CC BY
32
УДК 539.3:532.5
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ФИЗИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ
UDC 539.3:532.5
NONLINEAR DYNAMIC OF PHYSICALLY LINEAR AND NONLINEAR VISCOELASTIC PLATE
Аршинов Георгий Александрович д.т.н., профессор
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала.
Ключевые слова: МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ, ДИСПЕРСИОННЫЕ ВОЛНЫ, НЕЛИНЕЙНОВЯЗКОУПРУГИЙ СТЕРЖЕНЬ
Arshinov Georgy Aleksandrovich Dr. Sci.Tech., professor
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Method of indignations is applied to research of dispersive waves in geometrically nonlinear plate from linearly - and nonlinear viscoelastic material.
Keywords: METHOD OF INDIGNATIONS, DISPERSIVE WAVES, NONLINEAR VISCOELASTIC CORE
Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнения Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса для физически линейной и модифицированное уравнение для физически нелинейной пластины.
Рассматривается бесконечная пластина толщиной 2И, свободная от внешних воздействий. Компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах зададим соотношениями [1:
и1 = и(х,у,1); и2 = у(х,уД); и3 = ъ ■ (1)
в которых и(х,уД) и у(х,уД) - функции, определяющие поле
перемещений в срединной плоскости по осям х и у соответственно;
w(x, у, 1) - перемещения по оси ; 1 - время.
Используя кинематические соотношения (1) и формулы Лагранжа для конечных деформаций
8 и = 2(иМ + ^ + ик,! ■ Uk,J) (2)
вычислим компоненты тензора деформаций.
Реологические свойства пластины зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро вида[2].
оу(1) = 10(1)5у + 2^8у(1) - а |е-Р(1 -х)[10(т)5ij + 2^8у(т)]ёт, (3)
— ¥
где О-,8¡| - соответственно компоненты тензоров напряжений и
деформаций; 0 = 8и - объемное расширение; 5^ - символы Кронекера;
а, Р - реологические параметры;
1, т - упругие постоянные Ламе.
Уравнения движения пластины получим, применяя вариационный принцип
12 Ь • •
I ШI(о, ■ 58¡| - р Ui ■ 5ш )ёхёуёъ]<11 = 0, (4)
II Б -Ь
где р - плотность материала пластины; 58^ - вариации деформаций; 5ц -
вариации перемещений; точкой обозначена производная по времени.
В результате вычисления компонент деформаций (2) на основе функций (1), вариаций 58-, 5ц, затем компонент тензора напряжений О-
из закона состояния (3) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций 5ц после интегрирования по переменной г получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
•• Ь Э Э
2Ьр и = | {— [ (1 + их)(А1 + Вп) + В12иу] + — [иу(А1 + В22) +
-Ь Эх Эу
+ В12 (1 •+ Ux)]}dz.
h Э Э
2hp v = j {— [у, (Л, + Б,,) + B]2(1 + vv)] + — [(1 + у„)(А, +
-h Эх Эу
+ Б 22 ) + B12 Vx ]} ¿Z.
2h (5)
•• и
p W = j {-(к + W)(A] + Б33) - z(B,3Wx + B23wy) +
Э
+ Э" [z2Wx(A1 + Б1]) + B12z2wy + B13z(] + w)] +
Эх
Э 2 2 + ^~ [z2wy(A1 + B 22 ) + B12z2wx + B 23 z(] + w)]}dz-
Эу
где введены следующие обозначения:
Л, = К(0 - a je b(t T)0(x)dt)
(6)
Bij = 2m(e ij - aj e-b(t-t) e 1Jdt)
(7)
к = 12 - поправочный коэффициент, а К - модуль объемного расширения.
Буквенные индексы в системе (5), как и ранее, определяют
производную по соответствующей переменной.
Заменим интегральные операторы в формулах (6) и (7)
дифференциальными, разлагая функции 0(т), £¡¡(т) в ряды Тейлора по
степеням (1 - т ), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что допустимо для Ь >> 1.
В результате получим аппроксимации:
А1 » , Б » 2т^¡, (8)
где введены операторы
^ Т,г/1 а а Э а а Э
А1 = к[(1 —) +——], т 1 = т[(1 —) + —],
1 и ь ь2 Э1 ^ т ь ь2 Э1
действующие на функцию ф(1) по правилу
11 ф = К[(1 - а)ф + а — ф], т1 ф = т[(1 - а)ф + -а- — ф].
