CC BY
54
УДК 539.3:534:532.5
ПРОДОЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ, ПЛАСТИНАХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ
Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук Кубанский государственный аграрный университет
Исследуются нелинейные дисперсионные волны в тонкостенных элементах конструкций из линейно-вязкоупругого материала наследственного типа. Для стержня и пластины рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Уравнения движения, выведенные методом возмущений, сводятся к эволюционным уравнениям Кортевега де Вриза - Бюргерса для стержня и Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса для пластины и цилиндрической оболочки. Для стержня и пластины использованы неклассические кинематические уравнения, в то время как для оболочки принята модель Кирхгофа -Лява.
Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось х вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси у и ъ расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]
и1 = и(х^), и2 = -пуих, и3 =-УХЫх , (1)
где и 1, и 2, и 3 - соответственно перемещения по осям х, у, ъ, t - время, V -коэффициент Пуассона.
Конечные деформации стержня зададим соотношениями:
еіі =1(и,, і + и,,, + ик,, ик,, X (2)
-у - ~2У ',У и к,‘ к,] предполагая, что х1 = х,, х2 = у, х3 = г.
В отличие от [2] рассмотрим общий случай, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]
sl](0 = 2^.ц)-а }е“^-\(т)Мт
t ^ , (3)
) = кт)-а |е-№-Т)0(т^т] где , еу - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; о = 3 ои - среднее напряжение, 0 = егг - объемное расширение,
Е Е
к = 3(1—2_) - модуль объемной деформации, т = ——) - параметр Ламе;
а, р - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е -модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.
С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальными разложением функций еу (т), 0(т) в ряд Тейлора по степеням ^ -т ), ограничиваясь при этом двумя
слагаемыми, при условии ^ >>1.
В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений
о. = £(105. + 2те.), (4)
где введенный оператор ь = -а — + (1 -а) действует на функцию Щ) по
Ь2 дґ Ь
_ а _ . а. _ , пЕ -гт
правилу ь f = —£ + (1 —К, а 1 =------------------ параметр Ламе.
Р 3 р2 ^ р ’ (1 + п)(1 - 2п) Р Р
Формулы (4) представим в развернутом виде:
о11 = Ь\Еых + [((і + 2т) + 2у 21)2 + (1 + 2ц)у 2 г 2и22х ]
а 22 = а33 = Ь1_
=ь{ 2 2 +л>,2 +1п 2 г 2,4]},
а
12
а
13
= Дму (-= ь[тг(-
пихх + П ихихх.
пихх + П ихихх.
или
а1 - = ь[Е(их + А-и2х + А2г2и2хх )ъ у22 = у33 = ь[ Е (5-иХ + 52г2иХхЬ
у-2
у13
= ь
=ь
Е У ( +2 ^
нихх + нихихх^
2(1 +
н
Ег
2(1 +:
н ихх + нХихх)
где
А1 = а(2у3 -у +1), В1 = ау(2у-2у2 +1), А2 = ап2(1 -V),
1
В2 = ап , а = -
2 2 2 г = г + у .
2(1 + п)(1 - 2п)
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа
а/ =| аґЛ! {рг?г- &&■ - аі5єі }а к = о
(5)
Ґ1 к
где точкой обозначена производная по ґ, р - плотность материала стержня, аегу - вариации деформаций, аиг - вариации перемещений, а тройной
интеграл вычисляется по объему стержня.
