Математическая модель продольных колебаний для нелинейно-вязкоупругого стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.011.43

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Аршинов Г. А. - к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Исследуются условия возникновения уединенных продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих стержнях.

В бесконечном стержне, свободном от внешних воздействий, отнесенном к системе координат с осью х, расположенной вдоль осевой линии стержня, и осями у, 2 - в одном из поперечных сечений, перемещения точек стержня аппроксимируются функциями

где и !, и 2 , и з - соответственно перемещения по осям х, у, ъ; 1 - время, V -

где х1 = х, х2 = у, х3 = ъ.

Реологические свойства стержня определяются уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [1]:

и1 = и(х,1;) ,и2 = —ууих,и3 = —У2их,

(1)

_ Эи

коэффициент Пуассона, их = т—.

Эх

Деформации стержня задаются тензором Г рина:

(2)

— ¥

где 1, т - параметры Ламе, 0 = £п - объемное расширение, 5У| - символы

Кронекера еу = £у - 3 05 у - компоненты девиатора деформаций, а, Р, 7 -

реологические константы материала, £ и = — е^е^ - интенсивность деформа-

3

ций.

Интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальными путем разложения функций

f (т) = 10(т)5у + 2|т£у(т) + 2т7£ и(^)еА|(т) в ряд Тейлора по степеням (1 - т).

При условии быстрого затухания памяти материала Р1 >> 1 в разложениях можно сохранить два слагаемых ряда и записать

о у = Р(105у + 2т£ у) + 2утр(£ иеу),

где введены операторы

^ а Э „ а а Э а

Р = р2Э1 +(1 -Р}’ Р = р2Э1-Р ’

действующие на функцию f (1) по правилам

а „ „ ач_ _ а „ а

Pf = ^Xft + (1 ^X, Рf = ^Х -тт

Ь2 ^ у р2 1 р

Компоненты девиатора деформаций:

= 2(1 + П) 1 п 2ч 2

е11 =-----3---их + 3(1 -П )их + ,

1 п \ 1/1 2 ч 2 V 2Г2 2

е22 =“ (1 +П)их -“ (1 -П )их-----— ихх

3 6 6

2

пу V у

е12 =^^ихх + ~их^

2

пъ V 2ъ

е13 =-уихх + ~ихихх,

2 2,2 где г = ъ + у .

Уравнение движения стержня выводится из вариационного принципа так же, как в работе [2] , и преобразуется к безразмерным переменным

^ х с с .и * х * у

Х =------1, т = £-1, и* = —, х =—, у = —,

11 1 а а а

где А - амплитудный параметр возмущения, 1, ё - соответственно характерА

ные длина волны и поперечный размер стержня, с - скорость волны, £ = — -

характеристика нелинейности волнового процесса.

Если длина волны 1 значительно превосходит амплитудный параметр А

А, т. е. £ = — - малый параметр, а поперечные размеры стержня и реологические постоянные а, Р, 7 определяют отношения порядков

= 0(£), у = ОС1), - = 0(л/е),

Р21 ' £ 1

где - - характерный размер поперечного сечения,

то безразмерное уравнение движения стержня примет вид:

рс2

Е

- и- + 2£ихх - £2ихх + £п2 (ихххх - 2еиХХХт ^2иХХтт )■

+

+

а а ас Э Э

+(1 -р )и XX +£(1 -р)и хи XX +рх1(£ЭT"ЭX) ■[и XX+£и Xи XX] + (4)

22 £ ауи X и XX = 0 ,

где а =---------, а звездочки отброшены.

р(1 + п) Р

Функцию и представим в виде асимптотического разложения: и = и0 + £ц +... и подставим в уравнение (4). Из нулевого приближения следует уравнение:

Е

+

'і

Ру-І

где Е - модуль упругости.