^ и р^ р2 эг ^ р р2 эг
Обозначим через А амплитуду колебаний, а через 1 - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый
А
параметр е =—. Заменим в системе (5) А1 и Б;- их приближениями (8) и 1
исследуем полученные уравнения асимптотическим методом. Для этого перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным
и = Аи*, V = Ау , *
х с г У х
Х =-------*, Л = у£ — , % = £_ • (9)
ь 1 1 1 1
Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных: и = и0 + еи1 + ...
V = л/ё (У1 + У2 + ...) (10)
2
w = w08 + wl8 + ...
^ А ас И2
Допустим, что величины е = —, - одного порядка малости
и подставим разложения (10) в безразмерные уравнения пластины. Учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получим систему уравнений:
Рс2и0ХХ = (12 + 2т2 )и0ХХ + 12^0Х , (11)
12^и 0 XX + (12 + 2т 2 )к2 0 = 0. (12)
Из уравнения (12) следует, что
1
^ = -1П ,% Л и0Х (13)
к(12 + 2т2 )
где 12 =1+2ат, т 2 =т(1 -а).
2 3р ^ ^
Из уравнения (4.11) в силу формулы (4.13) определим скорость волны
+ 2т2)и0Хи0ХХ + 12^^о^^ох + 12к(и0Х^X + Т^(2и0ХХХ - к^ХХ) +
с =1(12 + 2т2 х\ ) (14)
УР 12 + 2т 2
Для вторых членов разложений (10 )получим систему трех уравнений
2(12 + 2т 2)и0Хс + (12 +т 2)У1<^ + т 2и0ПП +12^0* + 3(12 +
2тас 3Р 21е
+ 12kWlx -рс2и1хх + (12 + 2т2)и 1хх = 0,
(15)
Г%
Рс У1ХХ = (12 +т2)и0Хп +т2У1^ + 12к^^0^ , (16)
1 рс2ь2 . 1 т 2и2 3 2
0ХХ =-12к(и0Х + УЩ ) + 0ХХ - 2(12 + 2т 2 )к^^ 0 -
- 2 12(ки2х + 2woUox) -12к(и1х + kWl) - 2т 2k2w12 +
+ ^(ки0хх- 2кЧ*) (17)
2тас 3Ь 21е
После интегрирования уравнения (16) по переменной X и применения формулы (13), приходим к равенству у^ = и0п .В силу
последнего равенства и формулы (13) уравнение (17) после его дифференцирования по X приведем к виду:
1ки1ХХ + к2(12 + 2т2^1£ = 11,2^ (ГС---т^^и0ЕШХ
1ХХ ^ 2 1Х 312ек(12 + 2т2) 0ХХХХ
1,2
12ки0Хс -12ки0Пп - [12к + 7^-------------------]и0Хи0ХХ +
к(12 + 2т 2)
(18)
+ 2таск(1 + 212 )и
3р21е( 12+2т2) 0ХХХ
Учитывая формулу (14), легко установить, что последние три слагаемых в уравнении (15) равны левой части уравнения (18),
й 12
умноженной на величину----------------.
1 / Л \
к(12 + 2т 2 )
Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем
1______[1 12И 2 (Рс 2 -т 2 )
+ 2т2) 3 е12к(12 + 2т2'
тас(3122+612т 2 + 4т 2)
к(12 + 2т2)[3 е12к(12 + 2т2)и0ШЖ 1 гки0Х< 12ки'>’1’1
а=
бр 1ет 2 (12+2т 2 )(12+т 2)
+ 2(12 + 2т 2)и0Хс + (12 +т 2)У1ХЛ + т 2и0ПП +12^0* + (19)
э
+ 3(12 + 2т 2)и0Х и0ХХ + 12^^0^^0Х + 12к ЭХ (и0Х W0) +
+ 2тас(2и0ххх -kw0XX) = 0
3р 21е 0ХХХ °ХХУ Выполняя тождественные преобразования в уравнении (19) и вводя обозначение и0^ = У, приходим к уравнению Кадомцева - Петвиашвили -
Бюргерса
2 УУх + ЬУххх + аУхх) х = - 2
где введены обозначения
12ь2(312 + 2т 2)
(Ус + ^ УУх + ЬУххх + аУхх)х = -^ Улл, (20)
Ь =
24к212 е(12 + 2т 2)2 (12 +т 2)’
а
т«с(3122 + 612 т 2 + 4т 2)
бр 1ет 2 (12 + 2т 2 )(12 +т 2)
Перейдем к рассмотрению физически нелинейной вязкоупругой пластины. Как и в линейном случае, рассмотрим неограниченную пластину толщиной 2к, свободную от внешних воздействий, а перемещения точек пластины аппроксимируем функциями
и1 = и(х,уД); и2 = у(х,у,¿); и3 = ъ • w(x,y,t) (21)
Используя (21) и тензор деформаций Лагранжа
е ц=12(ui,j+и^+ик;1 • икД (22)
вычислим компоненты тензора конечных деформаций.
