CC BY
46
О ПРИМЕНЕНИИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ СВОЙСТВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП, СВЯЗАННЫХ С НОРМАЛЬНОСТЬЮ*
И.А. Шилин, А.И. Нижников, А.А. Александров
Аннотация. В статье рассказывается о роли подгрупп, по своим свойствам близких к нормальным делителям,, в строении конечных групп. Приводится большой обзор литературы, в том числе новейшей. Говорится о применении программирования к исследованию этих свойств и проверке Т-условия.
Ключевые слова: конечная группа, нормальность, программирование, с-нор-мальная подгруппа, Т-группа.
Summary. The article considers the subgroups which are nearly to normal divisors, and discuss their role in the structure of finite groups. It also contains the survey including new articles and analyzes the above subgroups and verification of Т-condition via programming approach.
Keywords: finite group, normalcy, programming, с-normal subgroup, Т-group.
214
1. О подгруппах, близких к нормальным, их взаимосвязи и роли в строении конечных групп
В теории конечных групп большое внимание в последние годы уделяется изучению строения групп по подгруппам. Например, центр Cut G группы G, то есть подгруппа, состоящая из элементов, перестановочных со всеми элементами группы G, характеризует «степень абелевости» группы. Обозначим ipg внутренний автоморфизм a i-У д~1 ад группы G. Тогда другим примером может служить нормализатор Nm II произвольной подгруппы Н, состоящий из внутренних автоморфизмов, относительно которых Н инвариантна: подгруппа Nm Н показывает «степень нормальности» подгруппы Н.
Нормальность подгрупп в конечной группе, или «степень их нормальности», играют важную роль при изучении самих групп. С другой стороны, такую же сильную роль играют подгруппы Н, удовлетворяющие свойствам, близким к \ 111 / / — ( .■'. Укажем некоторые классы таких подгрупп, которые будут рассмотрены в нашем исследовании.
а) Известно, что произведение НН подгрупп Н и Н группы G является подгруппой в том и только том случае, когда НН = НН. В статье [1] впервые введено понятие квазинормальной подгруппы: подгруппа называется квазинормальной, если перестановочна со всякой подгруппой. Статьи [2-4]
* Работа поддержана грантами ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» 586-30 и 2012-1.3.2-12-000-1005-001 и научным грантом для студентов МГГУ им. М. А. Шолохова за 2012 год.
показывают, что квазинормальные группы обладают весьма интересными свойствами, а по сути, они являются по своим свойствам близкими к нормальным подгруппам.
¡3) Напомним, что ядром подгруппы Н группы G называют максимальный нормальный делитель JV группы G, удовлетворяющий включению Л С II. Обычно ядро обозначают Core Н. В работе [5] было дано другое обобщение понятия нормального делителя группы: подгруппа II группы G называется анормальной, если существует такая нормальная подгруппа JV в G, что G — НА и N Г1 II С Core//.
) Пусть Н | и Н} — подгруппы в G, Н1 С Н-2 и Н-2 - нормальный делитель. Если Н± тоже является нормальным делителем, то Н \ инвариантна относительно всех внутренних автоморфизмов tpg группы G, в том числе и тех, в которых (/ /Л, и, следовательно, П является нормальным делителем также и в /Л. Очевидно, что обратное утверждение выполняется не всегда: если Н\ является нормальным делителем в Н-2 (напомним, что Hi - нормальный делитель группы G), то Н\ может не быть нормальным делителем в G. Таким образом, в общем случае бинарное отношение «нормальный делитель» не является транзитивным. Группа G, в которой указанное отношение транзитивно, называется Т-группой. В последнее десятилетие наблюдается устойчивый интерес к изучению свойств и необходимых условий этих групп.
S) Тот факт, что Н является нормальным делителем в G, обозначают обычно Н <] G. Подгруппу Н|, удовлетворяющую условию П\ <1 Н? <1 G, называют субнормальной в G (в предыдущем абзаце мы отметили, что при этом утверждение II- ( / может оказаться ложным).
.) В статье [6] введено понятие слабо c-нормальной подгруппы: так называется подгруппа II в группе G, если существует такая субнормальная подгруппа N В G, что G = HN И N П Н С Core Я.
