Описание одного класса конечных групп на основе теорем силовского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

Г. В. Пастухова

Описание одного класса конечных групп на основе теорем силовского типа

В работе доказаны две леммы о свойствах централизатора элемента в конечной группе, с помощью которых в дальнейшем описаны неабелевы группа порядка 23 р с условием нормальности своей силовской р-подгруппы.

Ключевые слова: конечная группа, силовская подгруппа, централизатор элемента.

G. V. Pastukhova

Description of one class of final groups on the basis of the theorems of the powerful type

In this paper we prove two lemmas about the properties of the centralizer of an element in a finite group, with which further describes the non-Abelian group of order 23 р with the condition of normality by its Sylow ^-subgroups.

Keywords: finite group, Sylow subgroup, centralizer of the element.

Классификационная задача Кэли, которая заключается в том, чтобы дать полную классификацию всех групп, порядки которых равны заданному натуральному числу n, решаема по двум направлениям. Первое - это фиксирование порядка и изучение неабелевой группы, исходя или из размеров центра, или нормальности силовской подгруппы, или иных характеристик группы. Абелевы же конечные группы имеют полное описание. Для решения этой задачи привлекаются различные математические пакеты, которые имеют богатую библиотеку конечных групп. Например, система GAP 4.5.4 включает в себя группы порядка не более 2000, за исключением групп порядка 1024, и всего рассмотрены 423 164 062 группы. Второе направление - это рассмотрение целого класса групп порядка n с определенным каноническим разложением этого порядка. Так, например, известно, что если n - простое число, то существует единственная группа такого порядка. Классический пример описания групп порядка п = рд, где р и q - различные простые числа, реализован с помощью теорем Людвига Силова [3, С. 101]. При возрастании порядка группы процесс ее описания в общем случае не имеет рационального решения, в связи с чем она на сегодняшний день претерпела некоторые изменения. Например, описать группы порядка ар, где а - некоторый множитель (в общем случае не являющийся простым числом) и такой, что (а,р) = 1.

Опишем группы порядка 23 p с условием нормальности своей силовской р-подгруппы. Заметим, что порядок 2 первый представил всю линейку групп, т. е. с таким порядком имеют место, помимо существующей для любого порядка циклическая, и две абелевые нециклические группы, и две неабелевые. В связи в этим, описание этих групп является традиционной задачей применения теорем силовского типа [2, С. 829-850] и иных арифметических критериев группы, например, таких как спектр [1, С.685-728].

Лемма 1. Если х - такой 2-й элемент конечной группы, что в - наименьшее с условием

2" п , ч -2"-1 2"-1 -1

х е Ся (a), то x ax = a .

Доказательство. Так как то х 1 ах е (я). т.е. существует г целое положительное, что

-1 r

х ax = a .

Тогда х~2ах2 = х-1 (х_1ах)х = х~1агх = (х~1ах)...(х~1ах) = дг...а\ = (аг)г = аг .

г раз r Р"3

Индукцией по к показывается, что x~kaxk = ar . Так как х-" ax2" = ar = a, то r2" = 1(mod p). Это сравнение равносильно

(r2 )2 = 1(mod p) и r2" - решение сравнения t. Поэтому r2" =±1(mod p).

© Пастухова Г. В., 2013

Предположим, что r2" = 1(mod p). Тогда x 2" ax2" = ar = a, что противоречит выбору х.

Следовательно, x ax = a . Лемма доказана.

Лемма 2. Если Р - циклическая группа порядка р, то Na (P) / Са (P) - циклическая и порядок r группы Ng (P) / CG ( P) делит p - 1.

Доказательство. Сначала докажем следующий факт: Для любой подгруппы H группы G Ng(N) / Cg(N) AutH . Заметим, что Ng(H) можно гомоморфно вложить в AutH. Действительно, произвольный элемент а из NG (H) индуцирует некоторый автоморфизм с(а) из AutH, т. е. для любых x, y g H имеем (xy)c(a) = xc(a)yc(a).

