CC BY
8
2017 Теоретические основы прикладной дискретной математики №35
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.542
ГОМОМОРФНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
М. И. Кабенюк
Кемеровский государственный университет, г. Кемерово, Россия
Множество Hom (G, H) гомоморфизмов группы G в группу H является группой относительно поточечного умножения тогда и только тогда, когда образы любых двух таких гомоморфизмов поэлементно перестановочны. В таком случае группа Hom (G, H) коммутативна. Для конечных групп G и H изучаются алгебраические свойства группы Hom (G, H), а также объединения Im (G,H) образов всех таких гомоморфизмов. Пусть exp(G) —минимальное среди всех таких положительных целых чисел n, для которых xn = 1 для каждого элемента x £ G; G' — коммутант группы G, q = exp(G/G') и Qq(H) — подгруппа в H, порождённая элементами периода q. Доказаны следующие утверждения:
- Если Hom (G, H) является группой, то Qq(H) коммутативна и группы Hom (G,H) и Hom (G/G', Qq(H)) изоморфны. Обратно, если Qq(H) коммутативна и ядро каждого гомоморфизма из Hom (G, H) содержит коммутант G', то множество Hom (G, H) является группой относительно поточечного умножения.
- Если Im (G, H) — подгруппа в H, то Im (G, H) эндоморфно допустима.
- Если G — такая конечная р-группа, что q = exp(G) = exp(G/G'), а H — регулярная р-группа, то Im (G, H) = Qq(H).
Ключевые слова: гомоморфизм групп, гомоморфная устойчивость, конечная группа, группа Фробениуса, регулярная р-группа.
DOI 10.17223/20710410/35/1
HOMOMORPHIC STABILITY OF FINITE GROUPS
M. I. Kabenyuk
Kemerovo State University, Kemerovo, Russia E-mail: kabenyuk@kemsu.ru
The set Hom (G, H) of all homomorphisms from a group G to a group H is a group with respect to the operation of pointwise products iff the images of any two such homomorphisms commute element-wise; in this case, the group is commutative. For finite G and H, we study algebraic properties of this group and of the union Im (G, H) of the images of all homomorphisms from G to H. Let exp(G) be the minimal positive integer n such that xn = 1 for all x £ G, let G' be the commutator subgroup of G, q = exp(G/G'), and let Qq(H) be the subgroup of H generated by all elements of order q. We obtain the following results.
If Hom(G,H) is a group, then Qq(H) is commutative and the groups Hom(G,H) and Hom (G/G', Qq(H)) are isomorphic. Conversely, if Qq(H) is commutative and 0(G') = {1} for all ф £ Hom (G, H), then Hom (G, H) is a group.
If Im (G, H) is a subgroup of H, then it is endomorphically admissible in H.
If G is a finite p-group such that exp(G) = exp(G/G') = q and H is a regular p-group,
then Im (G, H) = Qq(H).
Keywords: homomorphism groups, homomorphic stability, finite group, Frobenius group, regular p-group.
Введение
Пусть G и H — произвольные группы. Если ф и — — произвольные отображения, заданные на G и принимающие значения в H, то их произведением назовём отображение ф— : G ^ H, определяемое правилом
Символом Нот (С, Н) будем обозначать множество всех гомоморфизмов группы С в группу Н. Если Н — абелева группа, то множество Нот (С, Н) является группой относительно указанного выше умножения отображений. Эта группа тоже коммутативна. Если же Н не является абелевой группой, то Нот (С, Н) не обязано быть группой. Пару групп (С, Н) назовём гомоморфно устойчивой, если объединение гомоморфных образов группы С в группе Н является подгруппой группы Н, т. е. множество
— подгруппа группы Н. Это понятие рассматривается в работе [1]. Там же, а также в [2] исследуется вопрос о гомоморфной устойчивости пар абелевых групп. В частности, в [2, следствие 2] доказано, что пара (С, Н) абелевых групп гомоморфно устойчива, если группа С периодическая, а Н — произвольная группа (этот факт упоминается в [3, гл. VIII, §43, упражнение 11]).
В [4] понятие гомоморфной устойчивости рассматривается для произвольных пар конечных групп. В [4, 5] для всех пар (С, Н), |С| ^ 12, |Н| ^ 12, с помощью компьютерных программ установлено, какие из них являются гомоморфно устойчивыми; в том случае, когда это так, вычислена группа 1т (С, Н). Кроме того, для всех указанных пар установлено, какие из множеств Нот (С, Н) являются группами, и все эти группы вычислены.