Реологические свойства пластины зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро [2].
О (0 = 10(О8 у + 2те ij(t) - а ] е-№-Т) [10(х)5 iJ + 2те iJ (х) + 2туе и СФу ^,(23)
где Оу, £у - соответственно компоненты тензоров напряжений и
1
3
деформаций, 0 = еи - объемное расширение, е^ = е~ — 08~ - компоненты
девиатора деформаций, 8^^ - символы Кронекера, а, р, у - реологические
22
параметры, 1, т - упругие постоянные Ламе, е = 3 е^^е^^ - квадрат
интенсивности деформаций.
В результате вычисления компонент деформаций (22) на основе функций (21), вариаций 8е 8ц, затем компонент тензора напряжений О-
из закона состояния (23) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций 8ц после
интегрирования по переменной г получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
•• 11 Э Э
2Ьр и = | {— [ (1 + их)(А1 + В11) + В12иу] + Э“ [иу(А1 + В 22 ) +
-ь Эх Эу
+ В12 (1 + их)]М2
•• Ь
ЭЭ
2ЬР У = | {Э“ К (А1 + В11) + В12 (1 + УУ)] + — [(1 + Уу)(А1 +
-Ь Эх Эу
+ В22 ) + В12Ух]МЪ 2Ь3 •• Ь
Р w = | {-(к + w)(Al + В33) - ъ(В 13 х + В23^ + (24)
3 -Ь
Э
+ Э" [Z2WX(A1 + В11) + В12Ъ2у + В13Ъ(1 + ^] +
Эх
Э 2 2 + V" [ъ^у(А1 + В 22 ) + В12 Ъ 2 х + В 23 ъ(1 +
Эу
где введены следующие обозначения:
2 t
А1 =10 + — та| е-р а-х )(1 + уе 2)0(х)ёт (25)
3 -¥
В = 2т(еи -аIе-ра-х)(1 + уе2)е(26)
— ¥
а к = 12 - поправочный коэффициент.
Упростим дальнейшее исследование системы (24), заменяя интегральные операторы в формулах (25) и (26) дифференциальными
путем разложения функций (1 + уе )в (т), (1 + уе )еу (т), в ряды Тейлора
по степеням ^ - х), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что возможно для рt >> 1.
В результате получим приближения
А1 »110, В,-» 2т^, (27)
где введены операторы
„ . 1 д. та Д д
1 = 1 + ^— (1-------------------------), ц = ц+ —(-1),
1 зр ^ рзг ^ * р ^ді }
действующие на функцию ф(1) по правилу „ . 2ца , 1 дф,
1ф=1ф+Ж (ф'Р^Г)’
та Д дф т1ф = Цф + £— (—- -ф).
^ ^ Р ^р ді ^
Для исследования уравнений движения (24) применим асимптотический метод. Обозначим через А амплитуду колебаний, а через 1 - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды,
А
вводя таким образом малый параметр е = —. Заменим в системе (24) А1 и
в,- их приближениями (27) и перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным
и = Аи*, V = А у*, w = hw *
х с у х
Х =-----t, л = ^/е —, С = е —. (28)
Ь 1 1 1 1
Представим искомые функции в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
и = и0 + еи1 + ...
V = л/е (У1 + У2 + ...) (29)
2
w = ew0 + е w1 + ...
