Группы насыщенности Gl 2 (q) Текст научной статьи по специальности «Математика»

зе вероятностно-временных характеристик стохастических сетей и численные методы расчета параметров дуг позволяют создать универсальный программный модуль расчета произвольной стохастической сети.

Прямой алгоритм расчета стохастической сети занимает время выполнения меньшее или равное времени выполнения обратного алгоритма. Однако прямой алгоритм может быть использован только при выполнении ограничения О5’. Проверка выполнения данного ограничения может выполняться как исследователем, так и программным путем. Прямой алгоритм дает выигрыш в быстродействии, если сеть имеет хотя бы один цикл.

Библиографические ссылки

1. Управление развитием надежных кластерных структур информационных систем / И. В. Ковалев,

Н. Н. Джиоева, А. В. Прокопенко, Р. Ю. Царев // Программные продукты и системы. 2010. № 2 (90). С. 68-71.

2. Оценка транзакционной надежности современных систем управления и обработки информации /

Р. Ю. Царев, А. В. Штарик, Е. Н. Штарик, О. И. За-

вьялова // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2012. № 6. С. 29-32.

3. Письман Д. М., Дегтерев А. С. вБЯТ-сетевой анализ времени выполнения задачи на неспециализированном гетерогенном кластере // Фундаментальные исследования. 2005. № 4. С. 79-80.

4. Царев, М. Ю., Царев Р. Ю., Шевчук С. Ф. Модификация ГЕРТ-сети для анализа временных характеристик сетевых моделей // Вестник СибГАУ. 2009. № 1 (22). Ч. 2. С. 74-78.

5. Письман, Д. М. Анализ временных параметров сетевых моделей на базе модифицированной ГЕРТ-сети // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2006. № 1. С. 18-26.

6. Анализ вероятностно-временных характеристик отказоустойчивого программного обеспечения распределенных вычислительных систем / Р. Ю. Царев, А. В. Штарик, Е. Н. Штарик, М. А. Кочергина, Т. А. Панфилова // Вестник СибГАУ. 2012. № 4 (44). С. 64-70.

7. Письман Д. М., Шабалин С. А. Алгоритм расчета модифицированной ГЕРТ-сети // Успехи соврем. естествознания. 2005. № 11. С. 36-37.

© Царев Р. Ю., Штарик А. В., Штарик Е. Н., Хасанов Е. Р., Панфилова Т. А., 2013

УДК 512.54

ГРУППЫ НАСЫЩЕННЫЕ GL2(q)

А. А. Шлепкин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-mail: shlyopkin@mail.ru

Получена структура бесконечных локально конечных групп насыщенных полными линейными группами размерности два над конечными полями.

Ключевые слова: группы. насыщенные множеством групп.

GROUP SATURATED GL2(q)

A. A. Shlepkin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prospect, Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: shlyopkin@mail.ru

The author presents the obtained structure of infinite local- finite groups saturated with complete linear groups of 2 dimensionality off the finite fields.

Keywords: groups saturated with set of groups.

Группа G насыщена группами го множества X, Пусть 3={GL2(pn)}. Отметим, что ни характери-

если любад конечная подгруппа K из G содержится стика p конечного поля, ни натуральное n не фикси-в подгруппе группы G, изоморфной некоторой груп- _

X [1] ^ ^ руется. Доказана следующая.

пе из } ]. г_ Теорема. Локально конечная группа G насыщен-

В работах [2; 3] изучались периодические группы

с дополнительными условиями конечности, насы- ная группами из множества ^, изоморфна GL2(P)

щенные множеством {GL2(3n)} . В данной работе для некоторого л°кальн° к°нечн°г° голя P.

„ „ Известные факты и определения.

продолжены исследования в этом направлении. v 1 ^

Предложение 1. Пусть Ь = ОЬ2 (д), где q = 2” . Тогда:

1. Я =

1 а

ч° 1

группа группы Ь.

а е ОР(д) > - силовская 2 - под-

а°

°а

2. ЫЬ (Я) = Я X (1х Т), где г =

(а °>Т1=д -1,.

5. ЫЬ(1 х Т) = 1 х Т X (ю), где ю = I 1

центр группы Ь, Т =

3. Я - абелева группа периода 2 и Я с £Ь2(2”).

4. Сь (Я) = (Я х 1).

