CC BY
37
УДК 539.3:534:532.5
НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук
Кубанский государственный аграрный университет Лаптев В.Н. - канд. техн. наук
Кубанский государственный аграрный университет
Елисеев Н.И. - соискатель Краснодарский военный институт им. С.М. Штеменко
Предложен вывод уравнений движения геометрически нелинейного вязкоупругого стержня с учетом инерции поперечных движений и использования неклассических кинематических уравнений. Проанализирован общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Для эволюционного уравнения Кортевега де Вриза - Бюргерса, к которому сводятся методом возмущений полученные уравнения движения, определено точное решение, описывающее продольные уединенные волны. Определены условия формирования ударно-волновых структур деформации сжатия и растяжения стержня.
В работе [1] исследуются уединенные нелинейные волны в упругих стержнях. Дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях при упругих объемных деформациях рассмотрены в монографии [2]. В отличие от [2] в предлагаемой статье проанализирован более общий случай распространения уединенных волн, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.
Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось x вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси у и z расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]
и1 = и(X,0, и2 =-пуих, и3 = -Пгих , (1)
где и 1, и 2, и 3 - соответственно перемещения по осям X, у, z, t - время, V -коэффициент Пуассона.
Конечные деформации стержня зададим соотношениями тензора Грина:
= 2и, ]+и],, + ик,, ик, ] х (2)
предполагая, что х1 = х,, х2 = у, х3 = г.
Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]
8. (t) = 2^. (t) - а |в_р^-^в1} (т)]ё т
у'
t , (3)
) = кт)-а |в-т)0(т)ат]
где , ву - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; 5 = 3 5 и - среднее напряжение, 0 = £гг - объемное расширение,
Е Е
к = 3(1—2_) - модуль объемной деформации, т = ——) - параметр Ламе;
а, р - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.
С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальным разложением функции еуу (т), 0(т) в
ряд Тейлора по степеням ( -т), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии р >>1.
В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений
с. = дШу + 2те.), (4)
а Э
_ _ _ ^Э у ^ I _ _
, , , , ^ ± , определяемый равенством Ь = — — + (1 -—) и деист
а а п е[
вующий на функцию {(ґ) по правилу Ьf = ~2Ґ? + (1 -"^{ а 1 = —————
параметр Ламе.
Формулы (4) представим в развернутом виде:
сп = ЬІЕих + — [((>1 + 2|і) + 2у2 'к)иX + ( + 2ц)у2г 2и1хх ]
а 22 = а33 = Ь1_
= Ь{ і 2 + 1)2 +1п 2. 2„і. |;
а
12
а
13
= Дму (-= Чт(-
пихх + V ихихх
мих + V ихихх
)і;
или
а— — = Ь[ е (их + 4и2 + а2г 2иХх)]; у22 = у33 = Ь[ Е (в1иХ + В2ГЧхЬ
у 12
у13
= Ь
= Ь
Еу ( ,2
21+^)- нихх + н ихихх
Ez
2(1 + :
)- н ихх + н2 ихихх)
где
А1 = а(2м3-м +1), В1 = ап(2п - 2м2 +1), А2 = ап2(1 -V),
1
Вг. = ам
а = -
2 2,2 г = г + у .
2(1 + м)(1 - 2м)
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа
)
57 = 1аt\\\{РП16г?/ -су5еу= 0 > (5)
Ч V
где точкой обозначена производная по t, р - плотность материала стержня, 5еу - вариации деформаций, 5иг - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.
Вычислим вариации деформаций стержня
5е11 = 5их + их 5их +п 2 г 2 ихх 5ихх,
5е 22 =6е 33 = (-м + м 2 их )6их.
2
5єі2 = -— 5ихх +М^у (ихх 5их + их 5ихх), 22
V V 2
5є13 = - — 5ихх + —(ихх5их + их5ихх) .
Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации
5^ = х{Е[-(их + Бих + Б2г 2и1х + их2 + 4и3 + А2г 2ихи2 )х +
+ v2г 2 (ихихх + А1иххи2 + А2г ^ )хх +
+ 2(vB1uХ + vB2г2иХх -v2В1и3 -V2В2г\иХх )х +
+ 4(1 + v) ((- 4хх + ^ихихх)хх - V(- иХх + ^ихиХх)х +
+ v(- ихихх +VuХuxx )хх ) ] 1^и .