Вычислим вариации деформаций стержня
ае11 = аих+ихаих+п2 г 2иххаихх,
ае22 =ае33 = (-П+п 2их )а>их ,
2
ае12 =-—аигг +п^у (игг аих + их аигг),
22
ае13 = -у аихх +пг (иххаих + ихаихх ) •
ґ
Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации
5^ = ь{Е[-(их + + А2г2и2хх + и2х + А1и3 + А2г2Пхи2хх )х +
+ 2 (ихихх + А1ихх"2 + А2Г 2«4 )хх + +2(п51и2 + пВ2Г 2«4 -п2В1и3 -П2В2Г )х +
+
22 г V
4(1 + п
-((- 4 хх + VUxUxx )хх -п(- и( + пихи2 )х +п(- ихихх +пи1ихх)хх ) ] }
После преобразований приходим к равенству:
5^ = ь{Е[- (ихх2А1ихихх + 2А2Г2иххиххх + 2ихихх + 3А1и1ихх +
+ А2г 2и4 + 2 А2г 2ихиххиххх ) + п2г2 (и2 + ихиххх + А1ихххи2 +
+ 2А1и«их + 3 А2Г 2и1хиххх )х + 2(2пВ1ихихх + 2пВ2Г 2иххиххх -
2 9 3 9 9 \
- 3пВ1ихихх -пВ2Г ихх - 2п Г В2ихиххиххх) +
+ ■
г 2п 2
4(1+п;
'(^^хххх (2пихихх П ихихх )хх п( ихх +пихи хх )х ) ] !аи •
Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:
22
р(- иП + П2г \ох )+ Ь{Е[ихх - (1 - 2А1 - 2)ихи П Г
4(1 + п
и хххх +
+
3п2г2 - 2А2г2 + 4vB2г2 - п-г-
1 + V
и хх^ ххх +
6п 2 г 2А1 - 2А2 г 2 - 4п 2В2 г 2 3П г
2(1 + 1
32
V г
2(1 + ’
ихиххиххх - (3 А1 + 6пВ1 )ихх - А2г ^ +
32
2 2 V г V 2г 2 +
2(1 + 1
х и хххх +
+
4 2
2v 2А1г 2 - 2v 2В2г 2 +^г 1 2 2(1 + 1
и3х +
24
, 2 2 г V
А^ г 2 - —;---------
1 4(1 + V
+ 6А2\2гЧх^ + 3А2г^^хххх] }= 0.
После преобразования уравнение представим в виде:
р(- ( +V2г\ґхх )+ ЬЕ{
+ (2 А1 - 4vBl + 2)и
22 V г
4(1 + V
+
+ г
2 V
2А2 - 3v2 - 4vB2 +
1 + V
хиххх + г2 (2А2 - 6v2А1 + ^2В2 +
3
3v4 V
+ ^------г +
2(1 + V) 2(1 + V)
2 V3 V2 +-
)ихиххиххх + (3 А1 + ^В1 )ихх + а 2г
2, 4
ихх
2(1 + 1
и^ихххх + г
■ 2v2 А1 + 2v 2 В2 v
2(1 + ’
+
+ г
V , 2 - A1v 2
4(1 + V) 1
2 4 3 2 4 2 "1
- 6 А^ г иххиххх - 3 А^ г иххихххх } = 0 .
В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным:
.. х с с
Х=--------------ґ , Т = £- Ґ.
і і і
и
и* = —
А
у
*у
где А - амплитудный параметр возмущения; і, й - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, с - скорость
А
волны, е = — - характеристика нелинейности волнового процесса.
Примем допущение, что е = А - малый параметр, т.е. характерная
длина волны і значительно превосходит амплитудный параметр А, а поперечный размер стержня и реологические постоянные а, р определяют отношения порядков
От = °(£)
Р2і
Пренебрегая членами порядка выше, чем е, получаем безразмерное
уравнение движения стержня:
рс
Е
2г
- ий+^
^ Ґ Л
1 -О
р
+
+ 2(А1 - 4vB1 + 2)
/ \ 1 -а
V р,
V 2 г 2
ас
Р2і
ии
1 -О
V Р,
= о
(6)
4(1 + п)2
Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию и(Х, т) в виде асимптотического разложения
и = и0 + еи1 + • (7)
Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6). С учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим
рс_
Е
+
1 -а
р
иохх = 0
Согласно условию и 0^ * о, из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне
(8
Из формулы (8) при а = о, т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:
= Е
V р'
Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции и1 в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы и 0 удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза -Бюргерса:
Ут + Ь1 УУх + Ь2 Уххх + Ь3 Ухх = 0, а , пг2d2 ас
где У = “0Х ’ =1 -р • *2 = 212 е ’ *3 = р/е'
С целью исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2И, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса.
С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2]
Щ = u(x, y, t); u2 = v (x, y, t); u3 = z • w(x, y, t), (9)
где u(x, y, t) и v (x, y, t) - функции, определяющие поле перемещений в
срединной плоскости пластины по осям x и у соответственно, w( x, y, t) -
перемещения по оси z, t - время.
Зададим физические соотношения между напряжениями и деформациями уравнениями линейной наследственной теории вязкоупругости (3), содержащими экспоненциальное разностное ядро, обобщая результаты [2] на тот случай, когда вязкоупругие свойства среды проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.
