Прогнозирование характеристик сырьевой базы сахаропроизводящего предприятия в условиях отсутствия полной информации о воздействующих факторах Текст научной статьи по специальности «Математика»

САХАРНОЕ ПРОИЗВОДСТВО

Сок^россахар - 20 лет на iuaia страны-!

УДК 664.12

Прогнозирование характеристик сырьевой базы сахаропроизводящего предприятия в условиях отсутствия полной информации о воздействующих факторах

А.А. ГРОМКОВСКИИ, канд. техн. наук, О.И. ШЕРСТЮК

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Качество работы сахаропроизводящего предприятия как единого комплекса во многом определяется характеристиками сырья, поступающего в переработку [1, 2]. В связи с этим прогнозирование и контроль основных характеристик свёклы в процессе её созревания является важной и актуальной задачей.

На сегодняшний день опубликовано множество работ, посвящённых проблеме прогнозирования свойств сырья для производства сахара (в частности, [3, 4, 5]). Некоторые из них направлены на получение прогнозных значений характеристик сырья на основе учёта каких-либо отдельных параметров, например, влаги, внесения удобрений, рН-почвы и пр. В других приводятся математические модели прогнозирования характеристик сырья, построенные на основе полученной в предыдущих сезонах статистики. Недостаток такого подхода заключается в том, что, во-первых, число факторов, влияющих на биологический объект во время созревания, чрезмерно велико и учесть их в полной мере в параметрической модели, претендующей на универсальность, не представляется возможным, а во-вторых, с учётом быстроты изменения климатических и других условий роста сахарной свёклы накопленная статистика по росту и созреванию, успешно применявшаяся в предыдущие сезоны, может оказаться неактуальной, и прогноз на её основе будет недостоверным.

Чтобы избежать указанных недостатков при отсутствии возможности явным образом учесть все факторы, влияющие на рост сахарной свёклы, предлагается использовать математические (авторегрессионные и адаптивные) модели, в которых единственным переменным параметром является время созревания. При этом информация, необходимая для оценивания параметров этих моделей, содержится в предшествующих измерениях показателей сахарной свёклы, обеспечивая неявный учёт основных законов динамики развития сырьевых характеристик.

Апробация предлагаемых математических моделей проводилась с помощью измеренной статистики роста сахарной свёклы в зоне свеклосеяния одного из

сахарных заводов Центрально-Чернозёмного региона.

Для прогнозирования средней массы и сахаристости свекловичного корня были исследованы следующие математические модели.

Адаптивная модель Брауна. Суть работы алгоритма этой математической модели основана на определении ошибки е(0 между прогнозным и измеренным отсчётом, с помощью которой происходит коррекция весовых коэффициентов модели по формулам (1) и (2) с учётом коэффициента дисконтирования данных у, который задаётся экспертом-прогнозистом [6].

^0(0 = 1) + fli(M) + (1 - Y2)e(0 , aK0=flb(i-i)+(1-Y2)e(0,

(1) (2)

где а0, а1 — коэффициенты линейной модели предсказания у = а0 + а^; t = 1, 2, ...;

е — ошибка прогноза;

у — коэффициент дисконтирования данных.

После окончания периода адаптации, позволяющего определить коэффициенты а0 и а1, прогноз строится путём экстраполяции линейной модели у = а0 + а^, где у обозначает прогнозируемый показатель сырья — среднюю массу или среднюю сахаристость свекловичного корня.

Пример результата построения прогноза для массы свекловичного корня в сезоне 2014 г. приведён на рис. 1.

Для запуска алгоритма необходимо первоначальное оценивание параметров модели, которое может быть осуществлено с помощью метода наименьших квадратов по п первоначальным экспериментальным значениям сырьевых показателей.

Пример прогнозирования для временного ряда, приведённого на рис. 1, который содержит значения {99; 194; 260; 371; 425; 482}

1. С помощью метода наименьших квадратов оцениваем параметры линейной модели у= а0 + а^. Полу-

36 САХАР № 8 • 2016

ЩЕЛКОВО TlATlM flllfll IIIIP Для борьбы с широким спектром болезней зерновых, рапса,

I Irl I ]jJI pQJJUy Ш1Г подсолнечника, сахарной свеклы и гороха

ПЩП ДГРПУММ ■ VI ■ ЯМШ ■■■■■ подсолнечника, сахарной свеклы и гороха

- г ил ИМ 200 г/п пропиконазола + 200 г/л тебуконазола Уилл/Ул/ЬА/ОУ совыошвиство}

россиискии аргумент защиты «г ' » _/ -> ^' ->'ц

CaKfipoccaxap - 20 лет на fuma страны-!