Найдем ядро этого гомоморфизма: ker с = { a g Ng (H)| c(a) - тождественный автоморфизм}. Покажем, что kerc = C0(H). Действительно, для любого аGker с и любого хGН имеем, что х'""' = x" = х, т.е. а е (\.(Н ). Значит кег с= Са(Н). Следовательно, по теореме о гомоморфизмах Ng (P) / Cg (P) Aut H.

Пусть теперь Р - циклическая группа порядка р. Тогда по только что доказанному Ng (P) / Cg (Р) -циклическая и изоморфно вкладывается в Aut Р где Aut P Zp l. Это значит, что N,. (P) / Cg (Р) можно считать подгруппой группы Z j порядка р - 1. Значит, порядок NG (P) / Ca (P) делит р - 1. Лемма доказана.

Теорема. Пусть Н - неабелева группа порядка 23 p, силовская р-подгруппа Р группы Н -нормальна в Н. Тогда H изоморфна одной из следующих групп:

1. H = (а) \(Ь), о(а) = р, оф) = 8, Ъ~1аЬ = ar, r" ^ l(modр), где 1 < / < 8, p = l(mod 8).

2. H = (a)\(b),o(a) = p,o(b) = 8,b lab=ar,r' ^l(modp), где \<i<A,abA =b4a,p = l(mod4).

3. H = ((a) x (с)) X (b), o(a) = p, оф) = 4, o(c) =2,bc = cb, b4ab' = , r' = l(mod p), где 1 < / < 4, p = l(mod 4).

4. H = ({a)x{c))\{b),o(a) = p,o(b) = 4,o(c) = 2,blab = a\ab2 =b2a,bc = cb.

5. H = ((a) x (с)) X (b),o(a) = p,оф) = 4,o(c) = 2,c lac = a1 ,bc = cb .

6. H = ((a) x (è) x (c)) \(d), o(a) = p, оф) = o(c) = o(d) = 2, d~lad = ax, bd = db, cd = de.

7. H = ((a) x (с)) X (b), o(a) = p, оф) = 4,b lab = a1 ,ab2 =b2a,c lbc = b.

Доказательство. Конструирование группы основывается на лемме Фраттини: пусть К -нормальная подгруппа группы Н и P g Sylp (H), тогда H = NH (P)K [1, С.115]. Обозначим через

а образующий элемент подгруппы P : P = (a). Рассмотрим всевозможные случаи:

Случай 1. S = (ô) - циклическая группа. Тогда H = (ci) X (й).

Случай 1.1. \CH (a) = p . Покажем, что в этом случае p = 1(mod8), и если b~lab = ar, то r' ф 1(modp) , при никаких i, что 1 < i < 8, а r8 = 1(mod p) .

Допустим, для некоторого i такого, что 1 < i < 8 имеем r' = 1(mod p). Это означает, что b~'ab' = ar = a и b' g Ch (a), причем b ф e . Это противоречит тому, что \CH (a) = p . Далее, |aH | = 8 ,

причем aH = {a, ar, ar ,..., ar } . Действительно, если предположить, что для некоторых i ф j , ar = ar , то это будет означать, что r' = r3 (mod p) , что равносильно (rj (r' j -1)) = 0(modp), причем можно считать, что i > j. Это невозможно, т. к. r Ф 0 и r^7 ^ 1(mod p). Аналогично показывается, что для любой степени ak, (ak)H = {ak,akr,akr\...,akr'}.

Следовательно,(a) = {e} u {a,ar,ar ,...,ar } u {ak,akr,akr ,...,akr } u.... Это означает, что |(a)| = p = 1 + 8l, где l - число неединичных сопряженных классов.

Таким образом, H = ^a,b | ap = bs = e,b 1 ab = ar,r' ^ 1(modp),1 <i < 8,p = 1(mod8)^.

Случай 1.2. \CH (a) = 2 p.