С помощью формулы (9) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации 5еу-. Из закона состояния (3) найдем
компоненты тензора напряжений а^.
Далее, руководствуясь вариационным принципом
t2 h • •
IШ 1 (аj • - рui• 5u)dxdydz]dt = 0 ,
tj D - h
где р - плотность материала пластины, 5еу- - вариации деформаций, 5ui -
вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени, получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
•• _ ) ( Э г э
2hp u — I [ (1 + ux )(A1 + В11) + Bj2uy ] + — [uy (A1 + B22 ) + Bj2(l + ux)]}d z .
-h Эх ЭУ
•• h э э
2hp v — I {—[ vx(A + Bu) + B12(1 + vy)] + — [(1 + Vy) (A1 + B22) + B12Vx]} dz .
-h Эх ЭУ
2h3 •• h
— p w — I{-(k + w)(A1 + B33) - z(B13wx + B23wy ) + (10)
3 -h
+ [z 2 wx (A1 + B11) + B12 z 2 wy + B13 z(1 + w)] +
Эx
+ Э^[z2wy (A1 + B22) + B12z2wx + B23z(1 + w)]}dz ,
ЭУ
где введены следующие обозначения:
А1 = К(0-а ] е _Р(Г-т)0(х>а т), (11)
в,, = 2т(ег,-- а) еР(? т)% ат), (12)
к = 12 - поправочный коэффициент.
Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда Ь >> 1, систему уравнений (10) можно упростить. Заменим в выражениях (11) и (12) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции 0(т), е, (т) в ряды Тейлора по степеням (I -т) и сохраняя
в полученных разложениях два слагаемых.
В итоге получим аппроксимации
А1 »^10, в,» 2т1егу, (13)
где введены операторы
- тгг/1 а а Э п Г/1 ач а Э п
1 = К[(1----) + — —], и, = и[(1--) + ——],
1 р р2 Э^ ^ т р р2 эг’
действующие на функцию ф(0 по правилу
- тгг/1 а а Э г/1 а а Э п
Л. ® = К[(1-)® + —— ф], и. ф = и[(1-)ф + —— ф].
р р2 ЭГ’ ^ т р^ р2 ЭГ
Введем ряд обозначений: А - амплитуда колебаний, I - длина волны
А
и е = — - малый параметр, позволяющий нам исследовать длинные волны
малой амплитуды.
Заменим в системе (10) А1 и в, их приближениями (13) и перейдем к
безразмерным переменным:
, * _ , * 1 * г X С г У х /1/1Л
и = Аи , V — Ау , w = hw , Х = у _ — I, Л = ^£ у , % = £ у • (14)
Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде
асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
и = и0 +еи1 +..., V =4ё (VI+у2+■■■), w = w0e + w1e2 +... . (15)
-г^ А ас h2
Если величины £ = —, —, — - одного порядка малости, то
I р2у 12
разложения (15) можно подставить в безразмерные уравнения движения
пластины.
Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений:
Рс 2 и0ХХ = (Л 2 + 2и 2 )и 0ХХ+12 ^0^ (16)
12ки0ХХ + (Л2 + 2и2 )к2w0 — 0, (17)
из которой следует, что
12
'к (12 + 2и 2)“°*’
w0 = ^771—%—г и0Х, (18)
/ \
1 -а
V р,
а
1, и 2 =и(1 -■р).
где 12 =
Из уравнения (16) найдем скорость волны с учетом формулы (18):
С = - (12 + 2^ 2 -. +1 ). (19)
\(Р 12 + 2и 2
Далее для вторых членов разложений (15) составим систему трех
уравнений:
2(12 + 2и 2 )и 0Хс + (12 +и 2)У1<^ + и 2и 0^П +12 к'№0% + 3(12 +
+ 2и2)и0Хи0ХХ +12wow0X +12к(и0Хw0)X + 2и— (2и0ХХХ - к™0ХХ) +
3р у£
+ 12- рС2и1ХХ + (12 + 2и2 )и1ХХ = 0 (20)
рс 2у1ХХ — (12 +и 2 )и 0Хп+и 2У1ХХ + 12 *™0ц
(21)
1 рс2 h . 4,1 и2 h 3.. „ 2
г—2— = -12к(и0% + У1Л)+т—-1(12 + 2и2)kwo
12(ки0Х + 2w0u0x) -12к(и1х + к^) -2ц2к2w12 +-2—(ки0^ -2к2w0x). (22)
2 3р /е
В ходе интегрирования уравнения (21) по переменной X и с учетом формулы (18) получим равенство у ^ — иог.
