Гомоморфная устойчивость прямых произведений абелевых групп без кручения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1(2)

УДК 512.541

С.Я. Грипшпоп, Т.А. Ельцова ГОМОМОРФНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ

В статье исследуется гомоморфная устойчивость прямых произведений абелевых групп.

Ключевые слова: гомоморфный образ, группа гомоморфизмов, узкая группа, сепарабельная группа, прямое произведение.

При изучении групп гомоморфизмов абелевых групп и исследовании вполне характеристических подгрупп интерес представляет следующий вопрос: в каких случаях объединение (теоретико-множественное) гомоморфных образов группы А в группе В является подгруппой группы В.

Группа А называется гомоморфно устойчивой относительно группы В, если объединение гомоморфных образов группы А в группе В является подгруппой группы В, то есть если ^ 1т у - подгруппа группы В.

уеИот(А,В)

В [1] и [2] решен вопрос о гомоморфной устойчивости прямых сумм абелевых групп, получено полное описание гомоморфно устойчивых вполне разложимых и жестких групп. Также исследована гомоморфная устойчивость произвольных абелевых групп относительно прямых произведений. В [3] доказаны результаты о гомоморфной устойчивости вполне транзитивных групп.

В настоящей статье исследуется гомоморфная устойчивость прямых произведений абелевых групп без кручения. Везде далее в этой статье под группой будем понимать аддитивно записанную абелеву группу. В большинстве доказанных результатов предполагается неизмеримость множества компонент в прямых произведениях рассматриваемых групп. Это ограничение зависит лишь от аксиоматики теории множеств. Пока неизвестно совместно или нет существование измеримых кардинальных чисел с аксиоматикой 2Г - теории множеств.

Напомним определение узкой группы, которое понадобится нам в дальнейшем [4. С.189]. Пусть Р обозначает прямое произведение счетного множества беско-

ГО

нечных циклических групп, то есть Р = П< еп) , где о(е„) = да. Группа без круче-

п=1

ния G называется узкой, если при любом гомоморфизме ц.Р^О для почти всех п выполняется равенство пеп = 0.

Рассмотрим гомоморфную устойчивость прямых произведений групп без кручения относительно узких групп.

Теорема 1. Пусть В - узкая группа и {А,}, Е/ - семейство групп без кручения, каждая из которых гомоморфно устойчива относительно группы В, причем множество I неизмеримо. Тогда группа ^ А также гомоморфно устойчива относи/е/

тельно группы В.

Доказательство. Пусть А = П А . Возьмем произвольные элементы С и I из

/е/

множества и 1т у . Тогда существуют гомоморфизмы а, в группы А в груп-

уеИот(А,В)

пу В и элементы а\, а2 из группы А, такие, что с = аа1, I = ва2. Обозначим для каждого г е I через л, - проекцию группы А на группу А,, а через р, - координатное вложение группы Ai в группу А.

Пусть а, и в, являются ограничениями гомоморфизмов а и в соответственно, на подгруппе р,пА (г е I). Из теоремы 94.4 ([4. С. 191]) следует, что для гомоморфизмов а и в существуют соответственно конечные подмножества 1а и !р множества I, такие, что для всякого элемента а е А имеем а а = Е аг- (рг-пг-а) и

ша

Ра = Е Рг (РгПа).

Пусть I' = 1а П 1р. Возможны два случая: 1) I' = 0, 2) I' Ф 0.

В первом случае рассмотрим следующий гомоморфизм 5 группы А в группу В: для всякого элемента а е А имеем 8 а = а (РгПа) + I Рг (РгПга) . Пусть А -

г'Е 1а ге/р

такой элемент группы А: п,Н = %а1, если г е I,,;, п,к = - па2, если г е !р и п,к = 0, если г е I \( ^ и ^з). Имеем

8 А = Е “г (РгПг^) + Е Рг (РгПг^) = Е “г (РгПга1) -

ге/а ге/р ге/а

- Е Рг ( Рг Пг а2 ) = а а1 -Р а2 = С - ^ .

г'Е/р

Значит, с - I е 1т 5 и поэтому с - ^ е и 1т У.

уеИот(А, В)

Рассмотрим второй случай. Так как рпА = А, для всякого г е I, то любая группа р,пА (г е I) гомоморфно устойчива относительно группы В. Значит, для всякого г е I существуют гомоморфизм ф, группы рпА в группу В и элемент а() е А, такие, что а^паО - в;(Р,п) = фг(р,па®). Пусть Га = !а\ I' и I'р = ^ \ I'. Рассмотрим

следующий гомоморфизм р группы А в группу В: для всякого элемента а е А

имеем ц а = Е а ( Рг Пга ) + Е Рг ( Рг Пга ) + Е Фг (ргпга). Пусть А - такой элемент

г'е/а г'е/р г'е/'

группы А: л,Ь = л,а®, если г е I'; пА = лгаь если г е /'а; = - п,а2, если г е /р и

п,к = 0, если г е I \( Iа иIp). Имеем

И А = Е аг (РгПгА) + Е Рг (РгПгА) + Е Фг (РгПгА) = Е аг (РгПа1) -

г'Е/а ге/р г'е/' ге/^

- Е Рг (РгПга2 ) + Е Фг (РгПг А) = Е аг (РгПа1) - Е Рг (РгПга2 ) +

ге/р ге/ г"е/а г'е/р

+ Е Фг (ргПга(г) ) = Е аг' (РгПа1 ) - Е Рг' (РгПга2 ) +

г'е/' геГа ге1р

= а а - в а2 = с - 1.