Покажем, что в этом случае p = 1(mod4) и из b~lab = ar вытекает, что 4 - наименьшее i такое, что r' = 1(mod4) . Действительно, аналогично предыдущему случаю, если i < 4 и r' = 1(mod4), то b~'ab' = a и b' e Ся (a). Это означает, что или b, или b2 e Ся (a). Тогда 4 делит \CH (a) , что противоречит условию.

Как и в предыдущем случае доказывается, что (a) = {e}^{a,ar,ar2,ar }^... ^(a*,ak,a*2,ak } и |(a)| = p = 1 + 4/, где t - число классов сопряженных неединичных элементов группы.

Таким образом, H = (a,b | ap = bs = e,b^ab = ar,b~4ab4 = a,r' ^ 1(modp),1 <i < 4,p = 1(mod4)^ H = {a,b | ap = b* = e,b~lab = ar,b~4ab4 = a,r' ^ 1(modp),1 <i < 4,p = 1(mod4)).

Случай 1.3. С h (a) = 4 p.

Аналогично доказывается, что H = ^a,b | ap = bs = e,b"lab = ar,b"2ab2 = a^. Так как Н - неабелева, то случай С (a) = 8p невозможен.

Случай 2. S = (b)x (с), где о(Ь) = 4, о(с) = 2. Тогда Н = (а)\ ((b) х (с)) .

Для любого 5 e S такого, что o(s) = 2, имеем s~1 as = a~1. Поэтому (b2c)'1 a(b2c) = c~l (b 2ab2)c = c~la~lc = a и b2c e CH (a) , причем o(b2c) = 2. Поэтому либо Ch (a) = 2p, либо \Ch (a) = 4p.

Случай 2.1. С (a) = 2p. Тогда b i CH (a). Допустим, b2 e CH (a) . Т. к. b~2ab2 = a"1 и c"1 ac = a1, то (b2c)1 a(b2c) = a и e,b2,b2c - элементы из S, входят в CH (a). Но e,b2,b2c - элементы подгруппы четвертого порядка группы S: (bc) . Поэтому (b2^ c^ < Сн (a), что невозможно по условию. Это означает, что (b} о Сн (а) = (е} и поэтому Сн (а) = (а} х (с). Таким образом, H = ((a) х (с)) X (b), где bc = cb,b~'ab' = ar , при всех ' = 1, 2, 3 и p = 1(mod4). Это вытекает аналогично случаю 1.2.

Случай 2.2. Сн (a) = 4p .

Случай 2.2.1. Допустим b i Сн (a), но b2 e Сн (a) .

Тогда(Ь2)х(с)<Ся(а) и H = ((a)x(c})\(b),blab =a\ab2 =b2a иЬс = сЬ.

Случай 2.2.2. Пусть b e CH (a).

Тогда (Ь)<Ся(а) и H = ((a) x (b)) X (с) ,c~lac = аГ1 ,bc = cb. Как и в предыдущем случае, Сн (a) = 8p невозможно.

Случай 3. S = (b} х (c) х (d), где o(b) = o(c) = o(d) = 2 .

Случай 3.1. Сн (a) = p .

Т. к. b~lab = aTl, c~lac = a_1 , то (bc)'1 a(bc) = c"1 (b~lab)c = c~la~lc = a и bc e CH (a) - невозможно.

Случай 3.2. Сн (a) = 2p. Можем считать, что (b) < Сн (a) . Тогда c, d i CH (a) и, как и в случае 3.1, (cd )_1 a(cd ) = d ~l(c~lac)d = d ~la~ld = a , т. е. cd e CH (a) и (b) х (cd) < CH (a), т. е. 4 делит \Сн (a) -противоречие.

Случай 3.3. \Сн (a) = 4p. Можем считать, что (b) х(c) < Сн (a) . Тогда, очевидно H = ((a) х (b} х (с)) X (d}, d~lad = аГ1, bd = db, cd = de.

Случай 4. S = (b} X (с) - неабелева группа. Тогда H = (a} x S или H = (а} X S.