Принимая во внимание последнее равенство и формулу (18), продифференцируем уравнение (22) по X и приведем его к виду:
2,л , ч 1 12 h 2(рС2 -и 2)
3 /2 ек(12 + 2и 2)
12
-12ки0Х% -12ки0!! - [12к + 77Г-~-Т]и0Хи0ХХ + (23)
к (12 + 2и 2 )
2иаск 212
+(1)и «XXX •
Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (20) к
левой части уравнения (23), умноженной на ----------—-----, с учетом
к (12 + 2и2)
выражения (19) можно записать следующее:
12 [1 12h (рс - и 2 )
-и
[3 12 ---77-7 U0XXXX -12^0X1 -12ки0цц
к(12 + 2и2) 3 £/2 к(12 + 2и 2)
/Л 1 122 ч 2цаск 212
- (12 к + к (12 +2и 2 ) 0XU0XX +(' + 1^Г2и7)и « ] +
+ 2(12 + 2и2 )и0^% + (12 +и2)У1^! + и2и0!! + 1 2^0%
и1|ч +12 км>0% +
Э
+ 3(12 + 2и 2 )и0^ U0XX +12 w0 w0X +12 к Э^ (и0^ W0) +
+
2цас 3р 2 /£
(2и 0^^^ - kwoxx) = 0 .
В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение и 0^=у, получим эволюционное уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса:
(Ух + 3 УУх + ЬУщ, + а Ухх )х = - 2 Упп =
где
122 л2 (312 + 2т 2)
ь =
24к 212 е(12 + 2т 2)2 (12 + т 2)
^ = т«с(зІ2 + 612т 2 + 4т 2) бр2 іет 2(12 + 2т 2 )(12 +т 2)
Выведем эволюционное уравнение для бесконечной однородной цилиндрической оболочки толщиной л и радиуса я, выполненной из линейного вязкоупругого материала и работающей в условиях гипотезы Кирхгофа -Лява и отсутствия инерции вращения. Оболочку отнесем к цилиндрической системе координат, направляя ось х по образующей оболочки, у - по касательной к осевому сечению, ъ - по нормали к срединной поверхности оболочки, и допустим отсутствие объемных и поверхностных сил.
Г ипотеза Кирхгофа - Лява приводит к компонентам деформаций [4]:
ех = их + 2[(их -zwxx)2 + (¥х -zWy)2 + Жх2] -^
£ У = Уу - КуЖ + ^[(иу - )2 + (Уу - )2 + Гу2] - .
у2 = иу + Ух + (их - zWxx) и - ^Гху) + (Ух - Гу) X (24)
X (Уу - 2Гуу) + ГхГу - 22Гху,
где и, У- компоненты перемещения точек срединной поверхности соответственно по осям х, у, 7; верхний индекс х указывает на то, что компоненты деформаций определены в слое, удаленном на расстоянии х от
срединной поверхности; ку = Я - кривизна оболочки.
Связь между компонентами напряжения и деформаций зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, учитывающей линейную упругость объемных деформаций:
Е 1
ах =-2 (ех +п£у)- 2иа }е_ра-т)ехат,
1- -¥
а у = —(£ у +ше х) - 2иа | е ра т) еу а т, (25)
1 -V -¥
t
t р
т = и[у-а | е _р(^ -т) у а т],
где Е - модуль Юнга, и - параметр Ламе, V - коэффициент Пуассона, t -
время; а, р - параметры вязкоупругости, ех = ех - -(ех + еу),
еу = еу - 1(ех + £у)- компоненты девиатора деформаций.
Разлагая функции ех, еу, у в ряд Тейлора по степеням ^ -т), при условии быстрого затухания памяти материала р t >> 1 и сохранения двух членов разложения, из соотношений (25) получим приближенные уравнения состояния:
а х = Не х + Ее у, а у = N у + Ее х, т = Ку , где введены обозначения
Е 2 р пЕр Е
N =----— +-; Е =- -; К =--+ р,
1 -V2 3 1 -V2 3 2(1 + п)
и оператор р = 2ц(-——-—), действующий на функцию ^) по правилу
р2 Эt р
р? = 2и( рИ-]р£).
