Прогнозирование влажностно-упругих и термоупругих свойств древесно-минерального композита Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДЕРЕВООБРАБОТКА

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВЛАЖНОСТНО-УПРУГИХ И ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ ДРЕВЕСНО-МИНЕРАЛЬНОГО КОМПОЗИТА

В.И. ЗАПРУДНОВ, проф., зав. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук, А.С. ЩЕРБАКОВ, проф., зав. каф. безопасности жизнедеятельности МГУЛ, д-р техн. наук

В ряде работ, опубликованных нами ранее [1-4], мы рассматривали методы прогнозирования жесткостных и прочностных характеристик древесно-минерального композита (арболита), основанные на применении модели стохастических неоднородных сред.

В данной статье мы делаем попытку распространить описанные ранее методы на более общий случай расчета физико-механических свойств материала, а именно, исследовать значения коэффициентов температурного расширения и коэффициентов влажностноупругих деформаций древесно-минерального композита в зависимости от соответствующих характеристик составляющих материал компонентов. Аналитический расчет осуществляется по более усложненной схеме, учитывающей ориентацию частиц органического заполнителя. Как известно, древесно-минеральный композит обладает комплексом свойств, которыми традиционные строительные материалы либо вовсе не обладают, либо обладают в очень малой степени. Одно из таких свойств древесноминерального композита - деформации при изменении влажности.

При эксплуатации конструкций из древесно-минерального композита за счет его гигроскопичности под влиянием климатических факторов происходят значительные колебания влажности материала, вызывающие относительные деформации порядка 0,1 - 0,5 %. Это приводит к появлению напряжений, особенно в многослойных панелях, снижающих долговечность и прочность сооружений из древесно-минерального композита.

Основными параметрами, характеризующими влажностно-деформационные свойства древесно-минерального композита, являются коэффициент влажностных деформаций п и тензор коэффициентов влажностных деформаций ц причем для изотропных материалов

zaprudnov@mgul.ac.ru; scherb@mgul.ac.ru

Щ = nj (1)

Закон связи между относительным изменением влажности AW и деформациями имеет вид

j=VW (2)

Большое значение при расчете элементов конструкций, изготовленных из древесно-минерального композита, имеют и характеристики температурного расширения. Приращение температуры 9 и деформации материала sjk связаны соотношением

j = Щ9, (3)

где a - тензор коэффициентов температур-

Jk

ного расширения.

В изотропном случае

ajk = aj (4)

Учитывая соотношения (2) и (3), зависимости между тензором напряжений oj.k, тензором деформаций s приращением тем-

k

пературы 9 и относительным изменением влажности AW представим в форме

°jk = kjkngSmg - в*9 - (5)

где

РЛл YjAW = kA (6)

тензоры коэффициентов температурных и влажностных напряжений. Очевидно, в изотропном материале

pjk =p5j*, p = (3k + 2p)a.

Y* =§ jk ^, Y = (3k + 2^)П. (7)

Тензоры макроскопических постоянных определяются соотношениям^

°jk = Kkng Sng - e*jk 9 - Y*jkAW, (8)

где черта сверху означает осреднение по макрообъему.

Как и в предыдущих статьях, будем рассматривать статически однородные случайные поля. Тогда соотношение (8) можно записать в виде

Ы = ХУ A)-e,k <9-Y*k (AW) . (9)

Тем самым задача определения макроскопических тензоров kjkng, рjk, уjk оказывается эквивалентной определению закона

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

125

ДЕРЕВООБРАБОТКА

связи между математическими ожиданиями

Ы-Ы • w .< aw •

Подставляя (5) в уравнения равновесия без учета массовых сил, получаем

(A J'kng) Un, gk = -[A jkng Sng - P jk 0 - Y jk AW ],k (10)

Дополним уравнение (10) условием на бесконечности U0 (да) = 0, тогда для определения деформаций арболита получим уравнение

«У=1 ,(- *(2>)«

KAn^-M-YngAW)®*.®, (ii)

которое для удобства дальнейших выкладок представим в операторной безиндексной форме

«(1) = (е) + K(U) * (A^ -р0- yAW)(2) (12) интегральный оператор К действует по правилу

кS* Ф® =J Uj) g (x® - x<2V2’ dv'2 +

+JUn(jk)(x<1> -x<2>y2>cos(n,xg2VS'<2>).

Предположим, что древесно-минеральный композит составлен из двух компонентов: связующего цемента и органического заполнителя. Осредним уравнение (12) при условии, что в точке x(2) находится материал заполнителя. Для этого умножим (12) на условную плотность распределения

f (е(1),A(2),е(2),р(2),у(2) Af(1)) (13)

и выполним интегрирование по A, е, Р, у. Здесь мы предполагаем также, что древесно-минеральный композит находится под воздействием равномерной температуры и равномерно увлажнен, т.е.

