CC BY
39
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНОГО КОМПОЗИТА
A. С. ЩЕРБАКОВ, проф., зав. каф. безопасности жизнедеятельностиМГУЛ, д-р техн. наук,
B. И. ЗАПРУДНОВ, проф., зав. каф. геодезии и строительного дела МГУЛ, д-р техн. наук
Свойства древесно-цементного материала, сочетающие такие качества, как высокая прочность, низкая деформированность, малая средняя плотность, трещиностойкость и другие, определяются его структурой.
Прогнозирование физико-механических свойств древесно-цементного композита позволяет свести к минимуму экспериментальные работы по выбору оптимального состава компонентов и геометрических параметров структуры. Для этого модель механической смеси древесно-цементного композита представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить распределение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале и его эффективные или макроскопические свойства. Однако практическое решение указанной задачи связано с серьезными математическими трудностями.
Древесно-цементный композит имеет случайную или стохастическую структуру, характерными особенностями которой являются - дискретность включений частиц древесного заполнителя, цементного камня и пор, их хаотичное расположение в пространстве, а также случайная форма. Поэтому для адекватного описания напряженно-деформированного состояния в древесно-цементном материале необходимо привлекать методы теории случайных функций [1-3].
Определить эффективные линейно-упругие постоянные древесно-цементного композита с учетом геометрических параметров, формы поперечного сечения органического заполнителя и его расположения позволяет применение метода условных моментов [1].
scherb@mgul.ac.ru, zaprudnov@mgul.ac.ru
Ниже дается формулировка и приводится решение задач о прогнозировании напряженно-деформированного состояния древесно-цементных материалов с минеральным наполнителем, трансверсально-изотропным заполнителем и изотропным вяжущим с учетом пористости вяжущего вещества, базирующаяся на модели стохастической неоднородной упругой среды. Схемы механических моделей их структуры представлены на рисунке.
Исследовано влияние пористого цементного камня на свойства древесно-цементных материалов и проведена оценка их прочности по разрушению одного компонента или по полному разрушению композита.
Исходные представления. Точное описание механического поведения упругого тела из древесно-цементного материала в линейной постановке сводится к уравнениям сохранения импульса
о + F = р-й; (1)
соотношениям упругости
о = -в ;
ij ijmn тп
(2)
и Коши
Bj = u(,,) =(1/2)(ui,, + u;,i). (3)
где olJ - тензор напряжений, Па;
в.. - тензор деформаций;
X.jmn - тензор упругих модулей четвертого ранга, Па;
F - вектор объемных сил, Н/м3; ui - вектор перемещений; р - плотность, кг/м3.
Уравнения (1) - (3) и входящие в них параметры относятся к микроточкам, т. е. элементарным объемам и площадкам, размеры которых значительно меньше характерных размеров структурных параметров. Характеристики А, , р древесно-цементного матери-
ала являются регулярными или случайными функциями координат в зависимости от характера расположения структурных элемен-
200
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
тов. При этом внутренняя энергия в микроточке определяется выражением
U = (1/2) a s = (1/2) X.. ss =
= (1/2) s.. о a , (4)
ijmn ij mn
где s.. = X.. _1 - тензор упругих податливое-
i mn i mn
тей.
Решение уравнений (1) - (3) в общем случае связано с серьезными математическими трудностями. Однако для практической задачи, в которой изучается изменение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале на расстояниях, значительно превышающих размеры структурных элементов, но достаточно малых в сравнении с размерами тела, можно ввести макронапряжения, макродеформации и макроперемещения, т.е. средние по элементарным макрообъемам и макроплощадкам от соответствующих параметров. При этом исходим из того, что размеры элементарных макрообъемов и макроплощадок значительно больше размеров структурных элементов и их можно рассматривать как микроточки. Тогда соответствующие уравнения относительно макроскопических параметров имеют вид
<. + <F> = <p><u>; (5)
<°j> = Xijmn <Smn>'; (6)
<Sj> = <Uj>. (7)
При этом внутренняя энергия в микроточке определяется формулой
<U> = (Ш) <aij><Sij> = (1/2) Xjm:<sj><sj =
= (1/2) s .тп\о l)<Om„\ (8)
где X.. , s = X .. - соответственно тензо-
ijmn ijmn ijmn
ры эффективных модулей упругости
и упругих податливостей.