В настоящей работе доказано несколько общих утверждений о множествах Нот (С, Н) и 1т (С, Н), которые позволяют проделать все вычисления указанных выше работ без привлечения компьютерных программ и исправить несколько опечаток, допущенных авторами. Помимо этого, эти утверждения могли бы помочь проделать указанные вычисления для групп более высокого порядка.
Все используемые обозначения общеприняты. Редкие исключения разъяснены в тексте. Для группы С и х Е С символы |С| и о(х) обозначают порядок С и период (часто говорят «порядок») элемента х. Пусть С — конечная группа. Высотой (используют также термин «экспонента») группы С назовём такое целое положительное число д, что хд = 1 для любого элемента х Е С, и число д минимально с этим свойством. Высоту группы С будем обозначать символом ехр(С). В частности, высота группы С — делитель |С|. Если т, п — целые числа, то символ т|п означает, что т — делитель п. Для конечных абелевых групп и конечных р-групп А верно следующее равенство:
(ф— )(x) = ф(х)—(x), x Е G.
(1)
Im (G, H)= U Im ф феИот (g,h)
exp(A) = max{o(x)}.
С другой стороны, ехр($3) = 6, но в группе 53 нет элементов периода 6; ехр(А5) = 30, но максимальный период элементов А5 равен 5. Пусть д — некоторое целое положительное число, Н — некоторая группа. Будем обозначать
Пд(Н) = (х е Н | хд = 1).
Здесь и далее символом gr (X) обозначается подгруппа, порождённая множеством X С Н. Символ 1 обозначает как нейтральный элемент мультипликативной группы, так и группу, состоящую из одного нейтрального элемента.
1. Множество гомоморфизмов пар конечных групп Теорема 1. Пусть О и Н — произвольные группы. Множество Нот (О,Н) является группой относительно умножения (1) тогда и только тогда, когда образы 1т ф и 1т — поэлементно перестановочны для любых ф, — е Нот (О, Н).
Доказательство. Пусть множество Нот (О, Н) является группой относительно умножения, определяемого формулой (1). Это означает, что если ф, — е Нот (О,Н), то их произведение в = ф— — тоже гомоморфизм. Следовательно,
в(ху) = в(х)в(у) (2)
для любых х,у е О. Учитывая формулу (1) и тот факт, что ф и — — гомоморфизмы, из (2) получаем
ф(х)ф(У)—(х)—(У) = ф(х)—(х)ф(У)—(У). (3)
Сократив (3) на ф(х) слева и на —(у) справа, получим
ф(У)—(х) = —(х)ф(У) (4)
для любых х,у е О и любых ф, — е Нот (О, Н). Этим доказано прямое утверждение теоремы 1.
Для доказательства обратного утверждения последовательно переходим от (4) к (3), а затем к (2). В результате убеждаемся, что произведение в = ф— является гомоморфизмом группы О в группу Н, если ф и — были такими. ■
Теорема 2. Если множество Нот (О, Н) является группой, то
(г) образ 1т ф — коммутативная подгруппа в Н для любого ф е Нот (О, Н);
(гг) группа Нот (О, Н) абелева.
Доказательство. Пункт (г) этой теоремы вытекает из формулы (4), где следует положить — = ф.
Для доказательства п. (гг) вычислим по формуле (1) выражения (ф—)(х) и (—ф)(х), а затем из формулы (4) получим (ф—)(х) = (—ф)(х) для любого х е О. ■
Замечание 1. Последнее утверждение показывает, что в таблице 3 из работы [4] (таблица 5 из [5]) имеются неточности, требующие исправления для следующих пяти множеств: Нот Нот Нот (Ъ\2, Q8), Нот (Т12,Д4), Нот (Т12, Ов). Здесь Zn — циклическая группа порядка п; Оп — диэдральная группа порядка 2п; — группа кватернионов порядка 8; Т12 — группа, задаваемая с помощью порождающих и соотношений следующим образом:
Т12 = gr (а, Ь | а3 = Ь4 = 1, Ьа = аЬ-1).
Ниже мы укажем, каким образом должны быть исправлены эти неточности.
Далее потребуется одно утверждение об абелевых группах.
Лемма 1. Пусть В — конечная абелева группа, д = ехр(В). Тогда для любого целого числа п, для которого п|д, существует такая подгруппа С < В, что факторгруппа В/С — циклическая группа порядка п.
