CC BY
39
УДК 539.3:532.5
УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В ФИЗИЧЕСКИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ
UDC 539.3:532.5
SOLITARY WAVES IN PHYSICALLY LINEAR AND NONLINEAR VISCOELASTIC CORES
Аршинов Георгий Александрович д.т.н., профессор
Елисеев Николай Иванович соискатель
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейных стержнях из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса для линейно-вязкоупугого и модифицированное уравнение для нелинейно-вязкоупугого стержня.
Ключевые слова: МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ, ДИСПЕРСИОННЫЕ ВОЛНЫ, НЕЛИНЕЙНОВЯЗКОУПРУГИЙ СТЕРЖЕНЬ
Arshinov Georgy Aleksandrovich Dr. Sci.Tech., professor
Eliseev Nikolai Ivanovich competitor
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Method of indignations is applied to research of dispersive waves in geometrically nonlinear cores from linearly - and nonlinear viscoelastic material. The evolutionary equation of Kortevega de Vriz - Bjurgers for linearly viscoelastic and modified equation for nonlinear viscoelastic core are deducted.
Keywords: METHOD OF INDIGNATIONS, DISPERSIVE WAVES, NONLINEAR VISCOELASTIC CORE
Построим одномерную модель колебаний, учитывающую в
определенной степени инерцию поперечных движений стержня. Отнесем бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, к системе координат, направив ось х вдоль оси стержня, а оси у и 2 расположим в одном из поперечных сечений.
Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]
u1 = u(x,t),u2 =-vyux,u3
-vzu
(1)
где и 1, и 2 , и 3 - соответственно перемещения по осям X, у, 2, ? - время, V -коэффициент Пуассона.
Буквенные индексы, которые содержат функции (1), определяют частную производную от функции по указанной переменной, т.е.
_ Эи Э2и
их _^“ , ии _ ----- и т.д.
Эх 11 Э12
Конечные деформации стержня зададим соотношениями:
ь
£ 1] _ 2(и^ + иИ + икдик,Д (2)
где индекс после запятой определяет частную производную от функции по
й й Эи. . .
соответствующей переменной, т.е. и.. _-----, 1,. _ 1,2,3, предполагается,
• Эх.
что х1 _ X,, х2 _ у, х3 _ 2.
Для описания реологических свойств стержня воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости [2]
о(1) _ 10(1)5+ 2ц£(1) - а | е Ь(1 х) [10(т)5+ 2ц£(т)]ёт, (3)
—оо
где О. В.. - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; 0 _ - объемное расширение, 5.. - символы Кронекера;
определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; V -
коэффициент Пуассона.
Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в (3) дифференциальным, разлагая функцию ^х) _ 10(т)51. + 2)18..(х) в ряд
Тейлора по степеням (1 - х). Ограничиваясь двумя слагаемыми, что возможно для Ь 1>>1, получаем
1 =-------------------, Ц
(1 + п)(1 - 2п)
о у = Ц108у + 2це Д
(4)
Формулы (4) можно представить в развернутом виде
оіі = ^|Еих + ^ [( + 2ц) + 2^21)иХ + (( + 2Н)2г2иХх ]
0 22 = 033 = ь| ^ + 2 +1)иХ +1п 2Г2иХх ]|
о
13
=чМ-
Пихх +П ихихх
)\
или
о
11 = Ь[Е(их +Аіих + А2Г2ихх )
0 22 =033 = Ь[Е(В1их +В 2 Г 2 и хх )
(Еу ) (ихх + У2ихихх) 2(1 + хх х _
Е7
2(1 + п)
(-
Пихх +П ихихх
где
А1 = а(2у3-у +1), В1 = ау(2у-2у2 +1),
А2 = ау2 (1 -V), В 2 = ау3, а =
2(1 + у)(1 - 2у)
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа
51 = | ёЩ {риі5аі - о^5г^}<1У = 0,
І1 V
(5)
где точкой обозначена производная по 1, р - плотность материала стержня, 5В.. - вариации деформаций, 5и. - вариации перемещений, а тройной
интеграл вычисляется по объему стержня.
Вычислим вариации деформаций.
5еи =5их + их5их +п г ихх5ихх
1
5822 _5В33 _ (-П+П
2
5В12 _-Пу 5ихх +П2У(ихх 5их + их 5ихх)
2
П7 V 2
5в13 _------------5и +----------(и 5и + и 5и )
13 2 хх 2 ^ хх х х хх /
или в операторной форме
Я Г Э Э 2 2 Э2 „
5в11 _ [-^- их ^ + П г их^Гу]5и
Эх Эх Эх 2
58 22 _5в 33 _ [ПЭ^-П 2их Э^]6и
Эх Эх
пу Э2 V2у Э V2у Э2 2 Эх2 2 хх Эх 2 х Эх2
г VZ Э2 V22 Э V22 Э2 1Й
ОВ13 _ I------- ------ихх-------------------1-их —Нои.
