Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.011.43

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук Кубанский государственный аграрный университет

Математическая модель продольных колебаний построена на основе вывода и анализа эволюционных уравнений для линейно-вязкоупругого стержня.

Бесконечный стержень, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, отнесен к системе координат. Ось х расположена вдоль оси стержня, а оси у и 2 - в одном из поперечных сечений.

Перемещения точек стержня аппроксимируются с помощью функций и = и(х,1;),и2 = -пуих,и3 =-У2их, (1)

где и !, и 2 , и з - соответственно перемещения по осям х, у, 2; 1 - время, V -

коэффициент Пуассона.

Буквенные индексы переменных функции (1) определяют частную производную от функции по указанной переменной, т. е.

= Эи Э2и

их = ^““ , ии = ---- и т.д.

эх 11 Э12

Конечные деформации стержня задаются тензором Грина

е и = 2(ЧЦ + иы + икдикД (2)

а физико-механические свойства - уравнениями линейной вязкоупругости:

,-Р (1 -X).

8^(1) = 2^(1) -а] е -р ('-х )еи(т)]ат

, -" , (3)

о(1) = К[0(1) - а ] е-р(1 -х)0(т)ёт]

где ^е^ - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; о = з О и - среднее напряжение, 0 = £ и - объемное расширение,

Е Е

К =---------- модуль объемной деформации, т =------------параметр Ла-

3(1 - 2п) 2(1 + п)

ме; а, Р - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е -модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.

При условии Р 1>>1 интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальным разложением функции еу(т), 0(х) в ряд Тейлора

по степеням (1 - X) с сохранением двух слагаемых. В результате получаются приближенные формулы для компонент напряжений

О „ = Щ05|| + 2|Д£ в), (4)

т - т а Э ~ а,

где введен оператор Ь, определяемый равенством Ь = —---+ (1----) и дейст-

Р2 Э1 р

а а

вующий на функцию Г (1) по правилу ЬГ = — ^ + (1--------)Г, а

Р2 р

1 =------П------- параметр Ламе.

(1 + п)(1 - 2п) р р

В развернутом виде:

О11 = ЦЕ(их +А,и2х +А 2г 2 и хх Ь

у = у = Ь[ е(в и2 + В ги2 )];

22 33 L ' 1 х 2 хх'

Еу

_ 2(1 + н) Е ъ

нахх + н ахахх

2 (1 + н)

(-

н ахх + н ихихх

где

А1 = а ( 3-у +1), В1 = ап(п- 2п2 +1), А 2 = ап2 (1 -V),

В 3 1

В 2 = ап3, а =

222 г = ъ + у .

2(1 т)(1 - 2п)

Уравнения движения стержня выводятся из принципа виртуальных ра-

бот:

(5)

где точкой обозначена производная по 1, р - плотность материала стержня,

5еу - вариации деформаций, 5аг - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

С учетом (1), (2), (4) определяется вариация внутренней энергии стерж-

ня

= МЕНахх2А1ахахх + 2А 2г2аххаххх + 2ахахх + 3А1а2хахх +

О А 0 \ 0 0 ( О О

+ А 2 Г ахх + 2А 2 Г ахаххаххх ) + П г 1ахх + ахаххх +А 1ахххах +

+ 2А 1а::хах + 3А2г2аххаххх)х + 2(2пВ,ахахх + 2пВ2г2аххаххх -

- 3пВ1а2хахх -пВ2г2ахх - 2п2г2В2ахахх аххх ) +

(ахххх -(2уахахх -пХ^х )хх -у(-< + паха2хх)х) ] }а-

22 г2 V 2

4(1 т)

Уравнение движения стержня получается из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии

р(- ай + V 2г2а

Ихх

)+ ЬЕ{

22

ихх +(2А1 -4пВ1 + 2)ахахх - ( г )

4(1 т)

а

г

11 V

+ г

2А 2 - Эу 2 - 4уБ 2 +

V

з Л

V

иххиххх + Г2 (2А2 - 6П2 А1 + 4п2Б2 +

/

3п4 V3

+ ^^ + ^------------ )ихиххиххх +(3А 1 + 6пБ1 )ихх +а2Г2и4х -

2(1 + у) 2(1 + у)

2 V

V 2 +

3 Л

V

( ..4

2(1 + п)

ихихххх + Г‘

2у 2 А1 + 2у 2 б.