Q В определении ядра подгруппы Н группы G поменяем словосочетание «нормальный делитель» на «субнормальный» - получим определение глубинного ядра Core* Н. Подгруппа И группы G называется cs-нормалъной, если существует такая субнормальная подгруппа Л в G, что G = Н Л и Л П Н С Core* Н.
,,) В статье [7] рассмотрены группы, у которых свойство квазинормальности ослаблено: они перестановочны как минимум со всеми силовскими подгруппами. Однако свойства этих групп, названных н-квазинормальньми или s-перестмновочными, близки свойствам квазинормальных групп: в частности, каждая л-квазинормальная группа является субнормальной.
в) Обозначим Н'1 подмножество элементов группы G, ^-сопряженных элементам подгруппы II: иными словами, II'1 является образом группы II при внутреннем автоморфизме ipg. Из этого следует, что Н-* - подгруппа в G. В статье [8] введено еще одно ослабление понятие квазинормальности: подгруппа Н группы G называется условно перестановочной с подгруппой II, если она перестановочна с подгруппой IV при всяком g £ G.
:) Через весьма короткий срок, прошедший от появления этого понятия, понадобилось ввести следующий его аналог: подгруппа II в группе G называется s-условно перестановочной, если для всякой силовской подгруппы II можно указать такой элемент g £ G, что НН'1 — Н-'Н.
215
216
к) Пусть II и H — подгруппы в группе G и X — некоторое подмножество в G. Подгруппу H называют Х-перестановочной с Н, если существует такой элемент х G X, что H И ' — H ' H. Такое определение дано в статье [9].
Л) В этой же статье рассматривается следующее сужение последнего определения. Подгруппу H называют наследственно Х-перестановочной с II, если существует такой элемент х G X П H П Н, что H H' — H ' H.
/.i) Вместо «^-перестановочности» в некоторых работах рассматривается «X■полуперестановочность»: под этим понимается тот факт, что И перестановочна со всеми подгруппами некоторого дополнения подгруппы H в G.
}.') Подгруппа II группы G называется полунормальной, если в G найдется такая подгруппа II, что G = H H, и для каждой подгруппы II в II, отвечающей неравенству H ф H, подгруппа IIII в G отлична от G. Такое определение введено в работе [10].
<Q Обозначим р простой делитель порядка G* конечной группы G. Тогда в G существует силовская р-подгруппа H. Группу G называют р-нильпотентной, если в G существует нормальный делитель Л , такой, что G = H Л и подгруппа H Г] А тривиальна. При этом говорят, что X является р-дополнением подгруппы H. В настоящее время существует множество работ, в которых обсуждается существование р-дополнений конечных групп. С другой стороны, р-дополне-ния сыграли важную роль при доказательстве таких известных в алгебре утверждений, как теорема Фробениуса, теорема Бернсайда, теорема Томсона и теорема Глаубермана.
0) Пусть II — подгруппа группы G. Говорят, что H S-вложена в G, если в G существует такой нормальный делитель N, что H N л-перестановочна, n H П N является подгруппой в максимальной ¿-перестановочной подгруппе в G, содержащейся в Н. См., например, [11].
_) Пусть //. // и 11 — подгруппы в группе ('/, причем ¡1 _ //. В работе [12] введены следующие понятия:
1) говорят, что H накрывает пару ( //, Н), если H H — H H;
2) говорят, что H изолирует пару (II, H), если H П H — H П H.
Рассмотрим ряд подгрупп
в G. Подгруппа H называется S-вложенной в G, если H накрывает или изолирует любую пару ( H, H ), н которой H - максимальная подгруппа в II и для всякого .' выполняется неравенство // <; Ц <! Ц <! //.
Между сформулированными выше понятиями имеется тесная связь. В терминах указанных классов подгрупп формулируются утверждения о важнейших свойствах конечных групп: разрешимости, суперразрешимости, нильпотентности. Этому направлению посвящен целый ряд работ, причем основными авторами являются представители хорошо известной гомельской школы по теории групп (А.Н. Скиба, К.П. Шум, В.С. Монахов, В.Н. Княгина и др.) и исследователи из Гонконга (W. Guo, Y. Wang и др.). Не претендуя на полноту, остановимся на некоторых моментах, обсуждаемых в последние годы.