13 1 2 Эх2 2 хх Эх 2 х Эх2
Используя формулы (4) и вариации компонент деформации, определим вариацию внутренней энергии:
_ Ь{Е[-(их + А1и2 + А2г2ихх + и2х + АУх +А2г2ихихх )х +
+ v2г2 (ихихх + А1иххих + А2г2и3хх )хх +
+ 2^ +vB2Г2uXx -v2BluX -v2B2Г2UxuXx )х +
+
г2п2
4(1 + у)
( 4хх +Пихихх )хх -П(- ихх +Пихихх )х +
+п(-
и и +уи и ,
х хх х хх хх
)хх ) ] 15и
или
5^ = Ь{Е[- (ихх2А1ихихх + 2А2ГЧхиххх + 2ихихх + 3А1и2ихх + + А2г2ихх + 2А2ГЧиххиххх ) + П2Г2 (ихх + ихиххх + А1ихххиХ +
+ 2А1иххих + 3А2г2иххиххх )х + 2(2пВ1ихихх + 2пВ2г2иххиххх
3пВ1ихихх -ПВ 2 Г 2 и хх - 2П V В 2 и х и хх и ххх ) +
+
г2 V 2
4(1 + у)
(и -(и и -V2и и ) - у(- и2 +уи и2 ) ) ] }5и.
хххх х хх х хх хх хх х хх х
Подставляя значение вариации внутренней энергии в выражение (5),
получим уравнение движения стержня:
Р(- и« +П ^Ххх )+ Ь{Е[ихх -(В 1 - 2А1 - 2)хихх -
22
V г
4(1 + у)
и+
+ 3у 2г2 - 2 А г2 + 4уВ г2 -П Г
32
1 + у
иххиххх +
6у2г2А1 - 2А2г2 - 4у2В2г2 -
2 /К.2^ „2
3у 4г2 2(1+п)
п3г2 Л 2(1 + п)
^'хх^хх -(3А1 + 6ПВ1 2 и хх - А +
32
2 2 П3г2
V 2г2 +
2(1 + V)
ихихххх +
+
2v2А1г2 - 2v2В2г2 +
V г
42
2(1 + v)
и2х +
24
A1v 2г2 -
г V
4(1 + V)
ихихххх +
+ 6А 2 V 2г4uxxUХxx + 3А 2 г 4 V 2 и хх и хххх ] }= 0-
После преобразования имеем:
р(- и« +п2гХхх)+ ЬЕ{
V 2г2
ихх +(2А 1 - 4пВ1 + 2Кихх - 4(1 + п)Цхххх
+
+
2А 2 - 3п2 - 4пВ 2 +
V
з Л
1 + V
иххиххх + Г2 (2А 2 - 6п 2 А1 + 4п 2 В 2 +
3п4 .-3
+ ^--------) + Т(-----) )ихиххиххх +(3А 1 + 6ПВ 1 )ихх + а 2 Г 2 и хх -
2(1 + п) 2(1 + п)
3
2 V3 V 2 +
2(1 + v)
ихихххх +
+г2
4
- 2v2А1 + 2v2В2 -■
4
32
и3х + Г2
2(1 + V) І хх I 4(1 + V)
- 6А2V2Г4иххИ3ххх
- 3А2V2Г4иХхихххх }= 0-
Перейдем в последнем уравнении к безразмерным переменным
с, х с с .и * х * у
Х =------1, т = £-^ и* = —, х =—, у = —,
її і а а а
где А - амплитудный параметр возмущения, і, ё - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, с - скорость волны, А
Є = — - характеристика нелинейности волнового процесса и допустим, что А
Є = — - малый параметр, т.е. характерная длина волны і значительно превосходит амплитудный параметр А , а поперечные размер стержня и
реологические постоянные а, Ь, определяют отношения порядков
ас
рї
О(є),
а
і
о(л/є ).
Пренебрегая членами порядка выше, чем е, получаем уравнение движения стержня:
Рс
/
Е
г
- и XX + 2єи х^ +’^ 2 ~ги хххх V
\
\ Ґ \ 1 -а
+
Р
+ 2(А1 - 4vB1 + 2) 1
а
Р
єи х и XX
V 1
V 2Г2
ас
и хх - р21и ххх + / \
4(1 + V)!2
1 -а
Р
и хххх = 0
(6)
Представим функцию и(х, т) в виде асимптотического разложения
и = и0 + 8^ + •
(7)
Учитывая введенные соотношения порядков и асимптотическое разложение (7), из уравнения (6) в нулевом приближении получим
рс^
Е
+
1 -а
Р
и0хх = 0.