0 1 0

6. Все силовские 2 - подгруппы группы Ь сопряжены и пересекаются тривиально.

7. Пусть М =< а >х< Ь >, где |а| = |Ь| = к > 2 подгруппы Ь. Тогда к делит д -1 и для некоторого

g е Ь М11 с (1 х Т) и (М) = Ыь (1 х Т).

8. Ь = Ь2(2”) х 1.

9. Ь = ■ Ь

= Ь2(2”) [4].

2. Мь (Я) = Я X (1 х Т), где 1 =((а а))-

;с :}■«=д -

центр

и° а,/

/(а 0)\ . .

группы Ь , Т =

3. Я - абелева группа периода р и Я с £Ь2(р”).

4. Сь (Я) = (Я х 1).

ч / V (°1

5. ЫЬ (1 х Т) = (1 х Т) Х(ю) ■ где ю = 1 1 °

6. Все силовские р -подгруппы группы Ь сопряжены и пересекаются тривиально.

7. Пусть М = (а) х (Ы) ■ где И = Ы = к > 2 подгруппы Ь . Тогда к делит д -1 и для некоторого

g е Ь , М1^ с (1 х Т) и N (М) = Ыь (1 х Т).

Ь = Ж2(р”) X Т = (£Ь2 (р” )1) X (/) ,

где

й 0

/ = I 0 1 | и й элемент поля ОР(р”) из которого не

извлекается корень квадратный.

9. Если д = -1(mod4)■ то Ь = (£Ь2(д)• 1)X (ю).

10. Если* ¿7 = 1(тос14) то Ь12{Ь) = Ь2{рп \ (и),

где и инволюция, являющаяся образом элемента и = /го при гомоморфизме Ь ^ Ь /1 (Ь) [4].

11. Если д = 1(mod4)■ 2* - 2 часть числа д -1, ^-примитивный корень степени 2* из 1 в ОР (д) то силовская 2-подгруппа £ -порядка 2*+1 является

1 (Ь)

Предложение 2. Пусть О = Ь2 (д), где д = 2” > 2 и Р - силовская 2-подгруппа группы О. Тогда:

1. Р - элементарная абелева группа, и любые две различные силовские 2-подгруппы группы О пересекаются тривиально.

2. СО (а) = Р для любой инволюции а е Р .

3. ЫО (Р) = Р X Н - максимальная подгруппа в О, являющаяся группой Фробениуса с ядром Р и циклическим дополнением Н порядка д -1, действующим транзитивно на множестве инволюции из Р.

4. ЫО (Н) - группа диэдра порядка 2(д -1).

5. Если К - подгруппа в О и К обладает нетривиальной нормальной подгруппой нечетного порядка, то ЫО (К) - группа диэдра порядка 2(д -1) или

2(д+1) [5].

Предложение 3. Пусть Ь = ОЬ2 (д), где д = р” и р - нечетно . Тогда

1(1 а) 1

1. Я = 110 ^1, ае ОР(д) 1- силовская р - под-

группа группы Ь .

сплетением '% 0

1

12

£ =

групп

1 0)(0 1)

0 1д0 ш 0,

12. Если д = -1(mod4)■ 2* - 2 часть числа д +1, £, -

примитивный корень степени 2*+' из 1 в ОР (д2) то силовская 2-подгруппа £ - является полудиэдраль-

ной группой

Н* 0 ) ( 0

порядка

2

*+2

£ = <

Предложение 4. Группа Ь2 (д), где д = р” - степень простого числа р , имеет следующие подгруппы:

1) д +1 сопряженных абелевых элементарных подгрупп порядка д;

2) (д ± 1) / 2 сопряженных циклических подгрупп

(д ± 1)

порядка

2 и 1 берутся в знаменателе согласно

2;1

р > 2 и р = 2; 1 (О).