Согласно уравнениям (5) - (8) эффективные постоянные упругого древесноцементного композитного материала могут быть определены на основе решения простейшей задачи о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения, т.е. <о.) = const, <sij> = const.
В этом случае уравнение сохранения импульса (5) удовлетворяется тождественно, а при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, из соотношений Коши (7) следует
<и> = ... (9)
Постановка задачи. Пусть макрообъем линейно-упругого древесно-цементно-
весно-цементного материала: а - с минеральным наполнителем; б - с разориентированными частицами; в - с однонаправленными (ориентированными) частицами
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
201
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
го композитного материала стохастической структуры находится в условиях заданных однородных макронапряжений (о.) или макродеформаций (в). Задача о напряженно-деформированном состоянии в микроточках тела сводится к уравнениям равновесия
(10)
(11)
о... = 0;
соотношениям упругости
о = X.. в ;
ij ij mn mn7
и соотношениям Коши
в = и..
у (.
(12)
где тензор упругих модулей X..mn является заданной случайной функцией координат.
В уравнениях (10) - (12) по повторяющимся индексам ведется суммирование, а индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.
Подставляя (11), (12) в (10), приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно перемещений
(X и ) = 0, (13)
при этом граничные условия на поверхности макрообъема при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, имеют вид и ,| = (в..)х.. (14)
Из соотношений Коши (2.3) следует уравнение совместности микродефомаций
ее в. = 0, (15)
где e.p - единичный антисимметричный тензор [1].
Если соотношения (11) подставить в уравнение совместности деформаций (15), то приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно напряжений е е (s. о ) = 0, (16)
ijp mnq 4 jnrs rs ,pq 7 4 '
удовлетворяющим граничным условиям
оЛ=j, (17)
где nj - направляющие косинусы нормали к поверхности.
Тензорное поле модулей упругости X принимаем статистически однородным,
поэтому микронапряжения о, и микроде-
ij
формации в . будут также статистически однородными. Так как масштаб корреляции случайных полей X.. , о , в пренебрежимо мал, по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют свойству эргодичности, т. е. осреднение случайных полей по области определения совпадает со
статистическим осреднением по ансамблю реализации. В этом случае выполняются равенства
(XUmn(1)) = (Xjmn); j = (оу);
(ви(1)) = (вУ); = (\тпвр) (18)
(s.. (1)о (1)) = (s.. о ).
ijmn pq ijmn pq
Здесь слева - статистические средние в точке, справа - статистические средние по макрообъему. Следует отметить, что ансамбль реализаций представляет собой совокупность полей для большого количества макрообъемов, находящихся в одинаковых условиях внешнего воздействия и имеющих один и тот же вид структуры.
Методы решения краевых задач (13),
(14), (16) - (18) идентичны, поэтому рассмотрим задачу в перемещениях. Представим случайные поля X.. , о , в в виде сумм матема-
ijmn ij ij
тических ожиданий и флуктуаций:
X.. = (X.. ) + X.. 0, о- = (о-) + о.0,
i mn i mn i mn i i i
вij = (в.) + ву°. (19)
Тогда, проводя статистическое осреднение соотношений упругости (11) и учитывая равенства (18), получаем
(о.) = (X.. (1)в (1)) =
ij ijmn mn
= (X.. )(в ) + (X.. ^в W). (20)
Из (20) следует, что для определения эффективных упругих постоянных необходимо из краевой задачи (13), (14) найти одноточечные моменты второго порядка (X.. (1)в (1)) = (X.. в ) или (X.. 0(1)в 0(1)) = (X.. в 0) как
' ijmn mn ' ijmn mn ' ' ijmn mn '
функции математических ожиданий деформаций (ву(1)) = (в.)
