Гомоморфная устойчивость пар групп малого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(14)

УДК 512.542

ГОМОМОРФНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПАР ГРУПП МАЛОГО ПОРЯДКА1

И. А. ТТТилин*’**, В. В. Китюков*

* Московский авиационный институт, г. Москва, Россия ** Московский государственный гуманитарный университет им. М. А. Шолохова, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected], [email protected]

Для каждой пары групп порядка не выше 12 с помощью составленной авторами компьютерной программы изучается алгебраическое строение объединения образов гомоморфизмов одной группы в другую.

Ключевые слова: гомоморфная устойчивость пары групп, конечная группа.

Введение

Изучению групп гомоморфизмов отдельных групп, классов групп или алгебраических систем, а также алгебраического строения образов гомоморфизмов в последнее время уделяется много внимания. Например, оказалось, что в некоторых случаях из существования изоморфизма между группами Hom(G, G) и Hom(G, G) следует, что группы G и G тоже изоморфны [1]. Важные результаты о гомоморфизмах абелевых групп получены С. Я. Гриншпоном [2] и Д. Валканом [3], а для случая прямого произведения бесконечных циклических групп Дж. О’Нейллом [4]. Свойства разрешимых групп, вытекающие из строения их конечных гомоморфных образов, рассматриваются в работе [5]. Интересные результаты о конечных образах гомоморфизмов мультипликативных групп алгебр с делением содержатся в [6]. В настоящей работе рассматриваются гомоморфизмы между конечными группами G и H и объединение образов гомоморфизмов G —^ H.

Упорядоченную пару (G, H) групп G и H назовем парой класса 1, если группа H абелева. В противном случае пару (G, H) будем называть парой класса 2. Известно, что для пар класса 1 множество H(G, H) гомоморфизмов G —> H относительно операции

H(G, H) х H(G, H) —> HG, (p, ^) i—> p • ^, [p • ^j(a) = p(a)^(a) (1)

является группой, а для пар класса 2 это происходит не всегда. Для пар класса 1 обозначение группы H(G, H) будем заменять стандартным обозначением Hom(G,H). Нейтральный элемент группы Hom(G, H) будем обозначать е (Ker е = G).

Пару (G, H) назовем гомоморфно устойчивой, если множество U Im p явля-

VeH(G’H)

ется подгруппой в H. Будем называть гомоморфную устойчивость сильной, если подгруппа U Im p является нормальным делителем.

^ея(С’Н)

В [2] определение гомоморфной устойчивости сформулировано для пар (G, H), в которых обе группы абелевы. Там же доказана гомоморфная устойчивость таких пар в случае периодической группы G. Это утверждение распространяется на все пары

1 Работа поддержана грантом ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (проект № 586P-30).

класса 1 с периодической группой С. Следовательно, все пары конечных групп класса 1 гомоморфно устойчивы.

В настоящей работе с помощью программ, составленных на языке Турбо Паскаль, для пар групп порядка не выше 12 получены следующие результаты: 1) для пар класса 1 вычислены группы Нот(С, Н); 2) для пар класса 1 вычислены группы У 1т р; 3) для пар класса 2 проверено, является ли множество Н(С, Н) группой

^еЫош(С,Я)

относительно операции (1), и в случае положительного ответа эта группа вычислена; 4) для каждой пары класса 2 проверено, является ли пара гомоморфно устойчивой, и в случае положительного ответа вычислена группа и 1т р. Все группы найдены

^€Я(С,Я)

с точностью до изоморфизма.

Отметим, что нетривиальные группы порядка не выше 12 суть следующие группы [7]: циклические группы Zn, диэдральные группы порядка 2п, прямые произве-

дения Z2, Z3, Z2, Z2Z4 и Z2Z6, кватернионная группа Q8 порядка 8, знакопеременная группа А4 и дициклическая группа

Т12 = Zз XI Z4 = (а, Ь, с | а3 = Ь2 = с2 = аЬс).

1. Группы гомоморфизмов пар класса 1

В частных случаях группы Нот(С, Н) легко вычисляются аналитически (например, Нот^т, Zn) = Zgcd(ra,m), где gcd(m, п) —наибольший общий делитель чисел т и п). В общем случае вид групп Нот(С, Н) остается неизвестным.