3) д (д ± 1)/2 сопряженных циклических подгрупп

порядка

д-1

1Т ^ дт делит 2-1

4) М (q)/2dт сопряженных групп диэдра порядка 2dт , где dт - нечетное число и М(д) = д(д2 -1) для р = 2 и М(д) = д(д2 -1)/2 для р> 2;

5) две системы, каждая из М(q)/4d ^ сопряженных групп диэдра порядка 2dт, где dт - нечетное число, большее 2;

и

6) для р” = 8й ± 3 одно множество из М (д) /12 сопряженных нециклических подгрупп порядка 4;

^ (р” -1)(р” - р)...(р” - рт-1)

7) ---------------------------— множеств, каждое

(рт -1)(рт - р)(рт - рт-1)

р2” -1

из ----£-----;--- сопряженных коммутативных групп

(2,1; 1)(рк -1)

порядка рт, где (2,1; 1) означает 2,1 или 1 согласно одному из случаев: р > 2 и четное число, р > 2 и ”/ к - нечетное число; или р = 2 и ” / к - целое число; к делитель т , зависящий от свойств группы порядка рт

(р” -1) р”

8) множество из

(2,1;1)(рк -1)

Фробениуса порядка pmd, где к и d_ зависят от т;

9)

(2,1;1)

множеств,

каждое

из

М(р ) М(д)/(2,1;1) сопряженных подгрупп, изоморфных РБЬ(2, рк), к - делитель «;

10) две системы, каждая из М(д)/2М(рк) сопряженных подгрупп, изоморфных РОЬ(2, рк) -р > 2,

”/ к - четное число;

11) для д = 8й ± 1 два множества, каждое из

М (д) / 24 сопряженных подгрупп £4;

12) для д = 8й ± 1 два множества, каждое из

М (д) / 24 сопряженных подгрупп А4;

13) для д = 8й ± 3 или д = 2”, ” - четное число, М (д) /12 сопряженных подгрупп А4;

14) для д = 10/ ± 1 две системы, каждая из

М (д) / 60 сопряженных подгрупп А5 [5].

Доказательство теоремы.

Лемма 1. Пусть К1, К2 - группы,

K С K2 , K - G¿2(рГ1 ) K2 ^ GL/2 (рГ ).

Z1 Е Z2,

где

Zj = Z (Kj) -

центр

Z2 = Z2(K2)) - Центр К2 •

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующие ситуации:

1) Р1 = Р2 = 2

2) Р1 = 2, Р2 >2,

3) Р1 > 2, Р2 = 2,

4) Р1>2 Р2 > 2

Пусть

K2 = -^, 2 Z(K2)

Ясно, что K < K2.

Z (K2) Z (K2) n Z (Kj)

Zj

и Z1 =-

Z1 n Z2

1) по предложению 1 (пункт 9), K2 = L2 (2Г1) х Z 2 и

Kj = (2Г1) х Z1.

Тогда

L2 (2Г)

сопряженных групп

K1 — L2(2r1) х Z1. Из предложения 2 (пункты 1, 2) вытекает, что Z1 = 1. Итак, в ситуации 1 лемма доказана;

2) по предположениям 1-3, K1 = L2(2r1) х Z1 и

K 2 = L2(рГ2) X (í). В силу того что K1 порождается

2'- элементам, то K1 с L2(рГ2). Но из предложения

4 вытекает, что при Z1 ^ 1 таких подгрупп в

L2 (pn2) нет. Итак, Z1 = 1 и в ситуации 2 лемма доказана;

3) по предложениям 1-3, K1 = L2(p1n1) X (t^ и K2(2n2) = L2(2n2). Но силовская 2-подгруппа в K2

элементарная абелева, а в K, нет (предложение 3, пункт 11, 12, предложение 2, пункт 1). Противоречие. Таким образом, ситуация 3) невозможна;

4) по предложению 3 (пункты 8-10). Следовательно, K = (L2(pr )х Z1)x(í^, K2 = L2(p21)Х^) и

Если 2 í n(Z2 n Z1), то возьмем инволюцию x1 из

Z

рассмотрим в

K

подгруппу

по-

Тогда

Я = х х ((х2) х (х3)), где (х2) х (х3) подгруппа рядка 4 из К1. Я лежит в некоторой силовской 2 подгруппе £2 из К2 и £2, либо полудиэдральная групп, либо группа диэдра (предложение 3, пункты 11, 12). Но в обоих случаях в £2 нет элементарных

абелевых подгрупп порядка 8. Это означает, что 11

содержит инволюцию, а К1 содержит элементарную абелеву подгруппу Я порядка 8. В силу включения К1 с К2 Я лежит в некоторой силовской 2 подгруппе £ из К2 . Но £ не содержит подгруппу типа Я (предложение 3, пункты 11, 12). Таким образом, 11 нечетного порядка. Следовательно,

Ь2(р”)х 11) с Ь2(р”2). Но таких подгрупп в Ь2(р”2) нет, при 11 ф 1 (предложение 4). Таким образом, 11 = 1 и в ситуации 4 лемма доказана.