Итак, с - ^ е 1т р и поэтому с -1 е ^ 1т у .

уеНот(А,В)

Таким образом, группа А гомоморфно устойчива относительно группы В.

Для исследования гомоморфной устойчивости прямого произведения сепарабельных групп без кручения нам понадобится результат о гомоморфной устойчивости сепарабельных групп [4. С. 7], то есть групп, в которых каждое конечное подмножество элементов содержится в прямом слагаемом этой группы, являющейся прямой суммой групп ранга 1.

Теорема 2 (см. также [2]). Всякая сепарабельная группа гомоморфно устойчива относительно любой группы.

Доказательство. Докажем вначале, что любая группа ранга 1 гомоморфно устойчива относительно любой группы.

Всякая группа ранга 1 изоморфна либо ненулевой подгруппе квазицикличе-ской группы 2(рт') для некоторого простого числа р, либо ненулевой подгруппе группы Q всех рациональных чисел.

Пусть А - циклическая ^-группа, В - произвольная группа,

а1, а2 е и 1т а . Тогда существуют такие гомоморфизмы в, у е Нот(А, В),

аеИош(А, В )

что а! = вЬ и а2 = уЬ2 для некоторых элементов Ь1, Ь2 е А. Так как элементы Ь1, Ь2 принадлежат группе А, то их можно представить в виде: Ь\ = ка, Ь2 = та, где а -образующий элемент группы А, а к и т - целые числа. Рассмотрим разность а1 -а2. Имеем а1 - а2= вЬ1 - уЬ2 = в(ка) - у(та) = (кв - ту)(а). в, у е Нот(А, В), поэтому разность кв - ту также принадлежит группе Нот(А, В). Обозначим эту разность через п. Тогда имеем а1 - а2 = па. Значит, а1 - а2 е ^ 1та , поэтому

аеИош(А, В)

А является гомоморфно устойчивой относительно любой группы.

Если А = 2(рс°), то, учитывая локальную цикличность группы А и проводя рассуждения, аналогичные вышеприведенным, получим, что А - гомоморфно устойчива относительно любой группы.

Пусть А - группа без кручения ранга 1; В - произвольная группа;

а1, а2 е и 1т а. Тогда существуют такие гомоморфизмы в и у из

аеИош(А, В)

Нот(А, В), что а1 = вЬ1 и а2 = уЬ2, для некоторых элементов Ь1, Ь2 из группы А. Пусть Ь - некоторый ненулевой элемент группы А. Так как А - группа ранга 1, то существуют такие взаимно простые целые числа т и п, что тЬ = пЬ1 и существуют такие взаимно простые целые числа к и /, что кЬ = 1Ь2. Элемент Ь делится на числа пи/, то есть уравнения пх = Ь и /х = Ь разрешимы в группе А. Итак,

Ь1 = т Ь ; Ь2 = к у. Не умаляя общности, можно считать, что числа п и / - натуГ г

ральные. Пусть наименьшее общее кратное чисел п и / равно г и — = п1; — = /1 (п1,

п /

/1 е ^. Так как элемент Ь делится на п и на /, то элемент Ь делится на г. Пусть

с = Ь. Тогда Ь1 = тп1с, Ь2 = к/1с. Имеем а1 - а2 = в(Ь1) - у(Ь2) = в(тп1с) - у(к/1с) = г

= (тп1в - к/1у)(с). Так как гомоморфизмы в и у из Нот(А, В), то разность тп1в - к/1у также принадлежит этой группе. Значит, а{ - а2 е и 1т а. Следова-

аеИош(А, В)

тельно, группа А является гомоморфно устойчивой относительно любой группы.

Пусть теперь А - сепарабельная группа, В - произвольная группа и

с, е ^ 1т а . Существуют такие гомоморфизмы в, У е Нот(А, В) и эле-

аеИош(А, В )

менты а1, а2 е А, что с = ва1, d = уа2. Вкладываем элементы а1 и а2 в прямое слагаемое А1 группы А, являющееся прямой суммой групп ранга 1 (А=А1® А2). Пусть в' - ограничение гомоморфизма в на А1, а у' - ограничение гомоморфизма у на А1. Имеем с = в'а1, d = у'а2, где в', У' е Нот(А1, В), и поэтому с,d е и 1т а .