(в) = 0 = const, ^AW) = AW = const .(14) После интегрирования получаем интегральное уравнение для определения условных моментных функций тензора деформаций

е f = (е) + K(1,2) * (A0fе ffPff + A0Vf pfc -

A0 Pf-V0 Pfc-r'AWf-yc ШрГс . (I5)

Используемые здесь обозначения эквивалентны введенным в уравнение

sc = (г) + K(1,2) * (A0VcPcc + A0 f е fcPf ) .

Для условных вероятностей Pf, P^ имеют место, очевидно, соотношения

Pff + Pfc = 1, 5 fPfc = 5cPf, Pfc (0) = 0;

Pfc И = 5f, Pff (0) = 1, Pff M = 5 f . (16) Используя равенства (16) и ограничиваясь приближением однородности деформи-

рованного состояния связующего и заполнителя есо « ec = const, еfc «е* = const, из (15) получаем

еf =(«) + K(1,2) * Pff [A0fеf -A0cec --(pf -pc)0 - (уf -уc)AW]. (17)

Осредняя выражение (5), находим соотношение, связывающее средние напряжения древесно-минерального композита со средними деформациями, средними деформациями заполнителя, температурой и влажностью

(о) = Ас{е) + 5а(Aа - Ас)еа -(p)0-(y>AW . (18)

Отсюда следует, что для определения макроскопических термоупругих и влажностноупругих постоянных необходимо из уравнений (17) найти деформации заполнителя и подставить их в соотношение (18).

Уравнение (17) получено без каких-либо предположений относительно вида микроструктуры древесно-минерально-

го композита. Ранее при интегрировании в ec =(«) + K(1,2) * Pcc (A0cec - A0f еf ) было принято, что плотность Pcc зависит лишь от расстояния между точками. Это соответствует хаотическому расположению частиц заполнителя в пространстве.

Проводим построение функции Pff для случая, когда связующее древесно-минерального композита содержит расположенные, но ориентированные в одном направлении волокна заполнителя, имеющие форму эллипсоидов вращения. Для определенности предположим, что волокна заполнителя ориентированы вдоль оси Ox3 , тогда древесно-минеральный композит будет статистически изотропен в плоскости x x а значит,

Pff (x) = Pff (r, x3 ), r =Vxi + x22 . (19)

Вследствие статистической изотропии свойств в плоскости xx , x2 достаточно построить функцию Pff в произвольной плоскости, проходящей через ось x3. Проведем в этой плоскости некоторую прямую x3 =mr. Предположим, что длины отрезков прямой, образованных точками пересечения прямой с поверхностями раздела между связующим и заполнителем, распределены по экспоненциальным законам

126

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Л/

Pc (T ) =

1 к Л

T /

—exp

ю / V ю / ,

1 к

— exp -

Юс V Юс у

(20)

где Tf - длина отрезка прямой, проходящего через волокно заполнителя; тс - длина отрезка, проходящего через связующее.

Функцию PfX) на этой прямой можно рассматривать как условность перехода некоторой системы из /-состояния в /-состояние. При этом из соотношений (20) следует, что условная плотность P//(x) должна удовлетворять дифференциальному уравнению

dPff (|x )

d Ixl

f

+

1

- + -

1

Л

Vю f

ю„

Pff(|x) = —

ю

(21)

и условиям (16). Решение уравнения (21) имеет вид

к и Л

Pf (|xС = - +- exp

-сю

(22)

f у

где ю / - средняя длина хорды пересечения прямой x3 =mr с эллипсоидом вращения, которым моделируется волокно заполнителя.

Так как волокна расположены хаотически, то все возможные варианты пересечения прямой с эллипсоидами вращения будут равновероятны. Поэтому среднюю длину хорды пересечения прямой с эллипсоидом вращения можно определить как среднюю хорду по объему эллипсоида вращения. Производя необходимые вычисления, получаем

п2 a1a2y[\+ m

2

ю / ='

b(a2 + m2al)1/2 ’ ^ ^

где a, а2 - размеры полуосей эллипсоида вращения соответственно в поперечном и продольном направлениях.

Подставляя в (23) m= x3/r и принимая во внимание выражение (22) для условной плотности P

Pf (x) = -/ + - exP

окончательно получаем

к „ п—Т\

8’ 2 ”2

r

x

е 2 \ 2 2 -c п \ ai a2

(24)

Используя выражение (24), можно выполнить интегрирование в уравнении (17) и найти явный вид тензора.