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть К е 3(1) . Тогда 1 (К) с 1 (О).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем конечную подгруппу К е 3(1). Следовательно, К - ОЬ2(р^0). Пусть g е 1 (К) покажем, что g е 1 (О). Предположим обратное. Тогда найдется такой х е О, что gx ф g. По условию насыщенности конечная группа (К,х) с К - ОЬ2(р^.

и

и

и

Пусть 11 = 1 (К1). Из леммы 1 вытекает, что 1 (К) с 1 (К1), а значит, gx = g. Противоречие свыбором х.

Лемма доказана.

Лемма 3. 1 (О) - локально циклическая группа.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть (х1,х2,...х^ - конечно порожденная подгруппа из 1 (О). По условию насыщенности

(х1, х2,...х” ) с К2 - ОЬ2 (р'к,1). Ясно, что

(х1,х2,...х^ с 12 = 12(К2). Так как 12 - циклическая группа, то и (хг,х2,...х^ - циклическая группа.

Лемма доказана.

Рассмотрим теперь фактор группу О = О /1. По

лемме 3 и [4] О локально конечная группа насыщенная множеством групп

{ОЬ2(р”)/1 (ОЬ2(р”))}, (предложения 1-3). Рассмотрим в О подгруппу Ь порожденную всеми подгруппами К такими, что К = Ь2 (р”).

Лемма 4. Ь - Ь2 (Р), где Р - подходящее локально конечное поле характеристики р .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что группа Ь насыщена множеством 31 = {Ь2(р”)}. Возьмем в Ь конечную подгруппу М . По определению группы Ь, М с Ь1,...Ц,...,Ьт > для некоторого набора конечных подгрупп Ц с Ь таких, что Ц — Ь2 (р”) и г = 1,т. Пусть М и Ц - некоторые конечные прообразы групп М и Ц в О такие, что

М с < Ь\, ... Ьг, ..-, Ьт >

По условию насыщенности

Ь ..., Ц, ..., Ц) с N с О и N ^ ОЬ2( рт1). По предложению 1, (пункт 8) и предложению 3 (пункты 8-10). N = N /1 (О) = X (/а), где

Ьт+1 - Ь2 (р”"^1) , / -инволюция и сте {0,1}. Итак мы можем записать вложение

(Ь1,...Ц.^...^Ьт) сЬт+1 X ^ = N. Так как все Ц конечные простые неабелевы группы, а Ц п Ьт+1 < Ьг (заметим, что Ьт+1 < N), то либо Ьг п Ьт+1 = 1, либо Ц п Ьт+1 = Ц . Первый случай невозможен, поскольку тогда N: Ьт+^ > |ьг | > 2, а с другой стороны

^ : Ьт+\ = \Ьт+1 х(и)): Ьт+11 = 2. Противоречие. Следовательно, остается второй случай. Но тогда все Ц лежат в Ьт+1 , а значит, и М лежит в Ьт+1. Итак, насыщенность Ь группами из множества 31 доказана.

По основному результату из [6] Ь - Ь2 (Р) для некоторого локально конечного поля Р характеристи ки р .

Лемма доказана.

Зафиксируем простое р из леммы 4.

Лемма 5. О: ь| < 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если р = 2, то утверждение леммы очевидно (предложения 1, 2). Пусть р ф 2. Возьмем в О конечную подгруппу Ок = ОЬ2 (ртк) и рассмотрим ее образ Ок в О. Тогда Ок = Ьк X ^, где Ьк — Ь2 (ртк), а / -инволюция. Если / е Ь для любой Ок , то Ок с Ь, поскольку Ьк лежит в Ь по определению, О = Ь и О : ь| = 1. Пусть для некоторого / г Ь . Покажем, что О с Ь X ^, так как обратное включение очевидно. Действительно, пусть g е О а g некоторый его прообраз в О. По условию насыщенности ,g) с Ок - ОЬ2(рт) и при переходе к О получаем

g) с °к = Ьк X 0 с Ь X 0

где Ьк - Ь2( р”к). Значит g е Ь X ('>• В силу произвольности выбора g получаем О с Ь X и оконча-

тельно О = Ь X ^.