Произведение H H = { h\ \ h G G H. h G H} подгрупп H и H группы G и их перестановочность H H = H H используется для описания достаточ-
ных условии и критериев многих важных свойств групп - см., например, [13]. Приведем следующий пример. Хорошо известно, что произведение двух нильпотентных подгрупп есть также нильпотентная группа, а для суперразрешимых групп аналогичное утверждение не является верным. В работе [14] показано, что для того чтобы произведение IUI нормальных суперразрешимых подгрупп Н и Н было суперразрешимой подгруппой, должно выполняться хотя бы одно из условий: 1) коммутант группы НН нильпо-тентен; 2) индексы (G : Н) и (G : Н) подгрупп Н и Н взаимно просты. В работе [15] достаточное условие суперразрешимости произведения НН нормальных суперразрешимых подгрупп сформулировано уже в терминах перестановочности: достаточно, чтобы всякая подгруппа из Н была перестановочной с любой подгруппой из П. Еще два условия суперразрешимости в терминах перестановочности подгрупп найдены в недавней работе [16]. Аналогичные условия в терминах перестановочности р-подгрупп установлен для ^-нильпотентности в работе [17]. Отметим, что группы, в которых все подгруппы перестановочны, связаны с так называемыми локально градуированными группами: см. свежую работу [18].
Различные виды вложимости, в том числе и те, которые будут рассмотрены в нашем исследовании, используются для описания структуры конечных групп и классификации этих групп - см., например, недавние работы [19-21].
Ненильпотентная группа G, все подгруппы которой (за исключением G) нильпотентны, называется группой Шмидта. Вопросам описания структуры конечной группы ее субнормальными подгруппами Шмидта посвящены статьи [22-23]. Другое описание, посредством субнормальных силовских подгрупп, дано в статье [24]. В работе [25] обсуждаются условия перестановочности силовских и шмидтовских подгрупп, ^-перестановочность максимальных подгрупп в силовских подгруппах с максимальными подгруппами рассматривается, например, в работе [26]. Условная ^-перестановочность подгрупп и ее роль в описании структуры конечной группы обсуждается в статьях [27-28].
217
2. Применение программирования к исследованию конечных групп.
С появлением электронных вычислительных машин начинает бурно развиваться вычислительная ветвь теории групп. В этой теории реализуются известные алгоритмы, созданные еще до появления электронной вычислительной техники, и создаются новые. Наибольший прогресс достигнут в вычислениях, связанных с конечными группами, меньший - с бесконечными группами, допускающими матричное представление, и бесконечными ко-
нечнопорожденными группами. Мно- рис ? массив, определяющий группу гие вычисления сегодня проводятся с Фробениуса порядка 20
1 г 3 4 5 0 Т а 9 10 11 12 13 14 15 16 1? 16 19 20
г 4 J 9 10 11 12 16 14 15 16 17 16 19 20 5 6 7 6
3 4 1 2 13 14 15 16 17 16 19 20 5 6 7 6 9 10 11 12
4 1 2 3 17 16 19 20 5 6 7 6 9 10 11 12 1Э 14 15 15
6 10 16 19 6 7 8 1 11 12 2 9 3 13 14 16 20 4 17 13
6 12 Ii 17 7 S 1 5 2 9 10 11 16 3 13 14 13 19 20 4
7 е 14 го а 1 5 6 10 11 12 г 16 16 3 13 4 17 18 19
3 ii 13 я 1 5 в 7 12 2 9 10 14 15 16 3 19 20 4 17
8 14 20 7 10 11 12 а 15 16 3 13 4 17 16 19 б 1 5 6
1С 16 19 6 и 12 г 9 3 13 14 15 20 4 17 18 7 8 1
11 13 ie 5 12 2 9 10 14 15 16 3 19 20 4 17 1 5 6 7
12 15 17 г 2 9 10 11 16 3 13 14 13 19 20 4 7 6 1 5
13 10 а 11 14 15 16 3 19 20 4 1Т 1 5 6 7 12 2 в 10
14 20 ; 9 15 16 3 13 4 17 18 19 6 1 5 6 10 11 12 г
15 17 6 12 18 3 13 14 16 10 20 4 7 6 1 5 2 0 10 ii
16 10 s 10 3 13 14 1S 20 4 17 16 6 7 6 1 11 12 2 9
17 Е 12 15 16 19 50 4 7 6 1 5 2 9 10 11 16 Э 13 14
18 е 11 13 1Э го 4 17 1 5 6 Т 12 2 9 10 14 15 16 3
19 5 10 13 го 4 17 16 6 7 8 1 11 12 2 9 3 13 14 15
20 7 9 14 4 17 16 19 6 1 5 6 10 11 12 2 15 16 3 13
помощью специализированных вычислительных пакетов, лучшими из которых являются GAP и MAGMA. В этих пакетах конечные группы представляются группами подстановок.