Для вычисления группы Нот(С, Н) среди |Н||с| отображений С —> Н надо выбрать те, которые удовлетворяют определению гомоморфизма. Конструктивное решение задачи, позволяющее существенно сократить вычисления, заключается в предварительном отборе тех отображений, для которых выполняются необходимые условия гомоморфизмов р(е) = е и р(а-1) = (р(а)) 1. Элементы группы обозначаются числами, причем число 1 всегда обозначает нейтральный элемент. Группы задаются в виде двумерных массивов. Например, используя для группы Т12 генетический код

(в, £ | в4 = £3 = е, £в£ = в)

и обозначая ее элементы е, в, в2, в3, £, £2, в£, в2£, в3£, в£2, в2£2, в3£2 числами 1-12 соответственно, эту группу можно описать массивом

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 3 4 1 7 10 8 9 5 11 12 6

3 4 1 2 8 11 9 5 7 12 6 10

4 1 2 3 9 12 5 7 8 6 10 11

5 10 8 12 6 1 2 11 4 7 3 9

6 7 11 9 1 5 10 3 12 2 8 4

7 11 9 6 10 2 3 12 1 8 4 5

8 12 5 10 11 3 4 6 2 9 1 7

9 6 7 11 12 4 1 10 3 5 2 8

10 8 12 5 2 7 11 4 6 3 9 1

11 9 6 7 3 8 12 1 10 4 5 2

12 5 10 8 4 9 6 2 11 1 7 3.

Отображения р Е Н° реализуются в виде меняющихся состояний переменного одномерного массива размера |С|, в ячейки которого записываются элементы группы С,

причем в первую ячейку, означающую образ нейтрального элемента, всегда записывается число 1, а остальные ячейки заполняются с учетом равенства р(а-1) = (р(а)) \ Вычисляя периоды получившихся гомоморфизмов, можно прийти к выводу о группе Нош(О, Н). Так, в результате работы программы для пары (Т12,28) получаем следующие данные:

111111111111

135711357357

151511515515

175311753753

Здесь 1, 3, 5,7 обозначают соответственно элементы 0, 2,4,6 группы 28. Группа Нош(Т12,28), таким образом, состоит из четырех элементов; обозначим эти гомоморфизмы (в той последовательности, в которой они перечислены выше) £,р,0 и а. С точностью до изоморфизма существует две группы четвертого порядка: циклическая группа 24, два элемента в которой имеют период 4, и группа 22, периоды всех элементов которой, за исключением нейтрального, равны 2. Так как огё2 = о^6 = 4 и огё4 = 2, то огё. р = огё.а = 4, огё.0 = 2, то есть Нош(Т12,28) = 24.

Полученные результаты содержатся в табл. 1.

Таблица 1

Группы Нош(С, Н)

СН 22 2з 24 22 25 2б 27 28 ^224 22 29 23 2ю 2ц 212 222б

^2 22 {4 22 22 {4 22 {4 22 22 22 {4 {4 22 {4 22 22

м 2з {4 {4 {4 2з {4 {4 {4 {4 2з 23 {4 {4 23 23

24 22 {4 24 22 {4 22 {4 24 ^224 22 {4 {4 22 {4 24 22

22 24 {4 22 22 {4 22 {4 22 22 22 {4 {4 22 {4 22 22

25 м {4 {4 {4 25 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 25 {4 {4 {4