Доказательство. Известно, что каждая конечная абелева группа является прямым произведением конечного числа циклических групп, имеющих порядки, равные степеням простых чисел [3, теорема 15.2, гл. III, § 15]. Если д = р^1 .. .р^8, гдерь ... ,р, — попарно различные простые числа, то это прямое произведение должно иметь вид
В = В1 х ... х В, х В,
где В1,... , В, — циклические группы порядков р^1,... , р^8 соответственно, а В — некоторая подгруппа В. Группа X = В! х ... х В, является циклической группой порядка д = рк .. .р^8. Итак, В = X х В, X = gr (х) для некоторого х € X, о(х) = д. Искомая подгруппа — С = gr (хт) х В, где т = д/п. ■
Теорема 3. Пусть С и Н — две группы, С — коммутант группы С, д = ехр(С/С), А = (Н). Если множество Нот (С, Н) является группой, то А — коммутативная подгруппа в Н и
Нот (С, Н) « Нот (С/С, А). (5)
Обратно, если (Н) — коммутативная подгруппа и ядро каждого гомоморфизма из Нот (С, Н) содержит коммутант С, то множество Нот (С, Н) является группой относительно умножения, заданного формулой (1).
Доказательство. Обозначим В = С/С. Пусть х € А. Так как о(х)|д, то по лемме 1 существует такая подгруппа С < В, что В/С — циклическая группа порядка о(х). Пусть ф : С —> Н — гомоморфизм, являющийся композицией
С -А С/С = В А В/С А gr (х) < Н.
Здесь £1,£2 — канонические гомоморфизмы; г — изоморфизм двух циклических групп одного порядка о(х). Видим, что х Е !т ф. Аналогично может быть построен гомоморфизм ф : С —> Н, для которого у Е !т ф. По теореме 1 множества !т ф и !т ф поэлементно перестановочны. В частности, ху = ух. Этим доказано, что А = (Н) — коммутативная подгруппа в Н.
Докажем формулу (5). Пусть ф Е Нот (С,Н). Так как Нот (С, Н) является по условию группой, по теореме 2, (г) !тф — коммутативная подгруппа в Н. Следовательно, С С !т ф. Определим отображение ф : С/С —> Н по формуле
ф(ф) = ф(х),
где х Е С, ж = хС. Корректность определения ф следует из включения С С !т ф. Непосредственно проверяется, что ф — гомоморфизм группы С/С в группу Н. Так как п = о(ф(х)) = о(ф(ф)) и ф Е С/С, то п| ехр(С/С). Стало быть, ф(х) Е А = (Н). Последнее верно для любого х Е С. Следовательно, ф Е Нот (С/С, А), а отображение ф А ф является изоморфизмом группы Нот (С, Н) на группу Нот (С/С, А).
Докажем обратное утверждение. Пусть множество А = (Н) является подгруппой в Н. (Между прочим, отметим, хотя это нам и не потребуется, что тогда А — нормальная подгруппа в Н.) Достаточно доказать, что !тф С А для любого ф Е Нот (С, Н).
Так как ядро ф содержит G', то Imф = ф(С) —абелева группа. В силу определения высоты q для любого элемента x G G выполняется условие o(x)|q. Так как о(ф(х))|о(х), то o(ф(x))|q. Значит, ф(х) G A. ■
Замечание 2. Теорема 3 часто помогает свести вычисление группы Hom (G, H) к точно такой же задаче, но уже для абелевых групп. Последнее позволяет указать следующий алгоритм вычисления группы Hom (G, H):
1) Вычисляем коммутант G' группы G.
2) Вычисляем высоту q = exp(G/G') фактор-группы G/G'.
3) Вычисляем множество X = {x G H : xq = 1}.
4) Если элементы X попарно перестановочны, то переходим к шагу 5, иначе заканчиваем вычисления, так как в этом случае множество Hom (G, H) не является группой.
5) Проверяем наличие гомоморфизма ф : G ^ H, для которого G' ^ Ker ф. Если такого гомоморфизма нет, то переходим к шагу 6. Если такой гомоморфизм есть, то множество Hom (G, H) не является группой и вычисления заканчиваем.
6) Вычисляем Hom (G/G', A), где A = Qq(H). В силу формулы (5) это и есть Hom (G, H).
Отметим, что шаг 5 может оказаться довольно сложной задачей для групп большого порядка. Мы не обсуждаем здесь пути решения этой задачи.