В наших работах [29-33] для групп малого порядка мы развиваем другой подход. Мы понимаем группу как групповую операцию, описываемую двумерным массивом. В работе [29] рассказывается о вычислении подгрупп и нормальных делителей в неабелевых группах, в работах [30-32] - о вычислении групп гомоморфизмов и проверке гомоморфной устойчивости, в работе [33] - о вычислении групп автоморфизмов и внутренних автоморфизмов. Отметим, что в нашу книгу [34], посвященную введению в абстрактную алгебру и конкретно теорию групп, включены теоретико-групповые задачи на программирование.
В нашей статье [35] обсуждаются два подхода к введению вычислительных задач в курс общей алгебры: один основан на использовании уже готовых вычислительных пакетов, другой - на применении программирования.
3. Применение программирования к исследованию свойств, связанных с нормальностью
Исследование свойств конечных групп, связанных с их нормальными делителями и подгруппами, близкими к нормальным, легко осуществить, добавив к программному коду, рассмотренному в статье [29], дополнительные функции. Пусть, например, помимо вычисления подгрупп и нормальных делителей, программа, во-первых, для каждой подгруппы 1) вычисляет ее нормализатор и централизатор, 2) проверяет, является ли подгруппа с-нормальной, и, во-вторых, проверяет, выполняется ли в группе Т-условие. Принадлежность элемента .s группы G нормализатору подгруппы ss, который в коде программы моделируется одномерным массивом hör : array [i n] of integer, проверяется следующим образом:
218
то есть поначалу все элементы группы записываются во множество hör, но впоследствии его элемент s исключается из ho Г, если найдется такой элемент t подгруппы ss, что <ßs(t) не принадлежит подгруппе ss. Централизатор подгруппы строится схожим образом:
if ss[t] = 1 then if gg|s,t] <> gg[t,s] then ztrjs] := 0.
Пусть csg обозначает число подгрупп, а ячейки массива lisg размера csg содержат 0 или 1 в зависимости от того, является ли подгруппа нормальным делителем. Пусть массив Isg размера csg X (7 играет роль списка групп. Тогда проверку Т-условия можно осуществить следующим фрагментом программного кода:
for s := 1 to csg — 1 do for t := s + 1 to csg do begin
if (nsg[s] — 0) and (nsg[t] — 1) then begin
psg := 1;
for j :— 1 to |G| do if lsg[s. j ] > lsg[t, j] then psg :— 0:
if psg = 1 then
begin
pnsg := 1;
for j :— 2 to for a :— 2 to
do do
if (lsg[s, a] - 1) and (lsg[t, j] - 1)
then if lsg[s. gg[gg[inv[j], a], j]] = 0 then pnsg l= 0;
if pnsg = 1 then
begin
writeln(");
write('nontransitivity(', s,') and (', t,')')
end
end
end
end:
Алгоритм вычисления с-нормальных подгрупп мы для краткости опускаем.
219
Рис. 2. Результаты работы программы для группы Фробениуса порядка 20
В качестве примера рассмотрим результаты работы программы для группы
Фробениуса
¿г ={а,г | й4 = *5 = е, Ьз = аЬ2). состоящей из двадцати элементов. Представляя группу Фробениуса массивом размера 20 X 20 (рис. 1), получаем (рис. 2), что группа ^ является Т-группой, в которой несобственные подгруппы Н\ = {е, и
/ /_. |. . J. /. :J, / "./'.> ^ /. .' -. -1". - / ' I являются с-нормальными подгруппами, причем соответствующими для них нормальными подгруппами является подгруппа F.