Так как ^ 0, то скорость распространения волны с

- (і-Р )• р р

Из первого приближения вытекает модифицированное уравнение Кор-тевега де Вриза - Бюргерса:

Л

Ут + Ь1 УУх - ь2У Ух + Ь3УXX + Ь4УXXX = 0’

(5)

а

где У = u0x, Ь1 = 1 -р ,Ь2 = ауе, Ь3

ас

2„2 і2

Ь -Р 21е ’ 4 = 2е12

Точное решение уравнения (5) находится из сингулярного многообразия

Шо

ш=

Б

(6)

где щ,,ш1,Б - неизвестные функции независимых переменных.

Подстановка (6) в уравнение (5) дает

1

2Ч

У о =±

6Ь

Ь

6Ь4 Б

4 -LXX

Ь

3 Ь1

3 + 1

Ь2 FX Л/6Ь^ 2Ь2 5

1

Ь2 Б

+ У1. Подстановка в последнее равенство

где функция у1 удовлетворяет уравнению (5)

В результате у 0 = ±

2(k1X-fflT)

функции Б = 1 + е п приводит к точному решению уравнения (5) в виде:

к1

У = ± — п М

6Ь4+u,k1X-wг

"Ь

-Ш(-

п

)]

Ь

3 Ь1

3 + 1

л/6Ь2ь7 2Ь2 ’

(7)

1 Ь2 1 Ь3

2Ь

)к1----2^ к]3, п є 2, к1 - произвольный параметр.

4 Ь2 6 Ь4

п

Далее исследуются случаи, когда полученное решение описывает структуру ударных волн.

Ь3

к к

1) Пусть — > 0 и ± — п 2пу

6Ь4

Ь2

'3 + = 0.

6Ь2Ь4 2Ь2

тогда

к 6ъ, = ь3 * _ь,

2п V Ь

6Ь2Ь4 2Ь2

и

У =(-

Ь1 + Ь3

2Ь

6Ь2Ь4

Ж-

:)]

3 Ь1

3 + 1

п д/6Ь2Ь4 2Ь2

В итоге

У = (А- ±^)(1 - іЬ(кіі-юг)).

2Ь

2 л/ 6Ь2Ь4

п

Ь Ь3

Если-----> ± , =, то при выбранных условиях в стержне возникает

2Ь

6Ь4Ь2

уединенная ударная волна растяжения (у > 0), если —— < ± 3

2Ь2

6Ь4Ь2

- вол-

на сжатия (У < 0) .

к к

2) Пусть — < 0 и * — п 2п у

6Ь

Ь2 д/6Ь2Ь4 2Ь2

тогда

2пД!

6Ь4

Ь2

Ь3 ±А_ < 0

6Ь2Ь4 2Ь2

и

/ Ьі Ь3 к^ - ютч

У = Ьт-------------гт=Ж—----------------------)

Ьі

2Ь2 д/6Ь2Ь4 7 4 п 7 д/6Ь2Ь4 2Ь2

+

В результате

y = (±A. -_^)(1 + )).

Y V 2b2 л^ь2ь7 n ”

bi . b3 ________ bi ^ b3

Если ±------> , = или -----> ± , =, то при указанных усло-

2Ь2 л/бЬ4Ь2 2Ь2 л/бЬ4Ь2

виях в оболочке возникает ударная волна растяжения (у > 0).

, Ь Ь3 Ь, . Ь3

Если ±------< , = или -----< ± ,—==, то при выбранных ус-

2Ь2 д/бЬ4Ь2 2Ь2 ’

ловиях - ударная волна сжатия (у < 0).

к к

Из проведенного исследования следует: как при —- > 0, так и — < 0 в

2п 2п

Ь^ Ь3

случае выполнения условия --------> ± , = в физически и геометрически

2b2 V6b4b2

нелинейном вязкоупругом стержне возникает уединенная ударная волна рас-

bi b3

тяжения. Если выполняется условие -------< ± , =, то образуется ударная

2b2 л/6Ь4Ь2

волна сжатия.

Как и в линейном случае [2], при переходе к размерным переменным

w

получается поправка к скорости распространения волны —e.

ki

Список литературы

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.

2. Аршинов Г. А. Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня // Научный журнал КубГАУ. 2004. № 3 (5). http: // ej. kubagro. ru.