В то же время шаг 6 может быть легко выполнен благодаря следующему обстоятельству. Для конечных абелевых групп B и C, порядки которых взаимно просты, Hom (B, C) = 0. Если же обе группы B и C являются р-группами для некоторого простого числа р, то Hom (B, C) вычисляется по следующей формуле: пусть
B = Zpk1 ф Zpk2 ф ... ф Zpk r ) C = Zp 1 ф ZpÎ2 ф ... ф Zpl.s .
Здесь k2,... , kr, l\, Z2,... , —целые положительные числа. Тогда справедлива формула
Hom (B, C) « Zpmil ф Zpmi2 ф ... ф Zpmis ф ... ф Zpmr1 ф Zpmrf ф ... ф Zpmrs , (6)
где m-ij = min(fcj, lj), i = 1,..., r, j = 1,..., s.
Формула (6) —простое следствие теорем 43.1 и 43.2 из [3, гл. VIII, §43].
Следствие 1. Если G — конечная группа, H — конечная абелева группа, то Hom (G, H) — группа и
Hom (G, H) « Hom (G/G', H). (7)
Доказательство. Тот факт, что Hom (G, H) —группа, немедленно следует из формулы умножения (1) на множестве Hom (G, H). Вторая часть утверждения — прямое следствие формулы (5) теоремы 3. ■
Следствие 2. Пусть G — конечная абелева группа, H — произвольная конечная группа, q = exp(G) —высота группы G, A = Qq(H). Тогда Hom (G, H) является группой тогда и только тогда, когда A — коммутативная подгруппа H. Если это условие выполняется, то
Hom (G, H) « Hom (G, A).
Доказательство. Следствие верно ввиду того, что для абелевых групп G коммутант G' = 1. ■
2. Приложения общих утверждений
Проиллюстрируем применение доказанных утверждений для вычисления конкретных групп Нот (С, Н). Рассмотрим таблицу 1 из [4] (или [5, таблица 3]). В ней перечислены все группы Нот (С, Н) для всех конечных групп С и абелевых групп Н, для которых |С|, |Н| ^ 12. Эта таблица составлена с помощью компьютерной программы. Укажем, как она может быть заполнена с применением наших утверждений.
Если группа С абелева, то соответствующие строки этой таблицы можно заполнить, используя формулу (6).
Если группа С неабелева, то воспользуемся формулой (7). Для этого придётся вычислить фактор-группы С/С всех неабелевых групп, порядок которых не больше 12. Таких групп ровно семь:
Вз, В4, В5, Вб, Ов, А4, Т12.
Первые четыре группы — диэдральные группы соответствующего порядка. Для диэд-ральных групп имеем следующие общие формулы:
В2„/В2п и ^2 0 ^2, В2П-1/В2п-1 и ^2, п =2, 3, 4, . . . (8)
Далее
Ов/ОВ и ^2 0 ^2, А4/А4 и ^2, Т12/Т12 и ^4. (9)
Поясним последний изоморфизм. Поскольку Т12 = (а, Ь | а3 = Ь4 = 1, Ьа = аЬ-1}, то а-16а = Ь-1 и Ь-1а-1Ьа = Ь. Из первого равенства следует, что подгруппа gr (Ь) нормальна в Т12, а из второго —gr (Ь) С Т{2. Отсюда выводим, что gr (Ь) = Т{2 и Т12/Т12 ~
Из (7)-(9) получаем, что для любой абелевой группы Н имеют место изоморфизмы
Нот (В3, Н) и Нот (В5, Н) и Нот (А4, Н) и Нот (Z2, Н), Нот (В4, Н) и Нот (В6, Н) и Нот (О8, Н) и Нот 0 Z2, Н), Нот (Т12, Н) и Нот Н).
Отсюда следует, что должны полностью совпадать строки таблицы 1 из [4] (или [5, таблица 3]), помеченные Z2,В3,В5,А4, а также строки Z2,D4,D6, О8 и, наконец, строки Z4,T12. И это действительно так, за исключением одного места, находящегося в строке Z2 и столбце Z2, где вместо Z4 должно стоять Z2.
Проиллюстрируем, как может работать теорема 3 и её следствия в случае, когда группа Н неабелева. Рассмотрим в качестве Н те же семь подгрупп. Укажем в каждой из них нетривиальную коммутативную подгруппу, равную (Н) для некоторого целого положительного числа д.
В группе В3 такая подгруппа только одна: П3(В3) и Z3. В группе В4 таких подгрупп нет. В В5: П5(В5) и Z5. В В6: П3(В6) и Z3. В О8: П2(О8) и Z2. В А4: подгруппа ^ = П2(А4) и Z2. В Т12 таких подгрупп три: П2(Т12) и Z2, П3(Т12) и Z3, П6(Т12) и Z6.