220
C:\PRDGRA~l\TURBaP~l.l\BIN\S3XZ3-~l.EXt
subgroup 1: 100000000000000000 - normal
its normaliser is lllllllllllillllll
its centaliser is llllllllllllllilll
subgroup 2- 10OOBOO00O10OO01OB
its normaliser is 10O1101001101B0110
its centaliser is 10O1101001101B0110
subgroup 3: 10O0BOO0O1000O001B
its normaliser is 100110100110100110
its centaliser is 10O11O1OO1101BO110
sujbgroup -1: 100000100000100ООИ - normal
its normaliser 1s llllllllllllllilll
its centaliser is llllllllllllllilll
3 ubyroup 5: 10ООШ1ОЕОШОЭШОШООШ
its normaliser is 1OO00110O0011BOO01
its centaliser is 10000110ШОЯ11В0001
si.hyi-pup f.: 1000В1100Ш011ОЯ001
its normaliser is 1000011000011B0001
its centaliser is 1О00011000Я11B0O01
subgt-oup 1: 100110OD00D0O00OOB - normal
its normaliser is llllllllllllllilll
its centaliser is 10O11010011O1B0110
subgroup 8: 100110100110100110 - normal
its normaliser is llllllllllllllilll
its centaliser is 10O11010011O1B0110
subgroup 9: 101ОЕОО00000ООЯООЕ
its normaliser is 10100О101ОЯО1В1ОЕО
its centaliser is 10100D1010001B1000
subgroup 10: 1O1BOO10100O101OBO
its normaliser is 101000101ОЯО1Е10В0
its centaliser is 101000101000101000
subgroup 11: 11ОВОО00П00ПОЯООВО
its normaliser is 11000011000011O0BO
its centaliser is 110000110000110000
subgroup 12: 11OB0O110000110OBO
its normaliser is 110000110000110000
its centaliser is 110000110000110000
subgroup 13: 11111100O0O0O0OOBO - normal
its normaliser is llllllllllllllilll
its centaliser is 100000100000100000
subgroup 14: llllllllllllllilll - normal
its normaliser is llllllllllllllilll
its centaliser is 1OO0OO10QO[DO1BQO0O
nontransitiuity C2> and <8> nontransitivity C3> and <8>_
Рис. 2. Результаты работы программы для группы Зз х Юз порядка 18
Прогонка программы для группы Эз X ТЦз порядка 18, напротив, показывает, что эта группа не удовлетворяет Т-условию, поскольку транзитивность нарушается на парах групп [Н\, Н:\) и ( Н>, ) (рис. 3), где
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ore O. Contributions in the theory of groups of finite order // Duke Mathematical Journal. - 1939.
- V. 5. - No. 2. - P. 431-460.
2. Stonehewer H.E. Permutable subgroups in infinite groups // Mathematische Zeitschrift. - 1972.
- V. 125. - No. 1. - P. 1 -16.
3. Maier R., Schmid P. The embedding of permutable subgroups in finite groups // Mathematische Zeitschrift. - 1973. - V. 131. - No. 3. - P. 269-272.
4. Скиба А.Н., Титов О.В. Конечные группы с c-квазинормальными подгруппами // Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48 - № 3. - С. 674-688.
5. Wang Y. C-normality of groups and its properties // Journal of Algebra. - 1996. - V. 180. - No. 2.
- P. 954-965.
6. Tashtoush M. Weakly c-normal and cs-normal subgroups of finite groups // Jordan Journal of Mathematics and Statistics. - 2008. - No. 1. - P. 123-132.
7. Shi Rong Li. On s-quasinormal and c-normal subgroups of a finite group // Czechoslavak Mathematical Journal. - 2008. - V. 58. - No. 4. - P. 1083-1094.
8. BaoJun Li, AhiRong Zhong. The influence of c-conditionally permutable subgroups on finite groups // Science in China. Series A: Mathematics. - 2009. - V. 52. - No. 2. - P. 301-310.
9. Го В., Скиба A.H., Шам К.П. А'-перестановочные подгруппы // Сибирский математический журнал. - 2007. - Т. 48. - № 4. - С. 742-759.
10. Su X. Seminormal subgroups of finite groups // Journal of Mathematics. - 1988. - V. 8. - No. 1.
- P. 5-10.
11. Го В., И Лу, Ню В. Об S-вложенных подгруппах конечных групп // Алгебра и логика. - 2010. -Т. 49.-№ 4.-С. 433^150.