Пусть отношение продольного и поперечного размеров волокон заполнителя к = a2/ a1 > 1, т.е. древесно-минеральный композит содержит волокна заполнителя в форме вытянутых эллипсоидов вращения. В этом случае получаем пять независимых компонентов трансверсально изотропного тензора K * Pff :

I =

3 ^ к + м)

к 2 (1 + 2к 2 ) к (1 - 4к 2 )

1 1б(м)(к + 2|м)[ (к2 -1)2 (к2 -1)5/2

P

12 =

2{ м

(к + м)

к1

- + -

к

2 1\3/2

к2 - 1 (к2 - 1)

P

к2 (1 + 2к 2 ) - к(1 - 4к2 ) 1б(м)(к + 2|м)|_ (к2 -1)2 (к2 -1)5/2

2 к (1 - 2к2 )

P

= 3(к + м)

Т3 =

14 =

4( м)(к + 2м> (к + м)

3к2

(к2 -1)2 (к2 -1)5/2

P

2к2

+

3к

2(м)(к + 2|м)[(к2 -1)2 (к2 -1)5/2

P

+

+

I5 =

1 м к + м

1

+

к

P

к2 -1 (к2 -1)3/2

3к 2 к (1 + 2к 2 )

2(м)(к + 2^[ (к2 -1)2 (к2 -1)5/2

P

+

+

4< М>

2 - к2

к

P

к2 -1 (к2 -1)3/2

P = 1w(k - V k -1), где в (25) обозначено

Т = к * P • Т =___K * P •

^ _Л1И1 12~г Л1122 А/’

(25)

-

Т = — K * P • Т = — к * P •

73 _ - Л1133 rffi А4~ - Л3333 rffi cc 1

Т = — K * P

*5 - - Л1313 // .

(26)

Если заполнитель имеет форму сплюснутых эллипсоидов вращения к = a2 / a1 < 1, формулы (25) принимают вид

к 2 (1 + 2к 2 ) к (1 - 4к 2 )

т = 3( к + м) Т1 =

+

1б(м)(к + 2|м)[ (1 - к2 )2 (1 - к2)

2\5/2

б

+

+

Т 2 =

2< м> к + м

к2

+

к

б

1 - к (1 - к2)3/2

к2 (1 + 2к 2 ) к (1 - 4к 2 )

1б( м)(к + 2м

(1 - к2)2 (1 - к2 )

+

2\5/2

б

1

1

1

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

127

ДЕРЕВООБРАБОТКА

I =

14 =

(К + й)

4( м)(К + 2м)

К + м

3k2

+ k(1 + 4k2) Q

2 ^ м) (К + 2м i Г i

(i-k2)2 (i -k2) 2+k2 3k

2\5/2

(1 - k2 )2 (1 - k2 )

2\5/2

Q

k2

м)_1 - k2 (1 - k2 )3/2

Q

I5 =

К + м

3k2

+ k(1 + 2k2 ) Q

2(м)(К + 2м) _ (1 -k2)2 (1 -k2)

25/2

4( м)

2 - k2

k

23/2

1 - k2 (1 - k2 )

Q = arcsin-\A - k2

Q

(27)

Если k = a2/ a1 = 1, т.е. включения имеют сферическую форму, из (25) и (27) путем предельного перехода получаем

Л = 14 -

(2К +7м) ; 1 = 1 (К + м)

15(м)(К + 2|м) ’ 2 = 3 15(м)(К + 2м)

(28)

i

Используя формулы (25-28), из (17) находим средние деформации заполнителя ef и подставляем их значения в (18). В результате проделанных операций получаем следующие соотношения между средними напряжениями, деформациями, температурой и влажностью:

(° jk) = ж! (е pp) 5* + 2ж2 (е Jk) +

+жЦе^) 5jk -P1Q -rlAW,

(°33 ) = ж4 (еpp ) + (^ - ) (е3^ - Р2б - Y*2AW

(° j 3} = ж5 (е,3 ) , j, k, r = 1,2 (29)

Здесь макроскопические влажностнотермоупругие постоянные древесно-мине-

* * *

рального композита жi, р j, у j определяются формулами

ж* =Кс +4 f [а(К f -Кс)+а2(К f+2м f -Кс- 2мс)]; ж2 = мс +4 fP (м f-мс); ж3 = 4 f (ai- 2a2- pi )(м f-мс);

ж4 = Кс + 2м с + 4 f [Ь1 (К f -Кс ) +

+b2(Кf + 2мf -Кс - 2мс)];

ж55 = 2[мс +4 fp2 (м f-мс)];