Используя эту информацию, благодаря теореме 3 и её следствиям, можем выписать группы Нот (С, Н) или указать, что это множество не является группой. Рассмотрим только случаи, соответствующие клеткам таблицы 3 из работы [4], где, по нашему мнению, содержатся неточности. Итак,
Нот ,В3) и Нот Z3) и Z3, Нот ,В6) и Нот (Z6, Z3) и Z3, Нот (Z12, О8) и Нот (Z12, Z2) и Z2.
Множество Нот (Т12,Л4) группой не является, поскольку в группе Л4 нет нетривиальных коммутативных подгрупп вида (Л4). Отметим, однако, что Нот (Т12,Л4) содержит нетривиальные гомоморфизмы.
Вычислим Нот (Т12, 08). Мы знаем, что
Т12/Т1/2 « ^4, А = < А И ^2.
Ясно, что ядро каждого гомоморфизма из Т12 в 08 содержит коммутант. Поэтому Нот (Т12,08) и Нот Z2) и Z2.
При этом в [4, таблица 3] на этих местах стоят соответственно Л3, Л3, 08, Л4, 08.
3. Гомоморфная устойчивость регулярных р-групп
Из приводимого ниже утверждения следует, в частности, что понятие гомоморфной устойчивости и понятие сильной гомоморфной устойчивости, введённое в [4], равносильны между собой.
Теорема 4. Если пара (С, Н) гомоморфно устойчива, т.е. если 1т(С, Н) —подгруппа в Н, то 1т (С, Н) — эндоморфно допустимая подгруппа группы Н. В частности, 1т (С, Н) —нормальная подгруппа группы Н.
Доказательство. Ясно, что если ф : С ^ Н и ф : Н ^ Н — гомоморфизмы, то композиция 9 = ф о ф — гомоморфизм группы С в группу Н. Пусть х Е 1т (С, Н). Тогда существуют такие ф Е Нот (С, Н) и у Е С, что ф(у) = х. Значит, для любого гомоморфизма ф : Н ^ Н имеем
(ф о ф)(У) = ф(ф(У)) = ф(х)
то есть ф(х) Е 1т (ф о ф) с 1т (С, Н). Этим доказано, что вместе с каждым элементом в 1т (С, Н) лежат все его гомоморфные образы. Стало быть, если 1т (С, Н) — подгруппа группы Н, то она эндоморфно допустима. ■
Далее приведём несколько примеров и докажем несколько общих утверждений о множестве 1т (С, Н).
Утверждение 1. Если п = ехр(Н), то пара ^п,Н) гомоморфно устойчива. Более точно, 1т Н) = Н.
Доказательство. Пусть К Е Н и о(К) = т. Так как по условию Кп = 1, то т|п. Тогда формула ф(к) = Кк, к Е Zn, корректно определяет гомоморфизм из группы Zn в группу Н, причём ф(1) = К. Значит, К Е 1т ^п,Н). Ввиду произвольности К утверждение доказано. ■
Например, 1т ^30, А5) = А5. Здесь и далее Ап группа чётных перестановок, £п группа всех перестановок порядка п, ^ —четверная группа Клейна. Приведем ещё несколько примеров, опуская вычисления.
Пример 1.
1) 1т (ЯА4) =
2) 1т (А4,$0 = ёг (123);
3) 1т(£3,^4) = {х Е 54|о(х) = 4};
4) 1т (54,5з) = 5з;
5) 1т (54,А4) =
6) 1т (А4, £4) = А4;
7) 1т(А5,А5 х А5) = {(х,у)|о(х) = о(у)}.
Таким образом, среди перечисленных пар только две — (53, 54) и (А5, А5 х А5) —не являются гомоморфно устойчивыми.
Укажем ещё один важный, на наш взгляд, пример.
Пример 2. Пусть Н = А • В — группа Фробениуса с ядром А и дополнением В, д = ехр(А). Тогда 1т х В, Н) = Н, то есть пара х В, Н) гомоморфно устойчива.
Подробные определения и обширные списки примеров групп Фробениуса можно найти в [6, 7]. Для объяснения нашего примера важно лишь следующее свойство группы Фробениуса Н = А • В:
Н \ А С и хНх-1.
хеп
На наш взгляд, интересна следующая задача.
Задача 1. Для заданной конечной группы Н вычислить все такие группы С, |С| ^ |Н|, что пара (С, Н) гомоморфно устойчива.