Лемма доказана.

Завершим доказательство теоремы. Пусть Ь и Р из условия леммы 4. Так как Р - локально конечное поле, то оно счетно. Выберем в Р цепочку конечных подполей

Р с Р2 с ... с Р с...

ад

такую, что и Р1 = Р. Выберем в Ь цепочку конечных

г=1

подгрупп Ц с Ь2 с... такую, что Ь/ — Ь2(Р) и

ад _

и Ц = Ь. Обозначим через Ц некоторый конечный

г =1

прообраз Ь/ в О. Так как 1 (О) - локально циклическая группа, то она счетна. Выберем в 1 (О) цепочку конечных подгрупп 11 с 12 с... с 1г с... такую, что

ад

и = 1 (О). По лемме 5 любой элемент g группы

г =1

О представим в виде g = и /ст, где е 1І,

и - е Ь-, сте {0,1}, и где / - фиксированный элемент

четного порядка из О. По условию насыщенности,

<Ц/ >с О1 - ОЬ2(р”1) = ОЬ2(Р*), где Р* - конечное подполе из Р и РЛ = рт'1 (лемма 4). Предполо-

жим, что мы определили группу О/ — ОЬ2(р”1) для / > 1. По условию насыщенности, конечная группа

< 1/+!, Ь/+!, О/ > с О/+! - ОЬ2 (рт/+1) = ОЬ2 (Р/+1), где Р/+1 подполе из Р и 1^1 = рт/+1 по лемме (4).

По построению

ад

О1 с О2 с ... с О1 с О1+1 с ... ^ иО/ = °.

i =1

р*с P... с р*с Pl+1

Значит, GL2(P*) с GL2(P*2)< и U GL2P) = GL2(P).

и p*=p.

l=1

... с GL2(р;).

l=1

В силу изоморфизма Gl — GL2(P*), получаем, что

ад

G = U Gl - GL2(P).

l=1

Теорема доказана.

Библиографические ссылки

1. Шлепкин А. К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сб. тезисов 3-й Междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 363.

2. Панюшкин Д. Н. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2010.

3. Shlyopkin A. A Periodic groups saturated by the groups GL2 (pn) // Book of abstracts of the Intern. conf. on algebra. Kyiv, 2012. P. 144.

4. Dichson L. Linear groups. Leipzig : B. C. Neubner, 1901.

5. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. М. : Наука, 1968.

6. Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О периодических группах насыщенных L2 = (pn) // Сиб. мат. журн. 2005. № 6. С. 1432-1438.

© Шлепкин А. А., 2013

ад

и

УДК 004.773.5"

ЗАЩИЩЕННЫЙ ДОСТУП К СИСТЕМАМ ВИДЕОКОНФЕРЕНЦИИ*

К. Е. Шудрова1, Р. В. Лебедев2, В. Ю. Почкаенко3

'Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. E-mail: shudrova87@mail.ru 2ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52 3Россия, Красноярск, ООО «НПП «Бевард»

Проводится анализ уязвимости «переполнение буфера» для программно-аппаратного комплекса «Метка привилегий». По методике CVSS строится вектор метрик, компоненты которого характеризуют уровень защищенности алгоритма. На основе полученных результатов авторами предлагается модифицировать существующий алгоритм.

Ключевые слова: видеоконференция, уязвимость, CVSS.

SECURE ACCESS TO VIDEO CONFERENCE SYSTEMS K. E. Shudrova1, R. V. Lebedev2, V. Yu. Pochkaenko3

1Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prospect, Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: shudrova87@mail.ru 2JSC “Information Satellite Systems” named after academician M. F. Reshetnev 52 Lenin street, Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, 662972, Russia 3 LLC “NPP” Bevard”, Krasnoyarsk, Russia

The authors present vulnerability analysis "buffer overflow " for software and hardware complex “The label of privileges”. By the CVSS procedure the metrics based vector is constructed, and its components characterize the level of security of the algorithm. Based on these results the authors suggest to modify the existing algorithm.

Keywords: video conferencing, vulnerability, CVSS.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.132.21.1800 «Разработка алгоритмов и программных решений организации доступа к мультимедиа конференциям различных типов».