CC BY
22
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА /-
' № 1 (37) 2012
И. А. Шилин, канд. физ.-мат. наук, доцент Московского государственного гуманитарного университета им. М. А. Шолохова
В. В. Китюков, студент Московского авиационного института
А. А. Александров, аспирант Московского государственного гуманитарного университета им. М. А. Шолохова
Вычисление групп гомоморфизмов и проверка гомоморфной устойчивости пар конечных групп
При решении ряда научных задач, относящихся к достаточно узким разделам высшей математики, приобретает особую актуальность разработка специализированного программного инструментария силами самого исследователя. Это тем более оправдано в тех случаях, когда аналитическое решение задачи неизвестно, а рассмотрение частных случаев предполагает перебор большого количества комбинаций данных.
Введение
Современные вычислительные пакеты Maple, Mathematica, DERIVE, MathCAD и др. широко используются как в научных, так и в образовательных целях. Однако основная сфера их применения относится к области математического анализа, теории дифференциальных уравнений, некоторым разделам линейной алгебры и разделам математики, смежным с указанными. Напротив, в более абстрактных разделах, таких, например, как общая алгебра или топология, популярные вычислительные пакеты не предоставляют исследователю достаточно широкого инструментального диапазона. Так, для такого важного раздела общей алгебры, как теория групп, в настоящее время существует несколько мощных пакетов: GAP, Magma, SAGE, CAYLEY, FGB. В них имеются специальные встроенные функции, с помощью которых можно исследовать конкретную группу, но все группы задаются в терминах подстановок. Такой
1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
подход наряду с плюсами имеет и ряд минусов, о которых рассказывается в статье [6]. Очень часто исследователь, даже при работе с группами относительно малого порядка, вынужден применять свои способности программиста для построения оптимального алгоритма решения задачи: например, в [5] описывается интересный подход к задаче о вычислении нормализаторов подгрупп конечных групп с использованием пакета GAP.
В настоящей статье описаны полученные авторами с помощью компьютерного моделирования результаты решения задачи о строении групп гомоморфизмов и гомоморфной устойчивости пар конечных групп порядка не выше 12. Вместо указанных выше пакетов авторы использовали собственную несложную программу, написанную на языке Турбо Паскаль. Такой подход позволил оперировать группами в терминах их порождающих элементов и определяющих отношений, не переходя на язык подстановок.
Программа устроена таким образом, что достаточно ввести название соответствующей группы, после чего она считывает из специальной папки в памяти ком-
№ 1 (37) 2012
I
£ £ §
I
и
о §
£ о
'сэ
!
0 €
12
1 £ со
0 &
со
1
I
0 €
12
1
I
I
пьютера соответствующий ГхГ-файл, содержащий таблицу Кэли данной группы, и в другую папку записывает новый ГхГ-файл с полученными результатами. Разумеется, по мере увеличения порядка групп увеличивается время работы программы. Особенностью программы является то, что полученные результаты она позволяет описать в явном виде, но в статье полученные группы указаны с точностью до изоморфизма.
Постановка задачи
Обозначим через G произвольную группу и через Н произвольную абелеву группу. Множество гомоморфизмов G — Н является группой относительно операции
Н(3,Н)хН(3,ННв, (ф,• V, (1)
[Ф • ¥](а)=ф(аМа)
Эту группу принято обозначать Нот Н). Ее алгебраическое строение известно только в частных случаях. Например, если О и О* — аддитивная и мультипликативная группы поля рациональных чисел соответственно и 7П — циклическая группа порядка п, то
Нот(Жп,О) = {0}, Нот(Жп,О*) = Ж,
Нот( Жп, 1т) = ЖдСЙ(пт)
gcd(n12)
, (2)
где gst (э, Г) обозначает наибольший общий делитель чисел э и Г.