26 22 23 22 22 {4 2б {4 22 22 22 23 23 22 {4 2б N ю 2 съ

@ Б3 22 {4 22 222 {4 22 {4 22 222 222 {4 {4 22 {4 22 22

27 м {4 {4 {4 {4 {4 27 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4

28 22 {4 24 22 {4 22 {4 28 ^224 22 {4 {4 22 {4 24 22

^2^4 22 {4 22 22 {4 22 {4 22 22 22 {4 {4 22 {4 2224 22

22 222 {4 222 222 {4 222 {4 222 222 222 {4 {4 222 {4 22 222

В4 22 {4 22 22 {4 22 {4 22 22 22 {4 {4 22 {4 22 22

222 {4 222 22 {4 222 {4 222 22 222 {4 {4 22 {4 222 22

29 {4 23 {4 {4 {4 23 {4 {4 {4 {4 29 23 {4 {4 23 23

23 {4 23 {4 {4 {4 23 {4 {4 {4 {4 23 23 {4 {4 23 23

2ю 22 {4 22 22 25 22 {4 22 22 22 {4 {4 2ю {4 22 22

22 {4 22 222 {4 22 {4 22 222 222 {4 {4 22 {4 22 222

2ц {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 {4 2ц {4 {4

212 22 2з 24 22 {4 2б {4 24 ^224 22 23 23 22 {4 212 №

2226 22 2з 22 22 {4 222б {4 22 22 222 23 23 22 {4 222б 24 23

А4 {4 2з {4 {4 {4 2з {4 {4 {4 {4 23 223 {4 {4 23 23

Бб 22 {4 22 22 {4 22 {4 22 22 22 {4 {4 22 {4 22 22

Т12 22 {4 24 22 {4 22 {4 24 ^224 22 {4 {4 22 {4 24 22

2. Объединение образов групп гомоморфизмов пар класса 1

Информация о гомоморфизмах О —у Н позволяет вручную вычислить группы У 1ш р. Сведения об этих группах содержатся в табл. 2.

^еЫош(С,Я)

Таблица 2

Группы У 1т <р

^еЫош(С,Я)

ся Х2 Хз Х4 Х2 Х5 Хб Х7 Х8 Х2 Х4 Х2 Х9 хз Х10 Х11 Х12 Х2Х6

Х2 Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х2

Хз {е} Хз {е} {е} {е} Хз {е} {е} {е} {е} Хз хз {е} {е} Хз Хз

Х4 Х2 {е} Х4 Х2 {е} Х2 {е} Х4 Х2 Х4 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х4 Х2

х2 Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х2

Х5 {е} {е} {е} {е} Х5 {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} Х5 {е} {е} {е}

Хб Х2 Хз Х2 Х2 {е} Х6 {е} Х2 Х2 х2 Хз хз Х2 {е} Х6 N ЬО Х

Бз Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х2

Х7 {е} {е} {е} {е} {е} {е} Х7 {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е}

^8 Х2 {е} Х4 Х2 {е} Х2 {е} Х8 Х2 Х4 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х4 Х2

Х2Х4 Х2 {е} Х4 Х2 {е} Х2 {е} Х4 4 Х4 2 Х2 х2 {е} {е} Х2 {е} Х4 Х2

х2 Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х^

В4 Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х2

Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х2

Х9 {е} Хз {е} {е} {е} Хз {е} {е} {е} {е} Х9 хз {е} {е} Хз Хз

22 {е} Хз {е} {е} {е} Хз {е} {е} {е} {е} Хз хз {е} {е} Хз Хз

2ю Х2 {е} Х2 Х2 Х5 Х2 {е} Х2 Х2 х2 {е} {е} Х10 {е} Х2 Х2

Б5 Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 Х^ {е} {е} Х2 {е} Х2 Х^

Хц {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} {е} Х11 {е} {е}

Х12 Х2 Хз Х4 Х2 {е} Хб {е} Х4 Х2 Х4 Х2 Хз хз Х2 {е} Х12 Х2Х6

^2^6 Х2 Хз Х2 Х2 {е} Хб {е} Х2 Х2 Х^ Хз хз Х2 {е} Х6 Х2Х6

А4 {е} Хз {е} {е} {е} Хз {е} {е} {е} {е} Хз Х^ {е} {е} Хз Хз

Бб Х2 {е} Х2 Х2 {е} Х2 {е} Х2 Х2 Х2 {е} {е} Х2 {е} Х2 Х2

Т12 Х2 {е} Х4 Х2 {е} Х2 {е} Х4 Х2 Х4 х2 {е} {е} Х2 {е} Х4 Х2

3. Множества гомоморфизмов пар класса 2

Алгоритм вычисления множеств Н(С, Н) ничем не отличается от алгоритма вычисления групп Нош(С, Н). Проверка выполнимости аксиом группы для множеств Н(С, Н) выполняется вручную. Получившиеся результаты содержатся в табл. 3, где для каждой пары (С, Н) либо указана группа Н(С, Н), либо отмечено, что множество Н(С, Н) не является группой.