САХАРНОЕ ПРОИЗВОДСТВО

чаем значения коэффициентов а0 = 103,8 и ах = 80,5, которые необходимы для начала работы алгоритма.

2. Во время периода адаптации вычисляется ошибка прогнозирования. Для t = 0 она будет составлять

*о = Уо -Уо = 99 - 103,8 = - 4,8.

3. Осуществляется коррекция коэффициентов модели а0 и а1. Коэффициент у принят равным 0,8:

а0(1) = а0(0) + а1(0) + (1 - У2)хе(0) =

= 103,8 + 80,5 + (1 - 0,82)х(-4,8) = 182,6;

а1(1) = ат + (1 - у2)хб(0) = 80,5 + (1 - 0,82)х(-4,8) = 78,8.

4. Аналогичным способом осуществляется обработка всех п экспериментальных значений, т.е. осуществляется адаптация модели.

5. Для показателя, представленного на рис. 1, период адаптации закончился значением «425». Это сделано для сравнения прогнозного и измеренного значений, при этом коэффициенты модели имели значения а0(4) = 298,5 и а1(4) = 37,9. Используя линей-

1(4)

У =

А

l + lQPo+Pl'

(3)

где у - прогнозируемый сырьевой показатель, А - асимптота (предел) роста сырьевого показателя;

500

Рис. 1. Прогноз массы свекловичного корня в сезоне 2014 г. с помощью адаптивной модели Брауна (к — календарные

декады) —в--адаптация; —♦--измеренные данные;

• — прогноз

Р0, р: - параметры модели, оцениваемые с помощью метода наименьших квадратов; t - время.

Применение логистической модели регрессии в прогнозных целях, особенно на начальном этапе описания процессов роста свёклы, когда нет достаточного числа экспериментальных данных, затруднительно из-за отсутствия информации о пределе роста сырьевого показателя, определяемого параметром А в формуле (3).

Чтобы преодолеть это ограничение, предлагается модифицировать выражение (3) следующим образом:

У =

Yj+bAj 1 + 10Poi+Plii

(4)

ную модель, указанную в п. 1, можно получить прогнозные значения по формуле = 298,5 + 37,9£

Модифицированная логистическая регрессия. Применение логистической регрессионной модели (3) для описания динамики изменения сырьевых характеристик обусловлено биологическими законами развития растений, которые хорошо описываются этой зависимостью [7]:

где АА. = 2| Х - У _ - приращение асимптоты по результатам г'-го измерения У;

рш, ри - параметры, определяемые для каждого г'-го измерения на основе предыдущих с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов.

Результаты построения прогноза с помощью математической модели (4) для сахаристости в сезоне 2014 г. показаны на рис. 2. Характерные скачки прогнозной кривой на графике являются результатом изменения асимптоты в числителе выражения (4) по мере поступления новых данных.

Пример прогнозирования для временного ряда, приведённого на рис. 2, который содержит значения {10,34; 12,53; 15,1; 17,58; 18,26; 18,06}

1. Работа алгоритма начинается после получения первых двух измеренных значений и задания начального приращения числителя исходя из условия

АА. = 2|Х - X _2| = 2|12,53 - 10,34| = 4,38. Для рассматриваемого показателя оно принято равным 8. При значительном объёме данных этот параметр не будет сильно влиять на прогнозные значения.

20

18

16

14

12

10

%

6

8

Рис. 2. Прогноз сахаристости в сезоне 2014 г. по модифицированной логистической регрессии (к — календарные декады) -- — прогноз;—■—■— — измеренные значения_

№ 8 • 2016 САХАР 37

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ВЕГЕТАЦИЕЙ САХАРНОЙ СВЕКЛЫ: эффективные ХСЗР, Щ] ЩЕЛКОВО

W V3 агрохимикаты, высококачественные семена, полный цикл агросопровождения АГРОХИМ

controlled vegetation system М О f.CU МО Л hi II: U урОЦГЛП ' М U11\J Mi О Л h111:1F- h О In / ^ О In I: I1 WWW.betaren.l4J

САХАРНОЕ ПРОИЗВОДСТВО

Сок^россахар - 20 лет на $лаш страны-!

2. Для применения метода наименьших квадратов при определении параметров модели р0 и р: необходимо осуществить преобразование измеренных значений в линейный вид по формуле

У,+АА, Л

lg

-1

lg

и lg

-1

= - 0,46.

10,34+8 Л = - 0,11 10,34 J '

^12,53 + 2|12,53 -10,34| ^ 12^3

Это даёт значения р0 и р: для первого отрезка аппроксимации, равные — 0,11 и — 0,35.