Для любого семейства Ж6 подгрупп группы Н множество П Н тоже является подгруппой в Н, а Р|а На — не всегда. Рассмотрим семейство {1тф: фе Нот(G,Н)} подгрупп, являющихся образами гомоморфизмов G — Н. Назовем пару (G, Н) групп гомоморфно устойчивой, если множество у феНот(еН)1тф является подгруппой в Н. Такое определение было дано в работе [4]. Из (2) следует, что пара циклических групп со взаимно простыми по-
рядками п и т гомоморфно устойчива: Нот (Жп, ЪгГ) = {т}, где т — единичный гомоморфизм, т. е. Кег т = G, и, следовательно, ифеНот()1тф = {е}. Вообще, в [4] доказана гомоморфная устойчивость пары Н) при условии периодичности группы G. Это означает, в частности, что пары конечных групп гомоморфно устойчивы.
Обобщим определение, данное С. Грин-шпоном и Т. Ельцовой в [4], на случай пары произвольных групп. Назовем пару Н) гомоморфно устойчивой, если множество ифей (еН)1тф является подгруппой в Н. Будем
считать гомоморфную устойчивость сильной, если подгруппа ифей(еН)1тф является
нормальным делителем в Н.
В настоящей работе для групп порядка не выше 12 с помощью компьютерных вычислений решены следующие задачи. Во-первых, для любой пары Н), в которой группа Н абелева, найдена с точностью до изоморфизма группа Нот Н). Во-вторых, для каждой пары Н) с абеле-вой группой Н найдена с точностью до изо-
1тф. В-третьих,
для любой пары Н), в которой группа G некоммутативна, решен вопрос о том, является ли множество й(б,Н) группой относительно операции (1). В случае положительного ответа эта группа найдена с точностью до изоморфизма. В-четвертых, для каждой пары Н) с некоммутативной группой Н выяснено, является ли множество
ифей(еН)1тф подгруппой в Н. Если да, эта
подгруппа найдена с точностью до изоморфизма.
Отметим, что нетривиальные группы порядка не выше 12 суть следующие группы: циклические группы Ъп, диэдральные группы Dn порядка 2п, прямые произведения й2, ^3, й2, Ж4, и Ж2 Ж6, кватернионная группа Q8 порядка 8, знакопеременная группа А4 и ди-циклическая группа
морфизма группа ф
Т12 = Ж3
= <а,Ь,с I а3 = Ь2 = с2 = аЬс).
112
№ 1 (37) 2012
Вычисление групп гомоморфизмов
Для вычисления группы Нот Н) среди |Н|'е' отображений G ^ Н надо выбрать те, которые удовлетворяют определению гомоморфизма. Конструктивное решение задачи, позволяющее существенно сократить вычисления, заключается в предварительном отборе тех отображений, для которых выполняются необходимые условия гомоморфизмов: ф(е) = е и ф(а(_1)) = [ф(а)](-1). Группы задаются в виде двумерных массивов. Например, групповую операцию в Т12 можно описать массивом, представленным в табл. 1.
Вычисляя периоды получившихся гомоморфизмов, можно прийти к выводу о группе Нот Н). Так, в результате работы программы для пары (Г12^8) получаем данные, представленные в табл. 2.
Здесь числа 1,3,5,7 обозначают соответственно элементы 0,2,4,6 группы Z8, так как о^ 2 = о^ 6 = 4 и о^ 4 = 2 (здесь о^ а обозначает период элемента а), то Нот (Т12, Zí) = Z4.
Полученные результаты представлены в табл. 3.
Отметим, что некоторые из этих результатов опубликованы в наших работах [2] и [3].
Вычисление групп
феНот(е,Н)
1тф
и
феНот(е,Н)
1тф (табл. 4).
Вычисление множеств Н (в,Н) для некоммутативных групп Н
Алгоритм вычисления множеств Н^, Н) ничем не отличается от алгоритма вычисления групп Нот Н). Проверка выполнимости аксиом группы, вообще говоря, для множеств Н^,Н) выполняется вручную, но может быть выполнена и программным способом. Результаты представлены в табл. 5.