Допустим, что величины е = —, -¿2, —2— одного порядка малости,
А ас Ь2
Г р2? Т
а реологическая постоянная у - порядка 1.
е
Подставляя разложение (29) в безразмерные уравнения пластины и учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получаем
Рс 2и0ХХ = (12 + 2т 2)и0ХХ + 12к^^ 0Х , (30)
12ки0 XX + (12 + 2т 2)к^0 = 0, (31)
Из уравнения (31) следует, что
^ =- к(1 1+22 ) и0Х (32)
к(12 + 2т2 )
где 12 =1+2ат, т 2 =т(1 -а).
2 3р ^ ^ р^
Из уравнения (30) в силу равенства (32) определяем скорость
с = /(12 + 2т 21 ) (33)
р 12 + 2т 2
Для следующих членов разложений (29) получим систему трех уравнений
2(12 + 2т 2)и0Хс + (12 +т 2)У1Хп + т 2и0пп +12^0* + 3(12 +
2т ас 3р 21е
+ 2т2)и0Хи0ХХ + 12^^0^^0Х + 12к(и0ХWo)X + ^Т^(2и0ХХХ - к^ХХ)
16 еа 2 2 - ~9 ту У и0Х и0 XX +12к^^ 1Х Рс и1ХХ + (12 + 2т 2)и1ХХ =0
(34)
Рс2у1й = (12 + т2 )и0%ц + т2 У1ХХ + 12 к^^0^
(35)
1 Рс2Ь2 „ ,1 т2Ь2 3 2
3 0ХХ =-12к(и0Х + У1п ) + 30ХХ - 2(12 + 2т 2 )к^^ 0 -
- 212(ки2Х + 2woUox) -12к(и1Х + к^) - 2т 2k2w12 +
+ 2тас (ки0ХХ - 2k2w0X)
3р 21е 0ХХ 0Х
(36)
После интегрирования уравнения (35) по переменной X и применения формулы (32), приходим к равенству у^ = и0Х .В силу этого
равенства и формулы (32) уравнение (36) после его дифференцирования по Х приведем к виду
12ки1ХХ + к2(12 + 2т2)w1X =112гЬ (Рс-----------и(
2 1ХХ ^ 2 *2) 1Х 312ек(12 + 2т2)
А2
12ки0Хс - 12ки 0ПП - [12к + 7^------------~----Т]и0Хи0ХХ + (37)
^ 0Хс 2 0ПП 1 2 к(12 + 2т2гХ 0ХХ
2таск 212
+ — (1 +---2—)и 0ХХХ
3р 21е 12 + 2т 2 0ХХХ
Учитывая формулу (33), легко видеть, что последние три слагаемых в уравнении (35) равны левой части уравнения (37), умноженной на
12
величину-------------- .
к(12 + 2т2)
Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем
—-----р 2Г^-----------—и0ХХХХ -12ки0Хс -12ки0пп -
к(12 + 2т2) 3 е12к(12 + 2т2) 0ХХХХ 2 0Хс 2 0ПП
/Л 1 ^2 \ 2таск 212 \ -I
- (12к + 77:------“-7)и0Хи0ХХ + о(1 + ч------------------------о-)и0ХХХ] +
+ 2(12 + 2т 2)и0Хс + (12 +т 2)У1Хч + т 2и0ПП +12^0* + (38)
_Э
ЭХ
+ 3(12 + 2т 2)и0Х и0ХХ + 12^^0^^0Х + 12^(и0Х W0) +
2тас 16 еа 2
+ 3р21е (2и0ХХХ к^^0ХХ) 9 ту р и0Хи0ХХ = 0
Выполняя преобразования в уравнении (38) и вводя обозначение
и0Х =у, приходим к модифицированному уравнению Кадомцева -
Петвиашвили - Бюргерса
3 1
(¥х + 2УУх + ьУххх + аУхх - т¥>х)х = -2Упп , (39)
где введены обозначения
122Ь2(312 + 2т 2)
ь =
24к212 е(12 + 2т 2)2 (12 +т 2)’
а=
тас(3122 + 612 т 2 + 4т2)
6р 1ет 2 (12 + 2т 2 )(12 +т 2) 16 еа
т =--------ту—.
9 ^ р
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.
2. Москвитин В .В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.,
1972.