После преобразований приходим к равенству:
^ = Ь{Е[- (ихх2А1ихихх + 2А2г2иххиххх + 2ихихх + 3А1и1ихх +
+ А2г 2и4 + 2 А2г 2ихиххиххх) +v2г2 (и2 + ихиххх + А^,^2 +
+ 2А1и2хих + 3А2г2и2хиххх)х + 2(2vB1UxUxx + 2vB2Г2иххиххх -
2 9 3 9 9 \
- 3vB1UxUxx -VB2Г ихх - 2V г B2UxUxxUxxx) +
+ 4(1 + V) )и1хххх - (2vuxuxx - V ихихх ^)хх - v(— ихх + VUXUXX )х ) ] !^и .
Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:
>(- (ґ + V2гЧґхх )+ Ь{Е\ихх - (UVB1 - 2А1 - 2)их
у2г 2
4(1 + v
и хххх +
+
3v2г2 - 2А2г2 + 4vB2г2 - У-Г-
1 + V
и хх( ххх +
6v 2 г 2А1 - 2А2 г 2 - 4v 2B2 г 2 3v г
2(1 + 1
32
V г
2(1 + v)
ихиххиххх - (3 А1 + 6vB1 )ихх - А2г 2«4 +
32
2 2 V г
V 2г 2 +
2(1 + v)
х и хххх +
+
4 2
2v2А1г2 - 2v2B2г2 + V г
2(1 + v)
и3х +
24
2 2 г V
A1v2г2 -
4(1 + V)
+ 6А2\2г+ 3А2г^^хххх] }= 0.
После преобразования уравнение представим в виде:
)(-!
Р(- ( +v 2г )+ ЬЕ{
22
( \ V г
ихх + (А1 - 4vB1 + 2)ихихх - -Гл-------------ч
4(1 + V)
+
2А2 - 3v2 - 4vB9 + - V
1 + V
+ г 2 (2 А2 - 6v 2 А1 + 4v 2 B2 +
+
3v4 V3
■ + -
2(1 + V) 2(1 + V)
2 V3
V2 +-
)ихиххиххх + (3 А1 + 6vB1 ')ихихх + а 2г
2, 4
ихх
2(1 + 1
и^ихххх + г
■ 2v2 А1 + 2v 2 B2 v
2(1 + 1
+
V , 2 - A,v 2
2 4 3 2 4 2 "1
- 6A2v г иххиххх - 3А^ г иххихххх } = 0 .
4(1 + V) 1
V /
В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным пере-
менным
Г х с с _и * х * у
Х=---Ґ , Т = £ — ґ , и* = —, х =— , у = —
II I А ^ й
где А - амплитудный параметр возмущения; I, й - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, с - скорость волны,
А
е = — - характеристика нелинейности волнового процесса.
Допустим, что е = — - малый параметр, т.е. характерная длина волны
I
I значительно превосходит амплитудный параметр А, а поперечный раз-
мер стержня и реологические постоянные а, Ь, определяют отношения порядков
у - оУ~е)
Пренебрегая членами порядка выше, чем е, получаем безразмерное
уравнение движения стержня:
рс
Е
+
+ 2( - 4пВ1 + 2)
/ Л
1 -а
V
р
/ Л
1 -а р
2 2
ас
ихх-руиххх +
V Г
\UxUxx ----ч . _
Х ХХ 4(1 + у)/2 ^ Ь
Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию и(Х, т) в виде асимптотического разложения
и = и0 + еи1 + • . (7)
Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6), и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим
/
1 -а
'■т,
- 0
(6)
Рс
Е
+
1 -а
V Р,
ио,, - 0
Согласно условию и 0^ * 0, из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне
(8)
• -іе с-а )■
Из формулы (8) при а = 0, т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:
- Е І р '
Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции и1 в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, что-
бы и 0 удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргер-са:
Ут+ Ь1УУХ + Ь2 УХХХ + Ь3 Ухх= ^ (9)
22
а , уг а ас
где у = и0Х, Ь, = 1-, Ь2 =-- —, Ь3 = „ .