Таблица 3 Множества Н(С,Я) как группы

ся Бз В4 Q8 Б5 Бб А4 2 н

Х2 нет нет Х2 нет нет х2 Х2

Хз Хз {4 {4 {4 Хз Хз Хз

Х2 нет нет Х2 нет нет х2 Х2

6 Х6 Вз нет Х2 нет Бз нет Хб

Х10 нет нет Х2 нет нет Х2 Х2

Б5 нет нет Х2 нет нет Х^ Х2

Х12 нет нет Q8 нет нет нет нет

А4 Хз {4 {4 {4 Хз нет Хз

2 Н нет В4 Q8 нет нет Х2 нет

4. Гомоморфная устойчивость пар класса 2

Полученные сведения о множествах Н(С, Н) дают информацию о множествах

У 1т р. Проверка гомоморфной устойчивости выполняется вручную. В итоге

рея(о,и)

получаем результаты, представленные в табл. 4, где для каждой пары (С, Н) либо

указана группа У1 1т р, либо отмечено, что это множество не является группой.

рея(о,и)

Таблица 4

Множества U Im р как группы

tpeH(G,H)

GH D3 D4 Q8 D5 De A4 2 H

Z2 нет нет Z2 нет нет z2 Z2

Z3 Z3 {e} {e} {e} Z3 нет Z3

Z2 нет нет Z2 нет нет Z2 Z2

Ze D3 нет Z2 нет De A4 Ze

Z10 нет нет Z2 D5 нет Z2 Z2

D5 нет нет Z2 D5 нет Z2 Z2

Z12 D3 D4 Q8 нет De A4 T 12

A4 Z3 {e} {e} {e} Z3 A4 Z3

2 H D3 D4 Q8 нет нет Z2 T12

Проверим сильную устойчивость пар из этой таблицы.

Обозначим |G : G| индекс подгруппы G группы G. Так как |Dn : Zn| = 2, |Q8 : Z2| = = 2 и |Ti2 : Ze| = 2, то пары (Z3, D3), (A4, D3), (Z|, Q8), (Z3, Do), (A4, Do) и (Za, T12) сильно гомоморфно устойчивы.

Подгруппа Z2 ~ U2 = {1, —1} в группе Q8 является центром и, следовательно, гомоморфная устойчивость пары (G, Q8) при G Е {Z2, Za, Z1o, D5} сильная.

Так как группа А4 является нормализатором подгруппы Клейна Z2 [8, с. 136], то последняя есть нормальный делитель в А4 [8, с. 131], поэтому устойчивость пар (G, А4) в случае G Е {Z2, Z2, Z10, D5, T12} сильная.

В некоторых случаях сильную гомоморфную устойчивость целесообразно проверить с помощью компьютерных вычислений. Для этого моделируются внутренние автоморфизмы группы H и проверяется, является ли ее подгруппа H неподвижной точкой любого внутреннего автоморфизма. В работе [9] показано, что подгруппы Z2 ~ {e, s2} и Z3 ~ {e, t, t2} в группе T12 являются нормальными делителями, поэтому в случае G Е {Z2, Z3, Z2, Z10, D5, A4 } пара (G, T12) сильно гомоморфно устойчива.

С учетом того, что несобственные подгруппы являются нормальными делителями, приходим к выводу, что для всех пар из табл. 4 гомоморфная устойчивость сильная.

ЛИТЕРАТУРА

1. Себельдин А. М., Сморкалова А. Е. Определяемость абелевых групп группами гомоморфизмов и полугруппами автоморфизмов // Матем. заметки. 2008. Т. 84. №4. С. 595-601.

2. Гриншпон С. Я. Гомоморфная устойчивость абелевых групп // Фундам. и прикл. мат. 2008. Т. 14. № 5. С. 67-76.

3. Valkan D. On some homomorphisms of direct sums of modules // Proc. Razmodze Math. Inst. 2000. V. 121. P. 151-162.

4. O’Neill J. D. On homomorphisms between direct products of infinite cyclic groups // Commun. Algebra. 2000. V.28. No. 11. P. 5047-5052.

5. Тушев А. В. О разрешимых группах, чьи конечные гомоморфные образы имеют ограниченный ранг // Матем. заметки. 1994. Т. 56. №5. С. 136-139.

6. Segev Y. On finite homomorphic images of the multiplicative group of a division algebra // Ann. Math. 1999. V. 149. No. 1. P. 219-251.

7. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., et al. Atlas of Finite Groups. Oxford: University Press, 1985. 252 p.

8. Шилин И. А. Введение в алгебру. Часть первая. М.: МГСГИ, 2010. 160 с.

9. Александров А. А., Нижников А. И., Шилин И. А. Компьютерное вычисление подгрупп и нормальных делителей неабелевых групп порядка не выше 20 // Преподаватель XXI века. 2011. №1. Ч.2. С. 214-220.