3. Прогнозирование осуществляется до получения третьего экспериментального значения по формуле (4):

У =

12,53+2112,53-10,341

16,91

1+10

,—0,11—0,35/

l+io-0'11-0'35'.

4. По мере поступлений новых значений п. 2 и 3 повторяются вплоть до последнего измеренного отсчёта. Для рассматриваемого случая последнее выражение прогнозирования имеет вид

У =

18,46

1+10

-0,027-0,28/

осуществляется исключительно на основе информации, содержащейся в предшествующих измерениях.

Ниже приведены выражения для авторегрессии 1-го (5) и 2-го (6) порядков для массы свекловичного корня.

Преобразованные первые два значения ряда будут иметь значения

^кср(г) - ßok + ßlkmKcp(/-l)

^Kcp(i) = ßok + ßlkmKcp(i-l) + ß2kmKcp(/-2)

(5)

(6)

где т р) — прогнозируемые значения массы свекловичного корня для временного значения ряда % Рпк — коэффициенты авторегрессии для временного ряда массы свекловичного корня.

Аналогичные выражения записываются для сахари-

стости:

^кср(/) — ßüc + ßlc^KcpO-

1)

^кср(0 - ßoc + ßlAcpO-l) + ß2c'SKcp(i-2)

(7)

(8)

Авторегрессионные модели прогнозирования. Применение авторегрессии в качестве математической модели прогнозирования сырьевых характеристик сахарной свёклы является наиболее автономной формой учёта изменения динамики их роста. В отличие от предыдущих рассмотренных математических моделей построение прогноза с помощью авторегрессии

где 5 ^ — прогнозируемые значения сахаристости свекловичного корня для временного значения ряда % Рпс — коэффициенты авторегрессии для временного ряда массы свекловичного корня.

Результаты расчётов приведены на рис. 3 и 4.

Качество аппроксимации сырьевых показателей производства сахара сильно зависит от характера изменения экспериментальных данных, поступающих для анализа. Так, на рис. 4 видно: наличие «провала» на экспериментальной кривой стало причиной того, что оценка параметров модели по методу наименьших квадратов не приводит к росту прогнозной кривой, как следовало бы ожидать. Этот недостаток легко устраняется увеличением числа измерений.

Пример прогнозирования с помощью авторегрессии 1-го порядка для временного ряда, приведённого на рис. 3, который содержит значения {99; 194; 260; 371; 425; 482}

т 800 , г кс.р

600 - ^^^ -

400 ■ ^^ -

200 ■ уЛ - к

и 2 4 6 8 Рис. 3. Прогноз массы свекловичного корня с помощью модели авторегрессии 1-го и 2-го порядков, сезон 2013 г. □—□--АР 1-го порядка; —•—•--АР 2-го порядка; --измеренные значения

С %

W

16

14 - "

12 -/ -

10 | 1 к

0 2 4 6

Рис. 4. Прогноз сахаристости свекловичного корня на основе авторегрессии 1-го и 2-го порядков, сезон 2013 г. □—□--АР 1-го порядка; —•—•--АР 2-го порядка;

——— - измеренные значения

38 САХАР № 8 • 2016

ЩЕЛКОВО TlATlM flllfll IIIIP Для борьбы с широким спектром болезней зерновых, рапса,

I Irl I ]jJI pQJJUy Ш1Г подсолнечника, сахарной свеклы и гороха

ПЩП ДГРПУММ ■ VI ■ ЯМШ ■■■■■ подсолнечника, сахарной свеклы и гороха

- г ил ИМ 200 г/п пропиконазола + 200 г/л тебуконазола совыошвиство}

россиискии аргумент защиты «г ' » ' ' 'У^

Сша^россахар - 20 лет на iuaia страны-!

САХАРНОЕ ПРОИЗВОДСТВО

1. Для оценки параметров уравнения (5) с помощью метода наименьших квадратов представим зависимую и влияющую переменные в виде двух векторов, имеющих значения УТ = {194; 260; 371; 425; 482} — для зависимой переменной и XТ = {99; 194; 260; 371; 425} — для влияющей переменной.

2. Сформируем матрицу А из Xследующего вида:

А =

99 194 260 371 425

3. Искомый.вектор коэффициентов Рк можно получить с помощью матричной операции:

Ъ=(аТА)~1Ат7

Для рассматриваемого случая получены следующие значения: Р0к = 107,7 и Р1к = 0,89. Соответственно выражение для прогнозирования будет иметь вид

/якср(0=107,7+0,89»гкср(г.1).

