутанта равен 756, второго - 27, третьего - 3 (а четвертый коммутант, естественно, равен единице).
О группах 0(о, Ь) с представлением < х,у; х= [х, ау], у= [уьх]>
Следуя Р. Брандлу и Дж. С. Вильсону ([4]), обозначим [х, іу] = [х, у] и [х, п + іу] = [[х, пУ], у].
Ряд проблем для групп О(а, Ь) с представлением < х, у; х = [х, ау], у = [у, Ьх] > до сих пор остается нерешенным.
В частности, нет ответа на следующий вопрос Рольфа Брандла (задача 11.18 из [3], процитированная и в [5]).
Пусть О(а, Ь) = < х, у; х = [х, ау], у = [у, Ьх] >. Конечна ли группа О(а, Ь)? Легко показать, что О(1, Ь) = 1, и можно показать, что О(2, 2) = 1. Ничего неизвестно про О(2, 3).
Показать, что О(1, Ь) = 1 действительно очень легко. Из соотношения х = xyx-1y-1 следует х = 1, и поэтому при любом Ь имеем у =1. Кстати, машинным способом можно проверить это рассуждение лишь для конкретных значений Ь.
Проверим теперь компьютерным способом, что группа О(2, 2) тоже единичная. Неожиданно оказалось, что ответить на прямо поставленный вопрос, точнее команду «gmuporder», машина затрудняется.
Однако представления для подгрупп гр(х) и гр(у) находит быстро:
022:= gгelgгoup({x, у}, {[1/х, х, у, 1/х, 1/у, у, у, х, 1/у, 1/х, 1/у], [1/у, у, х, 1/у, 1/х, х, х, у, 1/х, 1/у, 1/ х]}):
022 := ^еі^гоир ^{х,у >,
Г 1 11 111"
{ —,х,у,—,—,у,у,х,—,—,—
* Ш У У х у _
> Н1:= subgгel({x=[x]},G22): ргєб(Н1);
gгelgгoup({x}, {[х]})
> Н2:= subgгel({y=[y]},022): pгes(H2);
gгelgгoup({y}, {[у]})
Обе эти подгруппы единичны, поэтому и 0(2, 2) = 1.
Теперь точно так же получим ответ на вопрос о G(2, 3):
023:= £ге1£гоир({х, у}, {[1/х, х, у, 1/х, 1/у, у, у, х, 1/у, 1/х, 1/у, у, 1/х, 1/у, х, у, 1/у, 1/у, 1/х, у, х, у, 1/ у], [1/у, у, х, 1/у, 1/х, х, х, у, 1/х, 1/у, 1/х]});
> Н1:= subgгe1({x=[x]},023): ргеБ(Н1);
gгe1gгoup({x}, {[х]})
> Н2:= subgгe1({y=[y]},023): pres(H2);
gre1group({y}, {[у]})
Таким образом, теперь про группу 0(2, 3) известно всё. Эта группа состоит из одного элемента.
Заключение
Конечно, можно и далее экспериментировать с наборами чисел a, b, но ответить
на основной вопрос Брандла (всегда ли конечна группа G(a, b)?) с помощью машины,
к сожалению, не удастся.
Библиографический список
1. Горюшкин А.П. О группах с представлением < a, b; an=1, ab = b3a3 > // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1. С. 8-11.
2. Горюшкин А.П., Горюшкин В.А. О некоторых свойствах 2-порожденных групп // Материалы региональной научно-практической конференции. Петропавловск-Камчатский, 2010. с. 17-19.
3. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 11-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1990.
4. Brandl R., Wilson J. S. Characterization of Finite Soluble Groups by Laws in a Small Number of Variables // Journal of algebra. 1988. Vol. 116. P. 334-341.
5. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 17-е изд., доп. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2010.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 11.03.2013