Другой пример гомоморфно устойчивых пар групп доставляют регулярные р-груп-пы. Для подробного ознакомления с этим понятием, а также с многочисленными примерами р-групп можно обратиться к [8, глава 12]. Укажем лишь самое необходимое. Конечная р-группа называется регулярной, если для любых двух элементов х,у Е С существует такой элемент г Е Н', где Н = gr (ж,у), что
хр • ур = (ху)ргр.
Вот три семейства регулярных р-групп: абелевы р-группы; р-группы, ступень нильпотентности которых меньше р; р-группы, порядок которых меньше рр.
Нам потребуется следующее свойство регулярных р-групп: если С — регулярная р-группа, то для любого целого числа вида д = рк группа А = Qq(С) является нормальной подгруппой, для которой д = ехр(А) [8, теорема 12.4.5].
Теорема 5. Пусть С и Н — такие конечные р-группы, что ехр(С) = ехр(С/С), а Н — регулярная р-группа. Тогда пара (С, Н) гомоморфно устойчива. Более точно:
1т (С, Н) = ^(Н), д = ехр(С).
Доказательство. Пусть к Е Н и п = о(к). Если к Е (Н), то к5 = 1. Тогда п|д. Так как д = ехр(С/С), по лемме 1 существует такая подгруппа С < В = С/С, что фактор-группа В/С — циклическая группа порядка п. Далее, рассуждая, как в доказательстве теоремы 3, построим гомоморфизм ф : С А Н, такой, что к Е 1тф. Этим доказано, что 1т (С, Н) = (Н). ■
В заключение сформулируем еще одну задачу.
Задача 2. Можно ли в теореме 5 ослабить условие ехр(С) = ехр(С/С)? Например, вообще убрать его?
ЛИТЕРАТУРА
1. Гриншпон С. Я., Ельцова Т. А. Гомоморфно устойчивые абелевы группы // Вестник Томского государственного университетата. 2003. №280. С. 31-33.
2. Гриншпон С. Я., Ельцова Т. А. Гомоморфная устойчивость абелевых групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. №5. С. 67-76.
3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974. 336 с.
4. Шилин И. А., КитюковВ.В. Гомоморфная устойчивость пар групп малого порядка // Прикладная дискретная математика. 2011. №4(14). С. 22-27.
5. ШилинИ.А., КитюковВ.В., Александров А. А. Вычисление групп гомоморфизмов и проверка гомоморфной устойчивости пар конечных групп // Прикладная информатика. 2012. Т. 37. №1. С. 111-115.
6. Brown R. Frobenius Groups and Classical Maximal Orders. Amer. Math. Soc. 2001. 110 p.
7. Perumal P. On the Theory of the Frobenius Groups. http://researchspace.ukzn.ac.za/ handle/10413/8853, 2012
8. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. 468c.
REFERENCES
1. Grinshpon S. Ya. and Yeltsova T. A. Gomomorfno ustoychivye abelevy gruppy [Homomorphly stable Abelian groups]. Tomsk State University Journal, 2003, no. 280, pp. 31-33. (in Russian)
2. Grinshpon S. Ya. and Yeltsova T. A. Gomomorfnaya ustoychivost' abelevykh grupp [Homomorphic images of Abelian groups]. Fundam. Prikl. Mat., 2008, vol.14, iss.5, pp. 67-76. (in Russian)
3. Fuchs L. Infinite Abelian Groups, vol. 1. N. Y., San Francisco, London, Academic Press, 1970, 289 p.
4. Shilin I. A. and Kityukov V. V. Gomomorfnaya ustoychivost' par grupp malogo poryadka [Homomorphic stability of pairs of small order groups]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2011, no. 4(14), pp. 22-27.
5. Shilin I. A., Kityukov V. V., and Aleksandrov A. A. Vychislenie grupp gomomorfizmov i proverka gomomorfnoy ustoychivosti par konechnykh grupp [Homomorphism groups computing and homomorphic stability of pairs of finite groups verification]. Prikladnaya Informatika, 2012, vol.37, no. 1, pp. 111-115. (in Russian)
6. Brown R. Frobenius Groups and Classical Maximal Orders. Amer. Math. Soc., 2001, 110 p.
7. Perumal P. On the Theory of the Frobenius Groups. http://researchspace.ukzn.ac.za/ handle/10413/8853, 2012
8. Hall M. The Theory of Groups. Macmillan, 1959, 434 p.