В таблице приведена точность аппроксимации прогноза сырьевых показателей сахарной свёклы для рассмотренных в статье моделей, рассчитанная по формуле (9) из [6]:

(9)

Таблица. Точность аппроксимации моделей прогнозирования роста сырьевых показателей

производства сахара

Математическая модель прогнозирования Точность аппроксимации E , % Число n

Сахаристость, 2013 г. Сахаристость, 2014 г. Масса корня, 2013 г. Масса корня, 2014 г.

Авторегрессия 1-го порядка 3,0 3,5 3,2 4,0 5

Авторегрессия 2-го порядка 3,7 1,6 3,9 4,3 4

Адаптивная модель 8,0 5,7 14,8 15,2 6

Логистическая регрессия 3,8 2,6 3,7 6,9 5

где е1 — отклонение рассчитанного значения сырьевого показателя от экспериментального значения у, п — число контрольных точек.

Из таблицы видно, что наилучшие результаты получены для авторегрессионных моделей, при этом авторегрессия 1-го порядка имеет лучшую точность, чем 2-го. Более высокие показатели расхождения расчётных и экспериментальных данных, полученные для адаптивной модели Брауна, обусловлены наличием периода адаптации, который при небольшом числе измеренных значений вносит значительный вклад в погрешность.

Следует отметить, что приведённые здесь значения получены при малом объёме экспериментальных данных, по которым строилась модель. Поэтому данные таблицы могут лишь оценочно характеризовать точность рассмотренных в статье моделей.

Следует отметить, что для повышения качества прогнозирования и получения более точных характеристик применяемых математических моделей необходимо увеличивать число измерений контролируемых сырьевых показателей по сравнению с распространёнными сейчас в сахарной промышленности подекадными измерениями качества сырья.

Список литературы

1. Кульнева, Н.Г. Прогнозирование выхода сахара на основе статистического анализа / Н.Г. Кульнева, Л.И. Нази-на, Н.Л. Клейменова, Е.В. Бровкина // Сахар. — 2010. — № 6. - C. 50-53.

2. Зелепукин, Ю.И. О качестве сырья на сахарных заводах / Ю.И. Зелепукин, С.Ю. Зелепукин // Сахар. - 2015. - № 11.

- С. 30-32.

3. Матвеев, М.Г. Математическая модель роста сахарной свёклы / А.А. Громковский, М.М. Портнов, А.Ф. Губенко // Вестник Российской академии сельскохозяйственных наук. - 1997. - № 2. - С. 23-25.

4. Михайленко, И.М. Пространственная неоднородность состояния посевов как фактор риска потерь урожая / И.М. Михайленко, В.Н. Тимошин // Вестник Российской академии сельскохозяйственных наук. - 2011. - № 6. - C. 6-8.

5. Никитин, А.Ф. Высота выступания над почвой корнеплодов свёклы и содержание сахара / А.Ф. Никитин // Сахар. - 2014. - № 3. - C. 18-20.

6. Орлова, И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников. - М. : Вузовский учебник, 2007.

- 365 с.

7. Зайцев, Т.Н. Математика в экспериментальной ботанике / Г.Н. Зайцев. - М. : Наука, 1990. - 296 c

Аннотация. Для проведения прогнозирования характеристик сырьевого обеспечения сахаропроизводящего предприятия предложено использовать математические модели, учитывающие влияние воздействующих факторов в неявной форме, за счёт информации, содержащейся в предшествующих из-меренных значениях. На основе реально измеренных статистических данных исследуются модели прогнозирования на основе адаптивной линейной модели Брауна, модифицированной логистической регрессии, авторегрессии первого и второго порядка. Ключевые слова: производство сахара, сырьевые показатели, моделирование, прогнозирование, авторегрессия, адаптивное прогнозирование, модель Брауна.

Summary. For forecasting raw materials features of sugar manufacturing enterprises it is proposed mathematical models consider affecting factors in the implicit form by information contained in past measured value. On the real-measured statistical data investigated forecasting models, based on adaptive linear Brown models, modified logistic regression, autoregression first and second order. Keywords: sugar production, raw materials features, modeling, forecasting, auto-regression, adaptive prediction, Brown's model.

№ 8 • 2016 САХАР

39

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ВЕГЕТАЦИЕЙ САХАРНОЙ СВЕКЛЫ: эффективные ХСЗР, Щ] ЩЕЛКОВО

W V3 агрохимикаты, высококачественные семена, полный цикл агросопровождения АГРОХИМ

controlled vegetation system М о ¡'.си мо л м по и уронти' м I j 11 и Mi о л h /: h i о h о in р о in м I www.betaren.ru