Таблица 1 Пример двумерного массива описания группы
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 1 7 10 8 9 5 11 12 6
3 4 1 2 8 11 9 5 7 12 6 10
4 1 2 3 9 12 5 7 8 6 10 11
5 10 8 12 6 1 2 11 4 7 3 9
6 7 11 9 1 5 10 3 12 2 8 4
7 11 9 6 10 2 3 12 1 8 4 5
8 12 5 10 11 3 4 6 2 9 1 7
9 6 7 11 12 4 1 10 3 5 2 8
10 8 12 5 2 7 11 4 6 3 9 1
11 9 6 7 3 8 12 1 10 4 5 2
12 5 10 8 4 9 6 2 11 1 7 3.
Таблица 2
Выходной массив — результат работы программы для пары (Г12, Z8)
11111111111 35711357357 5 15 115 15 5 15 7 5 3 1 1 7 5 3 7
5 3
Информация о строении групп Нот Н) приводит к построению таблицы по группам
и
феН(вН)
внутреннего автоморфизма. В итоге получаем следующие результаты (табл. 6).
Для всех пар, входящих в таблицу, гомоморфная устойчивость сильная, что вытекает из результатов о нормальных делителях не-абелевых групп, полученных с помощью компьютерного моделирования в статье [1].
Заключение
В настоящей статье описана часть результатов, полученных авторами в ходе реализации проекта «Компьютерное исследование групп гомоморфизмов конечных групп,
о
в
еа
£ со со
I
=5
Проверка гомоморфной устойчивости пар (в, Н) с некоммутативной группой Н
Полученные сведения о множествах Н^З,Н) дают информацию о множествах
ифей(еН)1тф. Проверка гомоморфной устойчивости выполняется вручную, но может быть выполнена программой [3]. При проверке сильной устойчивости моделируются внутренние автоморфизмы группы Н и делается проверка, является ли группа
1тф неподвижной точкой любого
113
№ 1 (37) 2012
Таблица 3
Группы гомоморфизмов групп
I
£
э-£
§ I
U
0
1
<3
а:
!
0 5
5
1
CQ
I
со
I 3
!
0 5
5
1
I
I
Группа
2
Е;
О,
Е,
гл,
Q,
■у
г..
е.
Z,
{О
К,
!0
г.
(О
Z-
И
%
Е;
:о
!0
z.
г:
¡о
Z:
(О
Е,
(О
г,
И
(О
10
(О
М
(О
(0
{О
(0
(0
(О
J0
et
(О
■л.
Е
XI
Z
го
{О
10
{О
Z;
Е,
Е--
¡0
я:
{О
Е:
Ж
Ei
Е,
(О
S;
е-;
Z;
М
Е:!
Е:
Z-
v..
(О
л.
z,
г:
Е;
а,
Z;
Z
to
2:
s,
(О
10
til
(О
г:
Е,
!■ !
1st]
{О
Е;
Ej
2.2
Е;
10
W
(О
E.Z
е:
it
и
м
3;
X:
!:!
Е,
а:
Е,Е:
К
а;
ъ\
¡О
Z;
г:
(О
а:
г*
■■■
л.
(О
ъ\
(О
it
V.
о
г!
Ч
(О (О
А
!'! (• i
(О
{ONO
а.
{О <0
(О (О
(О ¡0
ГО SO
м UI
М ¡0
L Ju .
г; г;
kl tO
!•! (О
f.! И
г.
Е, к;
¡0 Sr.}
Е.
Е,
{О
Е;
Е-.
М
<0
(О
30
Е.
Z,
М
(О
Z=Ks
Zi
й:
to
Z;
Е:
-- 2,
Е
(О
ье.
к:
to
е-
£
я г.
Е,
z-
S0
г,
ЁГ
А iL
Z;
гомоморфной устойчивости И ТОПОЛОГИЙ конечных множеств». Другие результаты, в которых рассказывается о вычислении групп автоморфизмов и внутренних автоморфизмов групп, нормализаторов и централизаторов подгрупп в неабелевых конечных группах, исследованиях групп на ниль-потентость и разрешимость, исследованиях топологий конечных множеств, появятся в других работах. Заметим, что ряд интересных результатов получили наши коллеги в Университете Данди в 2009-2011 гг. в ходе реализации проекта «Программирование в ограничениях как инструмент решения вычислительных задач теории групп».
Список литературы
1. Александров A.A., Нижников А. И., Шилин И. А.