V

4 Л

2(1 + п)

ихх +

+ Г

V л 2

- А1у 2

4(1 + у)

ч /

и преобразуется к безразмерным переменным

-6А2у2г4цххиххх -3А2у2г4и:;хихххх } = О

с, х с с .и * х * у

Х =------*, т = £-1, и* = —, х = -, у =^-,

і і і а - -

где А - амплитудный параметр возмущения, і, - - соответственно характерА

ные длина волны и поперечный размер стержня, с - скорость волны, £ = — -

характеристика нелинейности волнового процесса.

А

Допустим, что £ = — - малый параметр, т.е. характерная длина волны

і значительно превосходит амплитудный параметр А, а поперечный размер стержня и реологические постоянные а, Ь, определяют отношения порядков

ас ч -

Р2! ' ' і

= 0(£), - = 0(л/£ ).

В результате сохранения членами порядка не выше £ получается без-

размерное уравнение движения стержня:

Рс

2

/

Е

2

- ихх + 2еи—и

х*

і

2 ихххх

Л '1

V Ру

+

У

ас

и хх - р2іи ххх +

+ 2(А 1 - 4уБ 1 + 2)

2 2

£и х и хх

V Г

4(1 + у)і:

'1 -“' Р,

и хххх = 0 . (6)

Для анализа уравнения (6) применяется метод возмущений. Функция и(Х, т) представляется в виде асимптотического разложения

и = и0 + £и + •

(7)

После подстановки (7) в уравнение (6) и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении запишем:

2

+

'1

р

/-і

и

охх

0.

Согласно условию и0^ ^ 0, из последнего уравнения определяется

скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне:

с =

У

Е ('-Р ). Р Р

(8)

Из формулы (8) при а = 0, т. е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в ли-

Ё

нейно-упругом стержне: с = —.

ЧР

Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции и1 в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы и0 удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса:

V, + Ь1УУ5 + ь2 У 555 + Ьз уй = 0,

(9)

где

а

у = и0х, Ь! = 1 -р, Ь2

уг2-2

2і2£

Ьз =

ас

Р 2іе

Точное решение уравнения (9) можно представить:

Х1 х - юг,

,к1 х-юг,

2

2

где

Ь3 6Ь3 12Ь3 6Ь2

——, щ =----------2, с1 =----------—, С1 < 0, с2 =±----------—,

5Ь2 125Ь2 1 25Ь1Ь2 1 2 25Ь1Ь2

12Ь2 6Ь2 6Ь2 _

имеет знак к, с 3 =-------±-------=-------(2 ± 1), С3 > 0.

1 3 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ьа 3

б

При — < 1 запишем неравенства вида Ь1 > 0, Ь2 > 0 Ь3 < 0, щ< 0. в

Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом Ь3 < 0 и к1 < 0 уравнение примет вид:

у = ) - С2*(ЩМ^) + С3,

12^^ 6Ь3Ь3 18Ь32

где с 3 =----- + -

25 Ь1Ь2 25Ь1Ь2 25Ь1Ь2

Из условия 0 ® -¥ следует, что ш® с1 - С2 + С3.

12 Ь2

где 0=|к1| X-1 м | т, а с1 - с 2 + с 3- 3

25 Ь1Ь 22

При и ®+¥ ш ® с1 + с 2 + с 3 = 0.

' 1 24Ь2 /1/|к1|X-1 мтI 1

Производная у 0 =------- — --- ------- (Ш(—1-----) + —).

Р 4,0 Сь2 (| к1 ^ X-1 мт |) 25Ь,Ь? 2 4

2

Критические точки функции определяются уравнением

1Ь(|к1|Х-|ют|)=-1 ,

24

0

и функция У(^) будет максимальна в точке, определенной значением 0кр,

01

являющимся корнем уравнения ш ^ = - ^. Тогда максимальное значение функции

0

V тах ( 2~)

з_ь!

4Ь1Ь

0

Зависимость деформаций от перемещений

Зависимость деформации от перемещения качественно представлена на рисунке, где введены обозначения:

°1 = уг

0

кр

2

V у

3 Ь

>°2 = сэ =

18Ь-

При переходе к размерным переменным вычисляется поправка к скоро-

сти распространения волны, равная — £ .

к1