^ 0Х 1 Ь 2 21 2е 3 р2/е
При исследовании продольных волн в линейно-вязкоупругих стерж-
~ а а I—
нях были введены малый параметр — = е и отношение порядков — - у е, из
которого следует А1~ а . Таким образом, для возникновения уединенной волны в стержне требуется условие, связывающее характерный линейный размер стержня, амплитуду и длину волны.
В работе [4] представлено подробное описание точного решения этого уравнения (9):
10Ь2/2Г1 +и2,к1Х-МТу, + 6 Ьз
12Ь2 1 2Г1 1 2 /к\Х МГ 6 Ьз к^Х МГ /1 а\
у =---- к12[1 -гк2(—-----------)] + —3к1[1 + гк(—---------------------)], (10)
где
или
где
^,2 Ь32 , ,3 6Ь3к12 1 Ь33 ,
25к1 =Т2 ’ щ=Ь2к1 +—------------------------25 ~Г~ к1
Ь22 5 25 Ь2
У = - 12Ь2к12 ^2/ к1Х ) + 6Ь3к1 к1Х ) + 12Ь2к12 + 6Ь3к1
Ь1 2 5Ь1 2 Ь1 5Ь1
к ± Ь3 6Ь3
к1 = , щ- 3
5Ь^ ' 125Ь22
Используя следующие обозначения
12Ь2 к2 6Ь3к1 12^^ + 6Ь3к1
, Со = , С3 = I ,
Ь1 5^ Ь1 5Ь1
получим выражение:
,^к1Х-ю^ч , ,к1Х- мт
у = с1^Л (--------) + с2 tk(---) + с3.
б
При — < 1 запишем неравенства вида Ь1 > 0, Ь2 > 0 Ь3 < 0, щ < 0 и
в
найдем коэффициенты с1, с2, с3:
12Ь32 6Ь32
с =---------—, с < 0; с2 = ±—3—, с2 имеет знак к1,
1 25Ь1Ь/ 25Ь1Ь2 ’ 2 15
12Ь32 6Ь32 6Ь32 ,
с3 =----±------^ =-----3—(2 ± 1), с3 > 0.
3 25Ь1Ь2 25ЬхЬ2 25ЬхЬ2 3
Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом Ь3 < 0 и к} < 0 уравнение примет вид:
у = сА ) _ с2 ) + С3 ,
где
= 12Ь2Ь32 6Ь3Ь3 = 18Ь32
3 25Ь7Ь| 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2
Согласно условию 0 —-¥ , получим ш — с} - с2 + с3 ,
где
12 Ь32 6 Ь32 18 Ь23 12Ь32
0=1 к1 IХ-1 ш Iт, а с, - с2 + с3 = -——- + +
25 Ьр1 25 Ь7Ь| 25 Ьр1 25 Ь7Ь|
При и -------- +¥
12Ь32 6Ь32 18Ь32 „
ш — с1 + с2 + с3 =-----------------------------------------------^-^ +-= 0 .
25Ь1Ь22 25Ь1Ь22 25Ь1Ь2
1 2 1 2 1 2 Производную представим следующим выражением:
у0 = _______1_____ 24Ь32 (,А(1к11Х-|шт|) +1)
сД2(1 к11Х-1 мт I) 25Ь1Ь22 2 4
Из уравнения у 0 = 0 найдем критические точки функции. В ходе преобразований получаем: гк([ к11 ^ 1 шт|) = - -4. Функция у(0-) будет максимальна в точке, определенной значением 0 кр, являющимся корнем уравнения:
01
гк — = —.
24
Тогда максимальное значение функции найдем по формуле
,0 кр ч С1 с2 У тах(—) - — + — + С3,
0 кр ч 3 &з
которую можно записать в виде
у “(^) = 5^2
Вышеприведенный анализ показывает, что при ранее указанных условиях решение уравнения (9) будет иметь структуру ударной волны, т.е. в линейно-вязкоупругом стержне образуется ударная волна растяжения (У > 0).
0
Зависимость деформаций от перемещений
На рисунке представлена зависимость деформации от перемещения и введены обозначения:
кр
2
V
з ьз
4 ьь
2
2
^2 = с3 -
18Ьз2 25Ь1Ь22 '
Возвращаясь к размерным переменным
определим поправку к скорости распространения волны, согласно выражению:
ю
—е. к1
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.
2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002.
146 с.
3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.
4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 450-453.