Используя последние формулы для напряжений, вычислим усилия и
моменты, действующие на выделенный элемент оболочки по формулам [4]
h h h
№х = 2 а х а 2, №у = 2 ау а 2, т = 2 ту а 2,
h h h
2 2 2
h h h
2 2 2
Мх = ¡ах2а 2, Му = | ау2а2, Ну =\ту2а 2,
h h h
2 2 2
и подставим усилия и моменты в уравнения движения оболочки
Э№х ЭТ , Э2и л
—- +-------рй—— = 0 .
Эх Эу Эt2
ЭТ Э№у , Э2У п
— + —- - рй —— = 0 .
Эх Эу Эt2
Э2МХ Э2му Э2Н ЭГ ЭГ Э,_,ЭГ ..ЭГ ,Э2Г
---+--------2- + 2---+ К,,№,, + — (№х + Т ) + — (Т + N..---------)-рй—— = 0,
Эх 2 Эу2 ЭхЭу у у Эх Эх Эу Эу Эх у Эу Э^
где р - плотность материала.
Введем безразмерные переменные
и = ли*, У = ЛУ*, Г = йГ*, х = 1х*, у = Яу*. (26)
Рассмотрим волны малой амплитуды и большой длины. Будем считать толщину оболочки й малой по сравнению с радиусом кривизны Я и малыми безразмерные параметры:
Л ~ V йЯ ~ й ~ Л
е = у, 8. =—, 5 2 = Я, 53 = Я. (27)
Допустим, что 51,52 эквивалентны е, тогда как 53 эквивалентно .
Перейдем в уравнениях движения к безразмерным переменным (26). Совершим замену переменных
^ . С . С
Х = х * —11, ^=£у*, т = е—t,
I
где С1 - неизвестная величина,
и одновременно представим и*, У*, Г * в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
и = и0 +еи1 +..., У = л/е(У0 +еУ1 +...), Г = Г0 +еГ1 +...
аС1
I огда, полагая параметр эквивалентным е, в нулевом
приближении из уравнений движения получим:
[ Е (1 -ОЦ-р(1 -V 2 )с2 ]и 0хх + Е (06"-V) Яе Г0Х = 0. (27)
3 6 Яе
[2 Е(1 - V - а1) - р(1 - V 2)С12 ]У0ХХ + Е[-Л- (^ - аЦи0^ +
+ -¿Гг (°1 - 1)Г0п ] = 0. (28)
Я л/£ 3
й , (29)
Яе
а 3 2v - а
где а1 = —--------------, Vl =т
р(1 + V) 2 3 -а1
В силу уравнения (29) из уравнения (27) получаем скорость волны:
С=
Е —2 (30)
р (1 -V2)
, а1 3 /а1 ^-а
где а 2 = 1 -^ + -(-^-V)
3 2 6 3 - а1
При а2 > 0 скорость с1 - ненулевая, действительная величина. Из неравенства а2 > 0 следует, что а2 -24(1 - н)а1 + 36(1 -V2) > 0. Последнее неравенство выполняется, если а1 < 12(1 -V) - 6^(1 -v)(3 - 5v) или а1 > 12(1 -V) + 6^(1 -v)(3 - 5v), что возможно при соответствующем выборе а, р, V.
В первом приближении получим систему уравнений, условием разрешимости которой является уравнение Кадомцева - Петвиашвили -Бюргерса для у = и 0Х:
[ут + *1УУх + Ь2 Уххх + * Ухх ]Х =-Ь4 Упп,
где введены обозначения:
*1 = Л» -а1 - (V-—1-)2], ь2 = 1 -V),
!С^[(—1 +1) + 2 - ^ ],
3 4а2ре1 6 3Яе Г 3 3Яе
, 1 / а, Ла1 1Л аи Л(1 + ^ 3 )
*4 = Т"^--4(1 +-------Й-----2(1 - V--1)-----------3=-
Л2 6 3Ял/ е 2Я2 2 4Яа 2 Л2V е
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Работнов Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.
3. Аршинов Г. А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им Н.И. Вавилова, 2002.
146 с.
4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.