аеИош(А1, В)

Так как по лемме 5 [2. С. 21] и теореме 1 [2. С. 18] А1 - гомоморфно устойчива относительно любой группы, то с - d е ^ 1т а . Следовательно, существуют

аеИош(А1, В)

5' е Нот(А1, В) и элемент а3 е А1, такие, что с - d = 5'а3. Рассмотрим гомоморфизм 5 е Нот(А, В), действующий следующим образом: 5а = 5'па для всякого элемента а е А, где п - проекция группы А на прямое слагаемое А1. Имеем с -d = 5а3 и, значит, с - d е ^ 1т а . Следовательно, А - гомоморфно

аеИош(А, В)

устойчива относительно любой группы.

Из теорем 1 и 2 получаем такой результат.

Теорема 3. Прямое произведение сепарабельных групп без кручения (в частности, любая векторная группа) с неизмеримым множеством компонент является гомоморфно устойчивой группой относительно любой редуцированной узкой группы.

Учитывая, что всякая счетная редуцированная группа без кручения является узкой [5], получаем такое

Следствие 4. Прямое произведение сепарабельных групп без кручения (в частности, любая векторная группа) с неизмеримым множеством компонент является гомоморфно устойчивой группой относительно любой счетной редуцированной группы без кручения.

Пусть р - произвольное простое число. Обозначим через Зр - аддитивную группу кольца целых _р-адических чисел. Докажем следующий результат.

Теорема 5. Пусть В - группа без кручения, не содержащая подгрупп, изоморфных одной из групп Р или Зр, где р - произвольное простое число. Если

{Ai} ш - семейство групп без кручения, каждая из которых гомоморфно устойчива относительно группы B и множество I неизмеримо, то группа ^ A также го-

iel

моморфно устойчива относительно группы B.

Доказательство. Пусть A = П A . Рассмотрим вначале случай, когда B - ре-

iel

дуцированная группа. Тогда B не содержит никакой подгруппы, изоморфной одной из групп Q, P или Jp, где p - произвольное простое число. Значит, B - узкая группа [6] и поэтому по теореме 1 группа A гомоморфно устойчива относительно группы B.

Пусть теперь B - нередуцированная группа. Тогда B=D® B', где D - делимая группа, B' - редуцированная группа. Так как B' не содержит подгрупп, изоморфных одной из групп Q, P или Jp, то B' - узкая группа. Пусть Ла, п2 - проекции группы B на прямые слагаемые D и B' соответственно. Если а, ß е Hom(A, B), то п1а, n1ß е Hom(A, D); п2а, n2ß е Hom(A, B) Для любых элементов а1 и а2 из группы A имеем аа1 = п1аа1 + п2аа1, ßa2 = n1ßa2 + n2ßa2. Тогда aa1 - ßa2 = (n1aa1 -n1ßa2) + (n2aa1 - n2ßa2). Так как n2aa1 - n2ßa2 е B' и B' - узкая группа, то по теореме 1 существуют гомоморфизм X е Hom(A, B') и элемент a3 е A, такие, что n2aa1 - n2ßa2 = Xa3 (если n2aa1 - n2ßa2 = 0, то полагаем X = 0, а в качестве a3 берем произвольный ненулевой элемент группы A). Существует гомоморфизм Ъ>: <a3> ^ D, такой, что Ъа3 = n1aa1 - n1ßa2. В силу инъективности группы D ([7], теорема 27.1. С.119) гомоморфизм Ъ можно продолжить до гомоморфизма п группы A в группу D. Итак, имеем aa1 - ßa2 = na3 + Xa3. Так как гомоморфизмы п и X можно рассматривать как гомоморфизмы группы A в группу B (D и B' -подгруппы группы B), то aa1 - ßa2 = (п + X)a3, где п + X е Hom(A, B). Значит, группа A гомоморфно устойчива относительно группы B.

Следствие 6. Прямое произведение сепарабельных групп без кручения (в частности, любая векторная группа) с неизмеримым множеством компонент является гомоморфно устойчивой относительно любой группы без кручения, не содержащей подгрупп, изоморфных одной из групп P или Jp, где p - произвольное простое число.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфно устойчивые абелевы группы // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 31 - 33.

2. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфные образы абелевых групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. № 3. С. 17 - 24.

3. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфная устойчивость и вполне транзитивность абелевых групп // Вестник ТГУ. 2007. № 298. С. 114 - 116.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.

5. Sasiada E. Proof that every countable and reduced torsion-free abelian group is slender // Bull. Acad. Polon. Sci. 1959. V.7. Р. 143 - 144.

6. Nunke R.J. Slender groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1961. V. 67. Р. 274 - 275.

7. Nunke R.J. Slender groups // Acta. Sci. Math. Szeged. 1962. V. 23. Р. 67 - 73.

8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1. 335 с.

Принята в печать 10.03.08.