Компьютерное вычисление подгрупп и нормаль-
ных делителей неабелевых групп порядка не выше 20 // Преподаватель. XXI век. 2011. N° 1.
2. Шилин И. А., Китюков В. В. Гомоморфная устойчивость пар групп малого порядка // Прикладная дискретная информатика. 2011. №4.
3. Шилин И. А., Китюков В. В. Особенности применения компьютерного моделирования при решении задач общей алгебры // Педагогическая информатика. 2011. N° 1.
4. Grinshpon S. Ja., Yeltsova Т. A. Homomorphic stability of Abelian groups // Journal of mathematical sciences. 2009. Vol. 163. №6.
5. Miyamoto I. Improvement of a function computing normalizers in permutation groups. В кн.: Mathematical software — ICMS 2010. Berlin: Springer, 2010.
6. Praeger С. E. Computers in algebra: new answers, new questions // Journal of Korean Mathematical Society. 2001. Vol. 38. №44.
114
Группы у
фЕНот {в.Н)
1тср
№ 1 (37) 2012
Таблица 4
Группа Е, Е, 2, г\ 2, 2ц Ет 2, 2А 21 2, 2; 2ц, 2И 2,Е6
2, !<-'! ^ г\ И 2, И 2, Я) И 1*1 ¡е} гя 1 2, 2т
2, И !<) И \<) И к! Я} VI 1*1 Е, г; {г! 2, 2,
2* 2, {« 2, 2- ¡и) а, М !''( 1ч) к! И 2]
71 23 1*) г; м м 1с?! И И и 2; 2=
Е, и !«) <*} кг 2, М и (г) М И а. и (•}
24 г., М И И 2. м 2, >! к} 2, 2Л 2А
к! !''! М И И 2, к} 2, !''! м к) г?
Е, И Я! !*] И М и !<?} М и к! И {«■']
2, И Ш к) м М 2, и 2, к] И {<?} 2? 2, т:_
И М И {*} м 2, ы Я) О и 2, 2, 2т
ъ\ И К к? 1") ъ2 И гг 1*] И Я? м 2, 2, 2]
о* м М И И к: 2;
о, М !о<! П и к) И г, 1*1 И м 2г 2т
И г., М м М Щ И И И М 2» 2; к! (и) ^ 2,
И 2, И !<■! {*> 2., (И м к) к] Е; М Е,
25 {') 2, 2: 2, 2, м ^ г; м к> 2;
23 2, ъ\ м ^ И 2, Я; гй М 2, 2; Е"
2И (г) и И м И М И и М м 2И (в (#}
{*} Е, 2) м 2, и 21 2Г и 2ц 2А
2Д г, I*} ^ 2т ¡е; 2, а, г; г; Е, 2, 2?Ец
А, м м 1") (с) г3 И и М М Е, г\ к! и 2, 2,
!>.. {<1 Ъ, 2; и г, гг 2; е; I'1! ¡е} X 2; 2;
1 г, 2; 2, г. 2, Ъг1, г! 2) П. А,
со
0
1
в I
ч:
еа £
со со
I
5Й
Таблица 5 Группы или их отсутствие
Группа 1>, П, П; А* Т|:
2, г нет- 2; нет нег 2;
2> 2, М !■: !■; 2, 2,
Я] не! !1ет Ъ\ нет нет ^
2б нет 2> нет 0-, нет
не! нет 2: нет нет
О- нет нет 2; нет нет К Е:
А, нет нет а нет нет нет нет
Л.1 2, И и М Е; ня 2-
Ти п, О, нет НС1- 2; ыет
Группы у
фе жан)
Таблица 6 1тср или их отсутствие
Группа 1>| 0, А, Т|,
нет ня 7-, нет' НС1 Ъ\ 2;
2} 2, !.■! к} нег г,
Езеа нет 2: нет мет ъ\ 2;
Ь 2Ю 1>1 ме. 2, нет ^ 2;
нет МО. нет Е^ 2;
Ол иет нет 2, а- нет 2а 2;
2ц 1): а Тк А^ Тц
А« 2- П Е, Е,
Т : 1>, п+ а нет не1 2] Г|3
ч 115