Так как и0^ ^ 0, то из последнего уравнения следует, что скорость распространения волны
с =
І
- (1 -її) рР
(8)
Из первого приближения получаем условие разрешимости уравнения для и1, которое дает известное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:
Ут + Ь1УУх + Ь2Уххх + Ь3Ухх = 0 >
где
У = и0Х> Ь1 = 1 — Р, Ь2 = ^^ Ь3 = „2,
Р 212е 2рср21е
Как и в линейном случае, рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий в системе координат с осью х, направленной вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, и осями у , 2, расположенными в одном из них.
Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями (1), а конечные деформации стержня определим формулами (2).
Для описания реологических свойств стержня в отличие от предыдущего случая воспользуемся уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [2]
Оу^) = Шу + 2|т£у -а } е—ра—х)[10(т)5у + 2|т£у(т) + 2|ту£и(^)ец(т)Мт,(10)
— ¥
где 1, т - параметры Ламе, 0 = £п - объемное расширение, 5у - символы
Кронекера еу = £ у — 3 05 у - компоненты девиатора деформаций, а, Р, 7 -
2 2
физические константы материала, £ и = ^е^еу - интенсивность деформаций.
Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в уравнениях (10) дифференциальным, разлагая функцию
f (т) = 10(т)5у + 2|т£у(т) + 2т7£ U(t)eij(т)
в ряд Тейлора по степеням ^ — т). Ограничиваясь двумя слагаемыми ряда, что возможно для Рt >> 1, получаем
Оу = Р(105у + 2т£^)) + 271^ Ueij),
где введены операторы
^ а Э „ а а Э а
Р = ?* +(1 —Р}’ P = р2* — р ,
действующие на функцию f (t) по правилу
а _ „ ач_ _ а _ а
+ (1 — — )f, pf = -т^ — —
р2 • р р21 р
Вычислим компоненты девиатора деформаций:
0 1 / 2 222ч 1 — 2п 1 Д + 2п2 2 V 2г2 2 ,
el1 =£11 — 3 = ux + +П Г uxx)-~^ — 3(-2-^ + _^Uxx)
0 V2 2 1 — 2п 1Д + 2п2 2 V2г2 2
^2 = e33 = £22 —Т = —Vux + ~^ I ux — Т( ^ ux + ~ uxx)
2
пу V 2у
el2 £12 = ^Uxx +
2
ПЪ V 2Ъ
Є13 = Є13 =^-уихх + 2 и хи хх '
2 2 . 2 где г = ъ + у
или
2(1 + V) 1п 2 \ 2 V2Г2 2
е11 = 3 их + 3(1 - П )их + ~ ихх
22
1 п \ 1 п 2\ 2 V Г 2
е22 = —“ (1 + П)их — 7 (1 - П )их — ^“ ихх
3 6 6
2
= ПУ + п У
Є19 =-----ихх +--ихихх
22
2
VI V 2
Є13 =-ихх +--ихихх.
22
Из вариационного принципа (5) получаем уравнение движения стержня, в котором перейдем к безразмерным переменным
с, х с с .и * х * у
Х =------1, т = £-1:, и* = —, х =—, у = —,
її і а а а
где А - амплитудный параметр возмущения, і, ё - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, с — скорость волны, А
Є = — - характеристика нелинейности волнового процесса.
А
Допустим, что Є = — - малый параметр, т.е. характерная длина волны
і значительно превосходит амплитудный параметр А, а поперечные размер стержня и реологические постоянные а, -, 7 определяют отношения порядков
ас = о(є), 7 = 0(1), ё = 0(л/і),
-2ї Є і
где ё - характерный размер поперечного сечения.
Опуская звездочки в выражениях для соответствующих безразмерных переменных, получим уравнение движения
Рс
Е
и хх + 2єи хх — є 2и хх + єп 2 (и
2£1Дхххх ^2иХХхх ).
+
а а ас Э Э
+(1— -)и хх +е(1—-)и хи хх + -1(Є^ — Эх) ■ [ихх+Єихи хх] + (11)
22 +є ати х и хх = 0, а
где а =
р(1 + п)
Представим функцию и асимптотическим разложением и = и0 +£и1 +.... Подставляя это разложение в уравнение движения (11) и учитывая введенные отношения порядков, в нулевом приближении приходим к уравнению
рс^
Е
+
1—а
Р
Л
и0хх = 0
где Е - модуль упругости. Так как и0^ ^ 0, то из полученного уравнения
скорость распространения возмущения с =
Первое приближение дает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса
у + Ь^х - ь2У2Ух + Ь3Ухх + Ь4Уххх = 0 (12)
1 а , , ас V 2г2ё2
где у = и0х, Ь: = 1------,Ь2 = ауе, Ь3 =—2—, Ь
0х’ _р’ - ,с’ IV и4-^еГ'
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.
2. Москвитин В .В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.,
1972.