Первая возможность однозначна. Рассмотрим вторую возможность: H = (a)\S. Как мы выше заметили (в случае 2): (b2c)"1 a(b2c) = a, поэтому либо \СН (a) = 2p, либо \СН (a) = 4p.

Случай 4.1. \СН (a) = 2p. В этом случае, дословными рассуждениями, как и в случае 2.1, приходим к тому, что (¿)пСя(а) = (е) и CH(a) = (sa}x(cs). Тогда Н = ((a) х (с)) X (б), причем

c_1 bc = b",blabl = ar , на i ир налагаются такие же условия, как и в случае 2.1.

Случай 4.2. \СН (a) = 4p . Здесь возможны два случая:

Случай 4.2.1. Допустим, b g Ся (a), но b2 е Ся (a). Тогда (b2) х(c) < Ся (a) и b_1cb = c и Н = {(a)x(c))\(b),b-lab = a \ab2 =Ь2а .

Случай 4.2.2. Пусть b е Сн (a).

Тогда (й)<Ся(а) и Н = ((a)x(b))X(c),c_1ae = a~1,c~1bc = b~l. Случай, когда |Ся(а)| = 8/? уже отмечен.

Случай 5. S1 = Q - группа кватернионов.

Q =(b, c | b4 = c4 = e, b2 = c2, c~lbc = Г1) .

Пусть b"ab = ar и c"ac = a' для некоторых целых положительных r и t. Они являются решениями сравнений r2 = 1 (mod p) и '2 = 1(mod p) , так как b~2ab = ar и c~2ac = a' . Значит r ='(mod p). Тогда a' = ar, что равносильно, в этом случае либо \СН (a) = 2p, либо \СН (a) = 4p.

Покажем, что в \СН (a)| существует подгруппа порядка H. Если это не так, то b"ab = c"ac = a" и снова получаем, что bc" е Сн(a). Но (bc_1)(bc_1) = b(c_1bc)c~2 = bb_1b2 = b2 и o(bc_1) = 4. Это означает, что в Сн (a) существует подгруппа порядка 4. Можно считать, что b е Сн (a), и тогда Я = ((a) х (б)) X (с), где с"be = Ъ4, с" ас = ar, г' ¿ l(mod р) при / = 1,2,3 р = l(mod 4). Теорема доказана.

Библиографический список

1. Васильев, В. А. Характеризация конечных простых групп спектром и порядком, Алгебра и логика [Текст] / В. А. Васильев, М. А. Гречкосеева, В. Д. Мазуров. - 2009. - № 48:6. - С. 685-728.

2. Вдовин, Е. П., Ревин, Д. О. Теоремы силовского типа [Текст] / Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин. УМН. - 2011. - № 66:5(401). - С. 829-850.

3. Каргаполов, М. И., Мерзляков, Ю. И. Основы теории групп [Текст] / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.- М. : Наука, 1982. - 288 с.

4. Курош, А. Г. Теория групп [Текст] / А. Г. Курош. - М.: Наука, 1967. - 648 с.

Bibliograficheskij spisok

1. Vasil'ev, V. A. Harakterizacija konechnyh prostyh grupp spektrom i porjadkom, Algebra i logika [Tekst] / V. A. Vasil'ev, M. A. Grechkoseeva, V. D. Mazurov. - 2009. - № 48:6. - С. 685-728.

2. Vdovin, E. P., Revin, D. O. Teoremy silovskogo tipa [Tekst] / E. P. Vdovin, D. O. Revin. UMN- 2011. -№ 66:5(401). - С. 829-850.3. Kargapolov, M. I., Merzljakov, Ju. I. Osnovy teorii grupp [Tekst] / M. I. Kargapolov, Ju. I. Merzljakov.- M. : Nauka, 1982. - 288 s.

4. Kurosh, A. G. Teorija grupp [Tekst] / A. G. Kurosh. - M. : Nauka, 1967. - 648 s.