Эволюционное уравнение продольных уединенных волн в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534:532.5

ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ВЯЗКОУПРУГОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ И ЕГО ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук Кубанский государственный аграрный университет

Выводятся уравнения движения геометрически нелинейной вязкоупругой пластины, используются неклассические кинематические уравнения. Рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Полученные уравнения методом возмущений сводятся к эволюционному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса - Петвиашвили, для которого определяется точное решение, описывающие продольные двумерные уединенные волны. Указываются условия, при которых формируются ударно-волновые структуры деформации пластины.

Уединенные нелинейные волны в нелинейных упругих пластинах исследуются в работе [1]. В работе [2] изучаются дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих пластинах при упругих объемных деформациях. В данной статье предлагается обобщение результатов, полученных в [2], когда вязкоупругие свойства пластины проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.

Для исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2Н, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса.

С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2]

и1 = и(х,у,t); и2 = V (х, у, г); и3 = г • и(х,у, г), (1)

где и( х, у, t) и V (х, у, г) - функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины соответственно по осям X и у, и( х, у, t) - перемещения по оси 2, г - время.

Конечные деформации пластины зададим соотношениями тензора Грина

предполагая, что х1 = х,, х 2 = у, х3 = г..

Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств пластины [3]

эу (г) = 2тК (г) -а| е“р(г-т)еу (т)]ё т

-МЛ]’/ ~1]'

г -¥ , (3)

о(г) = К[0(г)-а |е_Р(г-т)0(т)ат] где э у, еу - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; с = 30.. - среднее напряжение, 0 = егг - объемное расширение,

Е Е

К = 3(1—2~) - модуль объемной деформации, т = ——) - параметр Ламе;

а, р - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.

С помощью формулы (1) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации 5еу. Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений су.

Далее, руководствуясь вариационным принципом

^2 к

IШ 1 (°г/' 6% - Ри- 6Ui)dхdуdz]dI = 0 ,

11 В - к

где р - плотность материала пластины, 6егу - вариации деформаций, 6иг -

вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени, получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

•• _ ) ( д д

2кр и = I {^“ [ (1 + их )(Л1 + ^п) + В12и у ] + ^~\иу (Л1 + В22) + В12 (1 + Ux)]}d z •

_ь дх дУ

•• к д д

2кр V = I {—[Ух(А1 + Вп) + В12(1 + Уу)] + — [(1 + Уу)(Л1 + В22) + В^]} dz •

-к дх ду

2к 3

Р W = I {-(к + Л1 + Взз) - z(В13^х + B23wy ) + (4)

+ [ z 2 Wx (Л1 + В11) + Я12 z 2 Wy + В13 z(1 + w)] +

дх

+ д"^2Wy (Л1 + В22) + В12z2Wx + B2зZ(1 + w)]}dz , ду

где введены следующие обозначения:

Л1 = К(0-а Iе-Ь(Г-т)0(т^т), (5)

Вц = 2т(е 1} - а Iе_Р('-т)е 1} d т), (6)

к = 12 - поправочный коэффициент.

Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда Ь >> 1, систему уравнений (4) можно упростить. Заменим в выражениях (5) и (6) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции

0(т), е1} (т) в ряды Тейлора по степеням (г1 -т) и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых.

В итоге получим аппроксимации

Л1» ^10, в1} » 2т1егу, (7)

где введены операторы

3

- тгг/1 а а д п г/1 ач а д,

1 = К[(1-) + — —], и, = и[(1-) + ——],

1 р р2 дг ^ т р р2 дг’

действующие на функцию ф(0 по правилу

- тгг/1 а а д , г/1 а ад,

Л. ® = К[(1-)® + —— ф], и. ф = и[(1---------)ф + —— ф].

Р р2 дЛ ’ ^ т р^ р2 дГ

Введем ряд обозначений: А - амплитуда колебаний, I - длина волны

Л

и е = — - малый параметр, позволяющий исследовать длинные волны малой амплитуды.

Заменим в системе (4) Л1 и Вц их приближениями (7) и перейдем к

безразмерным переменным:

, * — л * 1 * г х С г у х /0\

и = Ли , V = Лу , w = hw , Х = у _ — *, Ц = у1£ у , % = £у • (8)

Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

и = и0 +еи1 +..., V = л/ё (VI + у2 +..■), w = w0e + w1e2 +... . (9)

-г^ Л ас к2

Если величины £ = —, —, — - одного порядка малости, то разложе-

I р2у 12

ния (9) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины.

Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений:

рс 2 и0ХХ = (Л 2 + 2и 2 )и 0ХХ+12 ^ОХ (10)

12ки0ХХ + (Л2 + 2М-2 )к2 w0 = 0 (11)

из которой следует, что

л 2

W0 = -^---------~--Ги0Х :

к (Л 2 + 2и 2 )

(12)

/ \ 1 -а

V р,

а

1, и 2 =и(1 -р)

Скорость волны найдем исходя из уравнения (10) и с учетом формулы (12):

с = - (12 + 2и 2 -. +1 ). (13)

\(Р 12 + 2и 2

Далее для вторых членов разложений (9) составим систему трех уравнений:

2(12 + 2и2 )и0Хс + (Л2 +и2 ) У + и2и0^П + Л2^0% + 3(12 +

2цас

+ 2и2)и0Хи0ХХ + Л2Wo^ох + Л2к(и0Хw0)Х +----------2—(2и0ХХХ - ^^оХХ) +

3р 1£

+ 12 -рс 2и1ХХ +(Л 2 + 2и2)и1ХХ = 0 (14)

Рс 2у1ХХ = (12 +и2)и0Хп+и2 У1ХХ + 12 -Ьоп . (15)

1 рс2 к . ч,1 и2 к2 3.. „ 2

2— ^ОХХ = -Л2 к(и 0% + У1Л )+3“-^ ^оХХ - 2(Л 2 + 2и 2 )kw0

- 212(ки0Х + 2w0и0х) -12к(и1х + к^) - 2ц2к2w12 +

+ ^ (ки0хх- 2к 2 Wox). (16)

3р 1£

В ходе интегрирования уравнения (15) по переменной Х и с учетом формулы (12) получим равенство:

У1Х = и 0^ .

Принимая во внимание последнее равенство и формулу (12), продифференцируем уравнение (16) по Х и приведем его к виду:

,2/Л _ ч 1 Л2к2(рс2-и2) Л ,

1ки1хх + к (12 + 2М'2)Щ = 3 2 к(1--2—) и0ХХХХ - Л2ки0Х% -

3 I £к(Л2 + 2^2)

-12ки0лл - [12к +----—------]и0хи0хх + 2и(2ск (1 +-212—)и0рхх. (17)

2 0пп 12 к (Л 2 + 2и 2) Х 0ХХ 3р 2/е Л 2 + 2и 2

Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (14) к

левой части уравнения (17), умноженной на ---------—----, с учетом выраже-

к(12 + 2и2 )

ния (13) можно записать следующее:

12 [1 12к (рс - и 2 )

-и

[3 72 ---~“и0ХХХХ -12ки0Х% -12ки0цц

к(12 + 2т2) 3 г/2 £(12 + 2т 2)

/Л 1 122 ч 2|іаск 212

- (12 к + к (12 + 2т 2))и °хи°« + ( +1^^2т7)и 0«Х1+

+ 2(12 + 2т 2)иохс + (12 +т 2) V +т 2и опп +12 к™0х + + 3(12 + 2т 2)и0Х и0ХХ +12 ^0 ^ОЕ, +12 к (и0Х ^0) +

+

2|шс 3р 2 /г

(2и 0ХХХ - км!0ХХ) = 0 •

В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение и 0^ =у, получим эволюционное уравнение Кадомцева

- Петвиашвили - Бюргерса

3 1

(у% + - уух + ьУххх+)х = - 2 у™ , (18)

ь = 122 к2 (312 + 2т 2)

24£ 2/2 г(12 + 2т 2)2 (12 +т 2)

= т«с(з12 + 612т 2 + 4т 2) бр2 /гт 2(12 + 2т 2 )(12 +т 2)

Найдем точное решение уравнения (18) из сингулярного многообразия вида:

ш=а+ч> (19)

где Щ), щ, ^ - неизвестные функции независимых переменных.

В результате подстановки выражения (19) в уравнение Кадомцева -Петвиашвили - Бюргерса можно записать равенство:

д 2 18 Л

ш = 186—- (1п ^) +-й— (1п ¥) + Ш(, (20)

д х2 5 д х

где ш1 удовлетворяет условию (20) и вычисляется следующим образом:

ш = -б4^+944-9^+А^_2й_252. (21)

^ К 2 К*2 2 К, 50 Ь 2 ?, 4 К,2 ^ '

2(к1Х+к2 -ю%)

Подставив функцию К = 1+е п в равенство (20), приходим к

точному решению уравнения КПБ:

ИМц, _,„*(k °+ к2 3-щч)] + i8dkL(1 + k °+ k2 3- щч)] ....

n2 n 5n n 5 (22)

ш = ■

J 2

где k2 - произвольный параметр, 100k2 — “Tn2, n e Z

b

4 ,, 3 12 Jkf 1 J2 к2

w— —г- bki +-------------------------- ------ki +■

n 2 5 n 25 b 2k1

или

_ 72bk1 ^ 2((kxX + k 2 h_wc) ] + 18Jk1 ( fr% + k 2 h_wc) ] + 72bk2 + 18 J^

n 2 n 5n n n 2 5n

где

. п ё 3ё п 5Ьк2 о \

к =±---, ю =--±-- . (23)

2 5Ь 125Ь2 пё

Волну растяжения, соответствующую неравенству у > 0, получим, ес-

ли в формуле (23) оставим знак «+». При этом к1 = п • 5- < о и точное решение уравнения Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса описывает ударноволновую структуру.

Возвращаясь к размерным переменным, запишем функцию

1^1 кл . к2 у г- ю . к2 у г- ю

ф = к1 Х + к2 ^ = — (х +-л/£ - ^-гх) = х + —^ л/£ - ^ Ш ,

I к к1 к1 к1

согласно которой найдем поправку к скорости распространения волны:

ю

—г. к1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.

2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002. 146 с.

3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.