Представляя вектор перемещений в виде суммы математического ожидания и
флуктуации
и. = (и) + и0,
7 '7' 7 “
(21)
и учитывая, что для статистически однородных деформаций имеет место равенство,
(и) = (вг)хР (22)
получаем
и. = (в.)х. + и.0. (23)
Подставляя (23) в уравнение (13), приведем его к виду
X.. си 0 + [(X.. - X.. с)^в ],. = 0. (24)
ijmn m,nj LV ijmn ijmn y mnj:>j v y
Здесь X..mnc - некоторый тензор модулей упругости с независящими от координат компонентами, называемый тензором модулей упругости тела сравнения.
202
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль
«а=°. (25)
Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала существенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие
и\ = 0. (26)
Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению
к.. G t (x- x®) + 5(x- x(2))5.. = 0, (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению
и
0(1) = \g (хЯ> - х®)(к (2)’ е (2)) du(2);
* гp4 г г /v pqmn mn /,q 5
к (2)’ = к (2) - к с. (28)
Подставим (28) в соотношения Коши (12) и проведем интегрирование по частям. Тогда получим стохастические интегральные уравнения относительно деформаций
е.(1) = <е.) + K (х(1) - х(2))к (2) е (2), (29)
j j jpq pqmn mn
pqmn
или флуктуаций деформаций
е,0(1) = K (x(1) - x(2))«е..> + е 0(2)). (30)
ij ijpq i i ij mn
Здесь действие интегрального оператора K определяется равенством
K (x(1) - x(2))ф(2) = G л (х(1) - х(2))ф(2)х ijPqK г г у т •?. (iv.i)qK г г у т
X du(2) + G .(х.™ - x/2))n ®ф(2Ш2), (31)
/г> (lVJ) 1 1 q
где s - бесконечно удаленная граница области и; nq - направляющие косинусы нормали к ней.
Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду
K (x.(1) - x (2))ф(2) = G ,(x(1) - x (2))ф0(2)
г ipq' г г ' ' (iv.i)q' г г ' т
(2) (ipj)qv г
xdu(2), ф°0(2) = ф(2) - <ф>. (32)
Библиографический список
1. Хорошун, Л.П. Вычисление упругих свойств арболита / Л.П. Хорошун, А.С. Щербаков // Научные тр. Московский лесотехнический институт. - 1976. - Вып. 93 - С. 161-166.
2. Щербаков, А.С. Арболит / А.С. Щербаков, Л.П. Хорошун, B.C. Подчуфаров. - М.: Лесная пром-сть, 1979. - 200 с.
3. Запруднов, В.И. Прочность и деформации древесно-цементных материалов и трехслойных конструкций на их основе / В.И. Запруднов. - М.: МГУЛ, 2004. - 283 с.
ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ КОМПОЗИТОВ
В.И. ЗАПРУДНОВ, проф., зав. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук.
zaprudnov@mgul.ac.ru
Используемый в трехслойных конструкциях [1] древесно-цементный материал представляет собой трехкомпонентный композит n = 3, состоящий из цементного камня, древесного заполнителя и пор. Состав такого композита характеризуется следующими объемными концентрациями компонентов и тензорами модулей упругости соответственно ck = Аик / Аи, кк (к = 1, 2, 3). Одноточечная плотность распределения
Статистическая нелинейность уравнений в дифференциальной (1) или интегральной (2), (3) формах не позволяет построить их решения в замкнутом виде в общем случае [1]. Поэтому для упрощения решения задачи воспользуемся методом приближенного решения - методом условных моментов [2].
0 + [(к - к.. с)-е ]. = 0.
LV nmn umn s mn-1,j
(2) е (2).
к cu L4.... .... . - .
гJmn m,nj LV ijmn ijmn ' mn
ег(1) = {е.> + K (x(1) - х(2))к U) е
ij ' гу ijpqX г г ' pqmn mn
е 0(1) = K (x« - x (2))«е > + е 0(2)).
ij ijpqK г г y v \ mn' mn '
(1)
(2)
(3)
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 5/2013
203