Pi =(в)+4 f [d1 (К f +м f -Кс -мс )+d2 (К f -Кс )]; в2 =(в)+4 f [d1 (Кf -Кс )+d2 (К f + 2м f -Кс-2мс )]; Y* = М + 4f [d3 (Кf +мf -Кс -мс ) + d4 (Кf -Кс )];

y2 = (y)+4 f d (К f-Кс)+

+d4(К f + 2м f-Кс- 2мс)]; (30)

где

a = Д {1 - К'(2/3 +14) - 2м'/4 - 2/21 --2m2 (I -13) + 2[Кт2 + 2м' (l2 + m2)]S};

а2 = Д [(К - /2 )(213 +14 ) +

+2(м -m2)I3 + 2(м l2 -К m2)S];

2

b1 =д[(К -l2)I+2(м -m2)I3 + 2(м l2-К m2)S];

b2 = д{1 - 2К 1 - 2м (I -13 ) -12 (2I3 +14 ) -

-2m214 + 2[2К м2 + м (l2 + 2m2 )S]} ;

Pi =1 -2”’,(1‘-14 di = 44с(Pf-Рс)(I-2n'S);

P2 =

1 - 2м (1‘ - 12 )

1 - 2m015. j = 1

"; " = д

д

----pi; d2 = т4с(вf -вс)(213 +14 -2м 'S)

1 - 2м h

Д = 1 -К (21 - 213 +14) --2м (I -13 +14) + 2м (3К + 2м )S ;

2

d = Д 4с (Y f-Y с)(I - 2м S);

Д

d4 = Д4с (y f -Yc )(2I3 +14- 2p's );

Д

I = /1 + 12 + /3 ; S = 114 - 2I32 - I314 ;

к'= (4с -4 f )(К f -К)

м = (4с-4 f )(м f-мс); /2 = К 2 -(К);

т2 =мс -(^ . (31)

Технические упругие постоянные арболита: модули Юнга в продольном направлении E*’, в поперечном направлении £*, коэффициент Пуассона v* в плоскости, параллельной направлению волокон, модуль сдвига в той же плоскости ми модуль сдвига в поперечной плоскости м*, а также коэффициенты температурных и

* ^ i i i i

влажностных деформаций а1, а2, п1, П2 можно выразить через коэффициенты

Е*' = с; Е*' =

z

4ж2с

2ж2ж4 + с

i' i'

; v = —; м = ж;

z

м = ж2 ; а1 =

Pi i л i i л i — л i i

1ж4 - в2ж1 ^ в2z - 2в1ж1

; а2 =■

П1 =

c c

Yiж4 -Y2жi , ni = y2z - 2Yiжi , ; П 2 _ ;

(32)

2 r\/ i i i\

с = zж4 - 2ж1 ; z = 2(ж1 + ж2 + ж3)

На рис. 1 - 3 представлены кривые изменения макроскопических упругих постоянных древесно-минерального композита (арболита) соответственно продольного и поперечного модулей Юнга E*33 и E* а также мо-

128

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

О 0,1 0,4 0,6 0

Рис. в

Рис. 7

дуля сдвига ц 12 плоскости, перпендикулярной направлению волокон - от концентрации связующего £ Из этих рисунков видно, что увеличение соотношения k приводит к возрастанию про-и уменьшению

5 Рис. 6

и коэффициентом влажностных деформаций Пс = 0,36. (34)

Соответствующие величины для заполнителя равны

6 1

af = 3-10е

; % = 5,7.

(35)

дольного модуля Юнга E 33 поперечных модулей E11 и ц*12.

На рис. 4 - 7 изображены изменения макроскопических коэффициентов температурного и влажностного расширения в продольном и поперечном направлениях по отношению к оси ориентации волокон.

При расчетах принималось, что связующее обладает коэффициентом температурного расширения

61

a = 15-10е

градС

(33)

градС

Библиографический список

1. Щербаков, А.С. Арболит / А.С. Щербаков, Л.П. Хо-рошун, B.C. Подчуфаров. - М.: Лесная пром-сть, 1979. - 200 с.

2. Хорошун, Л.П. Вычисление упругих свойств арболита / Л.П. Хорошун, А.С. Щербаков // Научные тр. Московского лесотехнического института.

- 1976. - Вып. 93. - С. 161-166.

3. Щербаков, А.С. Некоторые вопросы теории прочности и деформативности арболита / А.С. Щербаков // Научные труды МЛТИ. - 1960. - Вып. 127.

- С. 5-20.

4. Щербаков, А.С. Вопросы теории упругости и деформативности композиционных материалов / А.С. Щербаков и др. // Научные труды МЛТИ.

- 1969. - Вып. 222. - С. 131-145.

5. Щербаков, А.С. Методы расчета и прочности и деформативности арболита / А.С. Щербаков // Научные труды МЛТИ. - 1969. - Вып. 216. -С. 5-11.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

129