12. Guo IF., Skiba A.N. Finite groups with systems of S-embedded subgroups // Science in China. -Mathematics. - 2011. - V. 54. - No. 8. - P. 1909-1926.
13. Wang L., Wang Y. A note on product of finite groups // International Journal of Algebra. - 2012.
- V. 6. - No. 12. - P. 721-726.
14. Friesen D.R. Products of normal supersolvable groups // Proceedings of the American mathematical society. - 1971. - V. 30. - P. 46-48.
15. AsaadM., Shaalan A. On the supersolvabiliti of finite groups // Archiv der Mathematik. - 1989.
- V. 53. - P. 318-326.
16. Xi Lu, Daojun Li, Xiaolan Yi. Some criteria for supersolubility in products of finite groups // 221 Frontiers of Mathematics in China. - 2008. - V. 3. - No. 1. - P. 79-86. 221
17. Jiao S., Huang J. A criterion for supersoluble groups // Journal of Xuzhou Normal university. -Natural Sciences. - 2006. - V. 24. - No. 2. - P. 13-14.
18. Dixon M., Karatas Y. Groups with all subgroups permutable or of finite rank // Central European Journal of Mathematics. - 2012. - No. 10 (3). - P. 950-957.
19. Го В., И Лу, Ню В. Об S-вложенных подгруппах конечных групп // Алгебра и логика. - 2010. -Т. 49.-№ 4.-С. 433^150.
20. Guo W., Skiba A.N. Finite groups with systems of ^-embedded subgroups // Science China. -Mathematics. - 2011. - V. 54. - No. 8. - P. 1909-1926.
21. Li J., Chen G., Chen R. On weakly S-embedded subgroups of finite groups // Science China. -Mathematics. - 2011. - V. 54. - No. 8. - P. 1899-1908.
22. Ведерников В.А. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. - 2007. - Т. 46. - № 6. - С. 669-687.
23. Княгина В.Н., Монахов В.С. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. - 2007. - Т. 46. - № 4. - С. 648-458.
24. Guo W. Finite groups with seminormal Sylow subgroups // Acta Mathematica Sinica. - 2008. -V. 24. - No. 10. - P. 1751-1757.
25. Княгина В.Н., Монахов В.С. О перестановочности силовских подгрупп с подгруппами Шмидта // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 553-564.
26. Гу В., Шум К.П., Скиба А.Н. ^-перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп конечных групп // Украинский математический журнал. - 2006. - Т. 58. - № 10. -С. 1299-1309.
27. AV Б., Гу В. с-полуперестановочные подгруппы конечных групп // Сибирский математический журнал. - 2008. - Т. 48. - № 1. - С. 224-235.
28. Chen G., Li J. The influence of A-semipermutability of subgroups on the structure of finite groups // Science in China. - Series A: Mathematics. - 2009. - V. 52. - No. 2. - P. 261-271.
29. Александров А.А., Нижников А.И., Шилин И.А. Компьютерное вычисление подгрупп и нормальных делителей неабелевых групп порядка не выше 20 // Преподаватель XXI век. - 2011. - № 1. - С. 214-220.
30. Шилин И.А., Китюков В.В., Александров А.А. Компьютерные вычисления, связанные с гомоморфной устойчивостью групп // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. - М.: МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 263-265.
31. Шилин И.А., Китюков В.В. Гомоморфная устойчивость пар групп малого порядка // Прикладная дискретная математика. - 2011. - № 4. - С. 22-27.
32. Шилин И.А., Китюков В.В., Александров А.А. Вычисление групп гомоморфизмов и проверка гомоморфной устойчивости пар конечных групп // Прикладная информатика. - 2012. -№ 1. - С. 111-115.
33. Шилин И.А., Китюков В.В. Методические особенности применения компьютерного моделирования при решении задач общей алгебры // Педагогическая информатика. - 2011. -№ 1. - С. 22-27.
34. Шилин И.А. Введение в алгебру: Группы. - СПб.: ЛАНЬ, 2012. - 193 с.
35. Шилин И.А., Александров А.А. О применении компьютерных систем и программирования при изучении теории групп // Информатизация образования и науки. - 2012. - № 4. ■
222
